Traitement des Signaux 1 re partie : Transformée de Fourier et Anaylse Fréquentielle

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1 raitement des Signaux re partie : ransformée de Fourier et Anaylse Fréquentielle 3 septembre 6 Définitions, Signaux, Fonctions et Distributions 3 Définitions Historique Applications Classification des signaux Quelques signaux importants Distributions ransformée de FOURIER Définition Représentation spectale Exemple : Intérêt de la F Propriétés de la F Relation de Parseval ransformées de FOURIER à connaître 35 Analyse spectrale 37 Analyse spectrale Ambiguïté: Durée d un signal-largeur spectrale héorème de PLANCHEREL Fenêtres d observation

2 Plan Définitions, Signaux, Fonctions et Distributions ransformée de FOURIER ransformées de FOURIER à connaître Analyse spectrale / 5 Définitions, Signaux, Fonctions et Distributions 3 / 5 Définitions Le signal est la représentation physique d un phénomène qui évolue dans le temps ou dans l espace. Le traitement du signal (S) est une discipline technique qui a pour objet l élaboration, la détection et l interprétation des signaux porteurs d informations. Cette discipline s appuie sur la théorie du signal qui donne une description mathématique des signaux. Cette théorie fait essentiellement appel à l algèbre linéaire, l analyse fonctionnelle, et l étude des processus aléatoires. 4 / 5 Historique Aspects techniques : 83 : télégraphe électrique (MORSE, COOKE, WHEASONE) ; 876 : téléphone (BELL) ; 895 : radio (MARCONI, POPOV) ; 95, détection et amplification de signaux électroniques faibles (FLEMMING) Aspects théoriques : 8 : FOURIER, propagation de la chaleur ; vers 93 : processus aléatoires (WIENER et KINCHINE), quantité d informations transmise sur une voie télégraphique(nyquis et HARLEY) ; après 948 : théorie de la communication (SHANNON), filtrage optimal (WIENER), distributions (SCHARWZ). 5 / 5

3 Applications Contrôle Radar : Ici l analyse fréquentielle joue un rôle fondamental ; Codage de la Parole : La reconnaissance de la parole nécessite le traitement d une grande quantité de données. Le codage permet de réduire cette quantité, en éliminant les redondances et en conservant l information utile ; Les élécommunications : Si les 34 millions de lignes téléphone fixe étaient reliées à il faudrait (34 6 ) / câbles. Heureusement les travaux sur la modulation, l échantillonnage et la transmission permettent d émettre, sur une même voie, des milliers de messages. raitement des images : Restauration d images dégradées par le bruit, compression d images (vidéoconférence), analyse d images médicales, échographie Recherche géophysique : l écho d une onde acoustique sur les différentes couches renseigne sur la composition et la géométrie des roches. 6 / 5 Morphologique On distingue ici les signaux qui prennent des valeurs à chaque instant t (Signal continu) et les signaux qui n ont de valeurs qu à certains instants t i (Signal discret). 7 / 5 Spectrale On classe les signaux suivant la bande de fréquences qu ils occupent temps (s) temps (s) frequence (Hz) frequence (Hz) 8 / 5 3

4 Énergétique Les signaux peuvent être soit : à énergie finie ou à puissance moyenne finie. Les signaux à énergie finie vérifient la condition : () W x = + x(t) dt < + Les signaux à puissance moyenne finie sont tels que : [ ] + () < P x = lim x(t) dt < + Remarques : Les signaux à support borné, c est à dire de durée limitée, sont à énergie finie. Les signaux périodiques sont à puissance moyenne finie ; Un signal à énergie finie a une puissance moyenne nulle (P x = ) ; Un signal à puissance moyenne finie (non nulle) possède une énergie W x infinie. 9 / 5 test On définit : La puissance instantanée ( d interaction ). (3) P x (t) = x(t)x (t) (4) P xy (t) = x(t)y (t) La puissance moyenne (d interaction) sur une durée. (5) P x (t,) = (6) P xy (t,) = t+ t t+ t x(t)x (t)dt x(t)y (t)dt L énergie moyenne (d interaction) sur une durée. (7) W x (t,) = P x (t,) (8) W xy (t,) = P xy (t,) note of slide 9 4

