EXERCICES SUR LES POLYNOMES G.EGUETHER

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1 EXERCICES SUR LES POLYNOMES G.EGUETHER 26 août 2016

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3 Table des matières 1 Division euclidienne 1 2 Reste de la division euclidienne 11 3 Racines multiples 21 4 Factorisation 37 5 Divisibilité 51 6 PGCD 63 7 Division suivant les puissances croissantes 73 8 Nombres entiers 79 9 Relations entre les coefficients et les racines Divers Polynômes dans Z/nZ 129 i

4 ii TABLE DES MATIÈRES Avertissement On trouvera dans ce qui suit de nombreux exercices sur les polynômes classés en onze grands thèmes. On proposera pour chaque exercice une démonstration, mais il peut, bien sûr, y avoir d autres moyens de procéder. Dans ces exercices, on utilise parfois un minimum d analyse (monotonie et signe de la dérivée par exemple) ou un peu d algèbre linéaire (base de polynômes). Notations Excepté dans le chapitre 11, les polynômes considérés sont à coefficients dans R ou C. Si K est un corps (ou un anneau), on notera P ou P(X) un polynôme de K[X]. On notera également P et parfois P la fonction polynomiale associée à P. Les coefficients binomiaux sont notés ( ) n = k n! k!(n k)!. Lorsque l on pose une division, on a pris le parti de changer le signe des termes pour les additionner à la ligne précédente. X 8 1 X 3 1 X 8 + X 5 X 5 +X 2 +X 5 X 5 + X 2 +X 2 1

5 Chapitre 1 Division euclidienne Exercice 1 Effectuer la division euclidienne de X 8 1 par X 3 1. On effectue la division euclidienne : X 8 1 X 3 1 X 8 +X 5 X 5 +X 2 +X 5 X 5 +X 2 +X 2 1 Donc X 8 1 = (X 5 +X 2 )(X 3 1)+X 2 1. Exercice 2 Effectuer la division euclidienne de P(X) = X 5 X 4 +3X 3 2X 2 +6X 1 par S(X) = X 2 +X +2, et calculer P(z 1 ) et P(z 2 ) lorsque z 1 et z 2 sont les racines de S.

6 2 CHAPITRE 1. DIVISION EUCLIDIENNE On effectue la division euclidienne : X 5 X 4 +3X 3 2X 2 +6X 1 X 2 +X +2 X 5 X 4 2X 3 X 3 2X 2 +3X 1 2X 4 +X 3 2X 2 +2X 4 +2X 3 +4X 2 +3X 3 +2X 2 +6X 3X 3 3X 2 6X X 2 1 +X 2 +X +2 +X +1 Donc Les racines de S sont P(X) = (X 3 2X 2 +3X 1)S(X)+X +1. z 1 = 1 2 ( 1+i 7) et z 2 = z 1 = 1 2 ( 1 i 7). Alors P(z 1 ) = z 1 +1 = 1 2 (1+i 7) et P(z 2 ) = z 2 +1 = 1 2 (1 i 7). Exercice 3 Effectuer la division euclidienne de P(X) = X 4 +6X 3 +10X 2 +3X 6 par S(X) = X 2 +3X, et en déduire la factorisation de P(X) dans R[X]. On effectue la division euclidienne : X 4 +6X 3 +10X 2 +3X 6 X 2 +3X X 4 3X 3 X 2 +3X +1 +3X 3 +10X 2 3X 3 9X 2 +X 2 +3X X 2 3X 0X 6

7 3 On a donc Mais donc P(X) = (X 2 +3X)(X 2 +3X +1) 6 = (X 2 +3X) 2 +(X 2 +3X) 6. U 2 +U 6 = (U 2)(U +3), P(X) = (X 2 +3X 2)(X 2 +3X +3). Le trinôme X 2 +3X +3 a un discriminant négatif, alors que X 2 +3X 2 a un discriminant positif et donc des racines réelles. On obtient finalement la factorisation sur R suivante, ( )( ) P(X) = X X (X 2 +3X +3). 2 2 Exercice 4 Soit m et p deux entiers tels que 0 < p < m, et a un nombre complexe. Effectuer la division euclidienne de X m a m par X p a p. A quelle condition le reste est-il nul? En effectuant la division euclidienne de m par p, il existe q et r tels que m = pq +r, avec 0 r < p. Alors X m r a m r = (X p ) q (a p ) q = (X p a p ) (X p ) k (a p ) q 1 k, q 1 donc puis et finalement q 1 X m r = (X p a p ) X pk a p(q 1 k) +a m r, q 1 X m a m = X [(X r p a p ) X pk a p(q 1 k) +a ] a m r m, X m a m = (X p a p ) [ q 1 X r X pk a p(q 1 k) ]+a m r X r a m.

8 4 CHAPITRE 1. DIVISION EUCLIDIENNE Comme le polynôme a m r X r a m est de degré strictement plus petit que p, on a donc bien ainsi la division euclidienne de X m a m par X p a p. Le reste a m r X r a m est nul dans deux cas possibles : d une part si a = 0, d autre part si r = 0, c est-à-dire si p divise m. Exercice 5 Soit un nombre réel θ et un entier n 1. Effectuer la division euclidienne de P(X) = X n+1 cos(n 1)θ X n cosnθ X cosθ+1 par Q(X) = X 2 2X cosθ+1. On transforme Q(X) et P(X). Tout d abord Q(X) = X 2 2X cosθ +1 = (Xe iθ 1)(Xe iθ 1), puis P(X) = 1 2 [ ] X n+1 (e i(n 1)θ +e i(n 1)θ ) X n (e inθ +e inθ ) X(e iθ +e iθ )+2. En faisant apparaître les termes Xe iθ 1 et Xe iθ 1, on a alors P(X) = 1 2 puis en mettant Q(X) en facteur [ ] (Xe iθ 1)(X n e inθ 1)+(Xe iθ 1)(X n e inθ 1). P(X) = Q(X) 2 = Q(X) 2 = Q(X) 2 [ X n e inθ 1 Xe iθ 1 + Xn e inθ ] 1 Xe iθ 1 [ n 1 ] n 1 (Xe iθ ) k + (Xe iθ ) k n 1 X k (e ikθ +e ikθ ). Finalement n 1 P(X) = Q(X) X k coskθ.

9 5 Exercice 6 Soit un nombre réel θ et un entier n 2. Effectuer la division euclidienne de P(X) = X n sinθ Xsinnθ+sin(n 1)θ par Q(X) = X 2 2X cosθ +1. On transforme Q(X) et P(X). Tout d abord Q(X) = X 2 2X cosθ +1 = (Xe iθ 1)(Xe iθ 1), puis P(X) = 1 2i [ X n (e iθ e iθ ) X(e inθ e inθ )+e i(n 1)θ e i(n 1)θ]. En faisant apparaître les termes Xe iθ 1 et Xe iθ 1, on a alors P(X) = 1 [ ] (Xe iθ 1)(X n 1 e i(n 1)θ ) (Xe iθ 1)(X n 1 e i(n 1)θ ), 2i puis en mettant Q(X) en facteur Finalement P(X) = Q(X) 2i = Q(X) 2i = Q(X) 2i = Q(X) 2i [ X n 1 e i(n 1)θ Xe iθ 1 [e i(n 1)θ 1 (Xe iθ ) n 1 [ e i(n 1)θ n 2 1 (Xe iθ ) ] Xn 1 e i(n 1)θ Xe iθ 1 n 2 (Xe iθ ) k e i(n 1)θ n 2 X k (e i(n 1 k)θ e i(n 1 k)θ ). e i(n 1)θ 1 (Xeiθ ) n 1 1 (Xe iθ ) ] (Xe iθ ) k n 2 P(X) = Q(X) X k sin(n 1 k)θ. ] Exercice 7 Vérifier que α = 1+i est racine du polynôme P(X) = X 3 (4+i)X 2 +(6+2i)X (4+2i), et trouver les autres racines de P.

10 6 CHAPITRE 1. DIVISION EUCLIDIENNE On a donc α 2 = 2i et α 3 = 2+2i, P(α) = ( 2+2i) (4+i)(2i)+(6+2i)(1+i) (4+2i) = 2+2i+2 8i+6 2+8i 4 2i = 0, ce qui montre que α est racine de P(X). On effectue la division euclidienne : Donc X 3 (4+i)X 2 +(6+2i)X (4+2i) X (1+i) X 3 +(1+i)X 2 X 2 3X +(3 i) 3X 2 +(6+2i)X +3X 2 (3+3i)X +(3 i)x (4+2i) (3 i)x +(4+2i) 0 P(X) = (X (1+i))(X 2 3X +3 i). Pour obtenir les autres racines de P, on cherche les racines du polynôme On a On se ramène au système avec de plus On en déduit Q(X) = X 2 3X +3 i. = 9 4(3 i) = 3+4i = δ 2 = (x+iy) 2. { x 2 y 2 = 3 2xy = 4 = 5 = x 2 +y 2. x 2 = 1 et y 2 = 4, et puisque x et y ont le même signe, on peut prendre Alors Q(X) a pour racines δ = 1+2i. z 2 = 3+(1+2i) 2 = 2+i et z 3 = 3 (1+2i) 2 = 1 i.

