Vendredi 20 octobre CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N 2 Classe de TERM 07. En salle 206, deux heures de 8 h à 10 h : LES SUITES et PROBABILITES.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Vendredi 20 octobre CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N 2 Classe de TERM 07. En salle 206, deux heures de 8 h à 10 h : LES SUITES et PROBABILITES."

Transcription

1 Vedredi 0 octobre 07. CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N Classe de TERM 07. E salle 06, deux heures de 8 h à 0 h : LES SUITES et PROBABILITES. La première feuille de ce devoir doit être ue feuille double. Lisez bie l éocé. Vous pouvez faire les exercices das l ordre que vous souhaitez, mais e mélagez pas deux exercices différets. Le soi apporté à la présetatio, la clarté de la rédactio, sot des critères importats das l évaluatio de la copie. Bo travail. Exercice : (8 poits) O cosidère l algorithme suivat : ) Reproduire sur votre copie le tableau ci-dessous et le compléter, e faisat foctioer cet algorithme pour a 4, b 9 et N ; Les valeurs successives de u et v serot arrodies au millième. Das la suite de ce problème, a et b sot deux réels tels que 0 a b. O cosidère les suites u et v défiies par u0 a et v0 b et, pour tout etier aturel : u v et u u v v. ) a) Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel o a u 0 et v 0. b) Démotrer que, pour tout etier aturel o a etier aturel o a u v, 3 ) a) Etudier les variatios de la suite u. b) Comparer v v et v, puis e déduire le ses de variatio de la suite v 4 ) Démotrer que les suites et u v u, puis e déduire que, pour tout u v sot covergetes, puis cojecturer ue valeur approchée la limite de ces deux suites e utilisat votre calculatrice et e preat a 4, b 9. 6 à 0 près, de

2 Exercice : (6 poits) Ue etreprise fabrique des lecteurs MP3, dot 6 % sot défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à ue uité de cotrôle dot la fiabilité est pas parfaite. Cette uité de cotrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5% des lecteurs MP3 foctioat correctemet. O ote : D l évéemet : «Le lecteur MP3 est défectueux». R l évéemet : «L uité de cotrôle rejette le lecteur MP3». Toutes les réposes, sauf pour la quatrième questio, devrot être doées sas approximatio. ) Recopier puis compléter l arbre podéré ci-dessous sur lequel o idiquera les doées qui précèdet. ) a) Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et e soit pas rejeté. b) O dit qu il y a ue erreur de cotrôle lorsque le lecteur MP 3 est rejeté alors qu il est pas défectueux, ou qu il est pas rejeté alors qu il est défectueux. Calculer la probabilité qu il y ait ue erreur de cotrôle. 3 ) Calculer la probabilité qu u lecteur MP 3 e soit pas rejeté. 4 ) Calculer, à 3 0 près par excès, la probabilité qu u lecteur MP 3 soit défectueux sachat qu il a été rejeté.

