Corrigé de l'épreuve I

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1 4 Corrigé d l'épruv I Eud ds soluions d'un éuaion différnill 1 ) Form général ds soluions d (E) a) Qui à muliplir l'éuaion (E) par -a ui n s'annul pas, l'éuaion (E) éuivau à : ", -a HL y HL - a -a HL yhl = -a f HL C ui s'écri d façon éuivaln : d ", d I-a HL yhlm = -a f HL b) Si f s null, l'éuaion éuivau à : d d I-a HL yhlm = Il n résul u : $ C, ", -a HL yhl = C ou yhl = C a Si f s ulconu, on a d mêm : $ C, ", -a HL yhl = C + -a u f HuL du ou yhl = C a + FHL c) Parmi cs soluions, il n xis un un sul vérifian yhl = y, c's : ", yhl = y a + FHL = y a + a -a u f HuL du Pari I : Eud ds soluions périodius 2 ) Eud d dux xmpls a) Si y s un foncion dérivabl 2p-périodiu, sa dérivé l's aussi Si y s un soluion 2p-périodiu d l'éuaion (E), on a donc : ", f HL = y HL - a yhl = y H + 2 pl - a yh + 2 pl = f H + 2 pl insi donc, f s nécssairmn 2p-périodiu b) Résolvons l'éuaion y HL - a yhl = coshl lorsu a s rél On a alors : ", FHL = a -a u coshul du Par doubl inégraion par paris, ou n rmplaçan 2 coshl = i + -i, il vin : FHL = a -a u coshul du = a a sinhl - a cos HL a2 1 + a 2 On n dédui immédiamn ous ls soluions d l'éuaion (E) : a yhl = C + a sinhl - a cos HL a a 2 Un d cs soluions s 2p-périodiu si sulmn si ", yh + 2 pl = yhl On n dédui u l'éuaion (E) a un soluion 2p-périodiu un sul, ui s : sinhl - a cos HL yhl = 1 + a 2

2 EPIT 213, mah (3h) 5 c) Résolvons l'éuaion y HL - i yhl = coshl On a alors : ", FHL = i -i u coshul du = i 2 I i u M du On n dédui immédiamn FHL l'nsmbl ds soluions d (E) : yhl = C i i sinhl Il s clair u'aucun d cs soluions n's périodiu 3 ) Eud ds soluions périodius d (E) lorsu f s périodiu a) Si y s soluion d (E), on a y HL - a yhl = f HL pour ou rél Qui à changr n + 2 p n nan comp d la 2p-périodicié d f, on a : ", y H + 2 pl - a yh + 2 pl = f H + 2 pl = f HL insi, si ö yhl s soluion d (E), alors ö yh + 2 pl l's aussi Or, d'après la usion 1, il xis un un sul soluion d l'éuaion (E) ui vérifi un condiion iniial donné n : ls dux soluions ö yhl ö yh + 2 pl son donc égals si sulmn si lls prnnn la mêm valur n, soi yhl = yh2 pl b) Résolvons l'éuaion 2 a p = 1, ou, n posan a = a 1 + i a 2 avc a 1 = RHaL, a 2 = ImHaL, l'éuaion 2 a 1 p 2 i a 2 p = 1 L'égalié ds moduls donn d'abord 2 a 1 p = 1, donc a 1 =, puis l'égalié ds argumns modulo 2p donn 2 a 2 p pd, soi a 2 Ls soluions d 2 a p = 1 son donc ls complxs a i, d la form a = i a 2 avc a 2 c) Un soluion y : ö C a + FHL s 2p-périodiu si sulmn si yhl = yh2 pl, ou : C = C 2 a p + 2 a p 2 p -a u f HuL du C éuaion dérmin la consan C car a n'apparnan pas à i, on a 2 a p 1 On n dédui ainsi l'uniu soluion 2p-périodiu d (E) : 2 p yhl = 1-2 a p -a u f HuL du + FHL Noons u, d'après 2c, l'xisnc d soluions périodius pu ombr n défau si a i ah+2 pl 4 ) Dévloppmn n séri d Fourir d la soluion périodiu d (E) a) Un inégraion par paris donn immédiamn c n Hg L = i n c n HgL car : 1 2 p 2 p -i n u g HuL du = -i n u 2 ghule p + i n 2 p 2 p -i n u ghul du (l croch ci-dssus s bin nul nr 2p car u ö -i n u ghul s 2p-périodiu) b) Si f s 2p-périodiu si y s l'uniu soluion 2p-périodiu d l'éuaion (E), on a n muliplian la rlaion y HL - a yhl = f HL par -i n n l'inégran sur [, 2p] : c n Hy - a yl = c n H f L Par linéarié d l'inégraion comp nu d c n Hy L = i n c n HyL, on a c n HyL = c n H f L i n-a