11 7 Exercice 8 Soit le polynôme P(X) = X 6 X 4 +2X 3 X +1. Calculer P(1+i) et P(1+ 3). Le nombre 1+i est racine du polynôme A(X) = (X (1+i))(X (1 i)) = X 2 2X +2. On effectue la division euclidienne de P(X) par A(X) : X 6 X 4 +2X 3 X +1 X 2 2X +2 X 6 +2X 5 2X 4 X 4 +2X 3 +X X 5 3X 4 +2X 3 2X 5 +4X 4 4X 3 +X 4 2X 3 X 4 +2X 3 2X 2 2X 2 X +1 +2X 2 4X +4 5X +5 Donc P(X) = (X 4 +2X 3 +X 2 2)A(X) 5X +5. Alors, puisque A(1+i) est nul, on a P(1+i) = 5(1+i)+5 = 5i. Le nombre 1+ 3 est racine du polynôme A(X) = (X (1+ 3))(X (1 3)) = X 2 2X 2.

12 8 CHAPITRE 1. DIVISION EUCLIDIENNE On effectue la division euclidienne de P(X) par A(X) : X 6 X 4 +2X 3 X +1 X 2 2X 2 X 6 +2X 5 +2X 4 X 4 +2X 3 +5X 2 +16X X 5 +X 4 +2X 3 2X 5 +4X 4 +4X 3 +5X 4 +6X 3 5X 4 +10X 3 +10X 2 +16X 3 +10X 2 X 16X 3 +32X 2 +32X +42X 2 +31X +1 42X 2 +84X X +85 Donc P(X) = (X 4 +2X 3 +5X 2 +16X +42)A(X) +115X +85. Alors, puisque A(1+ 3) est nul, on a P(1+ 3) = 115(1+ 3)+85 = Exercice 9 Soit le polynôme P(X) = X 6 3X 5 +X 4 8X 3 +X 2 1. Calculer P(1+i) et P(1+ 5). Le nombre 1+i est racine du polynôme A(X) = (X (1+i))(X (1 i)) = X 2 2X +2.

13 9 On effectue la division euclidienne de P(X) par A(X) : X 6 3X 5 +X 4 8X 3 +X 2 1 X 2 2X +2 X 6 +2X 5 2X 4 X 4 X 3 3X 2 12X 17 X 5 X 4 8X 3 +X 5 2X 4 +2X 3 3X 4 6X 3 +X 2 +3X 4 6X 3 +6X 2 12X 3 +7X 2 +12X 3 24X 2 +24X 17X 2 +24X 1 +17X 2 34X X +33 Donc Alors, puisque A(1+i) est nul, on a Le nombre 1+ 5 est racine du polynôme P(X) = (X 4 X 3 3X 2 12X 17)A(X) 10X +33. P(1+i) = 10(1+i)+33 = 23 10i. A(X) = (X (1+ 5))(X (1 5)) = X 2 2X 4. On effectue la division euclidienne de P(X) par A(X) : X 6 3X 5 +X 4 8X 3 +X 2 1 X 2 2X 4 X 6 +2X 5 +4X 4 X 4 X 3 +3X 2 6X +1 X 5 +5X 4 8X 3 +X 5 2X 4 4X 3 +3X 4 12X 3 +X 2 3X 4 +6X 3 +12X 2 6X 3 +13X 2 +6X 3 12X 2 24X +X 2 24X 1 X 2 +2X +4 22X +3 Donc P(X) = (X 4 X 3 +3X 2 6X +1)A(X) 22X +3. Alors, puisque A(1+ 5) est nul, on a P(1+ 5) = 22(1+ 5)+3 =

14 10 CHAPITRE 1. DIVISION EUCLIDIENNE Exercice 10 Soit P un polynôme de degré au moins 2. Ecrire la division euclidienne de P par P. Ecrivons P(X) = n a p X p, p=0 avec a n non nul. Le polynôme P est de degré n 1. Si l on effectue la division euclidienne de P par P, on a donc P(X) = α(x +β)p (X)+Q(X), où Q est de degré n 2 au plus. En étudiant le coefficient de X n on constate que l on doit avoir α = 1/n. On calcule alors Q(X) = P(X) 1 n (X +β)p (X). On obtient Q(X) = = = n a p X p 1 n n (X +β) pa p X p 1 p=0 n a p X p 1 n p=0 n a p X p 1 n p=0 p=1 n pa p X p 1 n p=0 p=0 n βpa p X p 1 p=1 n pa p X p 1 n 1 β(p+1)a p+1 X p n p=0 = 1 n 1 [a p (n p) β(p+1)a p+1 ]X p. n p=0 Si l on veut que Q soit de degré au plus n 2, il faut donc que le coefficent de X n 1 soit nul, c est-à-dire a n 1 βna n = 0. Alors P(X) = 1 n ( X + a ) n 1 P (X)+ 1 na n n n 2 p=0 [ a p (n p) a ] n 1 (p+1)a p+1 X p. na n

15 Chapitre 2 Reste de la division euclidienne Exercice 11 Soit n un entier naturel non nul. Quel est le reste de la division euclidienne de P(X) = X(X +1) (X +n 1) par A(X) = X +n? Le reste de la division est la constante P( n) = ( n)( n+1) ( 1) = ( 1) n n!. Exercice 12 Déterminer le reste de la division euclidienne de X 12 +X 10 +X 8 par X 3 +X 2 +X +1. On remarque que X 3 +X 2 +X +1 = (X +1)(X 2 +1) a pour racines 1, i et i. Le reste de la division est de degré 2 au plus. En partant de l égalité X 12 +X 10 +X 8 = (X 3 +X 2 +X +1)Q(X)+aX 2 +bx +c, que l on applique successivement à X = 1, X = i et X = i, on obtient le système a b+c = 3 a+ib+c = 1. a ib+c = 1

16 12 CHAPITRE 2. RESTE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE En soustrayant les deux dernières lignes, on trouve b = 0. Le système se réduit alors à { a+c = 3 a+c = 1, et donne c = 2 et a = 1. Le reste est donc X Exercice 13 Pour tout entier naturel n, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 3 +X 2 +X+1. On remarque que X 3 +X 2 +X +1 = (X +1)(X 2 +1) a pour racines 1, i et i. Le reste de la division est de degré 2 au plus. En partant de l égalité X n = (X 3 +X 2 +X +1)Q(X) +ax 2 +bx +c, que l on applique successivement à X = 1, X = i et X = i, on obtient le système a b+c = ( 1) n a+ib+c = i n. a ib+c = ( i) n Si n = 2s, ce système devient a b+c = 1 a+ib+c = ( 1) s a ib+c = ( 1) s. En soustrayant les deux dernières lignes, on trouve b = 0. Le système se réduit alors à { a+c = 1 a+c = ( 1) s, et donne c = 1+( 1)s 2 Le reste est donc X 2 si s est impair, et 1 si s est pair. et a = 1 ( 1)s 2. Si n = 2s+1, le système devient a b+c = 1 a+ib+c = ( 1) s i a ib+c = ( 1) s i.

17 13 En soustrayant les deux dernières lignes, on trouve b = ( 1) s. Le système se réduit alors à { a+c = 1+( 1) s a+c = 0, et donne a = c = 1+( 1)s 2 Le reste est donc X si s est pair, et (X 2 +X +1) si s est impair.. En résumé n = 4k 1 n = 4k +1 X n = 4k +2 X 2 n = 4k +3 (X 2 +X +1). Exercice 14 Pour tout entier naturel n, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 3 2X 2 +X. On remarque que X 3 2X 2 +X = X(X 1) 2 a pour racine simple 0, et pour racine double 1. Le reste de la division est de degré 2 au plus. En partant de l égalité X n = (X 3 2X 2 +X)Q(X)+aX 2 +bx +c, appliquée à X = 0 et X = 1, on obtient, si n 1, c = 0 et a+b+c = 1. Pour obtenir une troisième équation, on dérive l égalité ci-dessus. On obtient, si n 1, nx n 1 = (3X 2 4X +1)Q(X)+(X 3 2X 2 +X)Q (X)+2aX +b, et, pour X = 1, on trouve 2a+b = n. Le système se réduit alors à { a+b = 1 2a+b = n, ce qui donne a = n 1 et b = 2 n, d où le reste (n 1)X 2 +(2 n)x. Si n = 0, on obtient bien sûr le reste 1.

18 14 CHAPITRE 2. RESTE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE Exercice 15 Soit a et b deux nombres complexes distincts, et soit P(X) un polynôme. Calculer en fonction de P(a) et de P(b) le reste de la division euclidienne de P(X) par (X a)(x b). On divise par un polynôme de degré 2. Le reste est de degré 1 au plus. On a donc En particulier P(X) = Q(X)(X a)(x b)+αx +β. { P(a) = αa+β P(b) = αb+β. On résout ce système par combinaison. En soustrayant les deux lignes on obtient P(a) P(b) = α(a b). En multipliant la première ligne par b, la seconde par a et en soustrayant, on trouve Alors le reste de la division est bp(a) ap(b) = β(b a). R(X) = P(a) P(b) X + ap(b) bp(a). a b a b Exercice 16 Soit p et q deux entiers naturels. Calculer le reste de la division de X p +X q +1 par X 2 +X +1. A quelles conditions sur p et q, le polynôme X 2 +X +1 divise-t-il X p +X q +1? Comme on divise par un polynôme de degré 2, le reste R(X) est de degré 1 au plus. On a donc X p +X q +1 = Q(X)(X 2 +X +1)+αX +β. Si l on remplace X par j = e 2iπ/3 qui est racine du trinôme X 2 +X +1, on trouve j p +j q +1 = αj +β.