3 Exercice 3 : (6 poits) U même idividu peut être atteit de surdité uilatérale (c est-à-dire portat sur ue seule oreille) ou bilatérale (c est-à-dire portat sur les deux oreilles). O admet que das ue populatio doée, les deux évéemets suivats sot idépedats et de même probabilité 0,05 : D : «Etre atteit de surdité à l oreille droite». G : «Etre atteit de surdité à l oreille gauche». Doc o a P D PG 0,05. O cosidère égalemet les évéemets ci-dessous : B : «Etre atteit de surdité bilatérale». U : «Etre atteit de surdité uilatérale». S : «Etre atteit de surdité sur ue oreille au mois». O doera les probabilités demadées sous forme décimale approchées à 4 0 près ) Exprimer les évéemets B et S A l aide de G et de D, puis calculer les probabilités P B et P S. ) E déduire la probabilité PU. 3 ) Sachat qu u sujet pris au hasard das la populatio cosidérée est atteit de surdité, quelle est la probabilité : a) Pour qu il soit atteit de surdité à droite? b) Pour qu il soit atteit de surdité bilatérale? 4 ) O cosidère u échatillo de dix persoes prises au hasard das la populatio, qui est suffisammet grade pour que les choix puisset être assimilées à des choix successifs et idépedats. a) Calculer la probabilité pour qu il y ait aucu sujet atteit de surdité das l échatillo. b) Quelle est la probabilité pour qu au mois u sujet soit atteit de surdité das l échatillo? Exercice 4 : BONUS (5 poits) Première partie : Les deux parties de ce problème sot idépedates.. Soit PA B 0,5, PB A 0,3 puis P B P A 0,3. Calculer les probabilités des évéemets A, B, A B et A B. Deuxième partie : Das u restaurat, o a costaté que : 80 % des cliets preet u café. 40 % des cliets preet u dessert, dot les 3 4 preet aussi u café. ) O choisit u cliet du restaurat au hasard. a) Quelle est la probabilité qu il pree u dessert et u café? b) Quelle est la probabilité qu il e pree i dessert, i café? ) O choisit u cliet qui a pris u café. Quelle est la probabilité qu il ait pas pris de dessert? 3 ) Sachat qu u cliet a pas pris de café, quelle est la probabilité qu il ait pas pris de dessert? 3

4 Vedredi 0 octobre 07. CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N Classe de TERM 07. E salle 06, deux heures de 8 h à 0 h : LES SUITES et PROBABILITES. CORRECTIONS. Exercice : (8 poits) ) E faisat tourer cet algorithme «à la mai» o trouve : Explicatio : Au départ o a : a 4, b 9 et N Doc u 4, v 9 et 0 TANT QUE (oui) alors ; u 6,5 ; v 6,964 ; a 6, 5 et b 6,964 4 (oui) alors u 6, 73( a) ; v 6, 736( b) (o) alors o affiche u 6, 73 puis v 6, 736 Ce qui doe : AVEC LE LOGICIEL ALGOBOX : 4

5 PUIS AVEC LA CALCULATRICE T.I. : 5

6 Das la suite de ce problème, a et b sot deux réels tels que 0 a b. O cosidère les suites u et v défiies par u0 a et v0 b et, pour tout etier aturel : u u v u v. et v ) a) O démotre par récurrece que, pour tout etier aturel o a u 0 et v 0. INITIALISATION. Pour 0, o a bie u0 0 et v0 0 car das l éocé o a a et b sot deux réels tels que 0 a b. Et o cosidère les suites u et v défiies par u0 a 0 et v0 b 0. Doc la relatio est vraie pour 0. HEREDITE. Supposos que la relatio est vraie au rag c est-à-dire que u 0 et v 0 et il faut doc démotrer cette relatio au rag, soit démotrer que u 0 et v 0? u v O comme u 0 et v 0 o peut e déduire de faço évidete que 0 u 0 d autre part u v u v u 0 et v 0 u 0 et v 0 u v v 0 Doc la relatio est démotrée au rag. CONCLUSION. D après le théorème de récurrece, o peut doc e déduire que u 0 et v 0. b) Démotrer que, pour tout etier aturel o a etier aturel o a u v, v v v u v u, puis e déduire que, pour tout u v u v u v u u v v u u v v u v u 4 4 4, coclusio u v u u v u 0 Doc comme o viet de démotrer que o a v (u carré) cela implique v u 0 v u v u 0 v u 0 v u v u, coclusio que, u v 6

7 3 ) a) Variatios de la suite u. u v v u O calcule u u u = 0 croissate. d après la questio précédete, doc la suite u est u v b) o a 0 u v u v u v v v v v, doc o peut e déduire, les deux suites état strictemet positives, v v, doc la suite v est décroissate. 4 ) E résumé, o a doc motré que : La suite u est croissate doc u0 u pour tout etier aturel. La suite v est décroissate doc v v0 pour tout etier aturel. Pour tout etier aturel, u v. O e déduit que pour tout etier aturel, u0 u v v0, soit e particulier : u v0, doc v u0 La suite u est croissate et majorée par v 0, doc d après u des théorèmes du cours, cette suite est covergete, ce qui sigifie que Limu l quad avec l. De même La suite v est décroissate et miorée par u 0, doc d après u des théorèmes du cours, cette suite est covergete, ce qui sigifie que Limv l ' quad avec l '. Avec la calculatrice, e preat a 4, b 9 et N o obtiet pour de très grades valeurs l l 6 ' 6, à 0 près 7

