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1 Contenu I. Obligation à taux fixe... 2 II. Famille d obligations... 3 III. Futures de taux long couverture de portefeuille... 4 IV. Emprunts... 5 V. Swap... 7 VI. Duration, sensibilité et convexité... 8 Juin 2017 CEA Finance I Exercices TD Page 1/9

2 I. Obligation à taux fixe Une obligation à taux fixe présente les caractéristiques suivantes : - Nominal : Echéance 30 juin Date d émission : 30 juin Taux de coupon : o 2% annuel jusqu au 30 juin 2020 o puis 3% annuel jusqu au 30 juin Fréquence de coupon : semestrielle, 30 juin et 30 décembre On se place au 16 juin On fait l hypothèse que les coupons semestriels sont égaux entre eux les 30 décembre d une année et 30 juin de l année suivante, et valent la moitié du coupon annuel. a) Calculer le coupon couru de l obligation. b) L obligation cote 70% du pair (prix pied de coupon), calculer le taux actuariel de l obligation en base semi-annuelle. Juin 2017 CEA Finance I Exercices TD Page 2/9

3 II. Famille d obligations On considère dans cet exercice un investisseur à qui est proposé un ensemble d obligations avec des variantes. Ces obligations sont toutes au pair et l objectif de l investisseur est d apprécier leurs TRIs relatifs. n est un entier donné. L obligation de référence Ob 0 (n) est une obligation : - de notionnel de coupon constant C versé annuellement - de maturité 2n + 1 années - avec remboursement du notionnel in fine - le prochain coupon tombe exactement dans 1 an, il n y a pas de coupon couru Pour δ donné, l obligation Ob δ (n) calquée sur l obligation précédente est une obligation - de notionnel de coupon versé annuellement dont la valeur dépend de l année i de versement C + (n + 1 i) δ - de maturité 2n + 1 années - avec remboursement du notionnel in fine - le prochain coupon tombe exactement dans 1 an, il n y a pas de coupon couru - δ est tel qu aucun des coupons de la séquence ne soit négatif et peut être positif ou négatif ( δ n C) Questions a) On suppose dans cette question : n = 2, C = 5 Donner les valeurs (en pourcentage 3 chiffres après la virgule) de a1) TRI 0,2 pour δ = 0,2 a2) TRI 0,2 pour δ = 0,2 a3) TRI 0,5 pour δ = 0,5 Juin 2017 CEA Finance I Exercices TD Page 3/9

4 Questions b) b1) en considérant les coupons, donner un premier encadrement (large) de TRI δ en fonction de C, n et δ (on ne demande pas de démonstration littérale mais un raisonnement) b2) en notant TRI δ le TRI de Ob δ (n), donner l expression littérale du prix de Ob δ (n) b3) on suppose que δ > 0 (et δ n C pour ne pas avoir de coupons négatifs) on considère - TRI δ TRI de l obligation Ob δ (n) au pair - TRI δ TRI de l obligation Ob δ (n) au pair Montrer littéralement en formant la différence des valeurs actuelles de Ob δ (n) et Ob δ (n) que TRI δ > TRI δ b4) avec le même raisonnement, montrer pour δ 1, δ 2 donnés (tels que δ 1 n < C et δ 2 n < C pour ne pas avoir de coupons négatifs) que si δ 1 > δ 2 alors TRI δ1 > TRI δ 2 b5) en déduire un encadrement plus fin de TRI δ que l encadrement large de la question b1) en distinguant les cas δ > 0 (affiner la borne inférieure) et δ < 0 (affiner la borne supérieure) III. Futures de taux long couverture de portefeuille Un gérant d'actifs est responsable d'un portefeuille d'obligations à taux fixe et variable. Il anticipe dans le mois à venir une hausse des taux des emprunts d'etat de la zone Euro de 0.50%. Valeur nominale (ME): 500 Valeur de marché : 520 Sensibilité : 7 Maturité moyenne 9.5 ans. Taux de rendement moyen : 3% Taux des emprunts Bunds 10 ans : 1.5 % a) En supposant que les obligations du portefeuille ne sont impactées que par cette hausse de taux attendue, calculer la variation de valeur de marché du portefeuille. b) Le gérant décide de couvrir cette variation de valeur de marché de son portefeuille, en cas de variation parallèle des taux, au moyen de futures sur taux longs. Il se porte sur le marché des futures Bund. Nominal : 0,1 ME Prix du future : 120 (%) Sensibilité : 8.1 Combien de contrats doit-il négocier et dans quel sens pour minimiser son risque? Juin 2017 CEA Finance I Exercices TD Page 4/9

