Assurance privée, Assurance sociale, retraite et santé

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1 1/46 Assurance, retraite et santé - F. Langot Assurance privée, Assurance sociale, retraite et santé F. Langot Univ. Le Mans (GAINS & IRA) Banque de France & PSE & Cepremap & IZA

2 2/46 Assurance, retraite et santé - F. Langot Introduction & Plan

3 3/46 Assurance, retraite et santé - F. Langot Introduction & Plan Partie 1 : Epargne Epargne : lissage des revenus Profiter des revenus financiers Partager les risques individuels de revenus, de mort Plan Chapitre 1 : l épargne en certain Le modèle à 2 périodes Le modèle multi-périodes Chapitre 2 : l épargne en incertain Risque de revenu Risque de mort Assurance Chapitre 3 : les faits

4 4/46 Assurance, retraite et santé - F. Langot Introduction & Plan Partie 2 : Retraite Retraite : en fin de vie, on ne peut plus travailler. Comment avoir des revenus? Profiter des revenus financiers Partager les risques individuels de revenus, de mort Plan Chapitre 1 : l épargne en certain Le modèle à 2 périodes Le modèle multi-périodes Chapitre 2 : l épargne en incertain Risque de revenu Risque de mort Assurance Chapitre 3 : les faits

5 5/46 Assurance, retraite et santé - F. Langot Introduction & Plan Partie 3 : Santé Santé : un autre capital à entretenir...comment assurer son financement? Profiter des revenus financiers Partager les risques individuels de revenus, de mort Plan Chapitre 1 : l épargne en certain Le modèle à 2 périodes Le modèle multi-périodes Chapitre 2 : l épargne en incertain Risque de revenu Risque de mort Assurance Chapitre 3 : les faits

6 6/46 Assurance, retraite et santé - F. Langot Partie I : Epargne Chapitre I : L épargne en certain

7 7/46 Assurance, retraite et santé - F. Langot Un modèle à 2 périodes Hypothèses 2 périodes revenus :(y 1, y 2 ) préférences : u(c 1, c 2 ) rémunération des marchés financiers : r Problème max u(c 1, c 2 ) c 1,c 2 s.c. { c1 + s 1 = y 1 c 2 = (1 + r)s 1 + y 2

8 8/46 Assurance, retraite et santé - F. Langot La solution du modèle à 2 périodes Problème équivalant CPO max s 1 u(y 1 s 1, (1 + r)s 1 + y 2 ) u 1(c 1, c 2 ) = (1 + r)u 2(c 1, c 2 ) c r c 2 = y r y 2 2 équations, 2 inconnues (c 1, c 2 ).

9 9/46 Assurance, retraite et santé - F. Langot Exemple : utilité log avec β = 1 1+ρ. La CPO donne En passant en log on obtient u(c 1, c 2 ) = log(c 1 ) + β log(c 2 ) 1 c 1 = (1 + r)β 1 c 2 log(c) = r ρ

10 0/46 Leçon à tirer de l exemple Profil de la consommation r > ρ : le marché financier rémunère plus que le coût de l impatience incitation à l épargne on consomme donc plus demain c 2 > c 1 ou log(c) > 0. (Motif d intérêt). r < ρ : le marché financier rémunère moins que le coût de l impatience désincitation à l épargne on consomme donc moins demain c 2 < c 1 ou log(c) < 0. Variation des paramètres r : on peut passer d un profile décroissant à un profil croissant si le marché financier rémunnère mieux. ρ : on préfère le présent moins d épargne, plus de chance d être dans un profile décroissant.

