Analyse Fonctionnelle Cours, Chapitre n 8 Luc Hillairet. Bases Hilbertiennes

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1 SOM1MT05 Université d Orléans Analyse Fonctionnelle Familles orthogonales Cours, Chapitre n 8 Luc Hillairet. Bases Hilbertiennes Définition 1. Dans un espace euclidien (E,h, i) une famille de vecteurs non-nuls (u i ) i2i est dite orthogonale dès lors que 8i 6= j, h u i,u j i =0, orthonormée, si elle est orthogonale et de plus, 8i, ku i k =1. Lorsque (u i ) i2i est une base de E, on parle de base orthogonale (resp. orthonormée). Remarque : On vérifiera sans peine que si (u i ) i2i est orthogonale, alors ( u i ku i k ) i2i est orthonormée. Lemme 1. Toute famille orthogonale (a fortiori orthonormée) est libre. Démonstration. En e et, soit P i2i iu i une combinaison linéaire finie qui annule la famille : X i u i =0. i2i Pour tout i en faisant le produit scalaire avec u i et en utilisant l orthogonalité, on obtient : D où i = 0 et la liberté de la famille. i ku i k 2 =0. L intérêt des bases orthonormées est que de nombreuses formules sont plus simples. On a par exemple les propriétés suivantes. 1. Soit (E,h, i) un espace euclidien de dimension finie et (e i ) 1appleiapplen une base orthonormée alors par sesquilinéarité on obtient pour x = P n i=1 x i e i et y = P n i=1 y i e i nx hx, yi = x i y i. En particulier, on trouve que nécessairement x i = he i,xi. 2. Soit H un espace de Hilbert et F E un sous-espace de dimension finie dont (e i ) 1appleiapplen est une base orthonormée alors nx 8x 2H, F (x) = he i,xie i. En e et, si on définit z par la formule de droite alors il est clair que z 2 F et de plus i=1 i=1 8j, he j,x F (x)i = he j,xi he j,xi. Ce qui caractérise le projeté orthogonal sur F. 1

2 2 Orthonormalisation La procédure d orthonormalisation permet de transformer toute famille libre en famille orthonormée. Théorème 1. Soit (u i ) 1appleiapplen une famille libre finie dans un espace euclidien (E,h, i) alors il existe une famille orthonormée (e i ) 1appleiapplen telle que 8m apple n vect(u i ) 1appleiapplem =vect(e i ) 1appleiapplem. Démonstration. Pour 1 apple m apple n, on note F m := vect(u i ) 1appleiapplem et m la projection orthogonale sur F m. On définit alors la famille (v i ) 1appleiapplen de la façon suivante v 1 := u 1, 8i apple n 1, v i+1 := u i+1 i (u i+1 ). On montre alors par récurrence sur m les propriétés voulues. Il n y a rien à faire pour m =1. On suppose alors la propriété au rang m. Remarquons tout d abord que par construction v m+1 est orthogonal à F m et donc à tous les v i, 1 apple i apple m. La famille (v i ) 1appleiapplem+1 est donc orthogonale. Comme la famille (u i ) 1appleiapplen est libre on a F m+1 = F m vect(u m+1 ). Ceci entraîne que v m+1 6=0etdeplus,v m+1 2 F m+1 et donc vect(v i ) 1appleiapplem+1 F m+1. En écrivant u m+1 = v m+1 m (u m+1 ) on en déduit aussi u m+1 2 vect(u i ) 1appleiapplem+1 d où la propriété cherchée. On pose alors e i := v i kv i k. Corollaire 1. Soit (E,h, i) un espace euclidien de dimension finie, alors E admet des bases orthonormées. 2.1 Applications à la dimension finie L existence de bases orthonormées en dimension finie a de nombreuses applications. On en liste quelques-unes ci dessous. Dans tous ces exemples (E,h, i) est un espace vectoriel euclidien de dimension n. 1. E est isométrique à C n muni de son produit scalaire canonique. Plus précisément, si (e i ) 1appleiapplen est une base orthonormée alors l application linéaire définie par x 7! (he 1,xi,...,he n,xi) est une isométrie. 2. Dans une base orthonormée on représente x et y par des vecteurs colonnes X et Y et on a hx, yi = X Y. On en déduit qu une matrice de passage U entre deux bases orthonormées vérifie U U = UU = I. On en déduit aussi que la matrice d une isométrie dans une base orthonormée vérifie aussi cette relation. 3. Le procédé d orthonormalisation de Schmidt est alors équivalent à l énoncé suivant. Proposition 1. Soit A une matrice hermitienne définie positive alors il existe T triangulaire telle que A = T T. 2

