Amélioration et développement des méthodes de détermination de la réactivité - Maîtrise des incertitudes

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1 Ujf Sciences École Doctorale de Mécanique et Energétique Amélioration et développement des méthodes de détermination de la réactivité - Maîtrise des incertitudes associées THÈSE présentée et soutenue publiquement le 15/10/2003 pour l obtention du Doctorat de l Université Joseph Fourier de Grenoble (spécialité Physique des réacteurs) par Grégory PERRET Composition du jury Président : Pr. J.M. LOISEAUX Université de Grenoble Rapporteurs : Dr. M. SALVATORES Cea Cadarache Pr. P. REUSS Professeur à l Instn Directeur de thèse : Dr. L. MARTIN-DEIDIER Cea Valrhô Responsable de thèse au Cea : Dr. J.P. HUDELOT Cea Cadarache Invité : S. MARGUET Edf Laboratoire d accueil: Cea/Den/Der/Spex/ Laboratoire de Programmes Expérimentaux

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3 Remerciements Cette thèse a été réalisée sous la direction de M. Martin-Deidier. Je tiens à le remercier pour le temps qu il a pu m accorder malgré ses nombreuses responsabilités au CEA et pour ses fructueux conseils qui ont permis d orienter la thèse. Je suis très reconnaissant à MM. Reuss, Salvatores, Loiseaux et Marguet d avoir accepté d être membres de mon jury témoignant ainsi de leur confiance et de leur intérêt. Je souhaite également remercier M. Biron qui a témoigné dès le début d un vif intérêt pour ce travail de thèse et a favorisé son cofinancement par EDF. Toute ma reconnaissance va à MM. Rippert et Bignan pour m avoir intégré dans l effectif du SPEx et épaulé dans les différentes épreuves qui se sont présentées. Je tiens à remercier M. Chauvin de m avoir accueilli au sein du Laboratoire des Programmes Expérimentaux et d avoir soutenu le projet de cette thèse dès son commencement, ainsi que M. Fougeras de m avoir encouragé et guidé tout au long de ce travail. Ma plus grande gratitude va à M. Hudelot qui a assuré l encadrement de mes travaux tout au long de cette thèse. Il a su, par ses conseils avisés, développer mon goût pour la recherche et m orienter vers les interlocuteurs les plus à mêmes de collaborer sur ce travail de thèse. Je tiens également à le remercier de son soutien inconditionnel aussi bien durant mon travail de thèse que durant mes démarches d insertion professionnelle. Je tiens également à témoigner ma plus grande reconnaissance à MM. Soule, Destouches et Mellier pour m avoir permis de participer au programme MUSE-4, de m avoir guidé dans ma démarche scientifique pour concevoir les expériences nécessaires à la thèse et pour leur soutien moral et matériel pour pouvoir les réaliser. Tout mes remerciements vont à M. Jammes qui m a intégré et encadré au sein du groupe de travail sur les méthodes de fluctuations neutroniques. Je souhaite remercier MM. Imel, Villamarín et Plaschy ainsi que Mlle. Rugama pour leur ouverture d esprit qui a permis de nombreux échanges scientifiques fructueux. Mes plus vifs remerciements vont a MM. Laurens et Chaussonnet qui ont été des acteurs majeurs de ce travail de thèse par leur investissement personnel et l entrain qu ils ont continuellement manifesté pour réaliser l ensemble des expériences. Je remercie MM. Blaise et Cathalau pour leur aide concernant l interprétation de résultats et leurs conseils sur le manuscrit de la thèse. Je suis également très reconnaissant à MM. Philibert, Girard, Mme. Laval et Mlle. Antony pour leur active contribution aux expériences sur les réacteurs EOLE et MINERVE ainsi que pour toutes les interrogations soulevées sur les logiciels développées au cours de ce travail de thèse. Je souhaite remercier M. Devictor pour m avoir accordé un peu de son temps afin de résoudre certains problèmes de statistique et pour son soutien dans la dernière ligne droite. i

4 J adresse les plus grands remerciements à tous les membres des équipes de conduite et de maintenance des réacteurs qui m ont supporté durant trois longues années. Une mention spéciale à l homme à la fourchette : M. Ledoux qui est aussi mon coach au football et mon mécanicien privé. Merci aussi à toute l équipe de football : Biboun qui ferait mieux de jouer davantage avec le SPEx qu une autre équipe que je ne mentionnerais même pas..., Phillipe et Christian qui sont toujours d un calme olympien, Fred qui malgré tout ce qu il pourra vous dire va toujours moins vite que moi, Gilles notre tour de contrôle, Denis notre arrière droit qui oublie parfois de se replier, Steph mon coach suppléant, Roche notre gardien de roc (faut pas l embêter), Bertrand notre deuxième poumon à tous, Claude et Alain nos remplaçants de luxe, Paolo le plus dynamique de tous et Alain le buteur en or que l on aurait dû intégrer dans l effectif. Je tiens également à remercier mon partenaire de billard Nico qui a su me détendre durant les répétitions de la thèse, Bruce et Boulette les anciens-néo-grenoblois, Brigitte pour m avoir prêté un ordinateur et pleins de logiciels, M. Mu pour m avoir trouvé un si joli surnom, ainsi que mes collègues du labo d à côté : Jacques, Panda, Claire, Marie-Claire, Nico et Laurent. Enfin le mot de la fin sera pour ma maman par procuration, ses complices Cathy et Mano, et... pour celle qui partage mon terrier. Lapinou ii