19 15 Comme on sait que j 3 = 1, il reste à étudier le résultat suivant les restes de la division de p et q par 3. Il y a donc trois possibilités pour p (p = 3k, 3k +1 ou 3k +2), et trois pour q (q = 3k, 3k +1 ou 3k +2), donc neuf cas en tout. On remarquera par ailleurs que si u, u, v, v sont réels, l égalité implique l égalité uj +v = u j +v (u u )j = v v. Mais v v est réel, et (u u )j ne l est pas si u u n est pas nul. On en déduit donc que u = u et v = v. (Le couple (1,j) est une base du R espace vectoriel C). De plus j 2 +j +1 = 0. On peut former le tableau suivant, (où k et k sont des entiers) : p q j p +j q +1 = αj +β α β R(X) (1) 3k 3k (2) 3k +1 3k j X +2 (3) 3k 3k +1 j X +2 (4) 3k +2 3k j 2 +2 = j X +1 (5) 3k 3k +2 j 2 +2 = j X +1 (6) 3k +1 3k +1 2j X +1 (7) 3k +2 3k +1 j 2 +j +1 = (8) 3k +1 3k +2 j 2 +j +1 = (9) 3k +2 3k +2 2j 2 +1 = 2j X 1 En particulier le reste est nul si et seulement si p = 3k+2 et q = 3k +1 ou p = 3k+1 et q = 3k +2. Exercice 17 Soit n un entier naturel. Calculer le reste de la division euclidienne de P(X) = (X 1) n+2 +X 2n+1 par X 2 X +1. Les racines de X 2 X +1 sont j et son conjugué. On a 1 j = j 2 et j 3 = 1.

20 16 CHAPITRE 2. RESTE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE Alors, si l on calcule P( j), on obtient P( j) = j 2(n+2) j 2n+1 = j 2n+4 j 2n+1 = j 2n+1 (j 3 1) = 0, et j est racine de P. Comme ce polynôme est à coefficients réels, le polynôme P est divisible par X 2 X +1. Le reste de la division est donc nul. Exercice 18 Soit α un nombre réel et n un entier naturel. Quel est le reste de la division euclidienne de (X sinα+cosα) n par X 2 +1? Le reste est de degré au plus 1. On a donc (X sinα+cosα) n = (X 2 +1)Q(X)+aX +b. En particulier, si X = i, on obtient ai+b = (cosα+isinα) n = cosnα+isinnα. donc R(X) = X sinnα+cosnα. Exercice 19 Les restes de la division euclidienne du polynôme A par X 1, X 2 et X 3 sont respectivement 3, 7 et 13. Calculer le reste de la division de A par (X 1)(X 2)(X 3). On a donc A(1) = 3, A(2) = 7 et A(3) = 13. Le reste de la division de A par (X 1)(X 2)(X 3) est de degré 2 au plus. On écrit A(X) = (X 1)(X 2)(X 3)Q(X)+aX 2 +bx +c,

21 17 et, en remplaçant X par 1, 2, 3 successivement, on obtient le système a+b+c = 3 4a+2b+c = 7 9a+3b+c = 13 qui admet comme solution a = b = c = 1. Le reste cherché est donc X 2 +X +1., Exercice 20 Soit P dans R[X]. On suppose que le reste de la division euclidienne de P par (X 1) 2 vaut 2X+1, et que le reste de la division euclidienne de P par X +2 vaut 3. Trouver le reste de la division euclidienne de P par X 1 et le reste de la division euclidienne de P par (X 1) 2 (X +2). On a tout d abord donc en dérivant P(X) = (X 1) 2 Q(X)+2X +1, P (X) = (X 1)(2Q(X)+(X 1)Q (X))+2, et le reste de la division euclidienne de P par X 1 vaut 2. Par ailleurs P(X) = (X 1) 2 (X +2)S(X)+aX 2 +bx +c, et en dérivant P (X) = (X 1) [ 2(X +2)S(X)+(X 1)[(X +2)S (X)+S(X)] ] +2aX +b. On obtient le système P(1) = a+b+c = 3 P( 2) = 4a 2b+c = 3 P (1) = 2a+b = 2. En résolvant ce système, on trouve a = b = 2/3 et c = 5/3. Le reste de la division euclidienne de P par (X 1) 2 (X +2) est donc 1 3 (2X2 +2X +5).

22 18 CHAPITRE 2. RESTE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE Exercice 21 1) Montrer que, quel que soit le polynôme C, le reste de la division euclidienne d un polynôme A par un polynôme B est le même que celui de la division de A+BC par B. 2) Soit A = (X 1) n+2 +X 2n+1 et B = X 2 X +1. Montrer qu il existe un polynôme C tel que A+BC = (X 1) n+2 +X(X 1) n. En déduire le reste de la division euclidienne de A par B. Puis retrouver directement le résultat obtenu. 1) Si l on a A = QB +R avec degr < degb, alors A+BC = (Q+C)B +R avec les mêmes conditions de degré. Donc R est aussi le reste de la division euclidienne dea+bc parb. 2) On veut avoir (X 1) n+2 +X 2n+1 +C(X)(X 2 X +1) = (X 1) n+2 +X(X 1) n, c est-à-dire On peut encore factoriser C(X)(X 2 X +1) = X [ (X 1) n (X 2 ) n]. Il suffit donc de prendre n 1 C(X)(X 2 X +1) = X(X 1 X 2 ) (X 1) k X 2(n 1 k). n 1 C(X) = (X 1) k X 2(n k) 1. Alors, le reste de la division euclidienne de A par B est le même que celui de la division de A+BC par B. Or A(X)+B(X)C(X) = (X 1) n ((X 1) 2 +X) = (X 1) n (X 2 X +1), donc le reste cherché est nul. D ailleurs, puisque B a pour racines complexes j et j 2, on constate que A( j) = ( j 1) n+2 +( j) 2n+1 = j 2n+4 j 2n+1 = 0.

23 19 Exercice 22 1) Soit p un entier naturel non nul et a un réel non nul. Montrer que, pour tout polynôme P, il existe des polynômes P 0,...,P p 1 tels que p 1 P(X) = P k (X p )X k. En déduire le reste de la division euclidienne de P par X p a. 2) Soit m et p deux entiers tels que 0 < p < m, trouver le reste de la division euclidienne de X m a m par X p a p et de X m +a m par X p +a p. Donner les conditions pour que ces restes soient nuls. 1) On remarque que si n = qp+r avec 0 r p 1, on a En prenant P k (X) = X n = (X p ) q X r. { X q si k = r 0 si k r on constate que la décomposition est vraie pour le monôme X n et, par linéarité, le résultat sera vrai pour un polynôme P quelconque. Comme le polynôme P k (X) P k (a) est divisible par X a, le polynôme P k (X p ) P k (a) est divisible par X p a. Alors le polynôme est divisible par X p a, et Comme le polynôme p 1 S(X) = (P k (X p ) P k (a))x k p 1 P(X) = P k (X p )X k = S(X)+ P k (a)x k. R(X) = P k (a)x k est de degré au plus p 1, c est donc le reste de la division euclidienne de P par X p a. p 1 2) Soit m et p deux entiers tels que 0 < p < m. En effectuant la division euclidienne de m par p, il existe q et r entiers, tels que m = pq +r, p 1,

24 20 CHAPITRE 2. RESTE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE avec 0 r < p. On prend tout d abord on a donc P(X) = X m a m = (X p ) q X r a m, P r (X) = X q et P 0 (X) = a m les autres coefficients P k étant nuls. Alors il résulte de 1), (en remplaçant a par a p ), que le reste de la division euclidienne de X m a m par X p a p est (a p ) q X r a m = a m r X r a m, et le reste est nul si et seulement si r = 0, c est-à-dire si et seulement si p divise m. Si l on prend maintenant on a donc P(X) = X m +a m = (X p ) q X r +a m, P r (X) = X q et P 0 (X) = a m les autres coefficients P k étant nuls. Alors il résulte de 1), (en remplaçant a par a p ), que le reste de la division euclidienne de X m +a m par X p +a p est ( a p ) q X r +a m = ( 1) q a m r X r +a m, et le reste est nul si et seulement si r = 0 et q est impair, c est-à-dire si et seulement si m/p est un nombre entier impair.

25 Chapitre 3 Racines multiples Exercice 23 Soit n un entier naturel et a et b deux nombres réels. A quelle condition le polynôme P(X) = n X p+2 +ax +b p=0 1) admet-il le nombre 1 comme racine double? 2) admet-il le nombre 1 comme racine double? 1) Le nombre 1 est racine double de P si et seulement si P(1) et P (1) sont nuls et P (1) ne l est pas. On a P(1) = (n+1)+a+b, puis Alors P (1) = n (p+2)+a = p=0 n p=0 P (X) = n (p+2)x p+1 +a. p=0 p+2(n+1)+a = n(n+1) 2 +2(n+1)+a = (n+1)(n+4) 2 +a. On a donc et puisque a = (n+1)(n+4) 2 P (X) = et b = a (n+1) = (n+1)(n+2) 2 n (p+2)(p+1)x p, p=0,

26 22 CHAPITRE 3. RACINES MULTIPLES on constate que Donc 1 est bien racine double de P. P (1) = n (p+2)(p+1) > 0. p=0 2) Pour la racine 1, cela dépend de la parité de n. On a donc Ensuite P( 1) = P( 1) = P ( 1) = n ( 1) p a+b, p=0 { 1 a+b si n = 2s a+b si n = 2s+1 n (p+2)( 1) p+1 +a. p=0 On calcule cette somme en séparant les termes suivant la parité des indices de sommations. Si n = 2s. 2s p=0 (p+2)( 1) p+1 = = = s s (2k +2)( 1) 2k+1 + (2k +1)( 1) 2k k=1 s ( (2k +2)( 1) 2k+1 +(2k +1)( 1) 2k) 2 k=1 s ( 1) 2 = s 2. k=1 Si n = 2s+1 2s+1 (p+2)( 1) p+1 = p=0 = = s s (2k +2)( 1) 2k+1 + (2k +3)( 1) 2k+2 s ( (2k +2)( 1) 2k+1 +(2k +3)( 1) 2k+2) s 1 = s+1. Donc P ( 1) = { s 2+a si n = 2s s+1+a si n = 2s+1.

