Exercices : Suites et récurrence

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1 Exercices : Suites et récurrence Exercice 1. La suite (u n ) est définie, pour tout entier natureln, par : { u0 = u n+1 = u n 3 Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on au n = 3 n Exercice. Démontrer que, pour tout entier natureln, l entier 3 n n est un multiple de 7. Exercice 3. On définit, pour tout entiern 1 len ième nombre triangulaire par Démontrer que, pour entiern 1 on a : t n = n = n t k = k=1 n() n()(n + ) 6 Exercice 4. On définit la suite (u n ) sur N par : { u0 =a u n+1 = 1 +u n oùa [ 1; + [. A l aide d un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite (u n ) 1 Exercice 5. Comportement asymptotique des suites géométriques 1. Démontrer l inégalité de Bernoulli : pour tout réelxpositif et tout entier naturelnon a :(1 +x) n 1 +nx. Soit (u n ) une suite définie paru n =a n aveca R. Démontrer que : Sia ]1; + [ alors (u n ) diverge vers + Sia = 1 alors (u n ) est constante (donc convergente vers 1) Sia ] 1; 1[ alors (u n ) converge vers 0 3 Sia ] ; 1], alors (u n ) n a pas de limite. Exercice 6. Etudier le sens de variation de la suite (u n ) définie par u n = cosn n, n N et la suite (v n ) définie par 4 v n = n! n, n N Exercice 7. Etudier le sens de variation de la suite (u n ) définie pour tout entier natureln, par : 1. On comparera les valeursu 0 etu 1 suivant les valeurs dea.. On utilisera l inégalité de Bernoulli 3. On se ramènera au cas précédent en posanta = 1 a 4.n! =n(n 1)(n )... 1 D.Zancanaro, Lycée J.Durand, TS/ / 9

2 1.u n =n + 4n + 3.u n = n 3.u n = 1 n n + 4.u 0 = 1 etu n+1 =u n 1 Exercice Soit (u n ) définie, pourn N, par Démontrer que cette suite est bornée. u n = n + 1 n + 4. Soit (v n ) définie par { v0 = 0 v n+1 = v Démontrer que (v n ) est bornée par 0 et 9 Exercice 9. Démontrer que chacune des suites (u n ) est minorée mais non bornée : 1.u n = n.u n = n + cosn Exercice 10. Dans chacun des cas suivants, on définit la suite (u n ) pourn 1 ; préciser si cette suite est bornée : 1. (a)u n =n +n (b)u n = n. (a)u n = 3 sinn (b)u n = + sin n 4 (c)u n =n + ( 1) n (d)u n = n (c)u n = 1 n (e)u n = n (f)u n = 5 3 n Exercice 11. On considère la suite (u n ) définie, pour tout entier natureln, par : { u0 = 0 u n+1 = u n u 1. Démontrer que la suite (u n ) est à termes positifs et étudier son sens de variation.. En déduire que la suite (u n ) est bornée et préciser un majorant et un minorant. Exercice 1. Considérons la suite (u n ) définie pour toutn N par : u n+ = 5u n+1 6u n u 0 = 1 u 1 = Démontrer que, pour tout entiern N on a :u n = n Exercice 13. Démontrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes et préciser leur limite commune : D.Zancanaro, Lycée J.Durand, TS/ / 9

3 1.u n = 1 n + 1 etv n = u n.u n = 1 n + etv n = Exercice 14. On considère la suite (u n ) définie, pour tout entiern, par : { u0 = 1 u n+1 = 4u n u 3 C f u u 1 j 0 i u 0 u 1 u u (a) A l aide de la représentation graphique ci-dessus, oùf est définie parf(x) = 4x + 5, conjecturer le sens de variation et la limite de (u n ) (b) Montrer que la suite (u n ) est croissante. (c) Montrer que la suite (u n ) est majorée par 5.. (a) En utilisant la définition d une suite convergente, montrer que si la suite (u n ) converge versl, alors la suite (v n ), définie parv n =u n+1, converge également versl. (b) Soit (u n ) une suite convergente versl définie par la donnée de son premier terme et la relationu n+1 = f(u n ), oùf est une fonction continue enl 5. Montrer que f(l) = l 3. On se propose ici d obtenir la limite de la suite (u n ) de la première partie par deux méthodes différentes. (a) Méthode 1 :Déterminer la limite de la suite (u n ) de la première partie en utilisant la question précédente. (on admet que la fonctionf est continue). (b) Méthode : La représentation graphique ayant amené à conjecturer que (u n ) converge vers 5, on s interesse à la suite de terme généralv n = 5 u n. i. Montrer que ii. En déduire, que pour toutn N : iii. Conclure. 4v n v n+1 = v n 0 v n ( ) n La continuité sera l objet du chapitre suivant, on dit qu une fonctionf est continue enlsi et seulement si limf(x) =f(l) x l D.Zancanaro, Lycée J.Durand, TS/ / 9

