BANQUE D ÉPREUVES DUT-BTS SESSION 2007 ÉPREUVE DE MÉCANIQUE CODE ÉPREUVE : BE-MÉCA CALCULATRICE INTERDITE DURÉE : 2H30

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1 NQUE D ÉPREUVES DUT-TS SESSION 2007 ÉPREUVE DE MÉCNIQUE CODE ÉPREUVE : E-MÉC CLCULTRICE INTERDITE DURÉE : 2H30

2 Eercice 1 On considère le réducteur épiccloïdal de la Figure 1, schématisé par quatre solides (0,1,2,3). On suppose que l arbre d entrée est le solide 1 et l arbre de sortie le solide 2. Le repère R 0 = (O,,, ), lié au solide 0, est fie. Le référentiel correspondant est supposé galiléen. Ce réducteur comporte deu engrenages : un premier, composé d une couronne à Z 0 dents liée 0 qui engrène sur un pignon à Z 3 dents lié au satellite 3 ; un second, composé d une couronne à Z 2 dents liée 2 qui engrène sur un pignon à Z 3 dents lié au satellite 3. On note Ω(i/j) = ω(i/j) le vecteur vitesse de rotation du solide i par rapport au solide j. I Z 3 Z 0 Z 3' Z O 3 2 Figure 1 Réducteur épiccloïdal () Si le contact entre les dents des engrenages est modélisé par une liaison clindre-plan (anciennement linéaire-rectiligne), le modèle tridimensionnel du réducteur est hperstatique de degré 1. () Si le contact entre les dents des engrenages est modélisé par une liaison sphère-plan (anciennement ponctuelle), le modèle tridimensionnel du réducteur est isostatique. (C) Le rapport de réduction du réducteur est : ω(2/0) ω(1/0) = 1 λ avec λ = Z 0Z 3 Z 3 Z 2 (D) Si le référentiel lié au solide 0 n avait pas été galiléen, le rapport de réduction précédent aurait été modifié. (E) Dans les trains épiccloïdau, on préfère généralement utiliser trois satellites afin d équilibrer les efforts radiau sur les couronnes. Dans ce cas, le rapport de réduction est divisé par 3. Eercice 2 On reprend le réducteur de la question précédente et on note G i le centre de gravité, m i la masse et I i le moment d inertie par rapport à l ae (G i, ) du solide i. On note I le point particulier où il a roulement sans glissement entre 3 et 0. On suppose que les actions mécaniques etérieures eercées sur le solide 1 et sur le solide 2 se résument respectivement au point O à un couple C 1 = C 1 et à un couple C 2 = C 2. 1

3 () Le mouvement du satellite 3 par rapport au bâti 0 est une translation circulaire. () La condition de roulement sans glissement en I du solide 3 par rapport au solide 0 se traduit par : V(I,3/0) = Ω(3/0) OI = 0 (C) L énergie cinétique du satellite 3 dans son mouvement par rapport à 0 est : T(3/0) = 1 2 I 3ω 2 (3/0)+ 1 2 m 3 V 2 (G 3,3/0) (D) Si l on suppose que toutes les liaisons sont parfaites, la relation qui lie le couple de sortie au couple d entrée est : C 2 = 1 C 1 λ 1 (E) Soit un point quelconque. Le moment dnamique du solide 3 dans son mouvement par rapport à 0, eprimé en, noté δ(,3/0), est relié au moment cinétique eprimé en, noté σ(,3/0), par la relation : ( ) d σ(,3/0) δ(,3/0) = + m 3 V(,3/0) V(G 3,3/0) dt R 0 Eercice 3 Un des critères de dimensionnement prépondérant dans l industrie aéronautique est de maimiser la puissance massique, c est-à-dire réduire au maimum la masse des constituants utilisés pour transmettre une puissance donnée. La Figure 2 représente un arbre en acier de module d Young E, coefficient de Poisson ν et masse volumique ρ. Cet arbre est modélisé par une poutre droite de longueur L, sollicitée par un couple C à son etrémité et un couple C à son autre etrémité. On se propose de montrer l intérêt d avoir recours à un arbre tubulaire (section S 2 de diamètre intérieur d et de diamètre etérieur D) plutôt qu à un arbre plein (section S 1 de diamètre φ). S S 2 1 φ G d G D L Figure 2 rbre en torsion section pleine S 1 ou creuse S 2 () Le module de cisaillement G du matériau peut s eprimer en fonction du module d Young E et du coefficient de Poisson ν par l epression suivante : G = E 2(1 ν 2 ) 2

