Tavakoli, Shahin Fourier analysis of functional time series, with applications to DNA

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1 resultats sont ensuite utilises pour construire des estimateurs des operateurs de densite spectrale bases sur des versions lissees du periodogramme, le generalisation fonctionnelle de la matrice de periodogramme. La consistance et la de ces estimateurs sont etudies en detail. Comme corollaires nous obtenons des centraux limites pour la moyenne et l'operateur de covariance a long d'une serie de temporelle fonctionnelle stationnaire. Nos resultats ne dependent pas de la structure de la series temporelle, seulement de versions fonctionnelles des conditions de des cumulants. L'effet de observations bruitees discrets sur la consistance des estimateurs est etudie dans un cadre general assez pour s'appliquer a un large eventail de techniques de lissage pour convertir des observations bruitees discretes en donnees fonctionnelles. Nous effectuons une etude de simulation pour evaluer la performance de nos estimateurs avec un echantillon fini, et donnons une discussion sur les hypotheses techniques de nos resultats, et comment pourraient modifiees ou affaiblies. Nous fournissons des de processus satisfaisant les hypotheses techniques de nos resultats asymptotiques. Comme application, nous considerons dans la partie le de la comparaison de la dynamique des des deux minicercles d'adn qui vibrent dans un liquide, et qui sont obtenus par simulations de dynamique moleculaire. Notre approche consiste a comparer la dynamique de ces minicercles d'adn a travers leur spectre, qui encode toute la structure de second order de leur trajectoire. Dans un premier temps, nous comparons les spectres des deux minicercles d'adn l'aide d'un nouveau test nous avons developpe, qui nous permet de comparer les operateurs de densite spectrale a des frequences fixes. En utilisant des procedures de tests multiples, nous en de localiser dans les frequences les differences spectres des deux minicercles d'adn, tout en controlant une erreur de type I, et procedons a des simulations numeriques pour evaluer la performance de notre methode. Nous etudions de plus les differences entre les deux minicercles en comparant leurs operateurs de densite spectrale a l'interieur des frequences. nous permet de localiser leurs differences a la fois dans les frequences et sur les minicercles, tout en controlant le taux de fausses decouvertes sur les frequences selectionnees. Notre est assez generate pour etre applique a la comparaison de la dynamique de n'importe quelle paire de series fonctionnelle stationnaire. Mots clefs : donnees fonctionnelles, representation de Cramer, expansion de Karhunen-Loeve, de Fourier discrete, periodogramme, spectre, operateur de densite spectrale, minicercles d'adn, coefficients de dependance faible, cumulants, tests multiplies, FDR. Tavakoli, Shahin Fourier analysis of functional time series, with applications to DNA digitalisiert durch IDS Basel/Bern, im Auftrag der Schweizerischen Nationalbibliothek

2 Contents Acknowledgements Preface Abstract i iii v vii of figures of tables of Notation xiii xv xvii Introduction and Overview 1 1 Functional Data Analysis Some Background Theory Basic Aspects of Functional Data Analysis Preprocessing Steps Projection to Functional Data The Problem of Registration Inference for Functional Data: the i.i.d. Setup Estimation ofthe Mean Function and Covariance Surface Estimation of the Eigenstructure of the Covariance Operator Inference for Functional Data: Departure from the i.i.d. Assumption Functional Time Series Linear models for Functional Time Series Beyond Linearity Assumptions for Functional Time Series Karhunen-Loeve Expansion for Functional Time Series? Objective the Thesis 19 2 Doubly Spectral Decompositions of Functional Time Series 2.1 Introduction Heuristics 22

3 CONTENTS 2.3 The weak spectral density operators and the spectral density operators Functional Cramer representation Linear Filtering, Stochastic Integrals Definition ofthe Spaces Involved Between The Process and the Stochastic Integral Stated Results A Short Note Measurability Optimal Finite Dimensional Reduction Harmonic Principal Component Analysis Representation as a Vector Time Series Outlook 65 Inference for the Spectral Density Operators Notation Basic Definitions and Main Assumptions The Functional Discrete Fourier Transform The Periodogram Kernel and its Properties Smoothing the Periodogram: The Sample Spectral Density Operators Consistency and Asymptotic Normality Estimation ofthe Eigenstructure Basic definitions Consistency Asymptotic Normality Some Comments the Estimation Projectors Karhunen-Loeve-type Expansions for the Asymptotic Sample Spectral Density Operators Computation of Asymptotic Covariances The Effect of Discrete Observation Numerical Simulations Mixing, Tightness Projections Outlook Some Technical Results for this Chapter Complex Gaussian Random Elements Cumulants Cumulants of Random Variables Cumulants of Random Elements of Hilbert spaces Some Accessory Results 144

4 CONTENTS XI 4 Dynamics DNA Minicircles Molecular Biophysics and Dynamics of DNA Minicircles Description ofthe Data Data Preprocessing Estimation ofthe Dynamics Comparing the Spectral Density Operators? Comparing the Spectral Density Operators at the Level of Frequencies 165 Comparing the Spectral Density Operators Frequency Automatic Choice ofthe Truncation Level Localization of Differences on the Frequencies Choice ofthe Discretization Numerical Simulations Further Comparison the Level ofthe Minicircles? Localizing Differences on the Minicircles 178 Approximate for Localizing Differences Within Frequencies to the computation the within frequency Outlook 182 Appendices A Selected results for Hilbert and Banach Spaces A.l Banach Spaces 213 Unique Linear Extension 214 Bounded Multilinear Mappings 214 A.2 Hilbert spaces 214 Operators on Hilbert Spaces 215 A.2.2 Schatten Spaces 218 Trace-class Operators 219 A Hilbert-Schmidt Operators 220 A.2.3 Space 221 A.3 Tensor Products 223 Hilbert Tensor Products fold Tensor products and Hilbert-Schmidt Operators 224 A.3.2 Projective Tensor Products of Banach Spaces 225 Projective Tensor Products and Nuclear Operators 226 A.3.3 Permutation of Tensors 226 A.3.4 Kronecker Products 227

5 XII CONTENTS B The Bochner Integral 229 L 2 on [-7t,n] 231 B B = 233 B Approximate Identities for Bochner Spaces 233 B Fourier Series for Hilbert Space Valued Functions 235 C Random Elements in Banach and Hilbert Space 239 Generalities 239 C.2 Convergence in Distribution 241 Bibliography 245 Index 259 Curriculum Vitae 261

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