5 ypologique On distingue ici les signaux suivant que leur évolution est déterministe ou aléatoire. Un signal déterministe peut être prédit par un modèle mathématique. Un signal aléatoire a un comportement imprévisible, au moins partiellement. On le décrit grâce à des outils statistiques ( densité de probabilités, moyenne, variance,...). x(t + ) = x(t) t x(t) = e 3t t / 5 Porte (9) Π (t) = { si t [, ] ailleurs Π (t) t / 5 Echelon d Heavyside { si t () u(t) = si t < u(t) t / 5 5

6 Signe () sgn(t) = { si t si t < sgn(t) t 3 / 5 riangulaire { t () Λ (t) = si t < ailleurs Λ (t) t 4 / 5 Gaussienne (3) g(t) = σ t π e σ σ π σ π e,6 σ π σ 5 / 5 6

7 Sinus Cardinal (4) sinc(x) = sin(x) x π π... 6 / 5 Définition de travail On s intéresse particulièrement à la distribution de Dirac, notée δ(t) et définie, un peu abusivment, comme suit : { si t (5) δ(t) = (6) δ(t)dt = si t = Une approche plus rigoureuse consiste à considérer la distribution de Dirac comme la limite d une fonction f θ (t) d aire unité et de support borné : (7) { f θ(t)dt = δ(t) = lim θ [f θ (t)] θ θ θ θ θ θ θ θ θ 7 / 5 Manipulation Produit par une fonction f(t) (8) f(t)δ(t) = f()δ(t) (9) f(t)δ(t t ) = f(t )δ(t t ) L aire associée au pic de Dirac ne vaut plus mais f() ou f(t ). Intégration : () f(t)δ(t t )dt = f(t )δ(t t )dt = f(t ) 8 / 5 7

8 Peigne de Dirac Enfin, on utilisera aussi le peigne de Dirac, noté (t). Cette distribution est constituée d une suite d impulsions de Dirac, régulièrement espacées d une durée : 9 / 5 Peigne de Dirac Le produit de cette distribution par une fonction f(t) donne une suite d impulsion de Dirac d aire égale à f(k) : () f(t) (t) = f(t) = k= k= k= k= δ(t k) f(k)δ(t k) On pose f e (t) = f(t) (t). On dit que f e (t) est une fonction échantillonée. / 5 ransformée de FOURIER / 5 Définition La transformation de FOURIER est une extension de la décomposition en série de FOURIER, mais pour des signaux quelconques. Intuitivement on peut considérer un signal non périodique comme un signal dont la période. Ainsi la somme discrète et le facteur / intervenant dans la décomposition en série de FOURIER deviennent respectivement une intégrale, et une petite variation de fréquence df. On définit la ransformée de Fourier (F), notée X(f), a du signal x(t) et son inverse par : () (3) F{x(t)} = X(f) = F {X(f)} = x(t) = x(t)e jπft dt X(f)e +jπft df / 5 a Dans la suite du cours, les signaux seront représentés par des minuscules x, s, f, etc..., les F correspondantes par des majuscules X, S, F, etc... Le temps par la variable t ou τ et la fréquence par f ou ν. 8

9 Rappel sur les séries de FOURIER Considérons les fonctions g n (t) définies par : nt +jπ (4) g n (t) = e = e +jπnν t avec, ν = et n Z On peut facilement montrer que ces fonctions sont orthogonales, c est à dire : (5) g n (t),gm(t) = { g n (t),g si n m m(t)dt = si n = m Soit f(t) un signal périodique de période ( > ). Si f(t) possède un nombre fini de sauts sur une période, alors il existe une suite C n telle que : (6) f(t) = n=+ n= C n g n (t) = n=+ n= nt +jπ C n e Cette série converge vers f(t), si f(t) est continue en t. note of slide 9

10 Séries de FOURIER : exemples Exemple Soit C n une suite définie par : (7) C = C = A et C n = si n ± Déterminer f(t)? (8) f(t) = n= n= nt +jπ A ( ) ( ) C n e = e +jπ t + e jπ t πt = Acos C n.6 f(t) n / 3 t Exemple On considère le signal carré périodique f(t) défini par : f(t).5 / τ/ τ// Calculer son spectre. (9) C n = nt jπ f(t)e dt = [ e ] τ nt jπ τ π n = sin ( ) π nτ = τ ( sinc π nτ ) πn Le sinc constitue l enveloppe des C n C n.5 /τ.5 / n/ note of slide