27 23 Finalement a = s+2 b = s+1 si n = 2s a = s 1 b = s 1 si n = 2s+1. Il reste à voir que la dérivée seconde ne s annule pas en 1. Si n = 2s 2s s s P ( 1) = (p+2)(p+1)( 1) p = (2k +2)(2k +1)( 1) 2k + (2k +1)2k( 1) 2k 1 p=0 = 2 Si n = 2s+1 = k=1 s ( ) (2k +2)(2k +1) (2k +1)2k +2 k=1 s (2k +1)+2 > 0. k=1 2s+1 s s P ( 1) = (p+2)(p+1)( 1) p = (2k +2)(2k +1)( 1) 2k + (2k +3)(2k +2)( 1) 2k+1 p=0 = s ( ) (2k +2)(2k +1) (2k +3)(2k +2) = 2 Donc 1 est racine double de P. s (2k +2) < 0. Exercice 24 Trouver les nombres a, b, c, pour que le polynôme P(X) = X 7 2X 6 +2X 5 3X 4 +3X 3 +ax 2 +bx +c admette 1 comme racine triple, puis factoriser P dans C. On a P(1) = 1+a+b+c, puis successivement P (X) = 7X 6 12X 5 +10X 4 12X 3 +9X 2 +2aX +b et P (1) = 2+2a+b,

28 24 CHAPITRE 3. RACINES MULTIPLES P (X) = 42X 5 60X 4 +40X 3 36X 2 +18X +2a et P (1) = 4+2a. Alors 1 est racine triple au moins si l on a P(1) = P (1) = P (1) = 0 ce qui conduit au système a+b+c = 1 2a+b = 2, 2a = 4 qui a pour solution a = 2, b = 2 et c = 1. On effectue alors la division euclidienne de P(X) = X 7 2X 6 +2X 5 3X 4 +3X 3 2X 2 +2X 1 par X 3 3X 2 +3X 1 : X 7 2X 6 +2X 5 3X 4 +3X 3 2X 2 +2X 1 X 3 3X 2 +3X 1 X 7 +3X 6 3X 5 +X 4 X 4 +X 3 +2X 2 +X +1 +X 6 X 5 2X 4 +3X 3 X 6 +3X 5 3X 4 +X 3 +2X 5 5X 4 +4X 3 2X 2 2X 5 +6X 4 6X 3 +2X 2 +X 4 2X 3 +2X X 4 +3X 3 3X 2 +X +X 3 3X 2 +3X 1 X 3 +3X 2 3X +1 0 Donc P(X) = (X 1) 3 (X 4 +X 3 +2X 2 +X +1) = (X 1) 3[ (X 4 +X 3 +X 2 )+(X 2 +X +1) ]. On factorise alors sur R puis sur C P(X) = (X 1) 3 (X 2 +X +1)(X 2 +1), P(X) = (X 1) 3 (X j)(x j 2 )(X +i)(x i). Exercice 25 1) Soit a, p, q trois nombres complexes. Ecrire les conditions pour que a soit racine double du polynôme X 3 +px +q. 2) Quelle condition nécessaire et suffisante doivent satisfairepet q pour que le polynôme X 3 +px+q ait une racine (au moins) double?

29 25 1) Le nombre a est racine double de P si et seulement si les nombres P(a) et P (a) sont nuls sans que P (a) le soit. Puisque P (X) = 3X 2 +p et P (X) = 6X, on a donc le système a 3 +pa+q = 0 3a 2 +p = 0 a 0. Ce système équivaut à p = 3a 2 q = 2a 3 a 0. Remarquons que le cas a = 0 n est possible que si p = q = 0, c est-à-dire P(X) = X 3 et, dans ce cas, a = 0 est racine triple. Dans le cas contraire on a a = 3q 2p. 2) Il résulte de ce qui précède que l on a p 3 = 27a 6 et q 2 = 4a 6, donc, en éliminant a, on obtient (C) 4p 3 +27q 2 = 0. Cette condition est donc nécessaire pour avoir une racine multiple. Réciproquement, si p et q satisfont cette relation, ou bien p = 0, alors q = 0 et P(X) = X 3, donc on a une racine triple a = 0, ou bien p 0. Dans ce cas posons a = 3q 2p. On a P(a) = a 3 +pa+q = 27q3 8p 3 3q 2 +q = q(4p3 +27q 2 ) 8p 3 = 0, et P (a) = 3a 2 +p = 27q2 4p 2 +p = 4p3 +27q 2 4p 2 = 0. De plus P (a) = 6a 0. Donc P(a) = P (a) = 0 et a est bien racine double de P. La condition (C) est suffisante.

30 26 CHAPITRE 3. RACINES MULTIPLES Exercice 26 1) Soit n un entier naturel non nul. Quelle est la multiplicité p n de la racine 1 dans le polynôme P n (X) = X 2n+1 (2n+1)X n+1 +(2n+1)X n 1? 2) On note Q n (X) le quotient de P n (X) par (X 1) 3. Montrer que P n+1 (X) XP n (X) = (X 1) 3 (1+X + +X n ) 2. Quelle relation en déduit-on pour les polynômes Q n? 3) Calculer Q n pour n = 1, 2, 3, 4. Quelle hypothèse peut-on faire sur la forme générale de Q n? 4) Montrer que (1+X + +X n ) 2 = 1+2X + +nx n 1 +(n+1)x n +nx n X 2n 1 +X 2n. 5) On pose a n = 1+ +(n+1) = (n+1)(n+2). 2 Déduire de ce qui précède par récurrence que Q n (X) = a 0 +a 1 X + +a n 2 X n 2 +a n 1 X n 1 +a n 2 X n + +a 1 X 2n 3 +a 0 X 2n 2. 1) Tout d abord on constate que P n (1) est nul, puis P n(x) = (2n+1)X 2n (2n+1)(n+1)X n +(2n+1)nX n 1 = (2n+1) [ X 2n (n+1)x n +nx n 1], donc P n (1) est nul. On a ensuite P n (X) = (2n+1)[ 2nX 2n 1 n(n+1)x n 1 +n(n 1)X n 2], donc P n (1) est nul également. On a enfin donc P (3) n (X) = (2n+1) [ 2n(2n 1)X 2n 2 n(n+1)(n 1)X n 2 +n(n 1)(n 2)X n 3], P (3) n (1) = (2n+1) [ 2n(2n 1) n(n+1)(n 1)+n(n 1)(n 2) ] = (2n+1)(n 2 +n) 0. Finalement 1 est racine triple de P n (X), c est-à-dire p n = 3.

31 27 2) On a P n+1 (X) XP n (X) = X 2n+3 (2n+3)X n+2 +(2n+3)X n+1 1 X(X 2n+1 (2n+1)X n+1 +(2n+1)X n 1) = (X 1)X 2n+2 2(X 1)X n+1 +X 1 = (X 1)(X 2n+2 2X n+1 +1) = (X 1)(X n+1 1) 2. Donc, en utilisant la relation, X n+1 1 = (X 1)(1+X + +X n ), on trouve et puisque on en déduit 3) On constate que P n+1 (X) XP n (X) = (X 1) 3 (1+X + +X n ) 2, P n+1 (X) = (X 1) 3 Q n+1 (X) et P n (X) = (X 1) 3 Q n (X), Q n+1 (X) XQ n (X) = (1+X + +X n ) 2. P 1 (X) = X 3 3X 2 +3X 1 = (X 1) 3, donc Q 1 (X) = 1. En appliquant la relation obtenue dans la question 2) on obtient alors Q 2 (X) = XQ 1 (X)+(1+X) 2 = X 2 +3X +1, puis Q 3 (X) = XQ 2 (X)+(1+X +X 2 ) 2 = X 4 +3X 3 +6X 2 +3X +1, et enfin Q 4 (X) = XQ 3 (X)+(1+X +X 2 +X 3 ) 2 = X 6 +3X 5 +6X 4 +10X 3 +6X 2 +3X +1. On voit donc s introduire une suite de nombres a 0, a 1,... tels que, si 1 n 4, Q n (X) = a 0 +a 1 X + +a n 2 X n 2 +a n 1 X n 1 +a n 2 X n + +a 1 X 2n 3 +a 0 X 2n 2. 4) Dans le développement du produit (1+X + +X n )(1+X + +X n ), le coefficient de X k est le nombre de façons d écrire X k sous la forme X p X k p, avec 0 p n et 0 k p n, c est-à-dire 0 p n et k n p k. Il y a deux cas possibles. Si 0 k n, alors 0 p k, et l on a k +1 décompositions possibles.