3 6 c) La soluion 2p-périodiu y d l'éuaion (E) s d class C 1 (comm l son ous ls soluions d (E)) l héorèm d convrgnc normal d Dirichl démonr u la séri d Fourir d y convrg normalmn vrs y, c ui impliu pour ou rél : n=+ yhl = n=- n=+ c n HyL i n = n=- d) On pu alors rrouvr l résula d la usion 2(b) c n H f L i n - a i n En ff, on a f HL = coshl = 1 2 i i ui s bin 2p-périodiu Ss cofficins d Fourir son donc c 1 = c -1 = 1 2, avc c n = sinon, d sor u l'uniu soluion 2p-périodiu d l'éuaion y HL - a yhl = coshl avc a rél s bin : n=+ c n H f L yhl = i n - a i n i = 2 Hi - al - -i sinhl - a coshl = 2 Hi + al n=- 1 + a 2 Pari II : Eud ds soluions xponnills-polynôms 5 ) Eud d dux xmpls a) Si yhl = PHL b s soluion d l'éuaion y HL - a yhl = f HL, on a : f HL = y HL - a yhl = P HL b + b PHL b - a PHL b = HP HL + Hb - al PHLL b insi, si (E) a un soluion xponnill-polynôm yhl = PHL b, l scond mmbr f s nécssairmn xponnil-polynôm d la form f HL = QHL b b) Dux inégraions par paris donnn facilmn : ", FHL = -2 u u 2 du = I M Ls soluions d l'éuaion y HL - yhl = 2 - son donc : ", yhl = C I M La sul soluion xponnill-polynôm s donc défini par : c) On a ici d façon immédia : ", yhl = I M ", FHL = u 2 du = 3 3 Ls soluions d l'éuaion y HL - yhl = 2 son donc : ", yhl = C = C Tous ls soluions son ici xponnills-polynôms

4 EPIT 213, mah (3h) 7 6 ) Eud d'un ndomorphism a) Examinons l noyau d l'ndomorphism j = D + c Id : - si c =, jhpl = P = éuivau à KrHjL - si c, jhpl = P + c P = impliu P = -c P, d'où, si P, l'égalié d±hp L = d±hpl Cll-ci s impossibl, c ui éabli u P = s d dimnsion fini, l'ndomorphism j = D + c Id s bijcif si sulmn s'il s injcif, donc si sulmn si KrHjL = 8<, donc si sulmn si c b) Pour ou polynôm P d dgré infériur ou égal à, on a D +1 HPL = (mais on n'a pas nécssairmn D HPL = puisu D HX L =!) Si c, on n dédui u : HD + c IdL Î k= +1 H-1L k-1 c k+1 D k = k= c k+1 D k+1 + k= = D k + D k = Id + H-1L k=1 c k k= c k c +1 D+1 = Id On fai l mêm calcul dans l'aur sns, on n ir finalmn l'invrs d j = D + c Id : HD + c IdL -1 = k= c k+1 D k = 1 c Id - 1 c 2 D + 1 c 3 D2 - + H-1L c +1 D c) Pour ou polynôm l'éuaion P + c P = Q s'écri jhpl = Q Ss soluions son nécssairmn d mêm dgré u l polynôm Q, lls apparinnn donc il xis donc un un sul soluion, ui s : j -1 HQL = HD + c IdL -1 HQL = k= c k+1 QHkL = 1 c Q - 1 c 2 Q + 1 c 3 Q - + H-1L c +1 QHL c k D k 7 ) Eud ds soluions xponnills-polynôms d (E) a) L'applicaion ö yhl = b PHL s soluion d l'éuaion y HL - a yhl = b QHL si sulmn si b P HL + Hb - al b PHL = b QHL, soi P + Hb - al P = Q puisu'un xponnill n s'annul jamais Si b a, donc c, on a éabli au 6 u c éuaion adm l'uniu soluion P suivan : P = j -1 HQL = 1 c Q - 1 c 2 Q + 1 c 3 Q - + H-1L c +1 QHL b) Si b = a, l'applicaion ö yhl = b PHL s soluion d y HL - a yhl = a QHL si sulmn si b P HL = b QHL, soi P = Q c éuaion adm pour soluions P l'nsmbl ds polynôms don la dérivé s Q c) En appliuan l résula d c usion, on voi u : l'uniu soluion xponnill-polynôm d l'éuaion y HL - yhl = 2 - s : yhl = I M