8 Exercice : (6 poits) ) L arbre podéré peut être le suivat : ) a) Avec l arbre, o obtiet P D R P R PD 0,0 0,06 Ce qui doe P D R 0,00. D b) Il y a ue erreur de cotrôle pour les évéemets disjoits suivats D R et D R, la probabilité de cet évéemet oté E est doc P E PD R PD R 0,060,0 0,94 0,05, soit P E 0,048 3 ) La probabilité qu u lecteur MP 3 e soit pas rejeté est égale à, e utilisat la formule des probabilités totales P R P D R P D R 0,060,0 0,94 0,95 soit P R 0,894 P D R 0, 060,98 4 ) O demade PR D, soit PR D 0,556 à près par excés PR 0,894 8

9 Exercice 3 : (6 poits) U même idividu peut être atteit de surdité uilatérale (c est-à-dire portat sur ue seule oreille) ou bilatérale (c est-à-dire portat sur les deux oreilles). O admet que das ue populatio doée, les deux évéemets suivats sot idépedats et de même probabilité 0,05 : D : «Etre atteit de surdité à l oreille droite». G : «Etre atteit de surdité à l oreille gauche». Doc o a P D PG 0,05. O cosidère égalemet les évéemets ci-dessous : B : «Etre atteit de surdité bilatérale». U : «Etre atteit de surdité uilatérale». S : «Etre atteit de surdité sur ue oreille au mois». O doera les probabilités demadées sous forme décimale approchées à ) Exprimer les évéemets B et S A l aide de et de 4 0 près G D, puis calculer les probabilités et. P B P S. B : «Etre atteit de surdité bilatérale», doc les deux oreilles ce qui doe B D G Les évèemets D et G état idépedats, o a P B PD G PD P G 0,05 0,05, soit P B PD G 0,005 S «Etre atteit de surdité sur ue oreille au mois». doc l oreille droite ou la gauche ou les deux ce qui doe S D G Les évèemets D et G état idépedats, o a P S P D G P D P G P D G P D P G P D P G, 0,05 0,05 0,05 0,05 soit P S PD G 0,0975 ) E déduire la probabilité PU. U : «Etre atteit de surdité uilatérale», cela sigifie ue seule oreille doc c est la probabilité de l évèemet S mois B, ce qui doe P U P S PB 0,0975 0,005 soit P U 0,095 3 ) Sachat qu u sujet pris au hasard das la populatio cosidérée est atteit de surdité, quelle est la probabilité : a) Pour qu il soit atteit de surdité à droite? O demade doc PS D P D 0, PS D soit PS D 0,58 à 0 près P S P S 0, b) Pour qu il soit atteit de surdité bilatérale? P S B P B 0, 005 Doc PS B P S P S 0, soit S P 5 B 0, 056 à 0 près 9

10 4 ) O cosidère u échatillo de dix persoes prises au hasard das la populatio, qui est suffisammet grade pour que les choix puisset être assimilées à des choix successifs et idépedats. a) Calculer la probabilité pour qu il y ait aucu sujet atteit de surdité das l échatillo. O cosidère la variable aléatoire X qui doe le ombre de persoes atteites de surdité das cet échatillo. Le choix des 0 persoes état effectué au hasard et de faço idépedate, et P S d être atteite de surdité, cette situatio chacue d elles ayat la même probabilité correspod alors à u schéma de BERNOULLI et doc la variable aléatoire X suit ue loi 0 et p P S 0,0975 soit biomiale de paramètres 0 X B p P S P X k k Et o demade pour cette questio 0 0 0, , P X 0 0,905 0 soit 0 P X 0 0,905 0,3585 à 0 près k 0; 0, 0975 et doc 0, , k b) Quelle est la probabilité pour qu au mois u sujet soit atteit de surdité das l échatillo? Pour cette questio o obtiet 0 0 0, , P X P X 0 0, P X 0,905 0,645 à 0 près Soit 0 4 0