5 Résumé La réactivité est un paramètre de contrôle dans la physique des réacteurs qui peut être déterminé par de nombreuses techniques de mesures. Cette thèse s inscrit dans l effort actuel visant à développer et tester des méthodes de détermination de la réactivité pour les futurs systèmes hybrides (Accelerator Driven Systems). Les mesures sont basées sur le programme Muse-4 (MUltiplication de Source Externe) qui se déroule dans le réacteur maquette Masurca. Ce dernier est un réacteur rapide, refroidi au sodium et fortement réfléchi couplé avec l accélérateur de deuterons Genepi. La technique de chute de barre et de multiplication de source ( msa ou msm ) est utilisée comme référence pour comparer les réactivités dérivées des méthodes dynamiques (méthodes de source de neutron pulsée et d extraction rapide de source) et de fluctuations neutroniques (Rossi-α, Feynman-α et analyse d interspectre). Au niveau k eff 0.995, les méthodes de source pulsée et Rossi-α (avec la source externe de neutron pulsée) en utilisant des détecteurs U-235 situés dans le coeur sont les plus efficaces. La technique d extraction rapide d une source de Cf-252 permet d obtenir des résultats reproductibles dans les différentes régions du système. Dans des configurations plus sous-critiques (k eff 0.96), les modèles points ou multi-points sont insuffisants pour interpréter les expériences en terme de réactivité : des simulations Monte Carlo des expériences associés avec des calculs aux valeurs propres sont dans ce cas nécessaires. Mots-clés: Neutronique, Réactivité, Systèmes Hybrides, Mesures Statiques, Mesures Dynamiques, Bruit Neutronique, Incertitudes Abstract Reactivity is an important parameter in reactor physics that can be determined from many measurement techniques. This thesis describes current efforts to develop and test different measurement techniques to determine reactivity for future Accelerator Driven Systems. Measurements are based on the Muse-4 program in the Masurca reactor (a sodium cooled highly reflected fast critical facility) coupled with the Genepi deuteron accelerator. The rod drop (from the critical state) and source multiplication techniques are used as the references to compare reactivity yielded from dynamic - source jerk and pulsed neutron source (PNS) - and noise - Rossiand Feynman-α and cross power spectral density - techniques. At k eff 0.995, the most efficient methods are the PNS and Rossi-α (with the pulsed source) methods in the point kinetics model used with U-235 fission chambers located in the core, and the source jerk technique using a Cf- 252 source. In more sub-critical configurations (k eff 0.96) simple point or multi-points model are not sufficient to interpret measurements in terms of reactivity. Monte Carlo simulation of the subcritical measurements and k eff calculations are necessary. This method will be investigated in the future configurations of the Muse-4 program. Keywords: Neutronics, Reactivity, ADS, Static Measurements, Dynamic Measurements, Noise, Uncertainties iii

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7 Table des matières Introduction générale 1 Partie I Le concept de réactivité et son application à la mesure - Méthodes de détermination de la réactivité 5 Chapitre 1 Définition de la réactivité - Liens avec l expérience Présentation du problème Définition de la réactivité à partir d un problème statique Définition de la réactivité statique Définitions complémentaires Lien avec l expérience Définition de la réactivité à partir d un problème dynamique Définition de la réactivité dynamique Réactivités dynamiques usuelles Lien avec l expérience Relation entre réactivité statique et dynamique Bilan des définitions de la réactivité Chapitre 2 Revue des méthodes de détermination de la réactivité par suivie de grandeur moyenne Méthodes statiques Méthode de multiplication de source Méthode de compensation Méthode de la source asymétrique Méthode de variation de source v

8 Table des matières 2.2 Méthodes dynamiques Méthode de la période asymptotique Méthode de chute de barre Méthode de retrait de barre - Rod jerk Méthode de retrait de source - Source Jerk Méthode de Source pulsée - Pulsed Neutron Source Oscillation de source Chapitre 3 Revue des méthodes de fluctuations neutroniques permettant de déterminer la réactivité Technique Feynman-α Modèle ponctuel Limitations théoriques et expérimentales Amélioration des expériences et du modèle initial Technique Rossi-α Modèle réacteur point Limite d utilisation Améliorations du modèle Techniques de corrélations - Densité spectrale de puissance Modèle ponctuel Détermination de réactivité Techniques de corrélations avec Source Densités spectrales avec source non poissonnienne constante Densités spectrales avec source non poissonnienne pulsée Conclusions Partie II Schéma de référence de détermination de la réactivité 61 Chapitre 1 Réactivité Etalon Méthode de la période asymptotique et de la courbe en S La période asymptotique La réactivité associée La courbe en S Application de la méthode vi

9 1.2 Méthode de la chute de barre Résolution sans source Terme Source Incertitudes Comparaisons Chapitre 2 Détermination de niveaux sous-critiques 2.1 Détermination de poids de crayons absorbants dans le programme Mistral Méthode expérimentale Résultats expérimentaux Calculs Monte Carlo - Comparaisons Détermination des niveaux de réactivité du programme Muse Configurations étudiées Etats sous-critiques étudiés Facteurs msm Niveaux de réactivité Discussion - Perspectives Partie III Méthodes dynamiques - Détermination de réactivité 95 Chapitre 1 Méthode de Source de Neutron Pulsée Matériel expérimental L accélérateur Genepi Chaîne d acquisition - Système Niko Etat de faible antiréactivité : Configuration Sc0, 4b Expériences avec la réaction Deuteron-Tritium Expériences avec la réaction Deuteron-Deuterium Conclusions Etat de forte antiréactivité : Configuration Sc0, bc 1 ou bc Expériences avec la réaction Deuteron-Tritium Expériences avec la réaction Deuteron-Deuterium Conclusions vii

10 Table des matières Chapitre 2 Méthode d extraction de source ou Source Jerk 2.1 Conditions expérimentales Méthodologie d analyse Formulation théorique et hypothèses Incertitudes associées Résultats Analyse indépendante des expériences Analyse des expériences regroupées Discussion et perspectives Partie IV Méthodes de fluctuations neutroniques - Détermination de réactivité 145 Chapitre 1 Méthode de fluctuations neutroniques fréquentielles en mode courant Caractérisation du coeur - Mesures dans la configuration Ref Conditions expérimentales Présentation des résultats expérimentaux Première analyse - Théorie du bruit neutronique monocinétique à 1 région Seconde analyse - Théorie du bruit neutronique à 2 régions Conclusion Mesure dans la configuration Sc Conditions expérimentales Approche qualitative des résultats Modèle théorique Analyse des mesures avec cible de tritium Discussion et perspectives Chapitre 2 Méthode de fluctuations neutroniques - Analyses temporelles 2.1 Mesures dans la configuration Ref - Caractérisation du coeur Technique Feynman-α Technique Rossi-α Mesures dans la configuration Sc viii