4 () Le moment quadratique I 2 de la section creuse S 2 par rapport à l ae (G, ) est : I = ρ π 32 (D4 d 4 ) (C) La contrainte maimale dans la section S 2 est atteinte sur le diamètre moen d + D 2. (D) Pour une déformation angulaire identique sous l action du couple C, le rapport entre la masse m 2 d un arbre de section creuse S 2 et celle m 1 d un arbre de section pleine S 1 peut être eprimé en fonction du ratio ε = d/d par la relation : m 2 m 1 = 1 ε2 1 ε 4 (E) Pour une déformation angulaire identique sous l action du couple C, l utilisation d une section creuse S 2 avec ε = 0,9 permet de diviser par 10 la masse de l arbre par rapport à l utilisation d une section pleine comme S 1. Eercice 4 La Figure 3 représente une sphère S de raon R, immergée dans un récipient rempli d eau E. On note ρ S la masse volumique du matériau constitutif de la sphère et ρ E la masse volumique de l eau. L accélération de la pesanteur est g = g et on suppose que la pression atmosphérique est négligeable. On s intéresse à la position d équilibre de la sphère dans le récipient, et notamment à la position relative entre la surface de l eau et le sommet de la sphère, repéré par h = h. h S E Figure 3 Équilibre d une sphère immergée () Si la pression atmosphérique n avait pas été négligée, une augmentation de 10 % de celle-ci aurait conduit à une diminution de 10 % de h. () Si ρ S = ρ E, alors h = 0. (C) Si ρ S > ρ E, alors h > 0. (D) Si 0 h R, le volume v de la calotte sphérique qui émerge de l eau est : ( v = πh 2 R h ) 3 3

5 (E) Si ρ S < ρ E, alors la hauteur h peut être déterminée en utilisant la relation : ( h 2 R h ) = 43 ( 3 R3 1 ρ ) E ρ S Eercice 5 () Un matériau isotrope présente les mêmes caractéristiques mécaniques en tout point de la matière. () Le brone est un alliage de cuivre et d étain. (C) Dans un acier faiblement allié, aucun des éléments d addition ne dépasse une teneur de 5 %. (D) La trempe d un acier a pour effet d augmenter sa résistance à la rupture sans modifier sa limite élastique. (E) Un essai de fluage consiste à étudier la déformation d une éprouvette au cours du temps sous l action d efforts appliqués constants. Eercice 6 L assemblage représenté sur la Figure 4 permet une translation entre une tige 1 de diamètre d et un coulisseau 2 de diamètre d + j et de longueur l. On suppose que le jeu j, bien que négligeable devant d ( j d), permet un basculement du coulisseau par rapport à la tige, ce qui conduit à considérer cet assemblage comme l association en parallèle de deu liaisons sphère-plan, en et. Le contact est modélisé en utilisant la modèle de Coulomb et on note f le coefficient de frottement. Enfin, le coulisseau est soumis à un glisseur F = F (F > 0) dont l ae central est distant de L de l ae de la liaison. On se propose d étudier le risque d arc-boutement de cette liaison. d 1 l 2 F j L Figure 4 rc-boutement d une liaison 4

6 () L arc-boutement est un phénomène lié au frottement qui se traduit par un équilibre indépendant de l intensité de l action mécanique qui tendrait à le rompre. () L action mécanique eercée par 1 sur 2 au niveau du contact en se traduit par un glisseur : R (1 2) = N +T avec N > 0 et T > 0 (C) L action mécanique eercée par 1 sur 2 au niveau du contact en se traduit par un glisseur : R (1 2) = N T avec N > 0 et T > 0 (D) Le modèle de la liaison est hperstatique d ordre 2. (E) Si l on suppose qu on est à la limite du glissement au niveau d un des contacts, on montre qu il a arc-boutement si : L l 2 f Eercice 7 On se propose d étudier le montage de roulements de la Figure 5. Figure 5 Montage de roulements () Les deu roulements à billes à contact oblique sont montés de façon à conférer une grande souplesse à la liaison et permettent d encaisser une charge aiale importante. () Le roulement rigide à billes, tel qu il est monté, peut être modélisé par une liaison rotule. (C) Si on modélise chacun des roulements à contact oblique par une liaison rotule et le roulement rigide à billes par une liaison sphère-clindre, le modèle associé au montage de la Figure 5 est hperstatique d ordre 2. 5

7 (D) La liaison équivalente à ce montage est une liaison pivot. (E) Le joint à lèvre utilisé dans le montage est un joint V-ring. Eercice 8 On reprend le montage de roulements de la Figure 5 et on s intéresse plus particulièrement au deu roulements à billes à contact oblique. Il est à noter qu un jeu eiste entre les deu bagues intérieures de ces roulements afin de permettre une précharge du montage. () Les roulements à billes à contact oblique sont disposés de façon à former un montage «en X». () Un montage «en O» est toujours modélisé par une liaison pivot. (C) La précharge dans le montage de roulements à billes à contact oblique permet d améliorer la précision du guidage en rotation. (D) La précharge dans le montage de roulements à billes à contact oblique augmente toujours la durée de vie du montage. (E) Un montage «en X» permet de reprendre une charge aiale, ce que ne permet pas un montage «en O». Eercice 9 La Figure 6 représente le schéma cinématique d un joint de cardan constitué de trois solides (E,I,S) en mouvement par rapport à un bâti. Le repère R = (O,,, ), lié au bâti, est fie. Le référentiel correspondant est supposé galiléen. Les différents repères R E = (O, E, E, E ), R I = (O, I, I, I ) et R S = (O, S, S, S ), liés au solides E, I et S sont représentés sur la Figure 6. On pose θ E = (, E ) mesuré autour de, θ S = ( S, I ) mesuré autour de s et l angle de brisure α = ( E, S ) mesuré autour de. On suppose que les actions mécaniques etérieures eercées sur le solide E et sur le solide S par des solides autres que le bâti se résument respectivement au point O à un couple C E = C E E et à un couple C S = C S S. () À partir de la condition E I = 0, la loi entrée sortie est donnée par : tanθ S = cosαtanθ E. () Le mécanisme est homocinétique. (C) En considérant toutes les liaisons comme parfaites et les inerties négligeables, la relation qui lie le couple de sortie au couple d entrée est : C S = 1+tan2 θ E C E cosα(1+tan 2 θ S ) (D) On considère à présent deu joints de cardan montés en série. Le sstème est homocinétique. (E) Le sstème est homocinétique si les joints sont dans le même plan et que les angles de brisure sont égau ou opposés. 6