11 1/46 Illustration graphique courbe d indifférence contrainte budgétaire Différenciation Optimum ssi K = log(c 1 ) + β log(c 2 ) κc β 2 = c 1 c r c 2 = Y dc 1 = β c 1 c 2 dc 2 dc 1 = r dc 2 β c 1 c 2 = r 1 c 1 = (1 + r)β 1 c 2

12 12/46 Le cas particulier r = ρ Dans ce cas, on a log(c) = 0 c 1 = c 2 c. Lissage parfait de la consommation : (y 1, y 2 ) donnant le même Y, on consomme c. on supprime toutes les variations de consommation liées aux variations de revenu gardant Y constant. La contrainte budgétaire détermine alors seule cette consommation : c = Y 1 + R avec R = r

13 3/46 Autre préférences u(c 1, c 2 ) = c1 σ 1 1 σ + β c1 σ 2 1 σ avec β = 1 1+ρ. La CPO donne c σ 1 = (1 + r)βc σ 2 c 2 = [(1 + r)β] 1 σ c1 En passant en log on obtient log(c) = 1 (r ρ) σ La solution (on met dans la CB la CPO) : c 1 = Y 1 + (1 + r) 1 σ 1 β 1 σ c 1 = (1 + r) Y (1 + r) + ((1 + r)β) 1 σ

14 4/46 Leçon à tirer de cette exemple c 1 = (1 + r) Y (1 + r) + ((1 + r)β) 1 σ Quand σ est grand, alors les variations de consommation sont faibles. Plus σ est élevé, moins le consommateur est près à diminuer sa consommation en période 1 pour augmenter sa consommation en période 2. Plus σ est élevé (utilité très concave), plus le deuxième terme du dénominateur est petit (à la limite 1), ce qui diminue l effet du négatif du dénominateur sur la consommation.

15 15/46 Au delà du cadre à 2 périodes Hypothèses T périodes revenus :(y 1,..., y T ) préférences : u(c 1,..., c T ) rémunération des marchés financiers : r, t. Problème max {c t} T t=1 T β t 1 u(c t ) t=1 s.c. a t+1 = (1 + r)(a t + y t c t ) t = 1,..., T 1 a T 0

16 6/46 Comment résoudre le problème? Soit x t = a t + y t (ce que je possède dans la période t) : max {c t} T t=1 T β t 1 u(c t ) t=1 s.c. x t+1 = (1 + r)(x t c t ) + y t+1 t = 1,..., T 1 x T y T Soit V t (x t ) la valeur maximale du mon utilité à la période t : V t (x t ) = max c t {u(c t ) + βv t+1 (x t+1 )} t = 1,..., T 1 En utilisant la contrainte budgétaire, on a, t = 1,..., T 1 V t (x t ) = max c t {u(c t ) + βv t+1 ((1 + r)(x t c t ) + y t+1 )}

17 17/46 Solution du modèle de cycle de vie CPO dv t (x t ) dc t = 0 u (c t ) = (1 + r)βv t+1(x t+1 ) t = 1,..., T 1 où V t+1 (x t+1) représente l accroissement optimal de mon utilité si je possède 1 Euro de plus. Comment déterminer cet accroissement d utilité? Imaginons que je soit plus riche d 1 Euro aujourd hui ( dont de dieu ), alors dv t (x t ) dx t = V t (x t ) = (1 + r)βv t+1(x t+1 ) t = 1,..., T 1

18 8/46 Solution du modèle de cycle de vie La CPO et l accroissement de la valeur donnent : d où u (c t+1 ) = (1 + r)βv t+2(x t+2 ) V t+1(x t+1 ) = (1 + r)βv t+2(x t+2 ) u (c t ) = (1 + r)βu (c t+1 ) t = 1,..., T 1 C est la condition d Euler

19 19/46 Solution du modèle de cycle de vie Par récurrence, avec c1 σ 1 σ, on a c t = [(1 + r)β] t 1 σ c1 c t = φ t 1 c 1 On introduit ce résultat dans la CB : T ( ) 1 t 1 φ t 1 c 1 = Y 1 + r t=1 T ( ) φ t 1 c 1 = Y 1 + r t=1 c 1 1 Φ T 1 Φ = Y avec Φ = φ 1+r c 1 = 1 Φ 1 Φ T Y

20 20/46 Qu apprend-on de plus qu avec le modèle à 2 périodes On suppsose r > ρ profile croissant de consommation : r > ρ φ > 1 donc c t. y 1 = y 2 =... = y e = 0 éducation y r = y r+1 =.. = y T = 0 Retraite, avec r > e. endettement, puis accumulation et en fin de vie on mange son épargne pour arriver a T = 0. Impact de la condition terminale : a T = 0 : Si il y a un motif de leg, alors a T > 0 et donc les retraités ne mangent pas toute leur épargne.

