Réponses temporelles et fréquentielles des Systèmes Linéaires Continus Invariants (rappel année 1)

Transcription

1 RESOUDRE MODELISER SLCI Réponses temporelles et fréquentielles des Systèmes Linéaires Continus Invariants (rappel année 1) TD PSI 1/6 N imprimez pas ce document, il vous sera remis à la rentrée. L exploitation des courbes s effectuera à partir de l écran. Soyez précis, clair et concis dans votre rédaction. ETUDE 1 : BANC D EPREUVE POUR TUBES HYDRAULIQUES 1. PRESENTATION Vallourec & Mannesmann Tubes (V&M Tubes), entreprise du groupe Vallourec, est le leader mondial dans la production de tubes en acier sans soudure laminés à chaud. Ces tubes sans soudure en acier couvrent une très large gamme tant sur le plan dimensionnel que dans la nature des matériaux. Ces tubes sont employés dans des applications très diverses comme la ventilation et la climatisation. Le site de V&M Tubes situé à Aulnoye-Aymeries produit des tubes de diamètre 114 mm à 508 mm pour des longueurs variant de 4,40 à 14,20 m. Il possède un banc spécifique de test de pression hydraulique pour valider la qualité des produits finis exigée par certains clients. Ce banc fait l objet de cette étude. 2. DESCRIPTION DU BANC D EPREUVE Afin de valider la caractéristique de tenue en pression des tubes, ceux-ci sont soumis à une pression hydraulique donnée durant un temps spécifié, dépendant de la taille des tubes et de leur utilisation. Les performances attendues par le cahier des charges sont exprimées par le tableau ci-dessous : Fp1 Fc1 Fc2 Fonctions Critères Niveaux Tester un tube de dimensions Diamètre du tube : de 110 mm à 420 mm variables par injection d eau sous Longueur du tube : de 4,4 m à 14,2 m pression durant un temps imposé Régler le seuil de pression Consigne : Temps d établissement : Dépassement : Erreur statique : S intégrer en fin de chaîne de Vitesse de déplacement du tube : production des tubes de 100 à 820 bars < 40 s aucun < 5 % Limitée à 80 mm/s 3. ANALYSE DE LA FONCTION TECHNIQUE «METTRE LE TUBE SOUS PRESSION» La finalité de la mise sous pression est de vérifier la résistance du tube pour une pression maximale. Le cahier des charges impose un écart statique en pression inférieur à 5% et aucun dépassement. Objectifs de cette partie 3 : Modéliser le système de mise sous pression puis étudier les réponses obtenues afin de vérifier le respect du cahier des charges. Proposer des modifications de la commande pour pallier les écarts observés. Le schéma hydraulique simplifié est donné Figure 3 :

2 Le fluide injecté dans le tube est de l eau sous pression. Figure 3 Dans un premier temps, l opérateur règle la tension consigne U c de mise sous pression par l intermédiaire d un potentiomètre (non représenté), une plage de tension de 0 à 2,5V correspondant à une consigne de pression d eau comprise entre 0 et 1000 bars. La pompe (a) fournit de l huile dont la pression est réglée par un régulateur de pression (b) piloté par cette tension consigne U c. Un distributeur hydraulique (c) pilote la montée d un multiplicateur de pression huile/eau (d) ; P h désigne la pression d huile en entrée et P e la pression d eau en sortie. Pompe (a) U c Régulateur de pression (b) Pr P h i P e Distributeur hydraulique (c) h u l e L eau est injectée par l outillage avant (e) dans le tube. Sa pression est mesurée par un capteur de pression de gain K cap = 2, V/bars (non représenté). eau Multiplicateur de pression huile/eau (d) Outillage avant mobile (e) Tube 3.1. Mise en place du modèle Modélisation de la distribution d huile Modélisation de l ensemble {pompe + régulateur de pression} On négligera, dans un premier temps, le temps de réponse de cet ensemble face à la dynamique du distributeur, du multiplicateur de pression et de l outillage avant de mise sous pression. On supposera donc que la pression en sortie du régulateur est constante, égale à P r. Modélisation du distributeur hydraulique Le distributeur hydraulique fournit un débit d huile défini par l équation : (1) avec K r constante en m 3.Pa -1/2. avec : P r (t) : P h (t) : pression en entrée du distributeur (sortie du régulateur) pression en sortie du distributeur