11 Exercice 4 : BONUS (5 poits) Première partie : Soit PA B 0,5, PB A 0,3 puis P B P A 0,3. Calculer les probabilités des évéemets A, B, A B et A B. Soit PA B 0,5, PB A 0,3 puis P B P A 0,3. Calculer les probabilités des évéemets A, B, A B et A B. Par défiitio des probabilités coditioelles o a P A B P A B P A B P A B PA B 0,5 P A et PB A 0,3 P B P A 0,5 P B 0,3 Et comme P B P A 0,3 o e déduit que P A B P A B P A B P A B P B P A 0,3 0,3 0,3 0,3 0,5 0,3 0,5 0,5 P A B 0,3 P A B 0, P A B 0,3 0,5 0,3 0,3 P A B 0,3 0,5 0,3 0,5 0,5 0, Doc P A B 0,5 P A B 0, 5 O e déduit alors P A soit P A 0, 45 0,5 0,5 P A B 0, 5 Puis P B soit P B 0,75 0,3 0,3 Efi P A B P A PB P A B 0, 45 0,75 0,5 soit P A B 0,975 Deuxième partie : ) a) P C D P C PD 0,4 0,75 0,3, soit P C D 0,3 D, doc P C D 0, b) P C D P C PD PC D 0,9 P C D 5 C, doc P C 8 ) P D P D C 5 PC D 0,65. 8 P C D 3 ) PC D, doc C P C O peut s aider de l arbre ci-cotre. P D 0,5

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( )

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( ) Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire Séquece 8 Suites arithmétiques et géométriques Sommaire Pré-requis Suites arithmétiques Suites géométriques Sythèse du cours Exercices d approfodissemet Séquece 8 MA Ced - Académie e lige Pré-requis A

Plus en détail

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé www.almohadiss.com Exercice - Avio - L2/Prépa Hec - O ote X la variable aléatoire du ombre de moteurs de A qui tombet e pae, et Y la variable aléatoire du ombre de moteurs de B qui tombet e pae. X suit

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

CORRECTION DU BAC BLANC 2

CORRECTION DU BAC BLANC 2 CORRCTION DU BAC BLANC 2 XRCIC 1 (6 poits) Baccalauréat ST Mercatique Podichéry - 2010 Deux tableaux sot doés e aexe : le premier doe l évolutio du prix du mètre carré das l immobilier résidetiel acie

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expérieces aléatoires et modèles Le lacer d ue pièce de moaie, le lacer d u dé sot des expérieces aléatoires, car avat de les effectuer, o e peut pas prévoir

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information.

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information. BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Fiace d Etreprise, Gestio des systèmes d iformatio. SESSION 2012 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Mercatique, comptabilité et fiace d etreprise

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont :

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont : Estimatio Objectifs Estimer poctuellemet ue proportio, ue moyee ou u écart type d ue populatio à l aide de la calculatrice ou d u logiciel, à partir d u échatillo Détermier u itervalle de cofiace à u iveau

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Séquence 1. Suites numériques

Séquence 1. Suites numériques Séquece Suites umériques Objectifs de la séquece Recoaître des situatios faisat iterveir des suites géométriques ou des suites arithmético-géométriques. Modéliser ces situatios par des suites géométriques

Plus en détail

MATHÉMATIQUES Corrigé

MATHÉMATIQUES Corrigé Exame de ovembre 009 Exame du premier trimestre Le 30 ovembre 009 Classes de ère STG Durée 3 heures MATHÉMATIQUES Corrigé Note aux cadidats L emploi des calculatrices est autorisé (circulaire 99 86 du

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques"

