Modélisation Géométrique. Courbes paramétriques

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1 Modélisatio Géométrique Courbes paramétriques

2 Itro géométrie différetielle Défiir u segmet, demi-droite, ue droite iterpolatio liéaire Distictio du sous-espace topologique et de la courbe paramétrique Abscisse curvilige T= Vecteur taget (uitaire) (T) Vecteur ormal pricipal (N) biormal B Freet pla osculateur et pla taget Courbure Torsio 2 d p dt = =kn 2 ds ds db = N ds Si torsio=0? Si courbure = 0? p p k= = B= p p 3 p p. p p 2 p p p p p p N =B T

3 Qques preuves Dérivé d'u vecteur uitaire? orthogoal à lui même, i.e., d v(u) v(u)=0 du 1ère approche, calculer v d v=... v ( ) 2ème approche, observer que v / v «vit» sur la sphère uitaire => dérivée tagete à la sphère, cqfd. D'où, et dt ds est orthogoal au vecteur taget T, et par défiitio, est aligé avec N d p 2 dt d p du κ= N = N = N ds du p 2 p 4 p N si θ p p p p = = = 3 p 2 p 3 p p 2 p p N θ θ p p

4 Cubique d'hermite ( )( 2 3 x(u) a 0 +b 0 u+c 0 u +d 0 u p(u)= y(u) = a1 +b1 u+c1 u 2 +d 1 u3 z (u) a 2 +b 2 u+c 2 u 2 +d 2 u3 )

5 Cubique d'hermite Exercices sur les cubiques d'hermite Retrouver l'équatio différete formes : somme de foctios de bases, forme matricielle tagete =? Matlab : tracer des foctios de bases, tracer pour u jeux de doées Approximatio d'ue coique? D Alpha = EC/ED, a=0.5 (parabole), a=sqrt(2)- 1 Commet créer ue quadrique? C B A E

6 Courbes de Bézier Courbes de Bézier Objectifs : gééraliser aux degrés supérieurs, maipulatios plus simple Somme de foctios de bases combiaiso affie/cetre de masse, eveloppe covexe si poids > 0 Reformulatio de la forme : p(u)= Bi (u) P i u [a, b] i =0 Bi (u)=1 d u [a, b] i=0 B = Polyomes de Berstei : i B u = u i 1 u, i i i=0,...,! = i i! i!

7 Courbes de Béziers Propriété partitio de l'uité : 1=( u+ ( 1 u ) ) = i=0 () i i( u 1 u ) = B i (u) i i=0 symétrique positif sur [0:1] combiaiso affie de +1 poits (degré=, ordre=+1) portée des foctios de bases

8 Graphe des polyômes de Berstei =1 =2 =3 =6

9 Exemples de courbes de Bézier P1 P2 P5 P6 P1 P2 P0 0 P3 P0 P4 P3

10 Eveloppe covexe La courbe est iclue das l'eveloppe covexe de so polygoe de cotrôle (car les polyômes de Berstei sot positifs sur [0,1]). P5 P6 P1 P2 P0 P4 P3

11 Boîte eglobate E preat idividuellemet le mi et le max de chaque coordoée des poits de cotrôle, o obtiet ue boîte eglobate de la courbe qui est parallèle aux axes : P6 P5 P1 P2 P0 P4 P3

12 Dérivée d'ue courbe de Bézier Dérivée : Motrez que : d 1 B i u = B 1 u i 1 u B i du E déduire que : 1 dp u = p u u = Bi 1 u P i du i=0 Exercice : lie avec cubique Hermite, P i = P i 1 P i

13 Bezier Algorithme de De Casteljau Récursivité : 1 Bi D'ou : u =u B i 1 u 1 u B i u D'ou : 1 p u = B u P = B i 0 i i=0 1 i i=0 u P = = B0i u P i = P 0 i=0 P 0 1 P k +1 i k i =(1 u) P +u P 0 1 i P11 P20 P21 P12 k i +1 P01 P00 P03 P02 P30

14 Bezier Algorithme de De Casteljau Propriétés différetiel : taget et pla osculateur Applicatios : discrétisatio, visualisatio subdivisio

15 Propriété de variatio Ue courbe de Bézier e peut pas avoir plus d'itersectios avec ue droite que le maximum d'itersectio possible etre so polygoe de cotrôle et ue droite quelcoque. P10 P20 P30 P00 Au plus 2 itersectios etre la courbe et ue droite Exercices : Quel impact a cette propriété sur les oscillatios de la courbe? Que peut-o dire des oscillatios des morceaux de courbe lorsque l'o subdivise?