21 1/46 Hausse du taux d intérêt Considérons une augmentation de taux d intérêt. Il y aura deux effets : Effet revenu : le prix de la consommation de demain baisse, du pouvoir d achat consommer davantage en 1 et 2. du coût de c 1 (possibilté de gagner plus d intérêt en consommant moins aujourd hui) consommer plus en 2. avec u(c 1, c 2 ) = c1 σ 1 1 σ + β c1 σ 2 1 σ { Y (r) = y1 y 2 = 0 Y = 0 C(r) = c 1 + c 2 1+r C (r) < 0 du prix de c 2 si r. Effet revenu

22 22/46 Hausse du taux d intérêt La CPO donne : c1 σ = (1 + r)βc2 σ log(c) = 1 (r ρ) [r log(c) ] σ Effet de substitution. Effet total : la solution (on met dans la CB la CPO) est c 1 = (1 + r) 1 σ σ β 1 σ y 1 dc 1 dr > 0 si σ > 1.

23 23/46 Partie I Epargne Chapitre II L épargne en incertain

24 4/46 Section 1 Le risque de revenu

25 25/46 Un modèle à 2 périodes en incertain Hypothèses revenus : s = 1 ( (y 1, 0) ) avec une probabilité π s = 2 y 1, avec une probabilité 1 π y 2 1 π E(y 2 ) = y 2, mais Var(y 2 ) > 0 et croissante avec π. préférences : u(c 1 ) + βu(c 2 ) rémunération des marchés financiers : r, s. Problème s.c. max {u(c 1) + βe[u(c 2 )]} c 1,c 2 (1),c 2 (2) c 1 + s 1 = y 1 c 2 (1) = (1 + r)s 1 π c 2 (2) = (1 + r)s 1 + y 2 1 π 1 π

26 6/46 Solution Les choix optimaux sont solution de : u(c 1 ) V = max +βπu((1 + r)(y ( 1 c 1 )) ) c 1 +β(1 π)u (1 + r)(y 1 c 1 ) + y 2 1 π CPO u (c 1 ) = (1 + r)βπu(((1 + r)(y 1 c 1 )) ( +(1 + r)β(1 π)u (1 + r)(y 1 c 1 ) + y ) 2 1 π u (c 1 ) = (1 + r)βe[u (c 2 )] Problème : impact de l incertitude sur l épargne.

27 7/46 Solution : le cas de l utilité quadratique On suppose u(c) = c b 2 c2. Dans ce cas u (c) = 1 bc, d où 1 bc 1 = (1 + r)βe[1 bc 2 ] 1 bc 1 = (1 + r)β (1 + r)βbe[c 2 ] La variance ne joue aucun rôle ici. Les CB impliquent E[c 2 ] = (1 + r)(y 1 c 1 ) + y 2, En certain, on a c 2 = (1 + r)(y 1 c 1 ) + y 2, idem. (1 + r)β 1 c 1 = b[1 + (1 + r) 2 β] + (1 + r)2 β 1 + (1 + r) 2 β Y Solutin identique Equivalent certain.

28 28/46 Solution pour u (c) 0 Par un développement de Taylor, on a E[u (c 2 )] = E [u (E[c 2 ]) + u (c 2 E[c 2 ]) + 12 ] u (c 2 E[c 2 ]) 2 De même, on a = u (E[c 2 ]) u E [ (c 2 E[c 2 ]) 2] } {{ } =σ 2 c u (c 1 ) = u (c 1 ) + u (c 1 c 1 )

29 29/46 Solution pour u (c) 0 Dans la CPO u (c 1 ) + u (c 1 c 1 ) = (1 + r)β{u (E[c 2 ]) u σ 2 c} c 1 = c 1 + (1 + r)β 1 u 2 u σ2 c Donc si u u < 0 alors c 1 < c 1 Epargne de précaution. Dans le cas où u(c) = c1 σ u 1 σ alors u = (1 + σ)/c. L indice absolu de prudence, défini par ω(c) = u u augmente avec σ. L incertain crée un motif d épargne supplémentaire : s assurer.