32 28 CHAPITRE 3. RACINES MULTIPLES Si n k 2n, alors k n p n, et l on a 2n k+1 décompositions possibles. On a donc bien (1+X + +X n ) 2 = 1+2X + +nx n 1 +(n+1)x n +nx n X 2n 1 +X 2n. 5) La propriété est vraie à l ordre 1, puisque Q 0 (X) = a 0 = 1. Supposons la propriété vraie à l ordre n. Alors Q n+1 (X) = XQ n (X)+(1+X + +X n ) 2 = X(a 0 +a 1 X + +a n 1 X n 1 +a n 2 X n + +a 1 X 2n 3 +a 0 x 2n 2 ) +(1+2X + +(n+1)x n +nx n X 2n 1 +X 2n ) = 1+(a 0 +2)X + +(a n 1 +n+1)x n +(a n 2 +n)x n+1 + +(a 0 +2)X 2n 1 +X 2n. Mais, si k 1, on a a k 1 +k +1 = (1+ +k)+(k +1) = a k, d où Q n+1 (X) = a 0 +a 1 X + +a n X n +a n 1 X n+1 + +a 1 X 2n 1 +a 0 X 2n. La propriété est vraie à l ordre n+1, donc pour tout entier n 1. Exercice 27 Si n 2, trouver l ordre de multiplicité des racines 1 et 1 dans le polynôme P(X) = X 2n nx n+1 +nx n ) Tout d abord, on constate que P(1) est nul. On calcule ensuite les valeurs des dérivées successives en 1. On trouve puis et P (X) = 2nX 2n 1 n(n+1)x n +n(n 1)X n 2 et P (1) = 0 P (X) = 2n(2n 1)X 2n 2 n 2 (n+1)x n 1 +n(n 1)(n 2)X n 3 et P (1) = 0, P (X) = 2n(2n 1)(2n 2)X 2n 3 n 2 (n+1)(n 1)X n 2 +n(n 1)(n 2)(n 3)X n 4, P (1) = 2n(2n 1)(2n 2) n 2 (n+1)(n 1)+n(n 1)(n 2)(n 3) = 2n(n 1)(n+1).

33 29 Donc, si n 2, on a P(1) = P (1) = P (1) = 0 et P (1) 0, ce qui montre que 1 est racine triple de P. Remarque : si n = 1 le polynôme P est le polynôme nul. 2) On constate tout d abord que P( 1) = 1 n( 1) n+1 +n( 1) n 1 1 = 0. D autre part, si n est impair, le polynôme P est pair, et donc 1 a même ordre de multiplicité que 1. Lorsque n est pair, on a par contre P ( 1) = 2n n(n+1)+n(n 1) = 4n qui est non nul, donc 1 est racine simple de P. Exercice 28 Trouver l ordre de multiplicité de a dans le polynôme P(X) = X 5 6aX 4 +2(6a 2 +1)X 3 2a(5a 2 +3)X 2 +3a 2 (a 2 +2)X 2a 3, en déduire la factorisation de P sur C. On constate tout d abord que P(a) est nul. On calcule les valeurs en a des dérivées successives. On trouve P (X) = 5X 4 24aX 3 +6(6a 2 +1)X 2 4a(5a 2 +3)X +3a 2 (a 2 +2) et P (a) = 0 P (X) = 20X 3 72aX 2 +12(6a 2 +1)X 4a(5a 2 +3) et P (a) = 0 P (X) = 60X 2 144aX +12(6a 2 +1) et P (a) = 12a Donc si a 2 1, le nombre P (a) n est pas nul et a est racine d ordre 3 de P. Le polynôme P s écrit alors P(X) = (X a) 3 (X 2 +bx +c) = (X 3 3aX 2 +3a 2 X a 3 )(X 2 +bx +c). Les coefficients de X 4 et X 3 dans ce produit valent b 3a = 6a et 3a 2 3ab+c = 12a 2 +2, d où l on tire b = 3a et c = 2,

34 30 CHAPITRE 3. RACINES MULTIPLES donc P(X) = (X a) 3 (X 2 3aX +2). Il reste à factoriser le trinôme. Si le discriminant = 9a 2 8 est strictement positif, on obtient ( )( ) P(X) = (X a) 3 X 3a+ 9a 2 8 X 3a 9a 2 8, 2 2 s il est strictement négatif ( )( ) P(X) = (X a) 3 X 3a+i 8 9a 2 X 3a i 8 9a 2, 2 2 et s il est nul ( P(X) = (X a) 3 X 3a ) 2. 2 Dans ce dernier cas, il y a alors deux possibilités, Pour finir, si a 2 = 1, on a encore si a = 2 2/3 on a P(X) = (X 2 2/3) 3 (X 2), si a = 2 2/3 on a P(X) = (X +2 2/3) 3 (X + 2). et dans ce cas a est racine d ordre 4 de P, donc P (4) (X) = 120X 144a et P (4) (a) = 24a, P(X) = (X a) 4 (X b). Le terme constant vaut d où Alors, a 4 b = 2a 3, b = 2 a = 2a. si a = 1 on a P(X) = (X 1) 4 (X 2), si a = 1 on a P(X) = (X +1) 4 (X +2). Exercice 29 Si n 1, montrer qu il existe un polynôme P n et un seul de la forme P n (X) = a n X n+1 +b n X n +1, admettant 1 comme racine double. Calculer P n P n 1, puis trouver le quotient de la division euclidienne de P n (X) par (X 1) 2.

35 31 On a P n (X) = (n+1)a nx n +nb n X n 1. Les nombres P n (1) et P n (1) doivent être nuls, ce qui conduit au système { an +b n +1 = 0, (n+1)a n +nb n = 0 qui a comme unique solution On trouve a n = n et b n = (n+1). P n (X) = nx n+1 (n+1)x n +1. Alors P n(x) = (n+1)n 2 X n 1 n(n 1)(n+1)X n 2, et P n(1) = n 2 +n n est pas nul, donc 1 est racine double de P n. On obtient alors avec Alors P n (X) P n 1 (X) = nx n+1 (n+1)x n ( (n 1)X n nx n 1) = nx n 1 (X 1) 2, P n (X) = P 1 (X) = (X 1) 2. n n (P k (X) P k 1 (X))+P 1 (X) = (X 1) 2 kx k 1. k=2 k=1 Exercice 30 Pour tout entier k strictement positf, on pose P k (X) = kx k (X k 1 + +X +1). 1) Montrer que, pour tout nombre complexe z, si z > 1, alors z k 1 + +z +1 < k z k ; si z = 1 et z 1, alors z +1 < 2. 2) En déduire que les racines de P k autres que 1 sont de module strictement plus petit que 1. 3) Montrer que le polynôme Q k (X) = (X 1)P k (X) admet une seule racine double. En déduire que P k n a que des racines simples.

36 32 CHAPITRE 3. RACINES MULTIPLES 1) Si z > 1, alors, pour tout entier p tel que 0 p k 1, on a z p < z k et donc z k 1 + +z +1 z k z +1 < k z k. Si z = 1 et z 1, on a z = e iθ avec θ 2kπ, donc z +1 = e iθ +1 = e iθ/2 (e iθ/2 +e iθ/2 ) = 2cos θ 2 eiθ/2, puis z +1 = 2 cos θ 2. Mais, puisque θ 2kπ, le nombre cos(θ/2) est différent de 1 et z +1 < 2. 2) Soit z une racine de P k. On a donc z k 1 + +z +1 = kz k. Si z > 1, d après 1), z k 1 + +z +1 < k z k, d où une contradiction. Il en résulte que z 1. Maintenant supposons z = 1 et z 1. Si k = 2p, on a kz k = (1+z)+(z 2 +z 3 )+ +(z 2p 2 +z 2p 1) ) = (1+z)(1+z 2 + +z 2p 2 ). Alors k = k z k = 1+z 1+z 2 + +z 2p 2 1+z (1+ z z 2p 2 ) < 2p = k, d où une contradiction. De même, si k = 2p+1, kz k = (1+z)+(z 2 +z 3 )+ +(z 2p 2 +z 2p 1) )+z 2p = (1+z)(1+z 2 + +z 2p 2 )+z 2p. Alors k = k z k 1+z (1+ z z 2p 2 )+ z 2p < 2p+1 = k, d où une contradiction. Finalement, ou bien z = 1, ou bien z < 1. Remarquons que 1 est bien racine de P k. 3) En développant Q k (X) = (X 1)kX k (X 1)(X k 1 + +X+1) = k(x 1)X k (X k 1) = kx k+1 (k+1)x k +1.

37 33 Donc et Q k Q k (X) = k(k +1)Xk k(k +1)X k 1 = k(k +1)X k 1 (X 1), admet comme seules racines 0 et 1. Comme 1 est racine de P k, les racines de Q k sont alors les mêmes que celles de P k. En particulier 0 n étant pas racine de P k n est pas non plus racine de Q k. Si z est racine double de Q k, alors elle est racine de Q k donc vaut 0 ou 1. La valeur 0 étant exclue, on en déduit que 1 est racine de Q k et racine simple de Q k donc racine double de Q k et que toutes les autres racines de Q k sont simples. Alors 1 est racine simple de P k et toutes les autres racines de P k sont simples également. Exercice 31 Soit P un polynôme de degré 2n+1 vérifiant la relation P(X) = X 2n+1 P(1/X). Montrer 1) que 0 n est pas racine de P, 2) que 1 est racine de P et que si elle est multiple elle est racine triple au moins, 3) que si 1 est racine de P c est une racine double au moins, 4) que si α est racine de P alors 1/α est racine de P au même ordre. 1) Si l on pose avec a 2n+1 non nul, alors P(X) = 2n+1 a k X k, X 2n+1 P(1/X) = 2n+1 a k X 2n+1 k = et donc, pour tout k tel que 0 k 2n+1, on a l égalité a 2n+1 k = a k. 2n+1 En particulier a 2n+1 = a 0 est non nul, donc 0 n est pas racine de P. a 2n+1 k X k, On peut alors écrire n P(X) = a k (X k +X 2n+1 k ).

