Exercice n 1 : Mesure en degrés et en radians

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1 Exercice n : Mesure en degrés et en radians. Effectue la conversion en radians des valeurs d angle suivantes, mesurées en degrés, en exprimant ta réponse en termes de. a. 5 o b. 0 o c. 0 o d. 0 o. Effectue la conversion en degrés des valeurs d angle suivantes, mesurées en radians. Arrondis à la première décimale au besoin. A- a. 7 b. c., d. 0,985. Détermine le supplément de 5.. Exprime le supplément de 0 o en radians. Exprime ta réponse en termes de. 5. Trouve le complément du troisième angle d un triangle isocèle dont les angles égaux mesurent chacun. Exprime ta réponse en radians. 7. Si droites parallèles coupées par une transversale ont des angles alternes o internes d et de radians, trouve la valeur de x. x 7. Trouve la valeur de x en supposant que les angles de la question précédente sont des angles internes se trouvant du même côté de la transversale. 8. Quelles valeurs de θ, dans l intervalle 0 θ, permettent de respecter les conditions suivantes? a. sin θ < 0 et cos θ > 0 b. sin θ > 0 et cos θ 0 c. tan θ > 0 d. cos θ 0 9. Trouve le(s) quadrant(s) où les équations suivantes sont vraies. a. sin θ < 0 b. cos θ = et tan θ = MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S EXERCICES CUMULATIFS page

2 Exercice n : Mesure en degrés et en radians A- 0. Dans quel(s) quadrant(s) se trouve le point P(θ) si l on sait que a. cos θ est negatif. b. sin θ < 0 et tan θ > 0.. Trouve la longueur de l arc d une roue de bicyclette si le rayon mesure pouces et que l angle au centre est de 8 o.. Un extra-terrestre, qui se déplace dans un engin motorisé le long de l équateur de la planète où il (ou elle) habite (il est difficile d identifier le sexe d un extraterrestre), a parcouru une distance de, balrogs. Si le diamètre de sa planète équivaut à, balrogs, quel est l angle au centre traversé par l extraterrestre? Exprime ta réponse à une décimale près.. Simplifie : Trouve une valeur entière de x pour laquelle x = 5 x. 5. Simplifie : xx.. Résous les équations suivantes. a. (x + ) + = 0 b. x = x 7. Une droite a une pente de à l origine de cette droite. et une ordonnée à l origine de. Trouve l abscisse 8. a. Décompose en facteurs l équation x + x x. b. Résous : x + x x = Trouve les points où la droite x+ y= coupe la parabole y= x + x. 0. Résous pour x : ax + b = cx + d. page EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S

3 Exercice n : Le cercle unitaire A-. Si, 0 θ, détermine dans quel quadrant se trouve P(θ). a. b. c. d.. Pour chacune des valeurs d angle suivantes, donne un angle coterminal positif pour l intervalle 0 o θ 0 o. a. 50 o b. 90 o c. 80 o d. 0 o. Pour chacune des valeurs suivantes, donne un angle coterminal positif pour l intervalle 0 θ. a. 9 b. 5 c. d.. Trouve dans quel(s) quadrant(s) se trouve le point P(θ) si on applique les conditions suivantes : a. sin θ est positif b. tan θ < 0 c. sin θ > 0 et cos θ < 0 d. sin θ = 5 et cos θ = 5 5. Si le point P(θ) se trouve à l intersection du cercle unitaire et du segment de droite qui joint l origine au point indiqué, trouve les coordonnées de P(θ). a. (, 8) b. ( 9, 0) c. (, ) d. (0, ) 5. Si correspond à un point du cercle unitaire placé dans le e quadrant,, y trouve la valeur de y. 7. Le point P(θ) du cercle unitaire ne se trouve pas dans le er quadrant. Si 8 sinθ =, trouve la valeur de cos θ Si cos = 0 θ et sin θ =, trouve tan θ. Rationalise le dénominateur et simplifie Le point, se trouve-t-il sur le cercle unitaire? 5 5 MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S EXERCICES CUMULATIFS page

4 Exercice n : Le cercle unitaire A- 0. Si une roue ayant une circonférence de 0 mètres parcourt 5 mètres, sur combien de radians a-t-elle tourné? Sur combien de degrés a-t-elle tourné?. Quelle est l aire de la pâte nécessaire pour couvrir une pointe de tarte, si l arc de la croûte extérieure mesure 7, cm et l angle au centre mesure 0 o? Arrondis au dixième près.. Si l on connait la valeur de θ en radians, explique comment déterminer le quadrant où se situe le côté terminal de P(θ).. Dans ABC, B = o, BC = et AC =. Trouve la valeur de AB. Combien de réponses sont possibles? ( ) = + ( ) =. Si f x x 7, trouve la valeur de x pour que f x. 5. Si f(x) = x +, trouve la valeur de k pour que f(k + ) = k + f(k).. Supposons que O est l origine et que A correspond au sommet de y = x + x + 0. Trouve la longueur de OA. 7. Le diagramme à droite représente y =. x Les droites verticales, qui passent par C (, 0) et D (, 0), coupent le graphique aux points B et A, comme il est illustré. a. Trouve l aire du trapèze ABCD. 7 5 A B b. Trouve le périmètre du trapèze ABCD D C 8. Décompose en facteurs : x. 9. Décompose en facteurs l équation suivante, et résous pour x : x 5x + = Exprime l équation ci-dessous sous la forme y = a(x h) + k. Équation générale : y = 0x 9x +. (Conseil : complète le carré.) page EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S

