2. LES LOIS DE L ASTROPHYSIQUE : Gravitation universelle, relativité

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1 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005. LES LOIS DE L ASTROPHYSIQUE : Gravitation universelle, relativité un chapitre de défis : les lois fondamentales en peu de temps!.1. Expliquer le mouvement des astres : La gravitation universelle.1.1. Les lois de Kepler Enoncées en 1609 par Képler ( ) à partir de longs calculs empiriques sur les observations de Tycho Brahé ( ), particulièrement celles de Mars. Démontrées en 1687 (Principia Naturalis Philosophae) par Newton ( ) à partir des lois de la mécanique et de celle de la gravitation universelle.!! Lois de l astrophysique!

2 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 caractéristiques ellipse : excentricité e demi grand axe a demi petit axe b foyers F 1 et F propriétés géométriques : OF = ea (excentricité e [ 0,1] ) c = a 1 e cercle aplati dans le rapport d homothétie (c/a) MF + MF a ensemble des points à distance fixe des deux 1 = foyers (ellipse des «jardiniers») x y + = 1 équation cartésienne de l ellipse a c commentaire des trois lois : périhélie a( 1 e) / aphélie a ( 1 +e) loi des aires v r= S = π ac = πa T T 1 e T 3 ème loi a 3 = cte (période sidérale) T Lois de l astrophysique"!

3 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 Lois de l astrophysique#!

4 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév La gravitation universelle Lois de Kepler démontrées en 1687 (Principia Naturalis Philosophae) par Newton (164-17) à partir des lois de la mécanique et de celle de la gravitation universelle. G M A F r M B = avec G=6, S.I. (m 3 s - kg -1 ) aboutit à une formulation plus générale de la 3 loi de Kepler a 3 = G + T 4π ( M A M B ) mouvements réels obtenus par corrections au système à corps (méthode des perturbations) et, pour Mercure, par relativité générale (courbure espace-temps à proximité du soleil). Lois de l astrophysique$!

5 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév Les mouvements de la Terre le mouvement orbital de la terre est une illustration des lois de Képler rotation diurne : période T = 3 h 56 min 4.09 s révolution annuelle, période T = j = 365j 6h 9min 4.75s angle (plan équatorial / plan écliptique) : ε = 3 7 " # $% % Lois de l astrophysique%!

6 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 ces mouvements définissent le temps 1! & ' ( '( $)* +,--./,*-- Tγ % (,TS) = + 90 % #"γ (,TS) = 180 Tγ % (,TS) = 90 Tγ Tγ "#γ (,TS) = 0 1 toutefois, ce n est pas la définition de l unité de temps Lois de l astrophysique&!

7 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév Einstein, la relativité et l espace..1. Albert Einstein 14 mai 1879 (Ulm) 18 avril 1955 (Princeton) sa contribution à la relativité restreinte : 1905 "Sur l'électrodynamique des corps en mouvement" devient la théorie de la "Relativité restreinte" puis est généralisée par Einstein en "Théorie de la Relativité générale " (1917) d'autres acteurs essentiels de la relativité restreinte : Henri POINCARE FTZGERALD LORENTZ LARMOR autre contribution fondamentale d Einstein : effet photoélectrique (prix Nobel 191) Lois de l astrophysique'!

8 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 la relativité (restreinte et générale) est indispensable à la description et à la compréhension de l astrophysique... Théorie de la relativité restreinte...1. Les postulats une présentation possible sous forme de 3 postulats homogénéité et isotropie de l'espace et du temps principe de relativité restreinte : les lois de la physiques sont les mêmes par rapport à tout référentiel galiléen la vitesse de la lumière est une constante (par rapport à tout référentiel galiléen) + principe de causalité Discussion rapide : pas de caractère absolu au temps principe de relativité restreint à une classe de référentiels la loi galiléenne de composition des vitesses ne s applique sûrement plus (déjà en contradiction avec les équations de Maxwell depuis fin 19 ème siècle) Lois de l astrophysique(!

9 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév L espace-temps espace et temps indissociables : événements continuum espace-temps 4-D constitué d événements ( x, y, z, ct) 4-vecteurs : position (ou «d espace-temps») vitesse impulsion-énergie onde norme pseudo-euclidienne d un 4-vecteur : V + V + V 1 3 V 4 invariance de la norme par changement de référentiel galiléen application à l intervalle d univers : distance d univers (= distance entre deux événements = intervalle d univers) = norme de la différence des 4- vecteurs positions invariance : distance élémentaire dx + dy + dz cdt = dx' + dy' + dz' cdt' Lois de l astrophysique!!