16 Raccordemet de deux courbes Exercice : soiet deux courbes de Bézier : p(u) de degré, u das [0,1], poits de cotrôle Pi q(v) de degré m, v das [0,1], poits de cotrôle Qj Doez les coditios sur les polygoes de cotrôle pour que les courbes soiet raccordées e u=1 et v=0 avec : ue cotiuité C0 ue cotiuité G1 ue cotiuité C1 ue cotiuité C2

17 Exemple de modélisatio de courbe complexe Ue uique courbe de degré 12 6 courbes de Bézier de degré 3 (et 2 à la fi) raccordées par cotiuité C1

18 Avatages et icovéiets Avatages : cotrôle ituitif courbe icluse das le polygoe covexe simplicité de mise e oeuvre Désavatages : support global degré lié au ombre de poits de cotrôle

19 Les courbes B-splie Les courbes B-splie sot plus «souples» que les courbes de Bézier. Elles permettet otammet u cotrôle local de la courbe à partir des poits de cotrôle. Ici ecore, chaque poit de cotrôle est associé à ue foctio de base : p u = N ki u P i i =0, u mi u u max Il y a +1 poits de cotrôle : P0, P1,..., P Les Nik sot les foctios de base d'ordre k et le degré de la courbe est k-1. l'ordre k doit être choisi das l'itervalle : 2 <= k <= +1

20 Les courbes B-splie Ue B-splie est ue foctio défiie par morceaux Il est écessaire de défiir u vecteur odal composé de oeuds : u0, u1,, u k u j u j 1 j Il détermie les valeurs de u pour lesquelles les foctios de bases sot défiis. La courbe est alors défiie pour u das [uk-1, u+1]. Les foctios de base Nik dépedet uiquemet de la valeur de k et du vecteur odal. Elles sot défiies récursivemet de la faço suivate (formule de Cox-de-Boor) : N 1i (u)= { 1 0,, ui u<ui +1 sio u u i u i+ k u k 1 k 1 N (u)= N i (u)+ N i+1 (u) ui + k 1 u i u i+k ui+1 k i

21 Commet cotrôler ue B-splie? Exemples : Déplacer u poit de cotrôle Ajouter u poit de cotrôle Utiliser u poit multiple Chager l'ordre k Chager le type de vecteur odal (uiforme, ouvert uiforme,...) Chager l'espacemet des oeuds uj das le vecteur odal Utiliser des oeuds multiples das le vecteur odal Exercices : Commet créer u «coi»? Commet défiir ue courbe fermée? Applicatio aux champs de hauteurs?

22 Exemples : vecteur odal uiforme k=3 k=6 k=4 k=10

23 Exemples : vecteur odal ouvert uiforme k=3 k=6 k=4 k=10

24 Dérivée d'ue courbe B-splie La dérivée d'u foctio de base de degré m (ordre k) est : d k m m 1 N i u = N ik 1 u N ki 1 u du u m i 1 ui 1 um i ui Ce qui ous doe la formule suivate pour la dérivée d'ue courbe B-splie : 1 p u =m i=0 k 1 N i 1 u Pi u m i 1 ui 1 avec P i = P i 1 P i

25 Exemples : courbe fermée P4 P3 5 pts de cotrôle k=4 P2 P1 = P5 P4 P3 6 pts de cotrôle P1 = P5 P4 P3 = P7 7 pts de cotrôle P2 = P6 P1 = P5 P2 = P6

26 NURBS

27 Exercice : iterpolatio

28 Bila sur les courbes paramétriques Cubique d'hermite Cubique de Bézier Bézier : degré arbitraire mais lié au ombre de poits de cotrôle utilisatio : faible degré (2 ou 3) + courbes composites iterpolatio locale (3-4 poits) B-Splie : degré arbitraire, idépedat du ombre de poits de cotrôle iterpolatio de doées multi-valuées (voir foctio splie das MatLab) xi [v1i, v2i, v3i,... ] mesures, trajectoires, positio/orietatio de caméra, etc. NURBS : B-Splie + poids reproduit les coiques modélisatio iteractive/desig/coceptio

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