POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

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1 POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 10 : SUITES : - DEMONSTRATION PAR RECURRENCE - - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr 70

2 I. Principe : Soient des dominos alignés de manière régulière : à quelles conditions tombent-ils tous? Pour un domino quelconque, situé à n importe quel rang p, soit celui-ci tombe, soit celui-ci ne tombe pas. Prenons l éventualité où celui-ci tomberait ; on suppose donc comme vraie l hypothèse : le domino du rang p tombe Phase d hérédité : on montre alors que dans cette éventualité où le domino du rang p tombe, le domino suivant - rang (p + 1) - tombe également On a supposé que le domino du rang p tombait ; y-a t il effectivement un domino qui tombe? Phase d initialisation : on montre qu effectivement il existe un domino souvent le premier, le rang 0 qui tombe Conclusion : il existe bien un domino qui tombe ; et l on a démontré que lorsqu un domino tombait, le suivant tombait également ; donc le 2 e tombe, puis le 3 e, etc ceci jusqu à l infini II. Etude d un exemple-type : Ex : soit ; montrer par récurrence que est majorée par 2 (En rouge : la rédaction, toujours la même, qui guidera toute démonstration par récurrence) Préciser la propriété de récurrence ; ici : pour tout n, 1. Initialisation : on montre que la propriété est effectivement vraie au rang 0 (ou 1, ou 2 cela dépend de l exercice), donc est vraie au rang 0 on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p, c est-à-dire : ; montrons que la propriété est vraie au rang supérieur (p + 1), c est-à-dire : 71

3 car la fonction est croissante sur Ainsi, si la propriété est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1) 3. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc est vraie pour tout n III. Hypothèses à connaitre : Si l on souhaite montrer la majoration : : pour tout n, Si l on souhaite montrer la minoration : : pour tout n, Si l on souhaite montrer la croissance : : pour tout n, Si l on souhaite montrer la décroissance : : pour tout n, Ex : soit ; montrer par récurrence que est croissante : pour tout n, 1. Initialisation : ; et est vraie au rang 0 on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p, c est-à-dire : montrons que la propriété est vraie au rang (p + 1), c est-à-dire : 72

4 car la fonction est croissante sur Ainsi, si la propriété est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1) 3. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc est vraie pour tout n ; on a donc, pour tout n, croissante IV. Méthode de la fonction auxiliaire : Au lieu de procéder par encadrements successifs comme ci-dessus, méthode qui peut s avérer lourde pour des fonctions beaucoup plus compliquées, on peut étudier une fois pour toutes la fonction associée et s en servir lors de la récurrence Reprise de l exemple : a) montrer par récurrence que est majorée par 2 b) montrer par récurrence que est croissante a) on introduit la fonction définie sur donc sur f est dérivable sur comme composée de fonctions dérivables sur et l on a : donc f est croissante sur 1. Initialisation :, donc est vraie au rang 0 on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p, c est-à-dire : ; montrons que la propriété est vraie au rang supérieur (p + 1), c est-à-dire : 73

5 Ainsi, si la propriété est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1) : 3. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc est vraie pour tout n b) : pour tout n, 1. Initialisation : ; et est vraie au rang 0 on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p, c est-à-dire : montrons que la propriété est vraie au rang (p + 1), c est-à-dire : Ainsi, si la propriété est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1) 3. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc est vraie pour tout n ; on a donc, pour tout n, croissante (Notons la rapidité et l élégance de la démonstration une fois f introduite et succinctement étudiée) 74

6 Exercices sur le chapitre de la Démonstration par Récurrence exercice 1 : Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : exercice 2 : Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : exercice 3 : En utilisant la fonction associée, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : exercice 4 : Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 75

7 b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : c) En déduire en fonction de n exercice 5 : Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul: exercice 6 : exercice de recherche niveau avancé Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul: 76