5 Exercice n : Angles spéciaux et les fonctions trigonométriques. Trouve la valeur exacte de chacune des expressions suivantes : a. sin b. sin c. cos d. sec e. tan 7 5 f. cot. Trouve la valeur exacte de chacune des expressions suivantes : a. cos 5 o b. sin 00 o c. tan 0 o d. csc 5 o. Trouve la valeur exacte de chacune des expressions suivantes : a. sin 5 cos 0 tan ( ) A- b. tan cos 5 5 sin tan +. Démontre que les énoncés suivants sont vrais : a. sin = + cos cos sin b. sin = cos 5. Si tan = θ, trouve la valeur de θ pour les intervalles suivants : a. 0 θ b. θ c. θ. Trouve la ou les valeur(s) de θ, dans l intervalle 0 θ pour chacune des conditions suivantes : a. sin θ = b. cos θ = c. tan θ = et sin < 0 d. cos θ = et tan θ < 0 7. Trouve la valeur exacte de chacune des expressions suivantes : cos 5 b. sin 9 c. tan d. 5 csc MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S EXERCICES CUMULATIFS page 5

6 Exercice n : Angles spéciaux et les fonctions trigonométriques 8. Résous le système d équations suivantes : x y = 0 x + y = 9. Les côtés et les angles égaux d un triangle isocèle équivalent à, cm et à 5 o respectivement. En exprimant ta réponse au dixième près, calcule : a. le périmètre. b. l aire. 0. Supposons une révolution positive : pour quelles valeurs de θ les expressions sin θ et tan θ ont-elles une valeur négative?. Exprime radians au dixième près d un degré.. Exprime la valeur des angles d un triangle rectangle isocèle en radians multiples de.. Supposons que les angles correspondants de droites coupées par une transversale équivalent à 5 o radians et 75, détermine si les droites sont parallèles.. Si sin θ = et que cos < 0, trouve la(les) valeur(s) de tan. θ θ 5. Si θ = + n, où n Z, trouve la valeur de sin θ, cos θ, et tan θ.. Évalue : tan 7 cos. 7. ABCD est un carré et E est le point milieu de BC. Trouve, au degré près, la mesure de AED. 8. Résous : x+ x+ =. 9. Trouve la distance entre les droites parallèles x + y = et x + y =. 0. Trace le graphique de la fonction rationnelle suivante. Indique les points d intersections avec les axes et les équations des asymptotes. x + H(x) = x A- page EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S

7 Exercice n : Résolution d équations trigonométriques sur un intervalle donné A-. Résous les équations suivantes dans l intervalle o o 0 θ 0. a. cos θ = b. 5 tan θ + = 0 c. tan θ 7 = 5 tan θ d. sin θ + sin θ = 0 Résous les équations des questions - 5 dans l intervalle les valeurs exactes.. sin θ sin θ = 0. tan θ + = 0. tan θ + = 0 5. cosθ + = 0 0 θ. Donne Résous les équations des questions - 8 dans l intervalle θ.. cos θ = 7. sinθ + = 0 8. cos θ 5 cos θ = 0 9. Détermine la valeur exacte de l expression suivante : sin 7 cos tan. 0. Démontre que l équation suivante est vraie : cos = cos sin.. Trouve la valeur de θ si sin θ = et que θ.. Si cos θ = et tan θ > 0, trouve la valeur de sin θ.. Le point P(7) est sur le cercle unitaire. Trouve le quadrant et les coordonnées de P en utilisant deux méthodes différentes.. Dans un test on te pose la question à choix multiple suivante : Quel intervalle satisfait la condition : cos θ > sinθ? a. 0 θ b. < θ c. 0 θ d. 0 θ < e. θ < Explique quelle réponse est vraie et quelles réponses sont fausses et pourquoi. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S EXERCICES CUMULATIFS page 7

8 Exercice n : Résolution d équations trigonométriques sur un intervalle donné A- 5. Si le point P (θ) se trouve sur le segment de droite qui joint l origine et le point (, 8), trouve la valeur de cos θ.. En tenant compte des données de la question précédente, trouve la valeur des expressions suivantes : a. cos θ + 7. Évalue : sin 7 cos( 7). b. cos( θ ) 8. Question à choix multiple. Le diagramme à droite représente le graphique de y = ax + bx + c. Laquelle des expressions suivantes est vraie? a. a > 0 et b ac > 0 b. a > 0 et b ac < 0 c. a < 0 et b ac > 0 d. a < 0 et b ac < 0 9. Trouve le domaine et l image de la fonction suivante : f(x) = x + x Une droite, qui passe par le point (0, ), coupe la parabole y = x aux points A et B. Si les coordonnées du point A sont (, ), trouve les coordonnées du point B. B A page 8 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S