3 Modélisation du multiplicateur de pression huile/eau Le multiplicateur, représenté Figure 4, se compose d un piston, de masse M, en translation par rapport au bâti, séparant les chambres C e et C h comportant respectivement de l eau et de l huile sous pression : On note : Q e(t) le débit volumique d eau en sortie du multiplicateur Q h(t) le débit volumique d huile en entrée du multiplicateur P e(t) la pression d eau dans C e Piston Q e(t) P e(t) V e(t) S e M Chambre C e P h(t) la pression d huile dans C h z(t) la position du piston V e(t) le volume de C e z V h(t) le volume de C h g l accélération de pesanteur le vecteur vertical unitaire ascendant Les équations du débit sont : S h (2) z(t) P h(t) V h(t) (3) Chambre C h Q h(t) Données numériques : S e : section du piston dans la chambre C e = 397, m² S h : section du piston dans la chambre C h = 1288, m² B e : module de compressibilité de l eau = Pa B h : module de compressibilité de l huile = 10 9 Pa M : masse du piston = 668 kg f : coefficient de frottement visqueux = 10 6 N/m/s V e0 : volume initial de la chambre C e = 1, m 3 V h0 : volume initial de la chambre C h = 3, m 3 Figure 4 L application du théorème de la résultante dynamique selon sur le piston du multiplicateur conduit à l équation du mouvement suivant : (4) M z t S p t S p t M g f z t h h e e

4 Modélisation du chariot avant Le chariot avant comporte (Figure 5) : la traverse, mise en position par un vérin hydraulique avant la mise sous pression du tube. Durant toute la durée de l épreuve, on supposera que la traverse est immobile par rapport au bâti. un équipage mobile sur lequel est monté l outillage, en translation rectiligne par rapport à la traverse. F t(t) Tube S a P e(t) L(t) Equipage mobile m S b P e(t) Traverse avant OUTILLAGE TUBE TESTE On note : L(t) la position de l équipage mobile repérée par rapport à sa position initiale V t(t) le volume du tube F t(t) l effort du tube sur l équipage mobile, avec F t(t) = - r.l(t) Figure 5 On néglige les variations de volume du tube dues à ses déformations. L équation du débit s écrit alors : (5) Données numériques : S a et S b : sections de l équipage mobile côté tube et côté opposé au tube, S a -S b = 1, m² m : masse de l ensemble mobile = 25 kg f : coefficient de frottement visqueux = 10 N/m/s V t : le volume du tube = 1,34 m 3 r : le tube est assimilé à un ressort de raideur = N/m L application du théorème de la résultante dynamique selon l axe du tube sur le piston du multiplicateur conduit à l équation du mouvement : (6) Question 1 Les conditions initiales étant supposées nulles, transposer les équations (2) à (6) dans le domaine de Laplace. Attention : la transformée de Laplace du poids Mg, perçu comme une perturbation échelon, sera :

5 Modélisation de l ensemble Question 2 Reporter et compléter sur copie le schéma bloc (dernière page) de l ensemble (sans le distributeur hydraulique), l entrée étant la pression d huile régulée P r(p) et la sortie la pression d épreuve dans le tube P e(p). La Figure 6 représente la réponse de l ensemble de mise sous pression pour un échelon de 250 bars : P r : pression d huile en sortie régulateur, P h : pression d huile dans le distributeur, P e : pression d eau dans le tube. Pression d eau dans le tube : Pe On suppose que la courbe P e a rejoint son asymptote. Pe Ph Pr (bars) 250 bars Pression d huile en sortie régulateur : Pr Pression d huile en entrée multiplicateur : Ph On suppose que la courbe P h a rejoint son asymptote. Figure 6 Question 3 A partir de ces réponses temporelles, proposer une expression numérique des fonctions de transfert P h(p)/p r(p), P e(p)/p r(p). Justifier vos valeurs numériques pour les gains et constantes de temps. Dans la mesure où plusieurs options s offrent à vous, vous utiliserez obligatoirement T 5%. De nombreuses fuites au niveau de l outillage avant influent sur la réponse. A cause de ces fuites, le débit d eau en entrée du tube est Q e(t) = Q e(t)-q e, Q e étant le débit de fuite, supposé constant. La figure 7 représente la réponse de l ensemble de mise sous pression à un échelon de 250 bars avec fuite d eau à partir de 35 s. Le débit de fuite (échelon) est égal à Q e = m 3 /s. Figure 7

