Annexes mathématiques

Transcription

1 Chapitre 8 Aexes mathématiques 8.1 Quelques otatios et foctios de base Parties etières Pour tout réel x, dxe (resp. bxc) désige la partie etière supérieure (resp. la partie etière iférieure) de x, c est-à-dire le plus petit etier relatif supérieur ou égal à x (resp. le plus grad etier relatif iférieur ou égal à x). Pour tout réel x, o a Pour tout etier, x 1 < bxc applex appledxe <x+1. b 2 c + d 2 e = Foctios logarithmes Si b est u réel strictemet supérieur à 1, la foctio x! b x est ue bijectio cotiue dérivable strictemet croissate défiie de R à valeurs das ]0, 1[. Sa bijectio iverse, défiie de ]0, 1[ à valeurs das R, estle logarithme de base b. Notatios : le logarithme de base e, oùe = P +1 =0 1! ' , est appelé logarithme Néperie ou logarithme aturel : il est oté l ; das le cas gééral, o ote log b le logarithme de base b. Quelques propriétés : pour tout x>0, b log b (x) = x, pour tout réel x, log b (b x )=x, 1

2 2 CHAPITRE 8. ANNEXES MATHÉMATIQUES pour tout b>1, log b 1 = 0 et log b b = 1, si b et b 0 sot deux réels strictemet supérieurs à 1, pour tout x>0, o a log b (x) = log b 0(x) log b 0(b). E particulier, log 2 (x) = l x l 2 = log 10(x) log 10 (2). 8.2 Les otatios de Ladau pour la comparaiso asymptotique des foctios O s itéresse le plus souvet à la maière dot la complexité T () d u algorithme croît e foctio de, plutôt qu aux valeurs de T pour des valeurs particulières de. Autremet dit, o s itéresse au comportemet asymptotique de la foctio T au voisiage de l ifii et l o souhaite le comparer aux comportemets de foctios de référeces : 1 (costate), log (logarithmique), (log ) c (polylogarithmique), (liéaire), log (quasi-liéaire), 2 (quadratique), c (polyomiale), c (expoetielle), etc. Les otatios de Ladau permettet d exprimer ces comparaisos de maière simple. Soit f,g : N! [0, +1[ oùg joue le rôle de la foctio de référece et f celui de la foctio qu o souhaite lui comparer. O écrit f() =O(g()) pour exprimer que la foctio g majore f, à partir d ue certaie valeur, et à ue costate multiplicative près. O écrit f() =O(g()) si 9C >0, f() apple Cg(). (8.1) f() = (g()) pour exprimer que la foctio g miore f, à partir d ue certaie valeur, et à ue costate multiplicative près. f() = (g()) si 9C >0, f() Cg(). (8.2) O écrit f() = (g())

3 8.2. LES NOTATIONS DE LANDAU POUR LA COMPARAISON ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS3 c x f() T() = O(f()) 0 Figure 8.1 La otatio O(f()). c 2 x f() T() c 1 x f() 0 Figure 8.2 La otatio (f()). pour exprimer que la foctio g décrit la croissace de f, à partir d ue certaie valeur, et à des costates multiplicatives près. f() = (g()) si 9C 1,C 2 > 0, O peut remarquer que 0 C 1 g() apple f() apple C 2 g(). (8.3) f() = (g()) ssi f() =O(g()) et f() = (g()) et que Efi, o écrit f() = (g()) ssi g() = (f()). f() =o(g())

4 4 CHAPITRE 8. ANNEXES MATHÉMATIQUES pour exprimer que f()/g() ted vers 0 lorsque ted vers l ifii f() =o(g()) si 8 > f() apple g() (8.4) f() =!(g()) pour exprimer que f()/g()ted vers+1 lorsque ted vers l ifii f() =!(g()) si 8 > f() g() (8.5) et f() g() pour exprimer que f()/g() ted vers 1 lorsque ted vers l ifii f() g() si8 > (1 )g() apple f() apple (1 + )g(). (8.6) O remarque que f() =!(g()) ssi g() = o(f()). Exemple =O( 2 ); e e et, = 2 (3 + 5 )et apple 1 dès que 5 ; o peut doc predre C =4et 2 0 = De même, = ( ); e e et, 0 dès que 2 1 ; o peut doc predre C =3et 0 = 1. O e déduit que = ( 2 ). 3. +si = (); e e et, +si 1 2 dès que 2 et +si apple +1apple 2 dès que log = o( 2 ) puisque log / ted vers 0 lorsque ted vers l ifii. 5. Soiet b, b 0 > 1. O a 8.3 Formule de Stirlig log b = (log b 0 ) puisque log b = log b 0 log b 0 b. 1 La foctio factorielle est défiie pour tout etier 0 par! = 1 si =0 ( 1)! si >0.