11 2.2.1 Technique Feynman-α Technique Rossi-α Conclusion Partie V Comparaison des méthodes 207 Chapitre 1 Comparaison des temps de génération réduits Conditions expérimentales et limitations rencontrées Analyse des interspectres Méthode Feynman-α et Rossi-α Comparaisons Résultats Discussion - Perspectives Chapitre 2 Comparaison des constantes de décroissance promptes 2.1 Conditions expérimentales et limitations rencontrées Comparaisons Résultats Discussion et perspectives Chapitre 3 Comparaison des niveaux de réactivité 3.1 Conditions expérimentales et limitations rencontrées Comparaisons Analyse des résultats des états de faible antiréactivité Analyse des résultats de l état de forte antiréactivité Discussion et perspectives Conclusion générale 227 Bibliographie 235 Liste des tableaux 243 Liste des figures 247 ix

12 Table des matières Annexe A Equations de la cinétique des réacteurs A.1 Méthode de factorisation A.2 Méthode modale A.2.1 Définitions et propriétés A.2.2 Détermination des équations cinétiques modales A.3 Modèle réacteur point A.3.1 Equation cinétique A.3.2 Equation de Nordheim - Réponse à une perturbation de réactivité ou de source [43] Annexe B Réacteur Eole - Programme Mistral B.1 Caractéristiques principales du réacteur Eole B.2 Configurations utilisées lors du programme Mistral B.3 Matériel expérimental de mesure B.4 Données nucléaires de base Annexe C Réacteur Masurca - Programme Muse C.1 Caractéristiques principales du réacteur Masurca C.2 Caractéristiques principales de l accélérateur Genepi et de la source de neutrons externe C.3 Configuration utilisées lors du programme Muse C.4 Instrumentation C.5 Données calculées Annexe D Densité spectrale de puissance dans un modèle à 2 régions 279 D.1 Technique de Langevin - Source de bruit équivalente D.2 Modèle à 2 régions D.2.1 DSPI des courants de détection : G D.2.2 DSP des courants de détection G jj et fonction de cohérence γ Annexe E Incertitudes et test d hypothèse 289 x

13 Introduction générale Le concept de la réactivité est essentiel en physique des réacteurs. La réactivité résiduelle, le poids en réactivité des absorbants sont en effet des paramètres clefs de la sûreté des réacteurs. La maîtrise de la détermination du niveau de criticité a également des conséquences dans l exploitation des réacteurs : pour leurs chargements, les approches sous-critiques et dans l expérimentation. Dans l étude des systèmes hybrides (Accelerator Driven Systems), réacteurs sous-critiques (k 0.95 à 0.97) couplés avec un accélérateur de particules servant de source de neutrons, la détermination de l antiréactivité nécessite d utiliser des méthodes sans mesure dans l état critique se basant sur les moyens expérimentaux présents. L objectif de cette thèse, cofinancée par le Commissariat à l Energie Atomique et Electricité De France, est de recenser et comparer les différentes techniques de détermination de la réactivité. Ce travail de thèse s appuie les réacteurs maquettes de faible puissance Masurca et Eole utilisés par le Laboratoire des Programmes Expérimentaux (LPE) du CEA Cadarache. Les différentes techniques sont testées via le programme Muse-4 (MUltiplication de Source Externe) sur le réacteur Masurca. Les mesures réalisées dans ce travail de thèse portent sur des états de sous-criticité variant de l état critique à k La comparaison des niveaux de réactivité utilise une méthode de référence (partant d une référence critique), qualifiée sur les programmes Mistral-4 ( Eole ) et Muse-4, qui permet de dériver la réactivité dans tous les états testés. Les techniques de détermination de la réactivité sont traitées dans les approximations points et multi-points directement interprétables par la mesure. Un effort particulier est mené pour isoler les différentes sources d incertitudes et les propager dans chacune des méthodes. L application de ces méthodes aux réacteurs de puissance n est pas directement étudiée dans ce travail de thèse mais les limites et les recommandations d utilisation des différentes techniques constitue une première étape nécessaire à leurs adaptations à ce type de réacteurs. La première partie de la thèse est consacrée à la définition du concept de réactivité et au recensement des différentes méthodes de détermination de réactivité publiées dans la littérature. Cette liste n a rien d exhaustif mais traite des méthodes les plus courantes. Elles sont décomposées en méthodes statiques, dynamiques (chapitre 2) et de fluctuations neutroniques (chapitre 3). Toutes les méthodes sont présentées dans des modèles ponctuels ou modaux permettant 1