5 c) Après une semaine, un mouvement de hausse des taux a eu lieu. Taux de rendement moyen du portefeuille: 3.8 % Taux des emprunts Bunds 10 ans : 2 % Au vu des taux, la variation de valeur du portefeuille et de sa couverture est-elle positive ou négative? Quel phénomène peut expliquer la différence entre la variation des taux Bund et celle des taux du portefeuille? d) Estimer le bilan financier (variation de la valeur de marché du portefeuille et de sa couverture). IV. Emprunts Questions a) On considère le prêt suivant, noté PR 0, remboursable par 5 annuités égales Du point de vue du prêteur Versement capital initial t= Annuités de 3 25 remboursement a1) calculer le taux de rendement interne du prêt, noté TRI 0 par la suite a2) écrire la formule de sensibilité et calculer la sensibilité du prêtnoté S 0 par la suite a3) écrire la formule de la convexité et calculer la convexité du prêt noté C 0 par la suite Questions b) On considère le prêt PR 1 avec b réel strictement positif Du point de vue du prêteur Versement capital initial t= b 25 2 b Annuités de 25 3 b remboursement 25 4 b b 5 25 b1) exprimer le taux de rendement interne de ce prêt TRI 1 en fonction de b et TRI 0 (relation notée (E1)) b2) donner la valeur de TRI 1 pour b = 1.05 Juin 2017 CEA Finance I Exercices TD Page 5/9

6 III.c. Questions c) On considère le prêt PR 2 avec c réel strictement supérieur à 1 Du point de vue du prêteur Versement capital initial t= /c /c 25 Annuités de 3 25 remboursement 4 c 25 5 c 2 25 On note TRI 2 le TRI de PR 2 et on définit TRI c tel que c1) En s appuyant sur le prêt Pr 0, avec c 3 = 25 (1 + TRI c ) i = 25 (1 + TRI 0 ) i donner une expression approchée de TRI c en fonction de S 0, TRI 0 et c, que l on notera (E2), en évaluant de combien doit varier TRI 0 au premier ordre pour passer du prix de 100 au prix de 100 c 3 c2) en déduire une expression approchée de TRI 2 en fonction de S 0, TRI 0 et c (relation notée (E3)) Pour les deux questions suivantes, on donne c = 1.05 c3) calculer la valeur approchée de TRI 2 par la relation (E3) c4) calculer la valeur exacte de TRI 2 c5) En s appuyant sur le prêt Pr 0, donner une expression approchée de TRI c en fonction de S 0,TRI 0 et Δ où Δ est défini par Δ = S C 0 (c 3 1) (relation notée (E4)) en évaluant de combien doit varier TRI 0 au premier et second ordre pour passer du prix de 100 au prix de 100 c 3 c6) en déduire une expression approchée de TRI 2 en fonction de S 0,TRI 0 et Δ que l on notera (E5) c7) calculer la valeur approchée de TRI 2 par la relation (E5) pour c = 1.05 Juin 2017 CEA Finance I Exercices TD Page 6/9

7 V. Swap Une entreprise vient de contracter un emprunt auprès de la banque ABC d'une durée de 5 ans à taux fixe. Les coupons sont annuels. Elle décide de passer à un endettement à taux variable indexé sur l'euribor 6 mois. A cette fin, elle contracte un swap auprès de la banque XYZ. Taux d'emprunt 2,50% Montant (M ) 100 Euribor 6 mois 0,70% a) Décrire le sens du swap est-il payeur ou receveur? b) Citer une anticipation possible de la part de l'entreprise la conduisant à passer à taux variable. c) Le taux de la jambe fixe du swap 5Y, supposé égal au taux du marché, est fixé à 2%. Quel est l'endettement pour l'entreprise, avec la mise en place du swap? Quelle est la valeur initiale du swap? Y a-t-il un échange de flux initial entre l'entreprise et la banque XYZ? d) Un an plus tard, les taux ont augmenté ; le taux de swap 4 ans est à 3,5% et l entreprise craint que la hausse des taux ne s amplifie sur le reste de son horizon d emprunt. Quel swap doit-elle mettre en place? Quelle est la différence de charge annuelle pour l entreprise (résultant de la mise en place des deux swaps) par rapport à son emprunt initial? Juin 2017 CEA Finance I Exercices TD Page 7/9

8 VI. Duration, sensibilité et convexité On rappelle que pour une obligation à taux fixe: - la sensibilité et la convexité correspondent à des variations de prix relatifs d ordre 1 et 2 par rapport au taux de rendement interne - la duration est la moyenne des dates de flux pondérés par la vie moyenne des flux a) Rappeler les expressions de ces 3 quantités quand le taux de rendement utilisé est un taux actuariel : n F T i P = (1 + r) T i b) Appliquer les calculs précédents à une rente perpétuelle : - de flux annuel a - de taux de rendement r P = a (1 + r) i et donner les expressions littérales de la sensibilité, la convexité et la duration. Application numérique : a = r = 2,50% Donner la valeur P de la rente perpétuelle, ainsi que les valeurs de la sensibilité, de la convexité et de la duration. c) Donner l expression littérale de sensibilité, convexité et duration pour un dépôt monétaire (un seul flux de remboursement) avec utilisation d un taux de rendement sous forme proportionnelle (en base monétaire, T = nb jours/360) Application numérique : P = F 1 + rt nb jours = 183 F = r = 1.5 % Juin 2017 CEA Finance I Exercices TD Page 8/9

9 d) Donner l expression littérale de sensibilité, convexité et duration pour un titre de maturité n avec expression du taux de rendement en continu Application numérique n P = F Ti e rt i Coupons semi-annuels tous les i/2 années obligation de maturité 5 ans, remboursement de dans 5 ans n = 10 F i = pour i 9 F 10 = r = 4 % Donner la valeur P de l obligation, ainsi que les valeurs de la sensibilité, de la convexité et de la duration. Juin 2017 CEA Finance I Exercices TD Page 9/9