Estimation des ressources. Septembre 2008

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1 Estimation des ressources Septembre 28

2 Plan Influence de la densité Méthode polygonale Méthode des triangles Inverse de la distance Méthode des sections Manuelle Logiciels de CAO Critique des méthodes Calcul de densité théorique 2

3 Influence de la densité t,v,d t2,v2,d2 V=v+v2 d, t? d = v* d v + + v2 * d2 v2 t = t* v* d v* d + + t2 * v2 * d2 v2 * d2 La quantité de métal dans un bloc est t*v*d = t*masse du bloc Pour une même teneur et un même volume, il y a plus de métal dans un bloc à forte densité Souvent, les variations de densité peuvent être considérées comme négligeables par rapport aux variations des teneurs ou des volumes 3

4 Quand épaisseur et/ou densité varient : Généralement on estime la quantité de métal dans un volume donné et on divise par le tonnage estimé pour ce même volume Soit t i = teneur au point i s i *= facteur de pondération dépendant de la méthode utilisée e i = épaisseur au point i d i = densité au point i À un point, on estime la teneur par où s Facteur total de pondération : i = i = s i * quand «t» varie t = s i * x e i quand «t» et «e» varient = s i * x e i x d i quand «t», «e» et «d» varient j t i s s j i 4

5 Méthode polygonale (plus proche voisin) Principe : la teneur estimée en un point est égale à la teneur du point connu le plus proche => définit des polygones (polygones de Voronoï) à teneur constante Même principe est appliqué pour l épaisseur 5

6 Exemple Méthode des polygones y x 6

7 Exemple Méthode des polygones y Le seul paramètre à spécifier est la règle de fermeture pour les polygones externes Souvent: distance max x 7

8 Méthode des polygones Teneur y Design de la mine, la teneur moyenne est la moyenne pondérée par les «surfaces» x 3 2 8

9 Pour une zone donnée s Facteur de pondération : i - surface t moy - surface x épaisseur = - surface x épaisseur x densité i j t i s s j i 9

10 Comment obtenir les polygones? Triangulation de Delaunay Triangles les + équilatéraux possibles Perpendiculaires au milieu des côtés des triangles Les points d intersection des perpendiculaires définissent les polygones

11 Méthode des polygones y Note : pour points d un même triangle => polygones de Voronoi se touchent Polygones de Voronoi et triangulation de Delaunay sont deux opérations duales x

12 Dans une triangulation de Delaunay Cercle défini par 3 points d un triangle de Delaunay n inclut aucun autre point Plusieurs algorithmes très efficaces pour le programmer B A B A D D C C D est dans le cercle ABC. Le triangle ABC n est pas Delaunay D n est pas dans le cercle ABC. Le triangle ABC est Delaunay

13 Méthode des polygones : estimation ponctuelle et blocs Tous les points dans un polygone reçoivent la teneur de la donnée associée au polygone histogramme des données 5 Ex. grille régulière => polygones sont des carrés Méthode des polygones Estimés des blocs => même distribution statistique que les données y x histogramme des blocs (estimés) Est-ce réaliste d un point de vue statistique? 3

14 Méthode des triangles Triangulation de Delaunay Hypothèse: ce qui varie linéairement Teneur (triangle) - Accumulation = Teneur x épaisseur - Épaisseur (S i ) Σ t i S i / Σ S i (moyenne pondérée) - Teneur - Épaisseur (Σ t i + Σ t i S i / Σ S i ) /4 (méthode des %) Note, si la densité varie aussi, on l inclut dans le facteur de pondération S i 4

15 Méthode des triangles : estimation ponctuelle et de blocs Points : interpolation linéaire t3 b t3*= t+a/(a+b)*(t3-t) a t3* c + t* d t*=t3*+c/(c+d)*(t2-t3*) t t2 Blocs : moyenne des teneurs ponctuelles estimées dans le bloc 5

16 Comparaison Triangles Polygones Réalité

17 7 Inverse de la distance L estimateur est de la forme : = = = = = = n j b j b i i i i i n i b i n i b i i d d / s avec s t d d t t où d i est la distance entre le point à estimer et le i ème point observé

18 Exemple Estimation au point A avec b=2 # distanc teneur e 4 % (/4 + /4 +.5/3 t = 2 2 (/4 + /4 + / /35 + / /2 + /2 2 ) 2 ) = 2.5% 8

19 Note: - Défini pour une estimation ponctuelle - bloc: moyenne des estimations ponctuelles dans le bloc - Si épaisseur (et/ou densité) varie, habituellement estimer accumulation (a*) et épaisseur (e*) séparément et calculer t*=a*/e*. 9