4 Exercice 15. La suite (u n ) définie, pour tout entier natureln, par : u 0 = 1 u n+1 = 8u n + 3 u n (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entiern 1 on a : 1<u n < 3 (b) Montrer que la suite (u n ) est croissante.. On considère la suite (v n ) définie, pour tout entier natureln, par v n = u n 3 u (a) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique, préciser son premier terme et sa raison. (b) Quelle est la limite de (v n )? 3. Exprimer, pour tout entier natureln,u n en fonction dev n. En déduire le comportement à l infini deu n Exercice 16. On s intéresse ici à la sommes n des cubes desnpremiers entiers naturels impairs. 1. CalculerS 1,S ets 3.. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln 1, on as n = n 4 n 3. Quel est l entiernpour lequels n = 4138? Exercice 17. On définit la suite (u n ) paru 0 ]0; 5] et, pour tout entier natureln,u n+1 = 5u n 1. A l aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite (u n ) (sens de variation et limite).. Démontrer que, pour tout entier natureln, on a : 0 u n 5 3. Etudier le sens de variation de (u n ) et en déduire sa convergence. Quelle est sa limite? Exercice 18. Moyenne arithmético-géométrique Soitaetbdeux réels telsa>b>0. Soit (a n ) et (b n ) les suites définies par : a 0 =a et b 0 =b n N, a n+1 = a n +b n et b n+1 = a n b n Le but de l exercice est de démontrer que les deux suites convergent vers une même limite. 1. (a) Montrer par récurrence, que (a n ) et (b n ) sont positives pour toutn N (b) Montrer que, pour tout entiern N on a : (c) En déduire que, pour tout entiern N on a : a n+1 b n+1 0 a n+1 b n+1 et quea n b n (d) En déduire que la suite (a n ) est décroissante et que (b n ) est croissante.. (a) Démontrer que 0 x y = (y x) y x. Pour cela on remarquera quey x y+x (b) En déduire par récurrence, que pour tout entiern N on a : a n b n a b n D.Zancanaro, Lycée J.Durand, TS/ / 9

5 (c) En déduire que les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes. 3. Conclure. Exercice 19. Etude d une suite arithmético-géométrique 1. Chaque année, la grand mère de Julien a déposé de l argent dans une tirelire afin de constituer une cagnotte pour son petit fils. Elle a commencé le 1 er janvier 198 par un dépot de 500 F. Depuis lors, elle a effectué un dépot chaque 1 er janvier, en augmentant chaque année le montant de ce dépot de 50 F. On note : u n, le montant exprimé en francs, de la somme déposé dans la tirelire le 1 er janvier de l année 198 +n (Ainsi :u 0 = 500,u 1 = 550,...) s n le montant exprimé en francs, de la somme déposé dans la tirelire après le dépot de l année 198 +n (Ainsi :s 0 = 500,s 1 = 1050,...) (a) Calculeru, puis exprimeru n en fonction den (b) Calculers, puis exprimers n en fonction den (c) Le 1 er janvier 00, la grand-mère de Julien effectué son dépôt habituel (en francs) puis offre la tirelire à Julien. Quel est le montant de la somme reçue par Julien en francs, puis en euros 6. Avec le cadeau de sa grand-mère, Julien décide d ouvrir un compte bancaire et décide d y placer la plus grande partie de la somme reçue. Le 1 er janvier 00, il effectue un placement de 3000=C au taux annuel de 4%. De plus chaque 1 er janvier des années suivantes, il décide d ajouter sur son compte la somme de 00=C, on note : c n le montant exprimé en euros, du capital disponible sur le compte bancaire de Julien aprèsnannées de placement. (Ainsic 0 = 3000) (u n ) la suite définie paru n =c n (Ainsiu 0 = 8000). (a) Justifier que, pour tout entier naturelnon ac n+1 = 1, 04c n (b) Démontrer que (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison. (c) Exprimeru n en fonction den, puisc n en fonction den. (d) Combien d années, au minimum, Julien devra-t-il attendre pour disposer d une somme de 6000=C sur son compte bancaire? 6. Rappel : 1 euro correspond à 6, francs D.Zancanaro, Lycée J.Durand, TS/ / 9