30 30/46 Solution pour u (c) 0 Si u = 0 alors pas d épargne de précaution (équivalent certain). Si u > 0 alors épargne de précaution. L utilité marginale est convexe. Par l inégalité de Jensen, on a u (E[c 2 ]) < E[u (c 2 )]. E[u (c 2 )] augmente avec Var(c 2 ) si u (c 2 ) est convexe. Donc plus la variance augmente, plus l utilité marginale de consommer en 2 augmente. La seule façon pour l agent de rétablir la condition d Euler est de diminuer c 1 et donc d augmenter l épargne. u < 0 alors épargne de précaution négative : les imprudents.

31 31/46 Les actifs financiers et l assurance Problème max {E[u(c 1) + βu(c 2 )]} c 1 (1),c 1 (2),c 2 (1),c 2 (2),b(1),b(2),a s.c. π 1 π { c1 (1) + qb(1) = y 1 { c 2 (1) = b(1) pa + a c1 (2) + qb(2) = y 1 c 2 (2) = b(2) pa + y 2 1 π Idée : Pour avoir un marché de l assurance, il faut de l hétérogénéité ex-post, même si homogénéité ex ante. Les chaceux seront créditeurs ex post et pourront indemniser les malchanceux, débiteurs ex post.

32 2/46 Les actifs financiers et l assurance On remplaçant b(1) et b(2), on a { } π[u(c1 (1)) + βu(c max 2 (1))] c 1 (1),c 1 (2),c 2 (1),c 2 (2),a +(1 π)[u(c 1 (2)) + βu(c 2 (2))] s.c. (π) c 1 (1) + q(c 2 (1) + pa) = y 1 + qa (1 π) c 1 (2) + q(c 2 (2) + pa) = y 1 + q y 2 1 π Le lagrangien est L = π[u(c 1 (1)) + βu(c 2 (1))] + (1 π)[u(c 1 (2)) + βu(c 2 (2))] +λ(1)π[y 1 + qa c 1 (1) q(c 2 (1) + pa)] +λ(2)(1 π)[y 1 + q y 2 1 π c 1(2) q(c 2 (2) + pa)]

33 33/46 Les actifs financiers et l assurance Compagnie d assurance Π = pa πa p = π Mutualisation par le marché : inter-personnelle, différent de l assurance intra-personnelle on ajoute une possibilté d échange. Le prix de marché du risque est sa probabilité.

34 4/46 Les actifs financiers et l assurance Les CPO sont u (c 1 (1)) = λ(1) u (c 1 (2)) = λ(2) βu (c 2 (1)) = λ(1)q βu (c 2 (2)) = λ(2)q λ(1)π(1 p) = λ(2)(1 π)p Comme p = π, on a λ(1) = λ(2) et donc u (c 1 (1)) = u (c 1 (2)) c 1 (1) = c 1 (2) u (c 2 (1)) = u (c 2 (2)) c 2 (1) = c 2 (2) Assurance parfaite même solution qu en certain

35 35/46 Leçons à tirer de l assurance parfaite Si il n y a qu un titre pour transférer de la richesse entre aujourd hui et demain, et que ce demain est multiple, alors l incertain ne peut être parfaitement assuré : L agent qui peut être malchanceux demain ne peut s échanger qu avec lui-même entre les période Epargne de précaution (sous-optimal) Si il y a la possibilité de s échanger des titres ex post, et que ces titres sont aussi nombreux que la multiplicité des demains, alors l agent peut retrouver la même allocation qu un certain La mutuallisation des risques supprime leurs potentielles conséquences (optimal).

36 6/46 Section 2 Le risque de mort

37 37/46 Le risque de mort Hypothèses m j : proba du mourir à l âge j Survivre jusqu à l âge t : s t = Π t j=1 (1 m j) Lien : m t = 1 st s t 1 Les survies conditionnelles : s t,t+1 = s t+1 s t Utilité : U(c 1, c 2,...c T ) = T j=1 βj 1 u(c j ) Revenu : (y 1,..., y T ).