20 Influence de «b» Le coefficient «b» contrôle la forme de l interpolation Plus «b» est élevé, plus l influence du point le plus près est grande; plus l estimation apparaît comme une série de plateaux coupés par de forts gradients. Estimation Forme des interpolations en fonction de l'exposant b b=3 b=2.5 b=2 b=.5 b= b=.5 b=.25 b= Coordonnée 2

21 b = b = 3 En 2D t=2 Interpolation en 2D, b= Interpolation en 2D, b= Cooerd. y Coord. x Coord. x Cooerd. y t= t= Note: l inverse de la distance ne permet pas une interpolation linéaire

22 La distance peut être anisotrope d = x 2 + ay 2 «a» > indique qu un écart donné sur le terrain correspond à une distance + grande en «y» qu en «x» strates B A C A est plus près de B que de C, pourtant il est logique de considérer C plus semblable à A (que B) 22

23 Paramètres de contrôle avec l inverse de la distance - Exposant «b» - Importance et orientation d une éventuelle anisotropie - Distance maximale utilisée pour sélectionner les données lors de l estimation et/ou nombre de données Outil pour déterminer ces paramètres? Principe : réestimer les points connus en se servant des voisins Validation croisée - Enlever une observation Z i et effectuer l estimation avec les autres => Z i * -Calculer l erreur d estimation e i = Z i Z i * -Répéter le processus pour les autres observations et calculer une statistique globale sur l erreur e.g. ou e i n i n i 2 e i 23

24 Exemple Sol contaminé à l arsenic (données de l EPA).6 Validation croisée Moyenne e b=2.5 procure en moyenne l erreur absolue minimale Exposant b 24

25 Comparaison «b» = «b» = Réalité

26 9 Validation croisée Polygone Triangles Inv dist, b= Inv dist b=

27 Méthode des sections («manuelle»). Obtenir une série de sections parallèles avec les forages projetés sur les sections 2. Identifier à partir des forages les intersections de minerai et dessiner la forme présumée du gisement sur chaque section 3. Estimer la teneur sur la section (e.g. polygonale, i.e. étendre la teneur de chaque forage à mi-distance du forage voisin) 4. Se donner une règle pour combiner 2 sections consécutives et ainsi définir un volume minéralisé e.g. Changement brusque, linéaire, cône tronqué ou obélisque 5. Calculer la teneur moyenne du volume selon la règle choisie et selon les teneurs sur chaque section 27

28 A B C D 28

29 Hypothèses pour le calcul des volumes L A: S 2 V = ( S + S ) 2 L 2 B: S S 2 V = ( S + S ) 2 L 2 S C: ( S + S2 + SS2 ) V = 3 S 2 S L a 2 D: a b 2 V = ( S + 2S + a b + a b ) L 6 b S S 2 29

30 9722 Section perp a x=6, epaisseur= Nb<=.4.4<Nb<=.5.5<Nb<=.7.7<Nb<=.9.9<Nb Coordonnée z (m) Surface=478 m2 Teneur=.7% Coordonnée y (m)

31 Section perp a x=45, epaisseur= Nb<=.4.4<Nb<=.5.5<Nb<=.7.7<Nb<=.9.9<Nb Coordonnée z (m) Surface=579 m2 Teneur=.575% Coordonnée y (m) 3

32 Ayant la teneur et la surface de chaque section, on peut calculer le volume compris entre les 2 sections et la teneur de ce volume s=478 s2=579 t=.7% t2=.575% L=5m Méthode Surface brusque t varie brusque. Surface lin. t varie lin. Volume m m3 Teneur.6345%.624% Cône tronqué t varie lin m3.665% 32

33 Méthode des sections (moderne) Principe : séparer le problème de l estimation des teneurs de celui de la définition de la géométrie du gisement Conserver l approche géométrique pour définir l enveloppe du gisement en 2D Passage section => 3D par «modélisation solide» Estimer les teneurs séparément dans un modèle de blocs (e.g. par krigeage) Intersection modèle de blocs et géométrie du gisement => teneur du solide 33

34 Coord z Section S a y= apres interpolation.5 Points servant à définir le polygone Le tracé est interpolé en un grand nombre de points.5 Coord x Section S2 a y= apres interpolation.8 Coord z Coord x Section S3 a y=2 apres interpolation Coord z.5.5 Coord x Les points d interpolation de deux sections consécutives sont joints par des triangles

35

36 Il faut fermer le volume par des sections «de bout» 36

37 Logiciels de CAO minière Grand nombre de logiciels permettant d exécuter la modélisation 3D des gisements; logiciels dispendieux ( k$ et +) - GDM - Datamine - GOCAD - Surpac (Surpac Vision) - Gemcom (Gems) - Maptek (Vulcan) - Mintec (MineSight) - 37