38 34 CHAPITRE 3. RACINES MULTIPLES 2) On obtient P( 1) = donc 1 est racine de P. n ( a k ( 1) k +( 1) 2n+1 k) n ( = a k ( 1) k ( 1) k) = 0, En dérivant puis n P (X) = (2n+1)a 0 X 2n ( + a k kx k 1 +(2n+1 k)x 2n k), k=1 P (X) = (2n+1)(2n)a 0 X 2n 1 +(2n)(2n 1)a 1 X 2n 2 + On a donc k=1 n ( a k k(k 1)X k 2 +(2n+1 k)(2n k)x 2n k 1), n P ( ( 1) = (2n+1)a 0 + a k k( 1) k 1 +(2n+1 k)( 1) 2n k) n = (2n+1)a 0 + a k ( 1) k ( k+(2n+1 k)), d où De même d où P ( 1) = k=2 n ( 1) k (2n 2k +1)a k. P ( 1) = (2n+1)(2n)a 0 +(2n)(2n 1)a 1 + P ( 1) = 2n k=1 n ( 1) k a k (k(k 1) (2n+1 k)(2n k)), k=2 n ( 1) k (2n 2k +1)a k = 2nP ( 1). Donc, si P ( 1) est nul, il en est de même de P ( 1) et le nombre 1 est au moins racine triple de P. 3) D autre part P(1) = 2 n a k et P (1) = (2n+1) n a k = 2n+1 2 P(1). Alors, si P(1) est nul, il en est de même de P (1) et le nombre 1 est au moins racine double de P. 4) Si l on factorise P dans C s P(X) = (X α k ) r k, k=1

39 35 alors P(X) = X 2n+1 P(1/X) = ( s s (1 α k X) r k = k=1 Donc si α k est racine de P d ordre r k, alors 1/α k l est aussi. k=1 α r k k ) s k=1 ( ) 1 rk X. α k Exercice 32 Soit a et b deux nombres réels. On considère le polynôme P(X) = X 5 +ax 4 +bx 3 +bx 2 +ax +1. Etudier à quelle condition le polynôme P admet au moins une racine multiple, dont on précisera l ordre de multiplicité. On pourra commencer par étudier les cas où cette racine vaut 1 ou 1. Calculons tout d abord les premières dérivées de P. P (X) = 5X 4 +4aX 3 +3bX 2 +2bX+a, P (X) = 20X 3 +12aX 2 +6bX+2b, P (X) = 60X 2 +24aX+6b. (1) α = 1 racine multiple de P. On a dans ce cas puis P( 1) = 0, P ( 1) = 5 3a+b, P ( 1) = 20+12a 4b = 4(5 3a+b), P ( 1) = 60 24a+6b = 6(10 4a+b). donc 1 est toujours racine de P et sera racine multiple lorsque 5 3a+b est nul. Dans ce cas elle est au moins racine triple. Lorsque P ( 1) est nulle on a alors le système { 3a b = 5 4a b = 10, qui a comme solution a = 5 et b = 10. Dans ce cas et 1 est racine de multiplicité 5. (2) α = 1 racine multiple de P. On a cette fois P(X) = X 5 +5X 4 +10X 3 +10X 2 +5X +1 = (X +1) 5, P(1) = 2(1+a+b), P (1) = 5(1+a+b), P (1) = 4(5+3a+2b), P (1) = 6(10+4a+b).

40 36 CHAPITRE 3. RACINES MULTIPLES Donc 1 est racine multiple si et seulement si 1+a+b est nul, et dans ce cas c est une racine double au moins. Elle sera de multiplicité supérieure si a et b sont solutions du système { a+b = 1 3a+2b = 5, c est-à-dire a = 3 et b = 2. Dans ce cas P (1) est nulle également. Donc 1 est racine de multiplicité quatre. Alors, puisque 1 est toujours racine, on a P(X) = (X +1)(X 1) 4. Remarque : lorsque l on a à la fois 3a b = 5 et a+b = 1, c est-à-dire lorsque (a,b) = (1, 2), alors P(X) = (X +1) 3 (X 1) 2. (3) Si α est une racine double de P différente de 1 et 1, alors 1/α l est aussi (voir exercice précédent) et, puisque 1 est toujours racine, on a nécessairement où En développant P(X) = (X α) 2 (X 1/α) 2 (X +1) = (X 2 λx +1) 2 (X +1), λ = α+ 1 α. P(X) = (X 4 2λX 3 +(λ 2 +2)X 2 2λX +1)(X +1) = X 5 +(1 2λ)X 4 +(λ 2 2λ+2)X 3 +(λ 2 2λ+2)X 2 +(1 2λ)X +1. On a donc { a = 1 2λ b = λ 2 2λ+2. On en tire λ = 1 a, 2 puis ( ) 1 a 2 b = (1 a)+2 = a2 +2a On obtient donc une racine multiple α si et seulement si et α est solution de l équation c est-à-dire 4b = a 2 +2a+5, α 2 λα+1 = 0, α 2 1 a 2 dont le discriminant vaut ( ) 1 a 2 ( 1 a = 4 = 2 2 α+1 = 0, )( ) 1 a 2 +2 = (a+3)(a 5). 2 4 On obtient deux racines doubles inverses l une de l autre, sauf lorsque est nul. Dans ce cas, l on retrouve comme cas particuliers les couples (a, b) = (5, 10) et (a, b) = ( 3, 2) obtenus dans (1) et (2).

41 Chapitre 4 Factorisation Exercice 33 Trouver une racine simple puis factoriser sur C le polynôme P(X) = X 3 +X 10. Le nombre 2 est racine de P. Alors P(X) = (X 2)(X 2 +2X +5), puis P(X) = (X 2)(X +1+2i)(X +1 2i). Exercice 34 Trouver des racines simples puis factoriser sur C le polynôme P(X) = X 4 +6X 3 4X 2 6X +3. Le nombre 1 est racine de P. Alors P(X) = (X 1)(X 3 +7X 2 +3X 3). Mais on constate que 1 est également racine donc P(X) = (X 1)(X +1)(X 2 +6X 3), et pour finir P(X) = (X 1)(X +1)(X )(X ).

42 38 CHAPITRE 4. FACTORISATION Exercice 35 Factoriser sur C le polynôme P(X) = X 4 +11X 3 4X 2 +11X 5. On écrit Par ailleurs et donc Finalement P(X) = X 4 4X X(X 2 +1). U 2 4U 5 = (U +1)(U 5), P(X) = (X 2 +1)(X 2 5)+11X(X 2 +1) = (X 2 +1)(X 2 +11X 5). P(X) = (X +i)(x i) ( X )( X ). Exercice 36 Vérifier que i est racine du polynôme P(X) = X 4 5X 3 +7X 2 5X +6, et factoriser P sur C. On a P(i) = i 4 5i 3 +7i 2 5i+6 = 1+5i 7 5i+6 = 0. Donc i est racine de P(X). Comme le polynôme P est à coefficients réels, si i est racine, le nombre conjugué i l est aussi. Donc P(X) est divisible par (X i)(x +i) = X On peut effectuer la division euclidienne. On peut également remarquer que ce qui donne X 4 +7X 2 +6 = (X 2 +1)(X 2 +6) et 5X 3 5X = 5X(X 2 +1), P(X) = (X 2 +1)(X 2 5X +6) = (X +i)(x i)(x 2)(X 3).

43 39 Exercice 37 Factoriser sur R le polynôme P(X) = X 6 +X 5 +X 4 +X 3 +X 2 +X +1. Remarquons que (X 1)P(X) = X 7 1. Le nombre 1 n est pas racine de P, donc les racines de P sont les racines 7 ièmes de l unité autres que 1, c est-à-dire e 2ikπ/7 pour k variant de 1 à 6. On peut donc factoriser sur C. P(X) = (X e 2iπ/7 )(X e 4iπ/7 )(X e 6iπ/7 )(X e 8iπ/7 )(X e 10iπ/7 )(X e 12iπ/7 ). Mais en regroupant les facteurs contenant les racines conjuguées, on a (X e 2iπ/7 )(X e 12iπ/7 ) = X 2 2X cos 2π 7 +1, (X e 4iπ/7 )(X e 10iπ/7 ) = X 2 2X cos 4π 7 +1, (X e 6iπ/7 )(X e 8iπ/7 ) = X 2 2X cos 6π 7 +1, d où la factorisation sur R, P(X) = (X 2 2X cos 2π7 )(X X cos 4π7 )(X X cos 6π7 ) +1. Exercice 38 Factoriser sur C et R le polynôme P(X) = X 10 +X Cherchons les racines du polynôme P(X) = X 10 +X L équation z 10 +z 5 +1 = 0 est équivalente au système { u 2 +u+1 = 0 u = z 5.