6 Annales Exercice Soitf la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par : (5 points) f(x) = 6 5 x + 1. Le but de cet exercice est d étudier des suites (u n ) définies par un premier terme positif ou nulu 0 et vérifiant pour tout entier natureln: u n+1 =f(u n ). 1. Etude de propriétés de la fonctionf (a) Etudier le sens de variation de la fonctionf sur l intervalle [0 ; + [. (b) Résoudre dans l intervalle [0 ; + [[ l équation f(x) = x. On noteαla solution. (c) Montrer que sixappartient à l intervalle [0 ;α], alorsf(x) appartient à l intervalle [0 ;α]. De même, montrer que sixappartient à l intervalle [α, + [ alorsf(x) appartient à l intervalle [α ; + [.. Etude de la suite (u n ) pouru 0 = 0 Dans cette question, on considère la suite (u n ) définie paru 0 = 0 et pour tout entier natureln: u n+1 =f(u n ) = 6 5 u. (a) Sur le graphique représenté ci-dessous, sont représentées les courbes d équationsy =xety =f(x). Placer le pointa 0 de coordonnées (u 0 ; 0), et, en utilisant ces courbes, construire à partir dea 0 les pointsa 1,A,A 3 eta 4 d ordonnée nulle et d abscisses respectivesu 1,u,u 3 etu 4. Quelles conjectures peut-on mettre quant au sens de variation et la convergence de la suite (u n )? (b) Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier natureln, 0 u n u n+1 α. (c) En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite. 3. Etude des suites (u n ) selon les valeurs du réel positif ou nulu 0 Dans cette question, toute trace d argumentation, même incompleète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l eévaluation. Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite (u n ) suivant les valeurs du réel positif ou nulu 0? D.Zancanaro, Lycée J.Durand, TS/ / 9

7 Exercice VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. Soit (u n ) la suite définie pour toutn N paru n = ( 1) n. 1. La suite (u n ) est bornée.. La suite (u n ) converge. 3. La suite de terme général u n n converge. 4. Toute suite (v n ) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0. ( points) Exercice. 009 Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. 1. On considère la suite (u n ) définie par : (4 points) u 0 = 1 et, pour tout nombre entier natureln,u n+1 = 1 3 u n + 4. On pose, pour tout nombre entier natureln,v n =u n 6. (a) Pour tout nombre entier natureln, calculerv n+1 en fonction dev n. Quelle est la nature de la suite (v n )? ( ) n 1 (b) Démontrer que pour tout nombre entier natureln,u n = (c) Etudier la convergence de la suite (u n ).. On considère la suite (w n ) dont les termes vérifient, pour tout nombre entiern 1 : nw n = ()w n et w 0 = 1. Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. w 0 w 1 w w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w (a) Détailler le calcul permettant d obtenirw 10. (b) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Donner la nature de la suite (w n ). Calculerw 009. Exercice (5 points) Les parties A et B sont indpendantes. Partie A On considère l ensemble (E) des suites (x n ) dfinies sur N et vrifiant la relation suivante : pour tout entier naturelnnon nul,x n+1 x n = 0, 4x n On considère un réelλnon nul et on définit sur N la suite (t n ) part n =λ n. Démontrer que la suite (t n ) appartient à l ensemble (E) si et seulement siλest solution de l quation λ λ 0, 4 = 0. En déduire les suites (t n ) appartenant à l ensemble (E). On admet que (E) est l ensemble des suites (u n ) définies sur N par une relation de la forme : u n =α(1, ) n +β( 0, ) n oαetβ sont deux rels.. On considère une suite (u n ) de l ensemble (E). Déterminer les valeurs deαetβ telles queu 0 = 6 etu 1 = 6, 6. En déduire que, pour tout entier natureln,u n = 39 7 (1, )n ( 0, )n. D.Zancanaro, Lycée J.Durand, TS/ / 9