14 Introduction générale d interpréter la mesure avec un minimum de calculs. Une attention particulière est portée aux nouvelles techniques de fluctuations neutroniques dans les systèmes avec source pulsée de neutrons qui pourraient être employées dans les futurs systèmes hybrides. La seconde partie présente la méthode de référence de détermination de réactivité. Nous analysons à ce titre la méthode de chute de barre à partir de l état critique ou la méthode de la période asymptotique plus courbe en S associée à la technique de multiplication de source ( msa ) avec ou sans correction des effets spatiaux/spectraux ( msm ) pour les fortes antiréactivités. Des efforts particuliers ont été entrepris sur le traitement des incertitudes provenant des données nucléaires de base et de leur propagation dans les équations de la cinétique inverse. En particulier, l impact des corrélations entre les constantes de temps et les fractions de neutrons retardés est évalué sur l incertitude de la réactivité. Des facteurs correctifs de type msm ont également été calculés grâce au code Monte Carlo MCNP (Monte Carlo N-Particle). Cette méthode de référence a été testée dans les programmes Mistral-4 et Muse-4 afin de montrer sa robustesse aux changements de spectres neutroniques, de temps caractéristique des chaînes de fission et de source intrinsèque. La troisième partie présente les méthodes déterministes de source de neutrons pulsées ou PNS (chapitre 1), et d extraction de source ou source jerk (chapitre 2). Ces méthodes sont testées dans le cadre du modèle ponctuel. La méthode de PNS utilise la source de neutrons basée sur les réactions de fusion (D-D) et (D-T) à deux niveaux de sous-criticité (k et k 0.96). La méthode de source jerk utilise une source de 252 Cf et est testée dans l état de sous-criticité k La prise en compte des différents paramètres expérimentaux (le choix des bornes temporelles d ajustement des mesures de source pulsée, la cadence de la source pulsée, le jour de l expérience, l emplacement et type de détecteur) font partie du développement de la procédure de prise en compte des différentes sources d incertitudes. La répétabilité et la reproductibilité des mesures de source jerk sont également testées. La quatrième partie présente les mesures de fluctuations neutroniques : proches de l état critique et sans source de neutrons pulsée ayant servies à caractériser le réacteur Masurca au travers de son temps de génération réduit Λ = Λ/β et de sa fraction de neutrons retardés β dans une configuration faiblement sous-critique (k 0.994) sans et avec source de neutrons pulsée pour déterminer la constante de décroissance prompte α et en déduire la réactivité ρ. Les méthodes testées sont l analyse d interspectre ou DSPI en utilisant l acquisition en mode courant (chapitre 1) et les techniques Rossi-α et Feynman-α en mode impulsion (chapitre 2). Les 2

15 mesures avec source de neutrons pulsée ont permis de tester les nouveaux modèles théoriques développés dans la littérature. Enfin, la cinquième partie dresse le bilan des comparaisons des différentes méthodes ayant permis de caractériser le réacteur dans l état critique et de déterminer la réactivité dans des états variant de k à k Elle permet de dégager des recommandations d utilisation et des pistes d amélioration (techniques et théoriques) pour adapter les techniques les plus prometteuses aux futurs réacteurs hybrides et plus généralement à tout réacteur de puissance. 3

16 Introduction générale 4

17 Première partie Le concept de réactivité et son application à la mesure - Méthodes de détermination de la réactivité 5

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19 Le concept de réactivité est défini dans tous les domaines d étude de la physique des réacteurs. Les méthodes de mesures permettant de déduire la réactivité sont très variées. L objectif de cette partie est de : Donner les différentes définitions du concept de réactivité (chapitre 1) Recenser les méthodes de détermination de la réactivité et faire le lien avec la définition de la réactivité utilisée (chapitre 2 et 3) Parmi les méthodes de détermination de la réactivité on distingue celles basées sur les grandeurs neutroniques moyennes, i.e. les méthodes statiques et dynamiques (chapitre 2), et celles basées sur l approche stochastique de la neutronique, i.e. méthodes de fluctuations ou de bruit neutroniques (chapitre 3). Les différentes techniques de détermination de la réactivité sont présentées dans des approches directement utilisables à partir de l expérience c.-à-d. des modèles ponctuels (ou multipoints) et des approches modales. Une attention particulière est portée à l utilisation des sources de neutrons externes (pulsées ou continues) dans le cadre des méthodes de fluctuations neutroniques qui constitue un pôle récent de développements théoriques en raison de l étude des systèmes hybrides. 7

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21 1 Définition de la réactivité - Liens avec l expérience Sommaire 1.1 Présentation du problème Définition de la réactivité à partir d un problème statique Définition de la réactivité statique Définitions complémentaires Lien avec l expérience Définition de la réactivité à partir d un problème dynamique Définition de la réactivité dynamique Réactivités dynamiques usuelles Lien avec l expérience Relation entre réactivité statique et dynamique Bilan des définitions de la réactivité

22 Chapitre 1. Définition de la réactivité - Liens avec l expérience La réactivité est définie comme un paramètre de contrôle global utilisé dans la physique des réacteurs nucléaires pour établir un bilan entre la production et la disparition moyenne des neutrons du système étudié à un instant donné. Expérimentalement, la réactivité se détermine par l intermédiaire de l observation de paramètre tel que l évolution temporelle de la réponse d un détecteur et donc de la population neutronique. Dans ce chapitre, en partant d un problème général de cinétique de réacteur, nous faisons un bilan des différentes définitions de la réactivité utilisées couramment. Le lien entre la réactivité et le paramètre observable au cours de l expérience est mis en évidence. 1.1 Présentation du problème La réactivité est un paramètre macroscopique basée sur l évolution moyenne de la population neutronique. Dans le problème le plus général, la réactivité peut dépendre du temps e.g. lors d un mouvement de barre, d une oscillation de combustible,.... La réactivité doit être définie mathématiquement à partir des équations de la cinétique des réacteurs avec neutrons retardés et source intrinsèque [9]. 1 φ(x, t) = (χ p (E)(1 β)f M)φ(x, t) + v t j λ j χ j (E)c j (r, t) + Q(x, t) (1.1) c j (r, t) t = λ j c j (r, t) + β j Fφ(x, t) (1.2) Où : (1 β)f et β j F sont respectivement les opérateurs de production de neutrons prompts et retardés de la famille j M est l opérateur de migration ou de disparition c j (r, t) est la concentration des précurseurs de la famille j λ j et χ j (E) sont la constante de temps et le spectre d émission des neutrons retardés de la famille j χ p (E) est le spectre d émission des neutrons prompts issus de fissions Q(x, t) est la source externe/intrinsèque du coeur La variable x = (r, Ω, E) désigne les dépendances spatiales, directionnelles et énergétiques et la densité de flux φ(x, t) est reliée classiquement à la densité neutronique par φ(x, t) = n(x, t)v. Le taux de comptage est relié à la densité de flux neutronique par C(t) = Σ d (x, t), φ(x, t) où, désigne le produit scalaire sur l espace des x et Σ d (x, t) est la section efficace de l ensemble des détecteurs à l instant t. La réactivité est définie comme le rapport de la production nette sur la production brute de neutrons, mais son expression exacte va dépendre de la résolution des Eqs. (1.1) et (1.2) adoptée et des hypothèses simplificatrices faites. Nous allons considérer avant tout le cas le plus classique de définition de réactivité basée sur une représentation statique et homogène du problème à traiter puis nous reviendrons à la formulation de la réactivité à partir du problème dynamique plus général. 10