38 Critique des méthodes Méthode des sections => enveloppe du gisement (aspect géométrique) Inverse de la distance => plus de flexibilité Triangles => bons résultats si données abondantes et de qualité (ex. représenter une topographie) Polygonale => à éviter (imprécise et ne fournit pas de teneurs réalistes pour des blocs) Localement, polygonale utilise donnée, triangles 3 données et inverse de la distance : à déterminer, habituellement 5-5 Triangle, polygonale et inverse de la distance : interpolateur exact choix discutable lorsque les données sont entachées d erreur Triangle et polygonale : surtout problèmes 2D (ex. veine; niveau d une mine) Comparer les performances des méthodes par la technique de la validation croisée 38

39 Calcul de densité théorique Certaines mines calculent la densité du minerai à partir des analyses chimiques obtenues Deux approches : - formule empirique obtenue par régression; - calcul basé sur la minéralogie déduite de l analyse chimique Exemple : - gisement de Cu - Cu dans la chalcopyrite (d=4.2, teneur en Cu dans chalco 35%) - chalco est le seul sulfure présent - autres minéraux ont une densité voisine de 3 - densité d un minerai ayant % Cu? 5% Cu? % Cu => /.35=2.86% chalco g roche=>2.86 g chalco => volume de chalco = 2.86 g / 4.2 g/cm3 =>.68 cm3 => 97.4 g gangue => volume de gangue => 97.4 g / 3 g/cm3 => cm3 Volume total = 33.6 cm3 Masse volumique théorique = g / 33.6 cm3 = 3.2 g/ cm3 => d=3.2 39

40 5 % Cu => 5/.35=4.29% chalco g roche=>4.29 g chalco => volume de chalco = 4.29 g / 4.2 g/cm3 => 3.4 cm3 => 85.7 g gangue => volume de gangue => 85.7 g / 3 g/cm3 => cm3 Volume total = 3.97 cm3 Masse volumique théorique = g / 3.97 cm3 = 3.3 g/ cm3 => d= Densité vs teneur en Cu Note: *3+.43*4.2=3.7 Densite 4 La variation de la densité n est pas linéaire en fonction de la teneur en Cu Teneur en Cu, (%) 4

41 Si chalco + pyrite? % Cu => % chalco % S (%S dans chalco) => % pyrite (suppose que S provient uniquement de pyrite et chalco) Cas général => système d équations linéaires Ax=b A(i,j) = teneur élément «i» dans minéral «j» connu par la formule chimique du minéral b(i) = teneur élément «i» dans la roche connu par l analyse chimique x(j)= teneur du minéral «j» dans la roche; x(n) est la gangue à déterminer On a aussi la contrainte : x(j) = Pour réduire le nombre d inconnues, on n isole que les minéraux ayant une densité nettement différente de la «gangue». 4

42 Exemple : gisement de Cu, Zn, Cu dans la chalcopyrite (CuFeS 2 ) et la chalcocite Cu 2 S Zn dans la sphalérite (ZnS) la roche contient aussi de la pyrite (FeS 2 ) il y a en moyenne 2% de Fe dans la gangue mais pas de soufre Analyse => 6% Cu, 9% Zn, 5% Fe, % S Poids atomique et formule stoechiométrique => 35% Cu dans chalcopyrite 8% Cu dans chalcocite 67% Zn dans la sphalérite 35% S dans la chalcopyrite 2% S dans la chalcocite 33% S dans la sphalérite 53% S dans la pyrite 3% Fe dans la chalcopyrite 47% Fe dans la pyrite Cu- > Zn- > S- >.35.2 Fe- > Chalcopyrite Chalcocite Sphalérite Pyrite Gangue.6.9 =..5 42

43 Solution : Chalcopyrite Chalcocite Sphalérite Pyrite Gangue = % Densité chalcopyrite : 4. chalcocite : 5.6 sphalérite : 4. pyrite : 5. gangue : 2.9 Volume pour g de roche chalcopyrite : g/ 4.g/cm3= cm3 chalcocite : 7.7/5.6 =.38 cm3 sphalérite : 3.43/4.= 3.28 cm3 pyrite : 7.9/5.=.58 cm3 gangue : 7.4/2.9= cm3 Volume total: 3.86 cm3 Masse volumique : g/3.86 cm3= 3.24 g/cm3 Densité théorique:

44 Effet de la porosité sur la densité porosité n = V roche Vvide + V vide ρ M roche roche théorique réelle = = = (- n) Vroche + Vvide Vroche + Vvide V ρ ρ théorique 44