3 3 Bases Hilbertiennes Soit (e i ) i2i une famille finie ou infinie de vecteurs d un espace vectotiel E. On rappelle que le sous-espace vectoriel vect(e i ) i2i est l ensemble des combinaisons linéaires finies des (e i ) i2i. En particulier pour une famille (e n ) indexée par N, on a l équivalence 3.1 Etude d un modèle : `2 x 2 vect(e n ),9N 2 N, x 0,...,x N, x = On rappelle que `2(N, R ou C) est l espace des suites (x n ) n que X x n 2 < 1. Le produit scalaire défini par 0 réelles ou complexes telles hx, yi := X x n y n, fait de `2 un espace de Hilbert. Pour tout k 2 N, on définit la suite e k 2 `2 par e k (n) = 1 si k = n, 0 sinon. On a alors le lemme suivant Lemme 2. La famille (e k ) k 0 est orthonormée dans `2 et vect(e k ) k 0 est dense dans `2. Démonstration. Le fait que la famille est orthonormée est immédiat : pour tout x := (x n ) 2 `2 et tout ">0, il existe N tel que X n N+1 1 x n 2 A 1 2 apple ". Ce qui se réécrit Ainsi kx x n e n kapple". vect(e n ) \ B(x, ") 6= ;. Remarquons que si on note F N =vect(e n ) 0applenappleN et N la projection orthogonale dans `2 sur F N alors, pour tout x := (x n ), on a N (x) = 3

4 Exercice 1. Démontrer la propriété précédente. Ainsi, dans le lemme, on a en fait montré que la suite ( N (x)) N `2. Comme on a aussi montré N (x) = he n,xie n, on obtient donc 1X 8x 2 `2, x = he n,xie n. 0 convergeait vers x dans 3.2 Familles totales On travaille maintenant dans un espace de Hilbert complexe 1 H de dimension infinie et on suppose qu il existe (e n ) n2n une famille orthonormée. Lemme 3. Soit (x n ) 2 `2(N, C) alors la suite (X N ) N 0 d éléments de H définis par converge vers un élément noté X N := 1X x n e n, x n e n ou X Démonstration. Il su t de montrer que la suite (X N ) N 0 est de Cauchy. Comme la famille (e n ) est orthonormée, on a 8p >q, kx p X q k 2 = qx n=p+1 x n 2. Comme x 2 `2, cela entraîne que (X N ) N 0 est une suite de Cauchy de H qui converge donc puisque ce dernier est complet. Remarque : Par définition on a donc que, pour tout x 2 `2, X x n e n 2 vect(e n ). Théorème 2. Soit x 2Het (e n ) une famille orthonormée. On définit la suite (x n ) par x n := he n,xi. On a alors 1. La suite (x n ) appartient à `2(N, C) et 1. le cas réel est complètement similaire 1X x n 2 applekxk 2. 4

5 2. Notons F := vect(e n ) et la projection orthogonale sur F alors (x) = X Démonstration. On note F N := vect(e n ) 0applenappleN. Comme F N est un sous-espace vectoriel de dimension finie, il est notamment fermé, et on peut noter N la projection orthogonale sur F N. On a rme que, pour tout x et tout N on a N (x) = En e et, si on note X N := P N x ne n, il est d abord clair que X N 2 F N. De plus, pour tout 0 apple n apple N, on a he n,x X N i = x n he n,x N i =0. Ce qui prouve x X N 2 F? N et donc l assertion. On en déduit que, pour tout N 2 N, kx N k 2 = x n 2 applekxk 2. Ceci donne le premier point en passant à la limite. D après le premier point, X := P x ne n est bien défini et appartient à F puisque c est une limite de combinaisons linéaires finies des (e n ). Par ailleurs, par continuité du produit scalaire avec e n on a Par linéarité, on en déduit que 8, he n,x Xi =lim N1 he n,x X N i =0. 8y 2 vect(e n ), hy, x Xi =0. Par continuité, on en déduit, D où X = (x). 8z 2 F, hz,x Xi =0. 0 est une fa- Remarque : La première inégalité dans la proposition, valable dès que (e n ) n mille orthonormée d un espace de Hilbert H, s appelle l inégalité de Bessel. Corollaire 2. Avec les notations du théorème précédent. k (x)k 2 = X x n 2, X d(x, F ) 2 = kxk 2 x n 2. 5