23 1.2. Définition de la réactivité à partir d un problème statique 1.2 Définition de la réactivité à partir d un problème statique Définition de la réactivité statique Les équations statiques homogènes dérivées à partir des Eqs. (1.1) et (1.2) donnent simplement la relation traduisant la stationnarité du problème homogène critique. (F s M)φ(x) = L s φ(x) = 0 (1.3) où F s = χ p (1 β)f + j χ jβ j F est l opérateur de production statique et L s est l opérateur Lagrangien statique. Le problème à traiter, représenté par les opérateurs F s et M, peut ne pas être stationnaire ou être inhomogène. On altère alors l opérateur de production de façon à garder un état stationnaire homogène tel que : (λf s M)φ λ (x) = 0 (1.4) Cette relation n est pas unique et l on définit les ensembles de valeurs propres {λ q } et des fonctions propres {φ λq } vérifiant l Eq. (1.4). A chaque valeur propre λ q on associe une grandeur ρ sq = 1 λ q. La réactivité statique est la plus grande valeur propre de l ensemble {ρ sq } i.e. ρ s = ρ s0 = 1 λ 0. Elle mesure l écart du système à la criticité et s écrit : ρ s F s φ λ0 (x) = (F s M)φ λ0 (x) (1.5) L utilisation d une fonction poids indépendante du temps ω(x) qui appartient à l ensemble des distributions de détecteurs {ψ + } qui vérifient les conditions aux limites adjointes [59] de celles vérifiées par φ λ0 permet d écrire la réactivité sous la forme : ρ s = ω(x), (F s M)φ λ0 (x) ω(x), F s φ λ0 (x) (1.6) Ceci a l avantage de rendre les équations scalaires. Parmi les fonctions poids couramment utilisées on trouve : le flux adjoint du problème statique traité φ + λ 0 vérifiant ρ s F sφ + λ 0 (x) = (F s M )φ + λ 0 (x) le flux adjoint d un problème critique représentatif φ + ref vérifiant (F ref M ref )φ+ ref (x) = 0 où X désigne l opérateur adjoint de X et X ref désigne l opérateur dans l état critique. Ces fonctions adjointes sont aussi difficiles à calculer que le flux direct φ λ0 (x) mais permettent, d après le principe de variation [59] de diminuer l erreur sur ρ s due à une erreur sur φ λ0 (x) et φ + λ 0 (x). Dans le cas idéal i.e. sans erreur sur le flux direct, le choix de ω(x) ne change pas la valeur de la réactivité ρ s Définitions complémentaires Dans le cas où w = φ + ref on peut aussi noter la réactivité : 11

24 Chapitre 1. Définition de la réactivité - Liens avec l expérience ρ s = φ+ ref, (δf s δm)φ λ φ + ref, F sφ λ (1.7) δf = F s F ref δm = M M ref (1.8) Il arrive également de vouloir définir la différence de réactivité entre 2 états non critiques caractérisés par les valeurs propres λ n 1 et λ n. On utilise alors généralement l approche perturbative qui permet d écrire [79] : δρ = φ+ λ n 1, (λ n 1 F n s M n )φ λ n φ + λ n 1, F n s φ λ n (1.9) Enfin, une autre définition de la réactivité statique peut être obtenue en utilisant les problèmes homogène adjoint et inhomogène direct (avec une source Q) définis par :. (λf + s M + )φ + λ = 0. (F s M)φ + Q = 0 En multipliant scalairement par φ et φ + λ, on obtient : ρ s = φ+ λ, Q φ + λ, F sφ = φ+ λ, (F s M)φ φ + λ, F sφ (1.10) Cette définition est due à E. Greenspan qui a appelée cette réactivité Source Multiplication Reactivity [34]. Elle est équivalente à la réactivité statique définie par l Eq. (1.6) d après la relation de commutation des opérateurs adjoints Lien avec l expérience La réactivité statique définie par l Eq. (1.5) fait intervenir le flux du mode fondamental statique φ λ0 du problème homogène associé (Réacteur Critique Associé). Dans le cadre d un problème réel stationnaire avec une source Q(x) définie par (F s M)φ(x) + Q(x) = 0, la représentation homogène équivaut à identifier Q(x) = ρ s F s φ(x). Mesurer une réactivité statique revient à disposer d une source Q(x) dont la distribution spatiale et énergétique est celle de l opérateur de production statique F s [79]. Ceci est physiquement irréalisable donc l on ne peut pas mesurer de réactivité statique. La réactivité de multiplication de source définie par l Eq. (1.10) fait intervenir un flux inhomogène stationnaire pouvant traduire le flux expérimental. Cette équation peut être vue comme la tendance asymptotique d une réactivité dépendante du temps où φ(x) = lim t + ψ(x, t). Ceci permettra de relier la réactivité statique à un problème dynamique dans sa phase asymptotique en utilisant des calculs. La réactivité statique définie par l Eq. (1.6) peut être rendue complètement équivalente à l Eq. (1.10) en choisissant la fonction poids ω(x) égale à la distribution de flux φ + vérifiant le 12

