FLOT HAMILTONIEN Saïd KOUTANI

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1 FLOT AMILTONIEN Saïd KOUTANI Saïd KOUTANI 24 Page 1

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3 «À oue rasformao fésmale qu lasse varae l'égrale d aco correspod ue gradeur qu se coserve» Théorème de Noeher Saïd KOUTANI 24 Page 3

4 L espace des phases : premère approche L espace des phases es l espace à 6N dmesos das lequel évolue les varables dépedaes q e p, avec = 1,...3N d u sysème de N parcules aya doc 3N degrés de lberé. TEOREME DE LIOUVILLE (Sysème o dsspaf) C es u héorème mpora de la mécaque aalyque qu se rouve auss à la base de la hermodyamque sasque, surou pour ce qu es des esembles mcrocaoques e de l hypohèse de la quas-ergodcé. Ce héorème cocere l évoluo das le emps des volumes das l espace des phases, sas cosdérer pour aua l espace des éas. So à l sa l éléme de volume dω eoura le po M où la desé de phase es D ( M ). A l sa = + d, le po M se rouve e M eouré de pos das u éléme de volume D M. Il évde que les pos voss de dω, avec ue desé ( ) M, do le ombre es dn, o accompagé M vers dω. Car aucue rajecore e peu raverser la surface-eveloppe de l éléme de volume. So deux codos ales, correspoda à deux pos de l espace des phases, codurae à la même soluo suée sur la surface. O peu doc écrre : ( ) ( ) dn = D M dω = D M Π dq dp ( ) ( ) T T dn = D M dω = D M Π dq dp Nous allos morer que dω = dω, ce qu cosue ue formulao du héorème de Louvlle. Pour ce fare, cosdéros la rasformao fésmale suvae, qu, de à = + d, fa passer le po M e M : dq d dp d T T q q = q + d T T p p = p + d Saïd KOUTANI 24 Page 4

5 avec Π dq dp = J Π dq dp, l suff de morer que le jacobe J de cee T T rasformao es égale à 1. Sa marce T se présea sous la forme ( I Md) l deé I e M so des marces d ordre 6N, so déerma peu s écrre : J = 1 + J d + J d J d 2 6N 1 2 6N où l o recoaî J1 = rm e J6N = de M. Au premer ordre e d o a doc : dq dp J = 1+ rm d = 1+ + d q d p d +, où Or les équaos de amlo sous la forme q dq = = d p e p dp = = d q permee de réécrre J J = 1+ d q p p q. Ce qu more que J = 1. O peu doc éocer le héorème de Louvlle : Das la mécaque hamloee, le volume d ue régo de l espace des phases se coserve lors de l évoluo du sysème. Noos au passage que ce héorème es e rappor éro avec les varas égraux de Pocaré = I... dq dp... dq dp 1 1 Il résule de l équao dω = dω que la desé de l espace des phases e déped pas du emps : ( ) D( M ) D M T T = ou D( q, p, ) = D( q, p, + d) Prea maea ue smple dérvée oale de D e écrvos qu elle es ulle, ou e ea compe des équaos de amlo : dd D D D D D D = = + + = + d q p q p p q q p. D où l équao de Louvlle : Saïd KOUTANI 24 Page 5

6 D + [ D, ] =, où [ D, ] D D = q p p q cosue le croche de Posso. Remarques 1- L équao de Louvlle es basée sur l dée des rajecores voses das l espace des phases, qu lasse les dn deques ere deux sas voss. 2- Ces dn représee des probablés de rouver le sysème avec des cofguraos e posos e e mpulsos. A parr des dn o peu exprmer les probablés de rouver le sysème, à e à + d, avec les cofguraos doées par les volumes fs e les desés correspodaes : P = DdΩ à Ω Ω = Ω à +. Ω P Dd d Ω Le héorème de Louvlle repose sur cee coservao de probablé. D 3- L équlbre sasque correspod à =, c es-à-dre [ D, ] =. TEOREME DE LIOUVILLE-VON NEWMANN La mécaque classque apparaî comme ue lme de la mécaque quaque, lorsqu o fa edre la cosae de Plac ħ vers. L équao de Louvlle devra se préseer comme ue lme de l équao de de Louvlle-Vo Newma que ous allos éablr. Cosdéros l équao de Schrödger de secode espèce : d d ħ ψ = ψ ou ħ ψ = ψ d d L opéraeur desé es D = ψ ψ. Ce qu ous éresse, comme das le cas classque, c es l évoluo das le emps de ce opéraeur. C es-à-dre : dd d ψ d ψ = ψ + ψ d d d Saïd KOUTANI 24 Page 6