38 38/46 Epargne et risque de mort Ecriture récursive de l utilité V 0 = u 0 + (1 m 1 )u 1 + (1 m 1 )(1 m 2 )u [Π t j=1(1 m j )]u t +... = s 0 u 0 + s 1 u 1 + s 2 u s t u t +... V 5 = u 5 + s 6 u 6 + s 7 u s t u t +... s 5 s 5 s 5 = u 5 + s [ 6 u 6 + s 5 s 7 u s ] 5 s t u t +... s 5 s 6 s 5 s 6 s 5 = u 5 + s 6 s 5 V 6

39 39/46 Le risque de mort : rentes et assurance vie En utilisant la contrainte budgétaire, on a, t = 1,..., T 1 V t (x t ) = max c t {u(c t ) + βs t,t+1 V t+1 ((1 + r)(x t c t ) + y t+1 )} La condition d Euler est donc u (c t ) = (1 + r)βs t,t+1 u (c t+1 ) t = 1,..., T 1 Soit avec u(c) = c1 σ 1 σ, c t+1 c t = [(1 + r)βs t,t+1 ] 1 σ t = 1,..., T 1

40 40/46 Le risque de mort : rentes et assurance vie En utilisant l approximation log(1 + x) x pour x petit, alors log(c t+1 ) = r ρ m t+1 σ La mortalité diminue la croissance de la consommation. Moins demain est certain, plus il faut consommer vite pour profiter de sa richesse. Même si r > ρ, ce qui explique log(c t+1 ) > 0 jeunes, on peut avoir log(c t+1 ) < 0 vieux pour m t grand = DATA Ceci ne dit rien sur la richesse : cela dépend des contrats sur les marchés financiers.

41 41/46 L assurance vie Supposons que vous ayez le choix entre deux placements de 1 Euro pour un an. Vous avez 50% de chance de survie à la période 2. Le placement A consiste en un certificat de dépôt qui paiera avec taux de rendement r peut importe si vous êtes vivant ou non dans un an. Donc, la valeur de marché à terme est 1 + r. Mais si vous êtes mort, l utilité que vous y accorder est de 0. Le placement B vous donne 2(1 + r) = 1 50% (1 + r) si vous survivez et zéro sinon. L espérance de rendements des deux produits est la même : 1 + r. Le consommateur préfère B, quelles que soient ses préférences, puisqu il valorise le placement seulement s il est vivant.

42 2/46 L assurance vie Le problème devient alors V t (x t ) = max c t d où la CPO { u(c t ) + βs t,t+1 V t+1 ( 1 + r s t,t+1 (x t c t ) + y t+1 u (c t ) = (1 + r)βu (c t+1 ) t = 1,..., T 1 )} identique à celle en certain. L assurace vie (versement d une rente si vie ) peut donc assurer parfaitement contre le risque de mort.

43 43/46 Les actifs financiers et l assurance vie L = π[u(c 1 (1))] + (1 π)[u(c 1 (2)) + βu(c 2 (2))] +λ(1)π[y 1 c 1 (1) qpa] +λ(2)(1 π)[y 1 c 1 (2) qpa + q(a c 2 (2))] CPO u (c 1 (1)) = λ(1) u (c 1 (2)) = λ(2) βu (c 2 (2)) = λ(2)q λ(1)πqp = λ(2)(1 π)q(1 p)

44 44/46 Les actifs financiers et l assurance vie La dernière CPO établit le lien entre λ(1) et λ(2) : λ(1)πp = λ(2)(1 π)(1 p) Marché de l Assurance en concurrence parfaite (Π = 0) : p = 1 π On a donc λ(1) = λ(2) et donc c 1 (1) = c 1 (2).

45 45/46 Les actifs financiers et l assurance vie Le problème de l agent est alors d où L = u(c 1 ) + β(1 π)u(c 2 ) + λ[y 1 c 1 (1 π)qc 2 ] q = β u (c 2 ) u Idem qu en certain (q = 1/(1 + r)) (c 1 ) Une assurance vie complète, permet de retrouver les résultats d une économie sans risque.

46 46/46 Les actifs financiers et l assurance vie

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