25 1.3. Définition de la réactivité à partir d un problème dynamique problème adjoint (F s M )φ + +Σ d = 0 [59]. Elle peut donc être reliée à un paramètre observable lors d une expérience dans sa phase asymptotique ou stationnaire (inhomogène). En choisissant convenablement la fonction poids, on peut relier la réactivité statique au comportement asymptotique d une expérience dépendante du temps. 1.3 Définition de la réactivité à partir d un problème dynamique Dans le cadre de problèmes dynamiques i.e. avec variation des opérateurs de fission/migration ou de la source au cours du temps, il peut être nécessaire de définir un paramètre de contrôle similaire à la réactivité statique mais dépendant du temps Définition de la réactivité dynamique En partant du problème de transport couplé à l évolution des précurseurs de neutrons retardés (Eqs. (1.1) et (1.2)), la méthode de factorisation du flux permet d obtenir un système ordinaire d équations différentielles plus facilement manipulable. Cette méthode consiste à factoriser le flux par : φ(x, t) = p(t)ψ(x, t) (1.11) puis à multiplier scalairement les équations par une fonction poids ω(x) indépendante du temps et vérifiant les conditions aux limites adjointes [59]. La fonction p(t) désigne le niveau de flux qui dépend fortement du temps et ψ(x, t) désigne le facteur de forme du flux variant plus faiblement avec le temps. Le choix de la décomposition de l Eq. (1.11) n étant pas unique, on choisit généralement la condition de normalisation supplémentaire t w(x), 1 v ψ(x, t) = 0 permettant de réécrire les Eqs. (1.1) et (1.2) : dp dt w, 1 v ψ = [ w, (F M)ψ(t) w, j χ j β j Fψ(t) ] p(t) + j λ j w, χ j c j (t) + w, Q(t) (1.12) d dt w, χ jc j (t) = λ j w, χ j c j (t) + w, χ j β j F j ψ(t) p(t) (1.13) où F désigne l opérateur de production avec le spectre statique χ p (E)(1 β)f+ j χ j(e)β j F [32] et où la dépendance énergétique et spatiale x n est pas spécifiée afin de simplifier les équations. L opérateur F F(t) a le même spectre d émission que l opérateur F s défini pour le problème statique, mais sa dépendance temporelle est celle de la section efficace de production (e.g. fission). Afin de donner une signification à chacun des termes de cette équation et de faire apparaître un terme similaire à la réactivité statique, on divise les termes de la première équation par une intégrale de fission arbitraire de la forme F(t) = w, F ψ où F reste à choisir. On obtient la formule classique : 13

26 Chapitre 1. Définition de la réactivité - Liens avec l expérience dp ρ(t) β(t) (t) = p(t) + dt Λ(t) j λ j c j (t) + Q(t) (1.14) d c j dt (t) = λ j c j (t) + β j (t) p(t) (1.15) Λ(t) où : Λ(t) = w, 1 v ψ F(t) w, (F M)ψ(t) ρ(t) = F(t) β j (t) = w, β jfψ(t) F(t) w, Q(t) Q(t) = ΛF c j (t) = w, χ jc j (t) ΛF (1.16) (1.17) (1.18) (1.19) (1.20) Cette démarche permet en particulier de faire intervenir une quantité qui a la même forme que la réactivité statique et qui est souvent appelée réactivité dynamique : ρ(t) = w, (F M)ψ(t) w, F ψ(t) (1.21) Cette définition reste arbitraire et le fait que le présent formalisme permette un choix quelconque de F(t) implique que l on ne peut pas donner de signification physique à ρ, Λ ou β. Ils ont une signification approximative difficile à préciser si ce n est lorsque la population neutronique évolue suivant une période asymptotique [41]. La réactivité dynamique, comme la réactivité statique, ne peut être directement mesurée Réactivités dynamiques usuelles Une des premières définitions de la réactivité dynamique a été donnée par Henry [41] sous la forme : ρ(t) = φ+ ref, (F M)ψ(t) φ + ref, Fψ(t) (1.22) c.-à-d. en choisissant la fonction poids égale au flux adjoint d un état de référence critique sans source : φ + ref, et l intégrale de fission faisant intervenir l opérateur de production (avec spectre statique) dépendant du temps F F(t). Parmi les autres usages, on choisit également comme fonction poids les fonctions propres ou modes des problèmes suivants : φ + λ0 solution de (λf s0 M 0 )φ+ λ0 = 0 (mode λ ou mode statique) 14

27 1.3. Définition de la réactivité à partir d un problème dynamique φ + ω p 0 solution de (χ p(1 β)f 0 M 0 ωp v )φ+ ω p 0 = 0 (mode ωp ou mode cinétique prompt) φ + 0 solution de (F s0 M 0 )φ Σ d = 0 où l indice 0 indique l état stationnaire initial ou final et Σ d est la section efficace macroscopique de réaction de l ensemble des détecteurs utilisés définie à partir de l importance φ + 0 [59]. Parallèlement au choix de fonctions poids dépendantes de l état stationnaire 0, l intégrale de fission est également modifiée tel que F(t) = ω 0, F s0 ψ(t) i.e. l intégrale de fission dépende de l opérateur de production statique de l état stationnaire considéré et que sa dépendance temporelle soit celle du facteur de forme ψ(t). Dans le cadre d une expérience avec un transitoire entre 2 états stationnaires, l utilisation de l état initial comme état de référence peut présenter l avantage de donner une définition de la réactivité dynamique qui est causale [79]. Pratiquement, il arrive fréquemment que l état de départ soit critique, e.g. chute de barre dans un réacteur avec une faible source intrinsèque,.... Dans ce cas toutes les définitions précédentes sont équivalentes Lien avec l expérience La réactivité dynamique définie par l Eq. (1.21) est arbitraire et ne peut être directement mesurée car elle n intervient pas directement dans les équations de la cinétique (1.12) et (1.13). Les rapports ρ(t)/λ(t), ρ $ (t) = ρ(t)/β(t) et ω p (t) = (ρ(t) β(t))/λ(t) ne dépendent plus de la normalisation par l intégrale de fission F(t). Leurs définitions sont néanmoins subordonnées au choix de la fonction poids ω(x). Expérimentalement, pour un problème dépendant du temps, on a accès à un taux de comptage qui permet de remonter à l inverse de la période ω de la population neutronique totale (e.g. méthode de la période asymptotique) ou de la population de neutrons prompts ω p (e.g. source de neutrons pulsé). Le lien entre l inverse de la période prompte et la réactivité dynamique obtenue lorsque les opérateurs F et M ont atteint leurs états d équilibre F et M et lorsque l on ne peut pas supposer la séparation des variables spatiales/énergétiques et temporelles, peut être est obtenu à partir du rapport : ω p = ρ(t) β(t) Λ(t) = φ ω p, (χ p(1 β)f M )ψ(t) φ ω p, v 1 ψ(t) (1.23) où l on a choisi comme fonction poids la fonction propre adjointe du mode cinétique prompt ω p et utilisé la propriété de commutation des opérateurs adjoints. Dans ce cas, la réactivité ainsi que le temps de génération effectif et la constante de décroissance effective sont déterminés en utilisant la fonction poids φ ω p solution du problème aux valeurs propres (χ p (1 β)f 0 M 0 ω p v )φ+ ω p 0 = 0. L inverse de la période asymptotique ω est relié simplement à la réactivité dynamique si l on se place à un temps où les opérateurs de production de neutrons prompts et retardés, de migration et la source sont indépendants du temps et où la séparation des variables énergétiques 15