11 Conditions d existence de la F : Une fonction f(t) admet pour transformée de FOURIER la fonction F(f) si : f(t) est bornée ; x(t)dt existe ; les discontinuités de f(t) sont en nombre limité. Une grande partie des signaux étudiés répondent à ces conditions. Ceci est dù, en partie, au fait qu ils sont observés sur une durée finie. Attention ces conditions ne sont pas nécessaires lorsqu il s agit de distributions. Les fonctions périodiques ou les distributions δ(t) et (t) ont des F. 3 / 5 Représentation spectale X(f) est la superposition d une infinité de raies qui s étendent, dans le domaine fréquentiel, de à. On définit : Spectre d amplitude = X(f) Spectre ( ou densité spectrale ) de puissance = X(f) Spectre de phase = arg(x(f)) La transformée de FOURIER introduit la notion de fréquences négatives. Ces fréquences n ont aucun sens physique. Elles existent bel et bien dans la représentation mathématique d un signal réel. 4 / 5 Exemple : La fonction porte : { [ (3) x(t) = Π τ si t (t) = τ ailleurs, τ ] et sa transformée de FOURIER : (3) (3) X(f) = = x(t)e jπft dt = [ e jπft ] τ τ jπf τ τ = sin(πfτ) πf e jπft dt = τsinc(πfτ) 5 / 5

12 Exemple : x(t).5 X(f).5 τ/ τ/ t (sec) / π f (Hz).8.8 X(f).6.4 X(f).6.4 arg(h(f)) / f (Hz) 5 / 5 f(hz) / f(hz) 6 / 5 Intérêt de la F Il est souvent plus aisé d interpréter certains phénomènes physiques dans le domaine fréquentiel. C est l intérêt essentiel de la F. Exemples : x(t) X(f) t (sec) 4 4 f(hz) La F du signal fait apparaître deux raies ( paires de raies), on a donc la somme de deux sinus ou cosinus (il faudrait voir la phase pour trancher.) 7 / 5 Intérêt de la F x(t) 3 3 X(f) t(sec) 4 4 f(hz) x(t) 3 3 X(f) t(sec) 4 4 f(hz) Il s agit deux réalisation physique du même phénomène. Dans le deuxième ca on remarque que les variations sont plus lentes : on a retiré (par filtrage) les composantes fréquentielles les plus élevées. 8 / 5

13 Intérêt de la F La symétrie entre la F et la F montre l existence d une dualité entre temps et fréquences. outes les informations contenues dans le signal sont contenues dans le spectre. La dimension des variables t et f est la seconde et le Hertz. Cependant certains signaux s expriment en mètre et mètre, on parle alors de fréquences spatiales. 9 / 5 Propriétés de la F Linéarité : F et F sont des opérateurs linéaires. (33) λ C, λ x(t) + y(t) F λ X(f) + Y (f) Similitude : fréquentiel. Une dilatation dans le domaine temporel correspond à une contraction dans le domaine (34) a R, x(at) F a X ( ) f a ranslations : (35) x(t t ) F e jπft X(f) (36) X(f f ) F e +jπft x(t) 3 / 5 3

14 Propriétés de la F Dérivation en temps : dx(t) (37) dt F jπfx(f) d n x(t) (38) dt n F (jπf) n X(f) Dérivation en fréquence : (39) (4) dx(f) df d n X(f) dt f F F jπtx(t) ( jπt) n x(t) Parité : Si x(t) est un signal réel et pair alors son spectre X(f) est réel et pair. Si x(t) est réel et impair, son spectre X(f) est imaginaire et impair. Carré sommable : Si x(t) est de carré sommable alors X(f) est de carré sommable. 3 / 5 4

15 quelques démonstrations Similitude : En posant at = t (4) x(at)e jπft dt = sgn(a) a x(t )e jπ f a t dt = a X ( ) f a ranslations : En posant t t = t : (4) x(t t )e jπft dt = e jπft x(t )e jπft dt = e jπft X (f) Démonstration identique pour la translation de fréquence. Dérivation en temps : [ ] d n x(t) d n X(f)ejπft df (43) dt n = dt n = (44) = ( X(f) dn e jπft) d n df t (jπf) n X(f)e jπft df = F {(jπf) n X(f)} Parité : (45) (46) (47) X(f) = x(t)e jπft dt = x( t)e jπft dt t = t = X( f) X(f) pair [ = x(t)e dt] jπft = X(f) X(f) réel x(t )e jπ( f)t dt note of slide 3 Relation de Parseval Cette relation est comparable à celle qui existe pour des signaux périodiques. Soit x(t) un signal de carré sommable (ou à énergie finie) et qui admet X(f) pour F, on a : (48) E x = x(t) dt = X(f) df DÉMONSRAION [ ][ ] (49) E x = X(f)e jπft df X(f )e jπf t df dt }{{}}{{} F {X(f)}=x(t) F {X(f)} =x(t) [ ] (5) = X(f)X (f ) e jπ(f f )t dt dfdf 3 / 5 5