8 3. Déterminer lim n + u n. Partie B On considère la suite (v n ) définie sur N par : v 0 = 6 et, pour tout entier natureln,v n+1 = 1, 4v n 0, 05vn 1. Soitf la fonction définie sur R parf(x) = 1, 4x 0, 05x. (a) Etudier les variations de la fonctionf sur l intervalle [0 ; 8]. (b) Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, 0 v n <v n En déduire que la suite (v n ) est convergente et déterminer sa limitel. Exercice Soit (u n ) la suite définie paru 0 = 0,u 1 = 3 et pour tout nombre entier natureln, (5 points) u n+ = 3 u n+1 1 u n. (a) Calculeru,u 3 etu 4. (b) Montrer que, pour tout nombre entier natureln,u n+1 = 1 u n + 3. (c) Sur la figure ci-dessous, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d équation respectivesy=x ety= 1 x + 3. A partir deu 0, en utilisant ces deux droites, on a placéu 1 sur l axe des abscisses. De la même manieère placer les termesu,u 3 etu 4. Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite?. Soit (v n ) la suite définie, pour tout nombre entier natureln, parv n =u n 6. (a) Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (b) Exprimerv n puisu n en fonction den. (c) En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite. 3. Soit (w n ) la suite de premier termew 0 et telle que, pour tout nombre entier natureln,w n+1 = 1 w n + 3. On suppose quew 0 est strictement suprieur 6. Les suites (u n ) et (w n ) sont-elles adjacentes? Justifier. y =x y = 1 x + 3 u 0 u 1 D.Zancanaro, Lycée J.Durand, TS/ / 9

9 Exercice (4 points) Certains résultats de la PARTIE A pourront être utiliseés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indpendamment l une de l autre. PARTIE A : On définit : la suite (u n ) par :u 0 = 13 et, pour tout entier natureln,u n+1 = 1 5 u n n la suite (S n ) par : pour tout entier natureln,s n = u k =u 0 +u 1 +u + +u n. 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln,u n = n. En déduire la limite de la suite (u n ).. (a) Déterminer le sens de variation de la suite (S n ). (b) CalculerS n en fonction den. (c) Déterminer la limite de la suite (S n ). PARTIE B : Etant donné une suite (x n ), de nombres réels, définie pour tout entier natureln, on considère la suite (S n ) définie n pars n = x k. k=0 Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas. Proposition 1 : si la suite (x n ) est convergente, alors la suite (S n ) l est aussi. Proposition : les suites (x n ) et (S n ) ont le même sens de variation. k=0 Exercice (5 points) 1. Restitution organisée de connaissances Démontrer à l aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si (u n ) et (v n ) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite. Définition 1 : deux suites sont adjacentes lorsque l une est croissante, l autre est dcroissante et la diffrence des deux converge vers 0. Propriété 1 : Si deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes avec (u n ) croissante et (v n ) décroissante alors pour tout entier natureln,v n u n. Propriété : Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incompleète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation.. Dans les cas suivants, les suites (u n ) et (v n ) ont-elles la même limite? Sont-elles adjacentes? Justifier les réponses. (a)u n = 1 10 n etv n = n ; (b)u n = ln() etv n = ln() + 1 n ; (c)u n = 1 1 n etv n = 1 + ( 1)n n. 3. On considère un nombre réelapositif et les suites (u n ) et (v n ) définies pour tout nombre entie naturelnnon nul par : u n = 1 1 ( et v n = ln a + 1 ) n n Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient adjacentes? D.Zancanaro, Lycée J.Durand, TS/ / 9