5 8 (On a n ff a = 1, b = -1, donc c = b - a, on résou P - 2 P = Q avc QHL = 2 ) ls soluions xponnills-polynôms d l'éuaion y HL - yhl = 2 son : yhl = C (On a n ff a = b = 1, donc c =, on résou P = Q avc QHL = 2 ) Noons u'on a ainsi ous ls soluions d l'éuaion, ui son donc ous ds soluions xponnills-polynôms Pari III : Eud ds soluions bornés sur + 8 ) Compormn ds soluions sur + lorsu a < a) La foncion F s clairmn borné sur + lorsu f s borné sur + par f + car : ", FHL = a -a u f HuL du a -a u f HuL du a f + -a u du L calcul d c drnièr inégral donn : ", FHL f + a 1 - -a = f 1 - a + 1 a f + a a On n dédui u F s borné, u'on a F + 1 f a + Comm ls aurs soluions s'écrivn yhl = FHL + C a, on a d mêm y + F + + C b) Si la foncion coninu f : ö nd vrs n +, on a : " ε >, $ >, " x + : x ï f HxL ε a Pour x, on n dédui la majoraion suivan : ", FHL a f HuL -a u du + a f HuL -a u du ", FHL a f HuL -a u du + ε a a -a u du En calculan la drnièr inégral, cll-ci s major par 1 a -a il vin : ", FHL a f HuL -a u du + ε L mmbr d droi d l'inégalié nd vrs ε uand nd vrs +, il xis donc B l u, pour B, c scond mmbr soi infériur à 2ε, d'où : " maxh, BL, FHL 2 ε C ui signifi u'on a lim Ø + FHL = c) Si la foncion coninu f : ö nd vrs L n +, on pu écrir : ", FHL = a -a u H f HuL - LL du + L a -a u du Comm la limi d f - L n + s null, l résula d la usion b) démonr u la prmièr inégral ci-dssus nd vrs uand nd vrs + La scond inégral nd alors vrs L ê a uand nd vrs + puisu'on a : ", L a -a u du = L a -a - 1 = L 1 - a a a

6 EPIT 213, mah (3h) 9 On n dédui u si lim Ø + f HL = L, alors lim Ø + FHL = L ê a E comm la soluion général s'écri yhl = FHL + C a, on voi u si lim Ø + f HL = L, alors ous ls soluions d l'éuaion ndn vrs L ê a 9 ) Compormn ds soluions sur + lorsu a > a) La foncion u ö f HuL -a u s coninu sur + inégrabl sur + puisu'll s majoré par la foncion inégrabl u ö f + -a u (on a n ff a > ), c ui jusifi l'xisnc d l'inégral I b) La foncion G ci-dssous s soluion d (E) puisu'll s'écri sous la form suivan : ", GHL = FHL - a I = a f HuL -a u du - a + f HuL -a u du soi ncor, avc la rlaion d Chasls : ", GHL = - a + f HuL -a u du C soluion s bin borné sur + puisu'on a : ", GHL = a + f HuL -a u du a + f HuL -a u du 1 a f + Tou aur soluion n's pas borné sur + car ll s'obin n ajouan à c soluion un soluion d l'éuaion homogèn ö C a, ui nd vrs + n +