28 Chapitre 1. Définition de la réactivité - Liens avec l expérience / spatiales et temporelles φ(x, t) = p(t)ψ (x) est possible. Dans ce cas, en écrivant p(t) = p e ωt, les Eqs. (1.14) et (1.15) donnent la relation classique de Nordheim : ρ = Λω + j β j ω λ j + ω ΛQ p Λω + j β j ω λ j + ω (1.24) Cette relation est valable à condition que les constantes cinétiques soient calculées avec les opérateurs de l état asymptotique stationnaire et le facteur de forme utilisé est celui de l état final ψ (x). La fonction poids ω(x) peut être choisie arbitrairement. Ainsi, la réactivité dynamique de l Eq. (1.24) s écrit ρ = w, (F M )ψ / w, F ψ Relation entre réactivité statique et dynamique Pour un problème dynamique ayant un état où les opérateurs de production et de migration sont indépendants du temps (F et M ), la réactivité dynamique peut s exprimer par : ρ(t) = w, (F M )ψ(t) w, F ψ(t) (1.25) En choisissant ω = φ + λ i.e. le mode statique fondamental de l état final, on a en commutant les opérateurs ρ(t) = ρ s i.e. égalité entre les réactivités statique et dynamique. La réactivité de la multiplication de source (Eq. (1.10)) correspond au cas où ψ(t) = ψ. 1.4 Bilan des définitions de la réactivité Un bilan des différentes définitions de la réactivité est présenté dans le tableau 1.1, en précisant notamment les problèmes directs et adjoints considérés, les références bibliographiques associées et les équivalences entre les différentes définitions. Dans tous les cas la distribution de détecteur ou le flux adjoint adopté ψ + est indépendant du temps, et seule la dépendance temporelle est indiquée pour les opérateurs et les flux directs. Nous avons présenté les définitions de la réactivité les plus couramment utilisées dans les problèmes statiques et dynamiques. Une autre approche du problème dynamique est l approche modale. Elle consiste à développer le flux φ(t) sur les fonctions propres φ q plus facilement calculables et indépendantes du temps tel que : φ(x, t) = N a q (t)φ q (x) (1.26) q=0 et d utiliser les relations d orthogonalisation des fonctions propres avec les fonctions adjointes. Parmi les modes courants on trouve le mode statique (par ), le mode cinétique prompt (par ) et le mode cinétique retardé encore appelé mode cinétique naturel [59, 32, 131, 42, 43]. Plus de précisions sont données dans l annexe A. 16

29 1.4. Bilan des définitions de la réactivité Réactivité Problème direct Problème adjoint Ref. Propriétés Statique ρ = ψ+, (Fs M)φ φ +, Fsφ Fs = χp(1 β)f + j β jf Statique Homogène (λfs M)φ = 0 Statique Homogène (λfs M)φ = 0 Statique Hétérogène (Fs M)φ + Q = 0 Homogène Critique (F ref M ref )ψ + = 0 Statique Homogène (λf s M )ψ + = 0 Statique Homogène (λf s M )ψ + = 0 Homogène Critique (F ref M ref )ψ + = 0 [41] [9] [34] [9, 41] Réactivité de multiplication de source Equivalent à la réactivité statique avec problème inhomogène statique adjoint. Dynamique ψ +, (F(t) M(t))ψ(t) ψ +, F(t)ψ(t) F(t) = χp(1 β)f + j β jf Cinétique Hétérogène Mode statique (F 0 M0 )ψ + = 0 Mode cinétique prompt (χp(1 β)f 0 M 0 ωp v )ψ+ = 0 [43, 79, 32] [43] L état stationnaire homogène 0 est l état final ou initial. Si l on choisit l état final, asymptotiquement i.e. quand F(t) = F0 et M(t) = M0, on obtient la réactivité statique. L état stationnaire homogène 0 est l état final ou initial. Si l on choisit l état final, asymptotiquement i.e. quand F(t) = F0 et M(t) = M0, on relie la réactivité dynamique à l inverse de la période prompte ω p par ω p = ρ(t) β(t) Λ(t). Tab. 1.1: Bilan des définitions de la réactivité 17

30 Chapitre 1. Définition de la réactivité - Liens avec l expérience 18

31 2 Revue des méthodes de détermination de la réactivité par suivie de grandeur moyenne Sommaire 2.1 Méthodes statiques Méthode de multiplication de source Méthode de compensation Méthode de la source asymétrique Méthode de variation de source Méthodes dynamiques Méthode de la période asymptotique Méthode de chute de barre Méthode de retrait de barre - Rod jerk Méthode de retrait de source - Source Jerk Méthode de Source pulsée - Pulsed Neutron Source Oscillation de source