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de Processus Stochastiques Master ère aée spécialité IMIS et Mathématiques Cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" 8 octobre 00 - Durée h Calculatrices et documets autorisés Exercice Jacques va tous les jours à so travail e emprutat

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

ANNALES BACCALAURÉAT 2013 MATHÉMATIQUES TERMINALE S. 1. Suites

ANNALES BACCALAURÉAT 2013 MATHÉMATIQUES TERMINALE S. 1. Suites ANNALES BACCALAURÉAT 03 MATHÉMATIQUES TERMINALE S ANNALES 03 TERMINALE S Suites Foctios 9 3 Probabilités 4 Géométrie 9 8 5 Spécialité 34 6 Cocours 44 Suites - : Amérique du Nord 03, 5 poits, o spécialistes

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a.

Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a. Échatilloage 9 Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Répose c. Répose a. Répose c. 3 Répose a. 4 Répose b. Répose c. Activité. La populatio étudiée est la productio d automobiles. Le caractère

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6 Corrigés TD Chapitre : Variables aléatoires sur u uivers fii Exercice : Soit X la VAR défiie par le tableau suivat : x i - - 0 p 6 4 6 4 6 i O ote Y = X ) Détermier la loi cooite de X et Y ) Détermier

Plus en détail

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours Aée 2013/2014 TS Itervalle de fluctuatio et estimatio Cours est u etier aturel o ul et p est u réel de l itervalle 0 ; 1. I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio d idividus présetat

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

ANNALES BACCALAURÉAT 2014 MATHÉMATIQUES TERMINALE S 1

ANNALES BACCALAURÉAT 2014 MATHÉMATIQUES TERMINALE S 1 ANNALES BACCALAURÉAT 014 MATHÉMATIQUES TERMINALE S ANNALES BACCALAURÉAT 014 MATHÉMATIQUES TERMINALE S 1 1 Suites 1 Foctios 11 3 Probabilités 4 Géométrie 4 33 5 Spécialité 41 6 Cocours 53 1 Suites 1-1 :

Plus en détail

VARIABLES ALEATOIRES

VARIABLES ALEATOIRES VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES. Loi de probabilité.. Exemple... Calcul de probabilités sur u uivers Ω... Variable aléatoire à valeurs réelles...3. Probabilité image défiie par ue variable aléatoire..4.

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles BTS Mécaique et Automatismes Idustriels Statistiques iféretielles, Aée scolaire 2005 2006 Statistiques iféretielles 1. Itroductio vocabulaire Pour étudier ue populatio statistique, o a recours à deux méthodes

Plus en détail

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f. Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

Université de Picardie Jules Verne 2006-2007 Faculté de Mathématiques et d Informatique

Université de Picardie Jules Verne 2006-2007 Faculté de Mathématiques et d Informatique Uiversité de Picardie Jules Vere 006-007 Faculté de Mathématiques et d Iformatique Licece metio Mathématiques - Deuxième aée - Semestre 4 Probabilités Elémetaires Exame du ludi 4 jui 007 Durée h00 Documet

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Terminale S. 1. Divers

Terminale S. 1. Divers Termiale S 1 Divers Bézout 3 Quadratique 4 Divisibilité 5 Equatio diophatiee 6 Equatio diophatiee (, Caracas 01_04) 7 Base de umératio 8 Base de umératio 3 9 Somme des cubes 10 PGCD 11 Somme des diviseurs

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

GRAPHES. 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 Les graphes ci-dessous peuvent-ils être associés à A? Exercice n 6. Ecrivez la matrice associé à chaque graphe :

GRAPHES. 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 Les graphes ci-dessous peuvent-ils être associés à A? Exercice n 6. Ecrivez la matrice associé à chaque graphe : Exercice. Détermier le degré de chacu des sommets du graphe suivat : GRAPHES Exercice 6. Ecrivez la matrice associé à chaque graphe : Exercice. Trois pays evoiet chacu à ue coférece deux espios ; chaque

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

Questions pour un champion en ligne

Questions pour un champion en ligne Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite

Plus en détail

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière CORRECTION EXERCICES TS /5 CHAPITRE 3 Correctio des exercices sur la ature odulatoire de la lumière Correctio exercice : idice d u verre et réfractio. La radiatio = 530 m est verte et la radiatio = 680

Plus en détail

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau.