6 Démonstration. Puisque X N tend vers (x) la, première égalité vient en passant à la limite dans kx N k 2 = P N x n 2. La deuxième égalité découle alors du théorème de Pythagore. Définition 2. Soit (e n ) une famille (finie ou infinie) de vecteurs d un espace vectoriel normé (E,k k). Elle est dite totale lorsque vect(e n ) = E. Dans un espace de Hilbert H, une famille orthonormée totale est appelée base hilbertienne de H. Remarques : 1. On fera attention que, sauf en dimension finie, une base hilbertienne n est pas une base au sens algébrique. 2. La famille (e n ) définie dans le paragraphe précédent dans `2 est donc une base hilbertienne, parfois appelée base hilbertienne canonique de `2. 3. On pourra noter que dans un espace de Hilbert, une famille (e n ) est totale si et seulement si on a l implication suivante [8, he n,xi = 0] ) 0, qui traduit l égalité (vect(e n ) )? = {0}. Quand (e n ) est une base hilbertienne, la projection orthogonale sur F devient l identité. Le premier théorème devient donc 8x 2H, x := X he n,xie n. Proposition 2. Soit (e n ) une famille orthonormée dans un espace de Hilbert H alors les assertions suivantes sont équivalentes. 1. La famille (e n ) est une base hilbertienne. 2. Pour tout x 2H, on a l égalité de Parseval-Plancherel : kxk 2 = X he n,xi Pour tous x, y 2H,ona hx, yi = 1X hx, e n ihe n,yi. Démonstration. 1 ) 2 Par hypothèse F? = {0} et donc, pour tout x, d(x, F )=0. 2 ) 1 D après le corollaire ci dessus, l égalité de Parseval-Plancherel entraîne que, pour tout x, d(x, F ) = 0 et donc x 2 F. 3 ) 2 Faire x = y. 1 ) 3 On note N la projection orthogonale sur vect(e n ) 0applenappleN et on a puisque la famille (e n ) n 8N, h N (x),yi = h N (x), N (y)i = hx, e n ihe n,yi 0 est orthonormée. Le résultat s en déduit. 6

7 Exercice 2. Montrer que si (e n ) est une base hilbertienne de H alors l application b définie de H!`2 par ˆx =(he n,xi) est une isométrie surjective de H sur `2. Exemple : Dans L 2 per, la famille (e n ) n2z définie par e n (x) =exp(inx) est une base hilbertienne. En e et, elle est clairement orthonormée pour le produit scalaire normalisé. Elle est totale car les polynômes trigonométriques sont denses dans L 2 per. On en déduit la théorie L 2 des séries de Fourier et en particulier la formule de Parseval-Plancherel : 8u 2 L 2 per, 1 2 Z u(x) 2 dx := X n2z he n,ui 2 Exercice 3. On travaille dans L 2 ([0, ],dx). Pour k 1, on définit u k par u k (x) =sin(kx). 1. Calculer hu k,u j i pour tous k et j. En déduire que la famille (e n ) définie par e n := un ku nk est orthonormée. 2. Montrer que la famille (e n ) n 1 est une base hilbertienne. (on pourra montrer que toute fonction de L 2 ([0, ]) se prolonge en une fonction impaire de L 2 per.) 3.3 Encore un théorème de Riesz Le procéde d orthonormalisation de Gram-Schmidt entraîne que tout espace de Hilbert de dimension finie est isomorphe à C n muni de son produit scalaire canonique. En dimension infinie, on a aussi un résultat similaire que l on va énoncer seulement dans le cas séparable. Définition 3. Soit (E,k k) un espace vectoriel normé. On dit que E est séparable lorsqu il admet une partie dénombrable dense. Le théorème de Riesz s énonce alors de la façon suivante. Théorème 3. Soit H un espace de Hilbert séparable de dimension infinie, alors il existe une isométrie surjective de H sur `2(N, C). Démonstration. D après l exercice en fin de partie précédente, il su t de montrer que H admet une base hilbertienne. Par hypothèse, il existe une famille (a k ) k 0 dense dans H. On commence par en extraire une famille libre (b n ). Pour cela, on pose k 0 =min{k, a k 6=0} et on définit b 0 = a k0 et F 0 := vect(b 0 ). On définit ensuite par récurrence, pour, On vérifie alors les points suivants. k n+1 := min {k, a k /2 F n } b n+1 := a kn+1, F n+1 = F n vect(b n+1 ). 1. La suite (b n ) est infinie car H est de dimension infinie. 2. Par construction la famille (b n ) est libre. 7

8 3. La famille (b n ) est totale puisque vect(e n ) contient la famille (a k ) k 0. Il su t alors d orthonormaliser la famille (b n ) en (e n ) pour obtenir une base hilbertienne. Remarque : L hypothèse de dimension infinie peut être supprimée. Dans la construction il faut alors rajouter un cas lorsque la suite (b n ) est finie et on retrouve l isomorphisme d un espace de Hilbert de dimension finie avec C n. 8