44 40 CHAPITRE 4. FACTORISATION On a donc u = j ou u = j, et l on recherche les solutions de l équation z 5 = j = e 2iπ/3. Si z = ρe iθ, on est ramené au système { ρ 5 = 1 5θ = 2π 3 +2kπ, d où ρ = 1 et θ = 2π kπ 5. Les 5 solutions sont obtenues en faisant varier k de 0 à 4. On a donc z 1 = e 2iπ/15 z 2 = e 8iπ/15 = e 7iπ/15 z 3 = e 14iπ/15 = e iπ/15 z 4 = e 20iπ/15 = e 4iπ/3 = j 2 z 5 = e 26iπ/15 = e 4iπ/15. Les solutions de l équation z 5 = j = e 2iπ/3, sont alors les conjuguées des précédentes, ce qui donne la factorisation sur C, X 10 +X 5 +1 = (X e 2iπ/15 )(X e 2iπ/15 )(X +e 7iπ/15 )(X +e 7iπ/15 ) (X +e iπ/15 )(X +e iπ/15 )(X e 4iπ/15 )(X e 4iπ/15 )(X j)(x j 2 ). En regroupant les racines conjuguées, on obtient la factorisation sur R, ( X 10 +X 5 +1 = X 2 2X cos 2π )( X 2 +2X cos 7π ) ( X 2 +2X cos π ) ( X 2 2X cos 4π ) (X 2 +X +1). Exercice 39 Déterminer les nombres a et b pour que P(X) = X 4 +2aX 3 +bx 2 +2X +1 soit le carré d un polynôme.

45 41 Partons de P(X) = (X 2 +cx +d) 2 = X 4 +2cX 3 +(c 2 +2d)X 2 +2cdX +d 2. On obtient donc le système Cela donne deux solutions possibles d 2 = 1 cd = 1 c 2 +2d = b c = a. d = c = a = 1, b = 3 et a = b = c = d = 1, d où X 4 +2X 3 +3X 2 +2X +1 = (X 2 +X +1) 2 et X 4 2X 3 X 2 +2X +1 = (X 2 X 1) 2. Exercice 40 Factoriser sur R le polynôme P(X) = X 3 +3X 2 +4X +4 sachant qu il peut se mettre sous la forme P(X) = λ [ (X 2 +mx +n) 2 X 4]. Partons de P(X) = λ [ (X 2 +mx +n) 2 X 4] = λ ( 2mX 3 +(m 2 +2n)X 2 +2mnX +n 2). On obtient donc le système On a nécessairement 2λm = 1 λ(m 2 +2n) = 3 2λmn = 4 λn 2 = 4 λ = 1 2m,.

46 42 CHAPITRE 4. FACTORISATION donc m 2 +2n = 6m n = 4 n 2 = 8m, et finalement m = 2 et n = 4. D où P(X) = 1 4 [ (X 2 +2X +4) 2 X 4] = (X +2)(X 2 +X +2). Exercice 41 Montrer que le polynôme P(X) = X(X +a)(x +2a)(X +3a)+a 4 est le carré d un polynôme. En déduire la factorisation sur R de P(X) = X(X +1)(X +2)(X +3) 8. Supposons a 0, et partons de On doit avoir P(X) = (X 2 +bx +c) 2. X(X +a)(x +2a)(X +3a) = (X 2 +bx +c) 2 a 4 = (X 2 +bx +c a 2 )(X 2 +bx +c+a 2 ). En particulier, pour le coefficient de X 3, on obtient 6a = 2b, donc b = 3a. D autre part, comme 0 est racine du membre de droite, on doit avoir c+a 2 = 0 ou c a 2 = 0. Le premier cas donnerait (X +a)(x +2a)(X +3a) = (X 2 +bx 2a 2 )(X +b). Le terme constant vaut 6a 3 dans le membre de gauche et 2a 2 b dans celui de droite, donc b = 3a, ce qui n est pas possible. Par contre dans le second cas on a bien (X +a)(x +2a)(X +3a) = (X 2 +3aX +2a 2 )(X +3a), et X(X +a)(x +2a)(X +3a) = (X 2 +3aX +a 2 ) 2 a 4.

47 43 Alors, si a = 1, X(X +1)(X +2)(X +3) = (X 2 +3X +1) 2 1, d où X(X +1)(X +2)(X +3) 8 = (X 2 +3X +1) 2 9 = (X 2 +3X 2)(X 2 +3X +4), et la factorisation sur R, P(X) = ( X )( X ) (X 2 +3X +4). Exercice 42 Factoriser sur C et R le polynôme P(X) = 3X 4 +8X 3 +14X 2 +8X +3. On remarque que pour un tel polynôme, en raison de la symétrie des coefficients, on a P(X) = X 4 P(1/X), et donc que, si α est racine de P, alors 1/α l est aussi. On écrit ( P(X) = X [3 2 X ) ( X 2 +8 X + 1 ) ] +14. X On pose alors Y = X +1/X. On obtient Y 2 = X X 2 +2, d où P(X) = X 2[ 3(Y 2 2)+8Y +14 ] = X 2 (3Y 2 +8Y +8) = X 2 Q(Y). Le polynôme Q a des racines complexes conjugées. Partons de la racine β = 4+2i 2 3. L égalité Y = β équivaut à X 2 βx +1 = 0. On résout cette équation du second degré en cherchant une racine carrée δ du discriminant = β 2 4,

48 44 CHAPITRE 4. FACTORISATION On a On doit donc avoir = 4 7+4i 2 9 avec de plus, en calculant le module, On en tire Comme a et b ont le même signe, on peut prendre On obtient les deux solutions = δ 2 = 4 9 (a+ib)2 = 4 9 (a2 b 2 +2abi). a 2 b 2 = 7 et 2ab = 4 2 > 0, a 2 +b 2 = 9. a 2 = 1 et b 2 = 8. δ = 2 3 (1+2i 2). α 1 = (1+i 2) et α 2 = 1+i 2 3 = 1 α 1. Les autres racines de P sont les conjuguées des précédentes, c est-à-dire α 3 = (1 i 2) et α 4 = 1 i 2 3 = 1 α 3. On a donc la factorisation sur C, P(X) = 3(X +1+i 2)(X +1 i 2) ( X + 1+i 2 3 )( X + 1 i 2 3 ), puis sur R, P(X) = (X 2 +2X +3)(3X 2 +2X +1). Exercice 43 Soit a un nombre réel. Factoriser sur R P(X) = X 5 +ax 4 (a+1)x 3 (a+1)x 2 +ax +1. On écrit P(X) = (X 5 +1)+aX(X 3 +1) (a+1)x 2 (X +1),

49 45 ce qui permet de mettre X +1 en facteur P(X) = (X +1)(X 4 X 3 +X 2 X +1)+aX(X +1)(X 2 X +1) (a+1)x 2 (X +1) = (X +1)(X 4 X 3 +X 2 X +1+aX 3 ax 2 +ax (a+1)x 2 ) = (X +1)(X 4 +(a 1)X 3 2aX 2 +(a 1)X +1) = (X +1)(X 4 X X 3 +1+a(X 3 2X 2 +X)). On continue en mettant X 1 en facteur P(X) = (X +1) ( (X 1)(X 3 1)+aX(X 1) 2) = (X +1)(X 1) 2 (X 2 +X +1+aX). On a donc P(X) = (X +1)(X 1) 2 (X 2 +(a+1)x +1). Le trinôme X 2 +(a+1)x +1 a pour discriminant = (a+1) 2 4 = (a+3)(a 1). Si > 0, c est-à-dire si a > 1 ou a < 3, le trinôme a deux racines réelles ( (a+1) ± )/2, d où la factorisation ( )( ) P(X) = (X +1)(X 1) 2 X + a+1+ (a+3)(a 1) X + a+1 (a+3)(a 1). 2 2 Si < 0, c est-à-dire si 3 < a < 1, la factorisation sur R est P(X) = (X +1)(X 1) 2 (X 2 +(a+1)x +1). Si a = 1, on a et, si a = 3, P(X) = (X +1) 3 (X 1) 2, P(X) = (X +1)(X 1) 4. Exercice 44 Factoriser sur R le polynôme X 2n 2X n cosα +1. Si l on pose P(X) = X 2 2X cosα+1

50 46 CHAPITRE 4. FACTORISATION on veut factoriser P(X n ). Le polynôme P(X) admet pour racines e iα et e iα, donc Les racines de X n e iα sont les nombres P(X n ) = (X n e iα )(X n e iα ). a k = e iα/n+2ikπ/n pour 0 k n 1. Les racines de X n e iα sont les conjuguées des précédentes. Comme on a donc (X e iα/n+2ikπ/n )(X e iα/n 2ikπ/n ) = X 2 2X cos α+2kπ n P(X n ) = n 1 ( X 2 2X cos α+2kπ ) +1. n +1, Cette décomposition sera la décomposition sur R si aucune racine e iα/n+2ikπ/n n est réelle. Dire que e iα/n+2ikπ/n est réelle équivaut à dire que l argument (α +2kπ)/n est un multiple entier du nombre π. Mais l égalité α+2kπ = pπ, n équivaut à α = (np 2k)π. Il en résulte que α doit être un multiple entier de π, et même un multiple entier de 2π si n est pair. Il y a donc quatre cas possibles. (1) n = 2s est pair et α = 0 modulo 2π. On a P(X n ) = X 2n 2X n +1 = (X n 1) 2 = (X 2s 1) 2. Les racines 2s ième de l unité sont e kiπ/s pour k compris entre 0 et 2s 1. En particulier k = 0 donne la racine 1, et k = s, la racine 1. De plus, si 1 k s 1, les racines e kiπ/s et e (2s k)iπ/s sont conjuguées. On obtient la factorisation s 1 P(X n ) = (X 1) 2 (X +1) 2 (2) n = 2s+1 est impair et α = 0 modulo 2π. On a k=1 ( X 2 2X cos kπ s +1 ) 2. P(X n ) = X 2n 2X n +1 = (X n 1) 2 = (X 2s+1 1) 2. Les racines 2s+1 ième de l unité sont e 2kiπ/(2s+1) pour k compris entre 0 et 2s. En particulier k = 0 donne la racine 1. De plus, si 1 k s, les racines e 2kiπ/(2s+1) et e (2s+1 k)2iπ/(2s+1) sont conjuguées. On obtient la factorisation P(X n ) = (X 1) 2 s k=1 ( X 2 2X cos ) 2kπ 2 2s+1 +1.