5 8.4. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS DÉFINIES PAR RÉCURRENCE5 O peut motrer que! = p 1 2 (1 + ( )). (8.7) e O e déduit que! =o( ),!=!(2 ), et log b (!) = ( log b ). 8.4 Comportemet asymptotique des foctios défiies par récurrece La complexité des algorithmes récursifs est aturellemet décrite par des équatios de récurrece. Par exemple, l algorithme de recherche dichotomique coduit à l équatio T () =T (d 2 e)+c, l algorithme de tri par fusio coduit à l équatio T () =2 T (d 2 e)+ Le théorème suivat permet de détermier la complexité asymptotique d u grad ombre de foctios usuelles défiies par des équatios de récurrece. Théorème 1 Soit T : N 7! R défii par la formule où a T () =at (i(/b)) + f() 1, b>1 et f : N 7! R et où i(/b) est compris etre b/bc et d/be. 1. S il existe c<log b a tel que f() =O( c ),alorst () = ( log b a ). 2. Si f() = ( log b a log k 2 ) pour k 0, alorst () = ( log b a log k+1 2 ). 3. S il existe c>log b a tel que f() = ( c ) et s il existe k<1 tel que af(/b) apple kf() dès que est su sammet grad, alors T () = (f()). Ce théorème est prouvé das le livre de référece, Itroductio à l algorithmique de T. Corme, C. Leiserso, R. Rivest et C. Stei (éditios DUNOD, 2010). Exemple 5

6 6 CHAPITRE 8. ANNEXES MATHÉMATIQUES 1. L équatio de récurrece T () =2T (d 2 e)+p correspod à l équatio du théorème, e preat a = b =2etf() = p. L item 1 s applique (predre c =1/2) et l o a doc T () = (). 2. L équatio de récurrece T () =T (d 2 e)+c correspod à a =1,b=2etf() =c. L item 2 s applique avec k =0 et l o a doc T () = (log 2 ). 3. Pour l équatio de récurrece T () =2 T (d 2 e)+ l item 2 s applique avec k = 0 et l o a doc T () = ( log 2 ). 4. Pour l équatio de récurrece T () =2 T (d 2 e)+2 l item 3 s applique avec c =3etk =1/2 et l o a doc T () = ( 2 ). Ue fois qu o coait le comportemet asymptotique d ue foctio, o peut essayer de préciser les valeurs des costates. Exemple 6 Cosidéros l équatio de récurrece T () =2 T (d 2 e)+ qui coduit à T () = ( log 2 ). E supposat que T (0) = T (1) = 1, o peut motrer que log 2 apple T () etquet () log Exercices Exercice 8 1. Motrez que pour tout etier, o a b 2 c + d 2 e =.

7 8.5. EXERCICES 7 2. Motrez que si m et sot des etiers tels que m<alors m apple b m+ 2 c <. Exercice 9 Motrez que 1.! =o( ), 2.! =!(2 ), et 3. log b (!) = ( log b ). Exercice 10 (Tiré de [Corme et al.]) Remplissez le tableau ci-dessous e supposat que k 1, > 0 et c>1. Par exemple, das la première case libre e haut à gauche, o idiquera OUI si log k 2 = O( ) et NON sio. A B O o! log k 2 k c p si 2 2 /2 log 2 c c log 2 log 2 (!) log 2 ( ) Exercice 11 Cosidéros l équatio de récurrece T () =2 T (d 2 e)+, pour 2, avec T (0) = T (1) = Motrer par récurrece sur que pour tout etier, log 2 apple T (). 2. Si =2 k, motrez par récurrece sur k que T () = + log Pour tout etier, o défiit ue suite par 0 = et k+1 = d k /2e pour tout k 0. Motrez par récurrece sur k que 2 k k apple +2 k pour tout etier k. 4. E déduire que pour tout etier k, T () apple 2 k T ( k )+k +2 k. 5. Si 2 k <apple 2 k+1 avec k 1, motrez que 2 k 1 < d/2e apple2 k. E déduire que k+1 = 1 et doc que T () apple 2 k+1 +(k + 1). 6. E déduire que pour tout etier, T () apple 2 + (log 2 + 1) et doc que T () log 2.