8 E I E E O α S I E = θ E S θ S S I Figure 6 Schéma cinématique et paramétrage du joint de cardan Eercice 10 On désire procéder à l équilibrage d une roue de véhicule r, en rotation par rapport au sol, par ajout sur la jante de deu masselottes m 1 et m 2. Les données du problème sont les suivantes : le sol est muni d un repère R 0 = (O, 0, 0, 0 ) ; le référentiel correspondant est supposé galiléen ; la roue r est munie d un repère R = (O,,, ) et elle est en rotation à vitesse constante ω autour de l ae (O, 0 ) = (O, ) par rapport au référentiel R 0 ; le bord de la jante est représenté par deu cercles de diamètre D distants du point O de ± c ; ces cercles appartiennent à des plans perpendiculaires à l ae de rotation de la roue ; on note G r le centre de gravité de la roue r et on pose OG r = r + r ; les éventuelles masselottes m 1 et m 2, utilisées pour équilibrer la roue, sont modélisées par des masses ponctuelles m 1 et m 2 situées en G 1 et G 2, avec : OG 1 = OG 2 = la matrice d inertie en O de la roue r, eprimée dans la base (,, ), est : F E I (O,r) = F D E D C (,, ) 7

9 () L ajout d une seule masselotte fiée sur le bord de la jante permet d obtenir l équilibrage statique de la roue. () Le moment dnamique en O de l ensemble S = {r,m 1,m 2 } dans son mouvement par rapport à R 0 est : ( ) d δ(o,s/r0 ) = m 1OG1 Γ(G 1 /R 0 )+m 2OG2 Γ(G 2 /R 0 )+ (I (O,S)ω ) dt R 0 (C) L équilibrage statique étant supposé réalisé, les équations à vérifier pour obtenir l équilibrage dnamique sont : m m D = 0 m m E = 0 (D) L ajout d une seule masselotte fiée sur la jante permet d obtenir l équilibrage dnamique de l ensemble bien que l utilisation de deu masselottes diamétralement opposées soit plus pratique. (E) Une roue mal équilibrée n a aucune influence sur la durée de vie des roulements assurant le guidage en rotation de la roue mais a une influence sur l usure des pneumatiques ainsi que sur le confort de conduite du véhicule. On considère le plan donné sur la Figure 7. Eercice 11 0, H7 45 Figure 7 Spécification géometrique () L élément tolérancé est le clindre de diamètre 10 mm. () La one de tolérance est clindrique de raon 0,1 mm. (C) L élément de référence est une droite distante de 15 mm de la surface et de 45 mm de la surface. La surface est le plan tangent etérieur matière associé à la surface réelle de la pièce minimisant le déplacement par rapport à celle-ci. La surface est le plan tangent etérieur matière associé à la surface réelle de la pièce minimisant le déplacement par rapport à celle-ci et orthogonal à la surface. 8

10 (D) La spécification de localisation donnée impose implicitement un défaut de forme (ici clindrique) inférieur à 0,05 mm. (E) Un ajustement de tpe H7/g6 correspond toujours à un montage avec jeu entre un arbre et un alésage. Eercice 12 On considère l arbre en fleion 4 points représenté sur la Figure 8. La section de cet arbre est constante, rectangulaire de hauteur h et de largeur b. On suppose que cet arbre a un module d Young E, un coefficient de Poisson ν, et qu il est modélisé par une poutre droite de longueur L, en appui à ses deu etrémités et D et sollicitée en et C par deu glisseurs P = F 2. P P G h C D b L 1 L 2 L 3 L Figure 8 rbre en fleion 4 points () Les réactions au appuis et D sont : F = F avec F = 2L 3 + L 2 L F D = F D avec F D = 2L 1 + L 2 L () Le chargement entre les points d appui et D correspond à un chargement de fleion pure. (C) Si L 1 = L 2 = L 3 = L 3, le moment du torseur de cohésion entre les points et C se réduit à : M coh = F 6 F 2 F 2 (D) À nouveau, si L 1 = L 2 = L 3 = L 3, la flèche v en milieu de poutre est donnée par : v = F EI L 2 16 avec I = bh3 12 (E) Il est possible d utiliser la valeur de la contrainte calculée par la résistance des matériau pour dimensionner la poutre au niveau de ses appuis. 9