9 Exercice n 5 : Solution générale d équations trigonométriques A-5 Trouve la valeur de θ dans les équations suivantes si le domaine correspond à l ensemble des nombres réels.. sin θ =. a. cos(θ ) = b. θ sin =. tan θ = 0. sin θ = 5. ( + sin θ)( cos θ) = 0. sec θ + = 0 7. csc θ + = 8. (sin θ )( sec θ + ) = 0 Résous les équations des questions 9 et 0 dans l intervalle θ. 9. sin θ = tan θ + 5 = 0 Résous les équations des questions et dans l intervalle 0 θ.. cos θ + cos θ + sin θ = 0. sin θ + sin θ = 0. Trouve l image de la fonction suivante : f(x) = x + x.. Au moment d arrêter ta voiture à un feu rouge, un caillou se coince dans les sillons d un des pneus. Le diamètre des roues de la voiture est de 80 cm. Tu poursuis ta route sur une distance de 0 m avant de découvrir la présence du caillou (tu as une excellente oreille!). Combien de révolutions a pu faire le caillou? MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S EXERCICES CUMULATIFS page 9

10 Exercice n 5 : Solution générale d équations trigonométriques A-5 5. Une balle dont le diamètre est de 50 cm repose sur un anneau ayant un diamètre de 8 cm. À quelle distance ressort la balle sous l anneau?. Un polygone régulier à cinq côtés (soit un pentagone) est inscrit dans un cercle. Chaque côté du pentagone mesure unités de long. a. Trouve le rayon du cercle à deux décimales près. b. Trouve l aire du pentagone à deux décimales près. 7. Si un montant de $ est placé pour 5 ans à un taux d intérêt de %, et capitalisé annuellement, quelle sera la valeur du placement à la fin de cinq ans? 8. Trouve la distance entre le point (, ) et la droite y= x+. 9. Résous pour x : ax + c = b(x c). 0. Trouve les valeurs de x, y, et z. x + y = 7 x z = 8 x y z = page 0 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S

11 Exercice n : Graphiques de fonctions circulaires A-8. Trace le graphique de y = sin θ en supposant que θ = L,,, 0,,,, L. Analyse le graphique de la fonction sinus illustrée dans ta réponse à la question, en identifiant les éléments suivants : a. l amplitude b. la période c. le domaine d. l image e. les zéros. Trace le graphique de la fonction f(θ) = cos θ en utilisant pour θ les mêmes valeurs que celles utilisées pour la fonction sinus à la question.. Analyse le graphique de la fonction cosinus illustrée dans ta réponse à la question, en identifiant les éléments suivants : a. l amplitude b. la période c. le domaine d. l image e. les zéros 5. En quoi les graphiques de la fonction sinus et de la fonction cosinus sont-ils comparables?. Trace le graphique de la fonction f(x) = tan x. 7. En te fiant au graphique de la question, analyse la fonction tangente en identifiant les éléments suivants : a. l amplitude b. la période c. le domaine d. l image e. les zéros 8. Indique à quels endroits la fonction tangente est non définie et donne les équations des asymptotes. 9. Dans l intervalle ], [, indique à quels endroits les énoncés suivants seraient vrais : a. sin θ croît b. cos θ décroît 0. Résous l équation sin θ + sin θ = 0 dans l intervalle 0 θ.. Résous graphiquement l équation sin x = dans [0, ]. Donne les valeurs exactes.. Utilise un outil technologique pour résoudre l équation suivante dans l intervalle 0 θ. sin θ = sinθ +. Exprime tes réponses à décimales près.. Si sec θ = 7 et que tan θ < 0, trouve la valeur exacte de csc θ. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S EXERCICES CUMULATIFS page

12 Exercice n : Graphiques de fonctions circulaires A-8. Combien de radians la grande aiguille d une horloge traverse-t-elle entre 0 h et h 0? Exprime ta réponse par une valeur exacte. 5. Si R =,7 o et que θ se trouve dans le e quadrant, trouve deux valeurs possibles de θ.. Dans le cercle unitaire illustré ci-dessous, la longueur de l arc AB est. Trouve les coordonnées de B. A B 7. Un avion se trouve à 0km de l aéroport de Winnipeg. Un autre avion, plus gros, se trouve à 7km de l aéroport. Si l angle entre les trajectoires de ces deux avions est 0 o, quelle distance les sépare? 8. Trouve une fonction linéaire de la forme f(x) = mx + b tel que f() = 8 et f() =. 9. Trouve les valeurs exactes de x et de y. o 0 8 y o 0 x 0. Soit f( x) =. x a. Trouve f() et f(f()). b. Prouve que f(f(x)) = x pour toutes les valeurs possibles de x. x page EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 0S