Chapitre 2 : Dérivation et continuité T-ES2,

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1 Chapitre 2 : Dérivation et continuité T-ES2, Rappel sur la dérivation.. Règles de dérivation.. Dérivées des fonctions usuelles Fonction f f Fonction dérivée Domaine de validité f() = k (k R) f () = 0 R f() = a+b (a,b R) f () = a R 2 R {0} n (n N {0}) f () = n n R f () = 2 ]0, + [ Eemple. Déterminer l epression de la dérivée de la fonction f définie sur I. f() = 2 I = R; 4 f() = 5 I = R ; 2 f() = 7 34 I = R; 3 f() = 3 5 I = R; 5 f() = 6 I = R;...2 pérations et dérivées Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel. Alors, Fonction f Fonction dérivée f Domaine de validité u+v u +v I uv u v +v u I ku ku I u v u u v v u v 2 tout I tel que v() 0 u 2 u tout I tel que u() 0 u n nu n u I ; n N {0} u 2 u u I tels que u() > 0 Remarque. Toute fonction polynôme est dérivable sur R. Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle où elle est définie. /8

2 Eemple 2. Déterminer l epression de la dérivée de la fonction f définie sur I. f() = I = R; 4 f() = ( )( 2 4) I = [0;+ [; 2 f() = 2 4 I = R; 2 5 f() = I = R; f() = 4+ I = [0;+ [;.2. Tangente à la courbe d une fonction Propriété. Si la fonction f est dérivable en a, alors la courbe C f représentative de f admet au point d abscisse a une tangente dont l équation réduite est : y = f (a)( a)+. Remarque 2. Le nombre dérivé f (a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A d abscisse a. T A f (a) a Tangente à C f, en A y = f (a)( a) + 2/8

3 Eemple 3. Soit f la fonction définie par f() = 2 et P sa représentation graphique dans un repère orthonormé. Déterminer par lecture graphique l équation réduite de la tangente de P au point A(;). 2 Retrouver ce résultat par le calcul. P j 3 2 i 2 3 Eemple 4. Soit f la fonction définie sur ];+ [ par f() = 2 et C sa représentation graphique dans un repère orthonormé. Calculer f la fonction dérivée de f. j i Soit A(2;0) un point de C. Calculer le coefficient directeur de T A la tangente en A de C. 3 Donner l équation réduite de la tangente TA. 2 4 Tracer la tangente T A. 3 C 3/8

4 .3. Sens de variation et etremum local.3.. Signe de la dérivée f et sens de variation de f Théorème 2. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R. Si, pour tout de I, f () > 0, alors f est strictement croissante sur I. Si, pour tout de I, f () < 0, alors f est strictement décroissante sur I. Si, pour tout de I, f () = 0, alors f est constante sur I. C f Signe de f () a c b + 0 j a i c b Variations de f Eemple 5. Soit f une fonction définie et dérivable sur [ 5; ] dont la courbe représentative est donnée ci-contre : Dresser le tableau de signes de f C f Eemple 6. Soit f la fonction définie sur [ 3;7] par f() = Étude des variations de f. (a) Calculer f (). (b) Chercher si f () s annule (Résoudre f () = 0). (c) Étudier le signe de f (). 2 Donner le tableau de variation de f. 4/8

5 .3..2 Etremum local et dérivée Théorème 3. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Soit 0 I. Si f( 0 ) est un etremum local, alors f ( 0 ) = 0. La courbe C représentative de la fonction f admet une tangente horizontale au point ( 0 ;f( 0 )). Remarque 3. La réciproque de ce théorème est fausse. Eemple f() = 3, f (0) = 0 pourtant la fonction n admet pas d etremum local en 0. Théorème 4. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Soit 0 I. Si f ( 0 ) = 0 et si f change de signe en 0, alors f admet un etremum local en 0 Eemple 7. Soit f la fonction définie sur par f() = 2 3. Soit g la fonction définie sur par g() = Les fonctions f et g admettent-elles des etrema sur R? Si oui, préciser leur valeur, et les valeurs de pour lesquels ils sont atteints. 5/8

6 2.La continuité 2.. Notion intuitive de continuité Définition. Soit une fonction f définie sur un intervalle I de R. n dit que f est continue sur I si lorsqu on trace la courbe de la fonction f on ne lève pas le crayon. n dit qu il n y a pas de «saut» dans la représentation graphique de la fonction f. y y f() M f() M A A a a C f C f La fonction f est continue. La fonction f n est pas continue en a. La courbe C f présente un saut au point d abscisse a. Propriété 5. Les fonctions usuelles 2, 3 et les fonctions affines sont continues sur R. La fonction racine carrée est continue sur [0;+ [. La fonction inverse est continue sur ] ;0[ et sur ]0;+ [. Propriété 6. Si u et v sont deu fonctions continues sur un intervalle I, alors la somme u+v et le produit uv sont continus sur I. Corollaire 7. Les fonctions polynômes et rationnelles sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. Propriété 8. Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I. Remarque 4. La réciproque est fausse. La fonction racine carrée par eemple est définie et continue sur [0;+ [ et pourtant elle n est pas dérivable en 0. ( ) Eemple 8. Soit f la fonction définie par : f() =. Étudier la continuité de f. 6/8

7 2.2. Théorème des valeurs intermédiaires Propriété fondamentale des fonctions continues Théorème 9. f est une fonction continue sur un intervalle I. a et b désignent deu nombres réels de I. Pour tout nombre réel k compris entre et f(b), il eiste au moins un nombre réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. y f(b) k a 0 b Remarque 5. Ce théorème résulte du fait que l image d un intervalle de R par une fonction continue est un intervalle de R Cas d une fonction continue et strictement monotone Propriété 0. n considère une fonction f définie sur un intervalle [a; b] qui est continue et strictement monotone sur cet intervalle, k désigne un nombre réel compris entre et f(b), alors dans ces conditions, on peut affirmer que l équation f() = k admet une unique solution sur l intervalle [a;b]. f(b) a c b k f k f(b) C Remarque 6. Le tableau de variation ci-dessus permet d affirmer que l équation f() = k admet c pour unique solution dans l intervalle [a;b]. a c b Eemple 9. Voici le tableau de variations d une fonction f définie sur l intervalle [ 3;5] : f L équation f() = 0 possède-t-elle des solutions dans l intervalle [2;5]? Si oui, combien? 2 L équation f() = 0 possède-t-elle des solutions dans l intervalle [ 3;2]? Si oui, combien? 7/8

8 Eemple 0. Voici le tableau de variation de la fonction f définie et continue sur l intervalle [ 4;7] f Déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : f() = 2 ; 2 f() = 0 ; 3 f() = 2,5; 4 f() = 3 ; 3 0 Eemple. Soit f la fonction définie sur [ 0;0] par f() = Démontrer que l équation f() = 0 admet une unique solution. 2 A l aide de la calculatrice, donner un encadrement de cette solution d amplitude 0 2. T-ES2 Chapitre 2 : Dérivation et continuité 8/8