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau. AVANT PROPOS Cet ouvrage propose aux élèves de classes termiales (fraçais) S (spécialité math) des rappels et des complémets de cours assez complet, aisi que des problèmes et des exercices corrigés. Les

Plus en détail

Chapitre 1 : Les notions de base

Chapitre 1 : Les notions de base Chapitre : Les otios de base Itroductio I Comparer des gradeurs A) Les pourcetages B) Taux de variatio, coefficiet multiplicateur, idice C) Importace du ses de la comparaiso ) Raisoemet sur les taux de

Plus en détail

Suites. q et k IN et n IN : u. Démonstration : A l aide du schéma ci-dessous on peut établir la formule explicite du terme général en fonction de n :

Suites. q et k IN et n IN : u. Démonstration : A l aide du schéma ci-dessous on peut établir la formule explicite du terme général en fonction de n : Suites A) Suites géométriues Défiitio et formules Défiitio : forme récursive Ue suite est géométriue lorsue, à partir du terme iitial, l o passe d'u terme de la suite au terme suivat e multipliat toujours

Plus en détail

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal chapitre VIII eercices et problèmes de sythèse algorithmique et turbo-pascal Algèbre liéaire et probabilités : Chaîes de Marov (esco 93) Partie A 4 3 O cosidère la matrice M = 8 6 ) a) Détermier les valeurs

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008 Prépa HEC Sait-Jea de Douai Probabilités Poly des exercices ECS1 2007-2008 Christia Skiada 4 septembre 2008 Spriger-Verlag Berli Heidelberg NewYork Lodo Paris Tokyo Hog Kog Barceloa Budapest Préface Voici

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

FLUCTUATION ET ESTIMATION

FLUCTUATION ET ESTIMATION 1 FLUCTUATION ET ESTIMATION Le mathématicie d'origie russe Jerzy Neyma (1894 ; 1981), ci-cotre, pose les fodemets d'ue approche ouvelle des statistiques. Avec l'aglais Ego Pearso, il développe la théorie

Plus en détail

Intervalles de fluctuation et de confiance

Intervalles de fluctuation et de confiance Chapitre 9 Itervalles de fluctuatio et de cofiace Sommaire 9.1 Itervalle de fluctuatio................................... 157 9.1.1 Quelques rappels..................................... 157 9.1.2 Itervalle

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

Probabilités exercices corrigés

Probabilités exercices corrigés Termiale S Probabilités Exercices corrigés Combiatoire avec démostratio Ragemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets 6 Dés pipés 7 Pièces d or 8 Agriculteur pas écolo 9 Boules Jeux 6

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jean-Marie MARION

PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jean-Marie MARION Des PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jea-Marie MARION 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE (décrire ue populatio à l aide de caractéristiques et graphiques) STATISTIQUE INFERENTIELLE (étedre des résultats

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquece 9 Itervalles de fluctuatio, estimatio Objectifs de la séquece Das le chapitre 2, o étudie des itervalles de fluctuatio des variables aléatoires X F =, fréqueces des variables aléatoires biomiales

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Application «Calculs» Application «Graphiques» Application «Tableur et listes» FR

Application «Calculs» Application «Graphiques» Application «Tableur et listes» FR TI Nspire Documet de Formatio T3 Walloie TI-Nspire Le tout e u des mathématiques Suites umériques La loi de Verhulst Applicatio «Calculs» Applicatio «Graphiques» Applicatio «Tableur et listes» FR Formatios

Plus en détail

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4 1 Déombremet Table des matières 1 Déombrer des listes 2 1.1 Permutatio................................ 2 1.2 Arragemet............................... 3 1.3 -liste.................................... 4

Plus en détail