16 Relation de Parseval [ ] (5) E x = X(f)X (f ) e jπ(f f )t dt dfdf L expression entre crochets est égale à la F de la fonction unité, calculée à la fréquence f f, soit δ(f f ) : [ ] (5) E x = X(f) X (f )δ(f f )df df }{{} (53) = X(f) df = =X (f) x(t) dt 33 / 5 Relation de Parseval X(f) est appelée densité spectrale d énergie ou parfois, abusivement, densité spectrale de puissance. On peut montrer de la même façon que, pour deux signaux x(t) et y(t), l énergie d interaction vérifie la relation : (54) E xy = x(t)y (t)dt = X(f)Y (f)df 34 / 5 ransformées de FOURIER à connaître 35 / 5 able des transformées de FOURIER à connaître Les fonctions, et leur transformées de FOURIER présentéesées dans le tableau ci-dessous seront fréquemment utilisées par la suite. δ(t) δ(f) e +πjft δ(f f ) δ(t t ) [ e πjft cos(πf t + ϕ ) e jϕ δ(f f ) + e jϕ δ(f + f ) ] [ sin(πf t + ϕ ) j e jϕ δ(f f ) e jϕ δ(f + f ) ] (t) (t) (t) (f) AB. Quelques transformées de FOURIER à connaître. Le calcul de certaines d entre elles est aisé lorsque l on fait appel aux propriétés décrites plus haut. 36 / 5 6

17 Analyse spectrale 37 / 5 Analyse spectrale L analyse spectrale des signaux tient une place importante dans un grand nombre d applications ( élécommunications, Géophysique, Biochimie,..). On peut citer comme exemple, l analyse spectrale de signaux de parole qui fournit une indication sur le sexe du locuteur. En effet, les signaux de parole sont en grande partie voisés (quasi-périodiques). La hauteur de la fréquence fondamentale est d environ -5 Hz pour un homme, 5-5 Hz pour une femme et peut aller jusqu à 4 Hz pour un enfant. Un autre exemple est celui de la poursuite d une cible mobile. Le signal réfléchi par la cible fournit des informations sur la vitesse et la position de l objet. 38 / 5 Ambiguïté : Durée d un signal-largeur spectrale En théorie un signal de durée finie ( support borné ) possède un spectre de largeur infinie ( support infini ). Corrélativement, un spectre à support borné correspond à un signal de durée illimitée. Expérimentalement, le problème est le suivant : Comment étudier un signal, sur une durée limitée ( donc avec un spectre à support infini ), avec un instrument qui a une bande passante finie?. Il est évident que, si la puissance du signal décroît rapidement en fonction de la fréquence, on a intérêt à utiliser un instrument dont la bande passante est très supérieure à la bande utile du signal. L effet du filtrage ( passage du signal dans l instrument ) est alors réduit. 39 / 5 Bande utile La notion de bande utile est liée à l application. Soit x(t) un signal d énergie totale E x et de densité spectrale d énergie S xx (f) = X(f). S xx (f) B u f f On définit la bande utile B u par : (55) B U = α F avec F = E x + f S xx (f)df où α est choisi en fonction de l application. 4 / 5 7

18 Durée utile x(t) D u t De même on définit la durée utile D u d un signal x(t) par : + (56) D U = β avec = t x(t) dt E x où β est choisi en fonction de l application. En utilisant la relation de Cauchy-Schwartz on en déduit la relation d incertitude : (57) D u B u Cste qui montre qu un signal à fluctuations rapides possède un spectre large. 4 / 5 Relation d incertitude : démontrastion En utilisant la relation de Cauchy-Schwartz : (58) tx(t) dx dt dt t x(t) dt dx dt dt En intégrant par partie, on trouve : (59) t x(t) dt = [ tx (t) ] x(t) dt = E x de plus, en utilisant la relation de PARSEVAL : (6) dx dt dt = 4π f S xx (f)df = 4π E x F d où : (6) Ex 4 E x 4π E x F 6 4 F π 7 D ub u αβ π note of slide 4 héorème de PLANCHEREL Soient x(t) et y(t) deux signaux ayant pour transformée X(f) et Y (f). PLANCHEREL a démontré que : (6) (63) F{x(t) y(t)} = X(f)Y (f) F{x(t)y(t)} = X(f) Y (f) Ce théorème est très utile : il permet de simplifier un grand nombre de calcul et il est utilisé dans de nombreuses applications. 4 / 5 8