32 Chapitre 2. Revue des méthodes de détermination de la réactivité par suivie de grandeur moyenne Les méthodes de détermination de la réactivité sont à classer suivant le type de mesure réalisé. On distingue généralement 3 familles de mesures : 1. les mesures statiques 2. les mesures dynamiques 3. les mesures de fluctuations neutroniques Les mesures statiques sont basées sur un état stationnaire où seules les valeurs mesurées moyennées à l échelle de temps de l expérience sont considérées. Les mesures dynamiques sont basées sur des états transitoires dont les valeurs mesurées évoluent macroscopiquement au cours du temps. Ces 2 types de mesure sont modélisables par les équations déterministes de Boltzmann (ou par ses approximations). Dans ce chapitre, nous décrivons les méthodes de détermination de la réactivité associées aux mesures statiques et dynamiques en faisant le lien entre les grandeurs mesurées et déduites de calculs et les définitions de la réactivité données au chapitre 1. Les mesures par fluctuations neutroniques sont abordées aux chapitre suivant. 2.1 Méthodes statiques Ces méthodes sont généralement basées sur l utilisation d un état de référence et d un état perturbé qui sont considérés stationnaires. Le transitoire existant entre ces 2 états n est pas toujours considéré explicitement pour la détermination de la réactivité. Parmi les différentes méthodes disponibles, nous considérons : 1. méthode de Multiplication de Source Amplifiée et Modifiée ( msa, msm ) 2. méthode de compensation 3. méthode de source asymétrique 4. méthode de variation de source Méthode de multiplication de source Cette méthode de détermination de réactivité est relative, car elle nécessite une réactivité de référence. Elle est utilisée en régime sous-critique. Sous sa forme modifiée ( msm ), c est généralement la méthode de référence pour déterminer un niveau de sous-criticité supérieur à plusieurs dollars 1. Une de ses applications les plus courantes est la détermination du poids en réactivité des barres absorbantes des réacteurs Approche théorique Nous présentons d abord la formulation la plus générale, correspondant à la méthode msm (Multiplication de Source Modifiée) puis approximons les formules obtenues pour déduire les équations de la méthode msa (Multiplication de Source Amplifiée). La méthode de multiplication de source ( ms ) répond au problème général suivant : Connaissant la réactivité d un état de référence 0, obtenue par une autre méthode, quelle est la réactivité de l état perturbé 1 ou quelle est la variation de réactivité ρ 1 ρ 0. Cette définition générale n implique pas obligatoirement une relation expérimentale directe i.e. de transitoire entre l état de référence 0 et l état perturbé 1. La résolution du problème ci-dessus peut être abordé en considérant ou non un transitoire entre ces 2 états. 1 Le dollars est une unité de réactivité tel que ρ = 1$ ρ = β. Le cents est une sous unité du dollars définie par ρ = 1g = 0.01$. 20

33 2.1. Méthodes statiques Etats indépendants A partir des équations de la cinétique (1.1) et (1.2) rendues stationnaires, on obtient le problème stationnaire de l état i : (F i M i )φ i (x) + Q i (x) = 0 ainsi que la réactivité de cet état : ρ i = ω i, Q i ω i, F i φ i = ω i, (F i M i )φ i ω i, F i φ i où F i et M i sont les opérateurs statiques et ω i la fonction poids arbitraire de l état i. En choisissant ω i = φ + λi on retrouve la définition de la réactivité statique de multiplication de source définie par l Eq. (1.10). En utilisant la relation liant le taux de comptage de l état i, C i = Σ d, φ i, à la section efficace Σ d de l ensemble des détecteurs utilisés et au flux φ i, la réactivité statique peut être redéfinie par : ρ i = φ+ λi, Q i Σ d, φ i φ + λi, F (2.2) iφ i C i La relation C i = Σ d, φ i sert donc ici de recalage entre le calcul et l expérience. L expression de la réactivité statique de l état perturbé s écrit alors : (2.1) ρ 1 = ρ 0 ɛ 1 Q 1 ɛ 0 Q 0 C 0 C 1 = ρ 0 f 01 C 0 C 1 (2.3) où Q i = φ+ i, Q i φ + i, F iφ i désigne la source effective, ɛ i = Σ d, φ i est l efficacité du détecteur (au choix de la normalisation près) et le facteur msm statiques entre les états 0 et 1 est : f 01 = ɛ 1Q 1 = Σ d, φ 1 φ + λ1, Q 1 φ + ɛ 0 Q 0 Σ d, φ 0 φ + λ0, F 0φ 0 λ0, Q 0 φ + λ1, F 1φ 1 (2.4) Le facteur msm f 01 permet de relier le rapport des réactivités statiques absolues ρ 1 /ρ 0 au rapport inverse des taux de comptage C 0 /C 1. Il est également courant d avoir uniquement une réactivité ρ $0 = ρ 0 /β 0 exprimée en dollars. L Eq. (2.3) devient : ρ $1 = ρ $0 β 0 β 1 f 01 C 0 C 1 (2.5) où la fraction effective totale de neutrons retardés de l état i est β i = φ+ λi,pj χ jβ j F i φ i. φ + λi, F iφ i L utilisation de la réactivité en dollars peut être intéressante car la réactivité de référence est parfois exprimée en dollars avec une plus grande précision e.g. par la méthode de chute de barre (par ). De plus elle a l avantage de s affranchir de l intégrale de normalisation des équations de la cinétique (par ). Etats liés par un transitoire En considérant les 2 états 0 et 1 liés par un transitoire on impose une condition supplémentaire qui se traduit, en résolvant les équations (1.1) et (1.2) par la méthode de factorisation φ(x, t) = p(t)ψ(x, t), par l unicité de la fonction poids ω pour les 2 états stationnaires. L expression du niveau de flux p i d un état stationnaire sous-critique i avec source externe ou intrinsèque Q i est : p i = Q i ρ i où Q i = w, Q i(x) w, F i ψ i et ρ i = w, (F i M i )ψ i w, F i ψ i (2.6) 21