7 1 Sui possibl Pari IV : Eud d'approximaions succssivs d'un soluion On éudi dans c pari un méhod d'approximaion par un sui d foncions (y n ) d la soluion y du problèm suivan : ", y HL - a yhl = f HL avc yhl = y 1 ) Eablir l'éuivalnc ds dux propriéés suivans : (1) il xis un foncion y : ö, d class C 1 sur, ll u : ", y HL - a yhl = f HL yhl = y (2) il xis un foncion y : ö, coninu sur, ll u : ", yhl = y + Ha yhul + f HuLL du Dans la sui d c pari, on convin d définir comm sui un sui d foncions Hy n L, coninus d dans, par y HL = y, puis, pour ou nir naurl n par : ", y n+1 HL = y + Ha yn HuL + f HuLL du 11 ) Eud d'un xmpl On suppos ici u y s donné dans, u f s la foncion null a) Précisr y 1 HL, y 2 HL, y 3 HL pour b) Formulr un hypohès d récurrnc pour y n vérifir cll-ci En déduir la limi simpl d la sui Hy n L la comparr à la soluion xac d (E) 12 ) Eud d la convrgnc d la sui d foncions Hy n L On éabli dans c usion la convrgnc d la sui d foncions (y n ) vrs la soluion y du problèm d Cauchy précédn a) Pour ou nombr rél, monrr l'inégalié suivan : y n+1 HL - yhl a yn HuL - yhul du b) Pour ou rél c >, on pos dans la sui : y n - y c = sup 8 y n HL - yhl cd< - Prouvr par récurrnc u'on a pour ou nir naurl n : cd, y n HL - yhl a n n y - y n! c - En déduir l'inégalié suivan pour ou rél c > : y n - y c a n c n y - y n! c c) En déduir u lim n Ø + y n - y c =, u la sui Hy n L convrg simplmn vrs la soluion y sur

8 EPIT 213, mah (3h) 11 Pari IV : Eud d'approximaions succssivs d'un soluion 1 ) Pour monrr u (1) impliu (2), inégrons d à la rlaion y HL = a yhl + f HL n nan comp d la condiion yhl = y : ", yhl - y = Ha yhul + f HuLL du Invrsmn, si y s un foncion coninu sur vérifian la rlaion ci-dssus, on voi u l mmbr d droi s la primiiv s'annulan n d la foncion coninu a y + f, d'où résul son caracèr C 1 sur insi, l mmbr d gauch y s aussi d class C 1 sur on a par dérivaion n par évaluaion n d c rlaion : ", y HL - a yhl = f HL yhl = y 11 ) Eud d'un xmpl a) Si f =, la sui Hy n L s défini par y HL = y, puis par : ", y 1 HL = y + a y HuL du = y H1 + a L ", y 2 HL = y + a y1 HuL du = y 1 + a + a2 2 2 ", y 3 HL = y + a y2 HuL du = y 1 + a + a2 2 + a b) On pu alors supposr u : ", y n HL = y 1 + a + a2 2 + a an n 2! 3! n! La rlaion y n+1 HL = y + a Ÿ y n HuL du prm alors d vérifir facilmn c hypohès, d'après l dévloppmn n séri nièr d l'xponnill, on voi u : ", lim y nhl = y lim 1 + a + a2 2 + a an n Ø + Ø + 2! 3! n! Il s'agi bin d la soluion d l'éuaion y HL = a yhl avc yhl = y = y a 12 ) Eud d la convrgnc d la sui d foncions Hy n L a) La soluion y du problèm d Cauchy proposé vérifi, d'après 1 : ", yhl = y + Ha yhul + f HuLL du E vu la définiion d y n+1, on n dédui par différnc la majoraion voulu : ", y n+1 HL - yhl = a Hyn HuL - yhull du a yn HuL - yhul du b) Pour ou c >, on pos y n - y c = sup 8 y n HL - yhl cd< On raisonn alors par récurrnc, l'inégalié proposé éan rivial pour n = En supposan l'hypohès vrai au rang n, on a alors pour c :

9 12 a n u n y n+1 HL - yhl a yn HuL - yhul du a y - y c du n! Qui à disingur ls cas, on n dédui pour c : cd, y n+1 HL - yhl a n+1 n+1 y - y Hn + 1L! c L'hypohès d récurrnc s donc vérifié, on n dédui aussiô u : y n - y c a n c n y - y n! c c) La sui n ö a n c n n! nd vrs uand n nd vrs + puisu'il s'agi du rm général d la séri convrgn définissan xph a cl Il n résul u'on a lim n Ø + y n - y c = On a donc la convrgnc uniform sur ou cd d la sui Hy n L vrs y Il n résul, pour ou rél, u : y n HL - yhl y n - y Il n résul, pour ou rél, u : lim n Ø + y n HL = yhl On a donc la convrgnc simpl sur d la sui d foncions Hy n L vrs y