51 47 (3) n = 2s+1 est impair et α = π modulo 2π. On a P(X n ) = X 2n +2X n +1 = (X n +1) 2 = (X 2s+1 +1) 2. En remarquant que P( X n ) est alors le polynôme du cas précédent, on en déduit la factorisation s ( ) P(X n ) = (X +1) 2 X 2 2kπ 2 +2X cos 2s (4) Dans les autres cas P(X n ) = n 1 k=1 ( X 2 2X cos α+2kπ ) +1. n Exercice 45 Pour tout nombre entier naturel non nul n, soit le polynôme P n (X) = 1 [( 1+ ix ) n ( 1 ix 2i n n Montrer que le polyôme P n est à coefficients réels et factoriser P n. ) n ]. Si l on pose on a P(X) = 1 2i U(X) = ( 1+ ix n ) n, ( U(X) U(X) ) = Im U(X), donc le polynôme P n (X) est à coefficients réels. Cherchons le terme de plus haut degré de P n (x). Si n = 2p+1 est impair, le coefficient de X n dans P(X) vaut [( ) 1 ix n ( ) ix n ] ( ) X n = ( 1) p = ( 1)p 2i n n n n n Xn, et le polynôme est de degré n. Si n = 2p est pair, le terme de degré n disparaît. Cherchons le terme de degré 2p 1. D après la formule du binôme, on obtient [ ( )( ) 1 n ix 2p 1 ( )( n ix ) ] 2p 1 ( ) X n 1 = n( 1) p 1 = ( 1)p 1 2i n 1 n n 1 n n n n 2 X n 1.

52 48 CHAPITRE 4. FACTORISATION Enfin on remarque que P n ( X) = P n (X). Le polynôme P n est donc impair, et si α est une racine de P, il en est de même de α. La relation P n (α) = 0, équivaut à puis à donc, en utilisant les racines n ièmes de l unité, où 0 k n 1. (n+iα) n = (n iα) n, ( ) n+iα n = 1, n iα n+iα n iα = e2ikπ/n, Alors, en résolvant cette équation, on en tire, si e 2ikπ/n 1, α = n i e 2ikπ/n 1 e 2ikπ/n +1. Puis, en multipliant au numérateur et au dénominateur par e ikπ/n, Mais α = n i e ikπ/n e ikπ/n = 2isin kπ n e ikπ/n e ikπ/n e ikπ/n +e ikπ/n. et e ikπ/n +e ikπ/n = 2cos kπ n, et l on obtient finalement α = ntan kπ n. Remarquons que k = 0 donne la racine nulle. Si n = 2p+1 est impair, le nombre e 2ikπ/n est toujours distinct de 1. On a donc n racines, et P n (X) = ( 1)p n n 2p On peut remarquer que, si p+1 k n 1, on a ( X ntan kπ ). n donc P n (X) = ( 1)p n n X ntan (2p+1 k)π n p k=1 = ntan kπ n, [( X ntan kπ )( X +ntan kπ )]. n n

53 49 Si n = 2p est pair, on a e 2ikπ/n = e ikπ/p = 1 si k = p. Donc on a n 1 racines, et P n (X) = ( 1)p 1 n n 2 X Là encore, si p+1 k n 1, on a p 1 k=1 ( X ntan kπ ) n 1 ( X ntan kπ ). n n k=p+1 ntan (2p k)π n = ntan kπ n, donc P n (X) = ( 1)p 1 n n 2 X p 1 k=1 On constate bien que P n est impair dans tous les cas. [( X ntan kπ )( X +ntan kπ )]. n n Exercice 46 Soit p et q des nombres réels. Donner une méthode pour décomposer en facteurs irréductibles dans R le polynôme P(X) = X 4 +px 3 +qx 2 px +1. Application : P(X) = X 4 +4X 3 +X 2 4X +1 puis P(X) = X 4 +X 3 +X 2 /2 X +1. On écrit Si l on pose alors et donc On pose [( P(X) = X 2 X ) ( X 2 +p X 1 ) ] +q. X Y = X 1 X, Y 2 = X X 2 2, P(X) = X 2 (Y 2 +py +q +2). R(Y) = Y 2 +py +q +2. (1) Si = p 2 4(q +2) 0, alors R possède deux racines réelles α et β et donc Y 2 +py +q +2 = (Y α)(y β) puis P(X) = (X 2 αx 1)(X 2 βx 1).

54 50 CHAPITRE 4. FACTORISATION Les deux trinômes ci-dessus ont des racines réelles de produit 1 : λ, 1/λ, µ et 1/µ, d où la factorisation P(X) = (X λ)(x +1/λ)(X µ)(x +1/µ). (2) Si = p 2 4(q +2) < 0, alors R possède deux racines complexes conjuguées α et ᾱ et donc puis Y 2 +py +q +2 = (Y α)(y ᾱ) P(X) = (X 2 αx 1)(X 2 ᾱx 1). Les deux trinômes ci-dessus ont des racines complexes de produit 1 : λ, 1/λ, λ et 1/ λ, d où la factorisation P(X) = (X λ)(x λ)(x +1/λ)(X +1/ λ). On en déduit la factorisation sur R Application (1) P(X) = X 4 +4X 3 +X 2 4X +1. On a ici p = 4 et q = 1, donc P(X) = (X 2 2Re(λ)X + λ 2 )(X 2 +2Re(1/λ)X +1/ λ 2 ). R(Y) = Y 2 +4Y +3, qui a pour racines α = 1 et β = 3. On en déduit λ et µ en cherchant une racine de X 2 +X 1 et une de X 2 +3X 1, d où ( )( )( )( ) P(X) = X X X X (2) P(X) = X 4 +X 3 +X 2 /2 X +1 On a ici p = 1 et q = 1/2, donc qui a pour racines α = 1+3i 2 R(Y) = Y 2 +Y +5/2, et ᾱ = 1 3i. 2 On cherche une racine de X 2 αx 1. Le discriminant de ce trinôme vaut ce qui donne d où la factorisation sur R, = α 2 +4 = 8 6i 4 λ = 1+i 2 et ( ) 3 i 2 =, 2 1 λ = 1 i, P(X) = (X 2 X +1/2)(X 2 +2X +2).

55 Chapitre 5 Divisibilité Exercice 47 Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme X 3 +px +q soit divisible par X 2 +mx 1. On effectue la division euclidienne : X 3 +px +q X 2 +mx 1 X 3 mx 2 +X X m mx 2 +(p+1)x +q +mx 2 +m 2 X m +(p+1+m 2 )X +(q m) On a donc X 3 +px +q = (X 2 +mx 1)(X m)+(p+1+m 2 )X +(q m), et le polynôme X 3 +px+q est divisible par X 2 +mx 1 si et seulement si le reste est nul, c est-à-dire { p+1+m 2 = 0 q m = 0, soit On a alors q = m et p = 1 m 2. X 3 (1+m 2 )X +m = (X 2 +mx 1)(X m).

56 52 CHAPITRE 5. DIVISIBILITÉ Exercice 48 Montrer que, quels que soient les nombres entiers a, b, c, le polynôme P(X) = X 3a +X 3b+1 +X 3c+2 est divisible par X 2 +X +1. Si X = j, on a j 3a +j 3b+1 +j 3c+2 = 1+j +j 2 = 0. Donc j est racine de P. Comme P est à coefficients réels, il en sera de même de j, et donc P est divisible par (X j)(x j) = X 2 +X +1. Exercice 49 1) Soit m et n deux entiers naturels non nuls. Montrer que le polynôme X m 1 divise le polynôme X nm 1. 2) Soit p et q deux entiers naturels non nuls. A quelle condition (sur p et q) le polynôme X p 1 divise-t-il le polynôme X q 1? 1) En utilisant la relation on obtient en remplaçant X par X m, et X m 1 divise X nm 1. (X n 1) = (X 1)(X n 1 + +X +1), (X nm 1) = (X m 1)(X m(n 1) + +X m +1), On peut aussi vérifier que les racines de X m 1 qui sont les racines simples e 2ikπ/m pour 0 k m 1, sont aussi racines de X nm 1 puisque (e 2ikπ/m ) mn = e 2iknπ = 1. 2) Le polynôme X p 1 divise X q 1 si et seulement si les racines de X p 1, qui sont toutes simples, sont aussi racines de X q 1. Or les racines de X p 1 sont e 2ikπ/p pour 0 k p 1. Une condition