6 Question 4 A partir de ces réponses temporelles, proposer une expression numérique de la fonction de transfert en régulation P e(p)/q e(p) Mise en place d un asservissement en pression Pour limiter l erreur statique due aux fuites, on envisage d asservir la pression d eau dans le tube. L objectif est ici de proposer un réglage du correcteur pour répondre aux critères du cahier des charges. La pression d eau à l intérieur du tube est mesurée par un capteur de pression. Le schéma bloc de l asservissement est défini Figure 8 : Q e(p) H fui(p) P con(p) (p) K cap C(p) U c(p) + H pom(p) - Pr(p) H pre(p) + - P e(p) U m (p) Correcteur Pompe + Régulateur de pression Distributeur + Multiplicateur + tube K cap P con(p) : pression de consigne d eau dans le tube (Pa) P e(p) : pression d eau dans le tube (Pa) U c(p) : tension de commande du régulateur de pression (V) P r(p) : pression d huile régulée (Pa) Q e(p) : débit de fuite (m 3 /s) U m(p) : tension de mesure du capteur (V) Figure 8 Hypothèses : Quels que soient les résultats précédents, l ensemble de mise sous pression {tube + distributeur + multiplicateur de pression} est défini par les transmittances suivantes : et Capteur Avec = 3,24 ; = 2, Pa/(m 3 /s) ; T 1 = 10 s L ensemble {pompe+régulateur de pression} est modélisé par la fonction de transfert : avec = 1, Pa/V; T 2 = 5 s Le capteur est modélisé par un gain pur : K cap = 2, V/Pa La pression de consigne est de P con = 800 bars et les débits de fuite sont estimés à Q e = m 3 /s. On rappelle que le cahier des charges concernant le réglage de la pression de test est le suivant : Rapidité : temps d établissement t e < 40 s Précision : erreur statique < 5% soit pour une consigne de 800 bars : erreur statique relative due à la consigne : con < 5% erreur statique due à la perturbation pert < 40 bars Amortissement : pas de dépassement On envisage tout d abord un correcteur de type proportionnel :

7 Question 5 Analyse de la précision si le débit de fuite est nul : a. Déterminer la transmittance manquante du schéma bloc ci-dessous afin d obtenir l équivalence avec le schéma bloc de la figure 8, lorsque le débit de fuite est nul. ϵ con Figure 9 b. Après avoir exprimé con en fonction de P con et des transmittances (schéma ci-dessus), utiliser le théorème de la valeur finale pour déterminer con (définie comme l erreur statique relative) en fonction de K p pour une entrée consigne P con de type échelon unitaire. Le débit de fuite étant toujours nul. c. Proposer un réglage chiffré de K p pour limiter con à la valeur spécifiée dans le cahier des charges. Question 6 Analyse de la précision si la consigne de pression P con est nulle : a- Le débit de fuite n est plus nul mais la consigne de pression devient nulle. A partir du schéma bloc de la figure 8 modifié selon ces nouvelles données, déterminer en fonction de K p la fonction de transfert en régulation définie par On définit pert (sortie du sommateur) comme l erreur statique dans le cas où la consigne de pression est nulle. Après avoir remarqué que pert = P e (p), en déduire pert en fonction de K p, pour une perturbation Q e de type échelon. b- Proposer un réglage chiffré de K p pour limiter pert à la valeur spécifiée au cahier des charges. (7) Question 7 On se replace dans le cas d un débit de fuite nul. A partir du schéma de la figure 9, proposer un réglage de K p pour vérifier le critère d amortissement du cahier des charges (conseil : commencer par exprimer P P e con p p sous forme canonique) On se propose de corriger le système avec le correcteur défini sur le schéma bloc ci-dessous : (p) K i/p K p + + U c(p) Question 8 Analyse de ce nouveau correcteur a. Déterminer la fonction de transfert C(p) de ce correcteur. b. Tracer l allure de son diagramme de Bode en fonction des coefficients K i et K p (sans valeur numérique mais ces données apparaitront sur les diagrammes).

8 REPONSE A LA QUESTION 2 P r(p) Distributeur hydraulique Q h(p) P h(p) Z(p) Q e(p) M g/p + - L(p) P e(p)