19 héorème de PLANCHEREL DÉMONSRAION (64) (65) (66) (67) (68) F{x(t) y(t)} = = = = + [ [ + x(u) x(u) = X(f)Y (f) ] x(u)y(t u)du e jπft dt [ + x(u)e jπf(u) du ] y(t u)e jπft dt du ] y(τ)e jπf(τ+u) dτ du + y(τ)e jπf(τ) dτ La seconde relation se démontre de la même façon. 43 / 5 Fenêtres d observation L analyse d un signal ne peut s effectuer que sur une durée finie [t,t ]. Si x(t) est le signal initial, le signal observé s(t) s écrit : (69) s(t) = x(t)f(t) où f(t) est nulle en dehors de [t,t ]. f(t) est appelée fenêtre d observation ou fonction de pondération. La fenêtre idéale est celle qui ne modifiera pas le spectre X(f) du signal x(t), c est à dire telle que : (7) S(f) = X(f) F(f) = X(f) F(f) = δ(f) F f(t) = La fonction unité (f(t) = ) définie sur ],+ [ n est pas une fenêtre. On en déduit cependant que la transformée de Fourier d une fenêtre satisfaisante, c est à dire modifiant peu X(f), doit s approcher du pic de Dirac. 44 / 5 9

20 Fenêtres d observation La fonction Porte Π (t) est appelée fenêtre naturelle et fut la première utilisée. Sa transformée P(f) est : { } (7) P(f) = F Π (t) = sinc(πf) P(f) est constitué d un lobe principal lobe principal et de lobes secondaires. lobes secondaires. P(f)... f Comme on le verra, toutes les transformées de Fourier de fenêtres de pondération possèdent un lobe principal et des lobes secondaires. 45 / 5 Fenêtres d observation Pour comparer les différentes fenêtres on utilise deux critères : La largeur de bande, B, définit la résolution ou pouvoir séparateur du spectre. P(f) P(f) f f Si X(f) est constitué de deux raies aux fréquences très proches f et f avec ( f f < B), il ne sera pas possible de les distinguer. L amplitude relative du lobe secondaire : Q = log P(f )/P() (où P(f ) est l amplitude maximale du er lobe secondaire). P(f) f 46 / 5

21 Fenêtres d observation Dans le cas de la fenêtre naturelle on trouve B = / et Q = 3dB. P(f) Q = 3dB La fenêtre naturelle est peu utilisée, en analyse spectrale, car elle présente des lobes secondaires de forte amplitude. Un très grand nombre de fenêtres ont été proposées. Celles ci sont généralement choisies en fonction de l application. f 47 / 5 Fenêtre de Bartlett (95) { t (7) Λ (t) = si t [,+ ] ailleurs Elle peut être obtenue par la convolution de deux portes : (73) Λ (t) = { } Π (t) Π (t) F F Λ (t) = 4 4 sinc (πf ) d où B = / et Q = 6dB. P(f) Q = 6dB f La largeur est deux fois plus grande que la fenêtre naturelle. Par contre, l amplitude relative du premier lobe secondaire est beaucoup plus petite. 48 / 5

22 Fenêtre de Hanning (J. VAN HANN) Elle est définie par : { ( ) (74) h N (t) = + cos πt si t [,+ ] ailleurs (75) H N (f) = P(f) + 4 On obtient B = / et Q = 3dB. ( ( P f + ) ( + P f )) { } où P(f) = F Π (t) H n (f) Q = 3dB f 49 / 5 Fenêtre de Hamming R.W. HAMMING a étudié une famille de fonctions définies par : { α + ( α)cos πt (76) h M (t) = si t [,+ ] ailleurs La valeur de α qui minimise Q est,54. On a alors B = / et Q = 5dB. H M (f) Q = 5dB Pour α =,5, on retrouve la fenêtre de Hanning. f 5 / 5