7 Avec l équao de Schrödger cee dérvée s écr sous la forme dd 1 1 = ψ ψ ψ ψ d ħ ħ L évoluo das le emps de l opéraeur desé es doc rége par l équao, de de Louvlle-Vo Newma : d D ħ = D D =, D d, D es le croche de Le, d commuaeur des deux opéraeurs e D. Noos que d ue maère géérale, ue foco F de la mécaque classque des varables q, p e a ue dérvée oale qu s écr : df d F = + [ F, ], équao qu l fau comparer à l équao géérale d u opéraeur F, de équao de eseberg : d F F ħ = F, + d ħ O peu morer que le commuaeur 1 F, ħ das la lme ħ. ed vers le croche de Poso [ F, ] Saïd KOUTANI 24 Page 7

8 Espace des phases : secode approche VARIETES La géomére dfféreelle éude des espaces qu o appelle des varéés. O peu rodure la géomére dfféreelle d ue faço pas rès rgoureuse das le cadre de la géomére affe. O peu cosdérer ue varéé de dmeso comme u espace qu, au vosage mméda de chaque po x, es u espace affe de dmeso. E fa, l fau oubler que la varéé es plogée das u espace affe, pour la carographer localeme e parou. Ce jeu de cares déf u alas de la varéé. Défo 2 Ue varéé dfféreelle V de dmeso e de classe C es u espace opologque 1 mu d ue famlle de cares ( U, x ), appelée alas. Les U so des ouvers qu réalse u recouvreme de la varéé e les x so des applcao homéomorphes de ces ouvers vers l espace R. Cee courbe es ue varéé Cee courbe es pas ue varéé ESPACE TANGENT Défo Das le cas gééral, l espace age au po x de coordoées locales ( x1, x2,..., x ), oé T W, es l esemble des applcaos ϕ e x, à valeurs das R, aya des dérvées x coues e qu vérfe les règles de léaré e de Lebz. 1 Cee défo peu êre gééralsée à des varéés de classe p C avec p > 2 Saïd KOUTANI 24 Page 8

9 U cas des applcaos qu ous éresse es celu où ϕ es smpleme la dérvée, e parculer par rappor au emps ; là u champ de veceur V de TxW es V = x. x O more que TxW es u espace vecorel de dmeso e que pour ous les pos x de la varéé W, c es-à-dre pour ous ouvers défssa les cares de l alas, TW = U T W es u espace vecorel de dmeso 2. x x La famlle,,..., cosue ue base de l espace age pour la care x. Tou x1 x2 x veceur V de ce espace s écr : V = v. x e ag comme u opéraeur sur ue foco défe sur la varéé, par exemple l hamloe, e la dérva. O a doc : Vf f df = v. x d ESPACE COTANGENT Défo L espace dual T x * W de TxW s appelle l espace coage, c es-à-dre l espace des formes léares sur TxW. La famlle ( dx1, dx2,..., dx ) cosue ue base duale de la famlle,,..., qu x1 x2 x es ue base de TxW. T x * W es e fa l espace des dfféreelles des focos coûme dérvables e x : d f x = f dx x Comme pour l espace age, o more que T x * W es u espace vecorel aya la même dmeso que la varéé W. De même, pour l esemble des cares, T * W = U T * W es u espace vecorel de dmeso 2. x x U champ de l espace coage es ue forme dfféreelle (1-forme) qu s écr : α = α dx + α dx + + α dx Saïd KOUTANI 24 Page 9

10 DUALITE La dualé ere TW e T * W perme d éablr des correspodaces ere les applcaos de TW vers R e les champ 1-formes de T * W, e ere les applcao de T * W vers R e les champs de veceurs de TW. Mas, l exse pas, pour ue varéé, d somorphsme caoque ere l espace age e l espace coage. Touefos, s o rodu ue forme bléare o dégéérée, l somorphsme ere ces deux espaces es assuré : - pour les varéés remaees, cee forme bléare es symérque, - pour les varéés symplecques, la forme bléare es asymérque. FORME DIFFERENTIELLE ANTISYMETRIQUE So la forme dfféreelle α = α1dx1 + α2dx αdx. O rodu la dfféreelle exéreure de cee forme par dα = dα dx + dα dx dα dx = dα dx α α = dx dx dx dx j x 1 1 j 1 j j j x j Le produ exéreur éa asymérque, avec dx dx j = dx j dx pour j e dx dx =, o a α α α =. j d dx dx j 1 j x j x VARIETE SIMPLECTIQUE Défo U espace vecorel es d symplecque s l es mu d ue forme dfféreelle symplecque ω, fermée e o dégéérée. (2-Forme de Louvlle) - la forme asymérque ω es fermée : dω = d( dα) =. - ω es o dégéérée : Saïd KOUTANI 24 Page 1

11 DERIVEE DE LIE Nécesse le chox d u veceur par rappor auquel o effecue la dérvao, corareme à l opéraeur d de la défo précédee. Formalsme symplecque f L f x = df X x = X x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X x x E c ( q ) Fbré T E c q, q Dual Fbré q, * T E c L q = p * TT E c p, q, p Dual L q * T T * E c L = = q p 2 X = a + b = 1 p q ω = dp dq = 1 v = p + q 2 = 1 p q Saïd KOUTANI 24 Page 11

12 * Les champs de veceurs v e X so des élémes de l espace age TT E c. La 2- forme de Louvlle ω, forme bléare asymérque o dégéérée, ag sur ces * * élémes v e X e ses valeurs? so das l espace coage T T E c. Ce qu rele la dfféreelle de l hamloe au grade symplecque X. E Fa, avec la doée de e de la 2-forme de Louvlle o cosru ue 1-forme de Louvlle. Nous allos morer ω X v = d v : que ( ) ( ), ω { } ( X, v) = dp ( X ) dq ( v) dp ( v) dq ( X ) = 1 dp ( X ) dq ( v) = adp bdp p dq q dq + + = 1 p q p q = a q dp ( v) dq ( X ) = q dp + p dp adq + bdq q p = 1 p q = b p Car les seuls ermes o uls so les suvas, pour lesquels = : e p dp = = 1 p p q dq = = 1. q q O a doc expresso qu l fau defer à = = 1, (, ) ω X v a q b p d v = p + q p ( ) q, Saïd KOUTANI 24 Page 12

13 pour ober les composaes du champ hamloe ou grade symplecque X : O peu alors écrre : a b = q = p X = p q q p = 1 Le grade symplecque décr e a que champ de veceurs des rajecores das l espace des phases. C es-à-dre qu l egedre u flo, à l mage du veceur vesse de la mécaque des fludes das le formalsme d Euler. Ce flo, oé ξ, es représeé par : ξ q p = = p q Ce qu correspod aux équaos de amlo. Noos que ce flo cosse e ue rasformao localeme caoque, c es-à-dre qu l coserve la 2-forme de Louvlle : dω =. Il coserve auss la 2-forme de Louvlle : Ω = dq dq... dq dp dp... dp Cee forme déf ue oreao e ue mesure das l espace des phases à 2 dmesos. C es l éléme de volume pour lequel ous allos morer que Icompressblé du flo d Ω =. d O cosdère les rajecores das l espace des phases comme u flude e écouleme compressble. O repred doc le résula de la mécaque des fludes : Saïd KOUTANI 24 Page 13

14 C es-à-dre : dω d q = dv = p. X = q p p q, Cee dvergece du grade symplecque, évdemme ulle, correspoda à l compressblé du flo hamloe, more auss l varace de la 2-forme de Louvlle. L varace dd de la desé D de l espace des phase peu êre cosdérée à parr de d l équao de coué de la mécaque euléree : D q D dd +. D = = + X. D c'es-à-dre que = d p Ce qu correspod au résula obeu précédemme : D D D D D p q + X. D = = + [, D] = + = = 1 p q q p D D p q Saïd KOUTANI 24 Page 14