10 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 distance finie ( x x1 ) + ( y y1 ) + ( z z1 ) c( t t1 ) = ( x' x' 1) + ( y' y' 1) + ( z' z' 1) c( t' t' 1) intervalle genre espace / genre temps / cône de lumière représentation -D, ligne d univers futur, passé, ailleurs d un événement donné La transformation de Lorentz référentiels R et R axes parallèles translation rectiligne uniforme selon Ox, O x même événement origine notations β R '/ R et γ R '/ R forme générale pour 4-vecteur V1 γ ' 1 = βγ V V 01 ' 00 0 V V βγ λ V ' ' 4 expression pour 4-vecteur position x γ = βγ x 01 ' '' 00 0 ct z y ct z y βγ λ ' Lois de l astrophysique )!

11 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 discussion : démonstration possible à partir des postulats espace et temps sont imbriqués relativité de la simultanéité autres conséquence sur les mesures de temps et de distances référentiel propre du phénomène : référentiel dans lequel le phénomène est immobile...3. L équivalence masse-énergie relation d Einstein entre masse et énergie : équivalence entre masse et énergie invariance de la norme du 4-vecteur impulsion énergie : E p c = 4 m c énergie cinétique : Ec = ( E mc )...4. La relativité restreinte et l expérience la relativité restreinte n est pas une curiosité théorique, c est la seule théorie qui permet de décrire et prédire le réel, contrairement à l approche classique non-relativiste Lois de l astrophysique!

12 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 exemples (au choix) : existence d une vitesse limite lors de l accélération de particules chargées équivalence entre masse et énergie expérience de Michelson et Morley vérification de la relativité par GPS en 1994 Lois de l astrophysique "!

13 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév Théorie de la relativité générale reprend l espace-temps de la relativité restreinte possibilité de géométries non euclidiennes de l espace-temps possibilité d évolution de cette géométrie (non statique) Les fondements Principe de la relativité générale mêmes lois de la physique référentiel Principe cosmologique Principe cosmologique : espace homogène et isotrope Rq : le postulat ne porte que sur l espace, pas l espace-temps espace mathématique : variété caractérisée par sa métrique ds continuum non euclidien, introduction des coordonnées de Gauss courbure de l espace-temps Lois de l astrophysique #!

14 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 métrique déterminée par le contenu matériel de l espace-temps..3.. Cosmographie relativiste en posant le principe cosmologique (espace homogène), il ne subsiste (localement) que trois métriques (spatiales) possibles 3 qu on peut regrouper en une même expression : métrique de Robertson et Walker pour un univers respectant le principe cosmologique σ χ d = d + Sk + ( χ ) ( dθ sin θ dϕ ) dr ou bien d σ = + r ( dθ + sin θ dϕ ) 1 kr intervalle d univers élémentaire d expression (R(t) est le facteur d échelle qui traduit l expansion) : ds ( t) d c dt = R σ (à rapprocher de l intervalle d univers élémentaire de la relativité restreinte : ds = dl c dt ) distances : Pour l espace-temps, variété différentiable ou riemannienne 3 la topologie n est pas fixée : variété de connexité simple ou multiple (cf Lachièze-Rey, page 35) / d après observations, si multiplement connexe, dimension minimale de 10 9 pc Lois de l astrophysique $!

15 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 spatiale (métrique) r dr' χ = (par rapport à l origine du 0 ( 1 kr' ) repère) qui se simplifie en χ = r en espace euclidien propre : entre deux événements simultanés : d P r ( t) = R( t) χ = R( t) qui se réduit à ( t) R( t) r 0 dr' ( 1 kr' ) d P = en espace euclidien 4 comobile : propre à date t 0 d aujourd hui (indépendante de l expansion) dp( t0 ) = R( t0 ) χ = R( t0 ) r dr' ( 1 kr' ) 0 ainsi, pour les distances élémentaires : R( t) dσ ds = est la distance propre élémentaire (entre événements simultanés) d σ est l intervalle spatial élémentaire comobile 5 observations actuelles en faveur de l espace euclidien, plat donc : d σ dr + r + ( dθ sin θ dϕ ) = avec coordonnées comobiles sphériques La gravitation et la courbure de l espace-temps 4 1 d P ( t) R( t) sinh 1 = r pour k = -1 et d P ( t) R( t) sin r = pour k = +1 5 «comobile» = propre à date t 0 d aujourd hui = indépendant de l expansion 6 Sauf indication contraire, nous sommes l origine du repère et tous les observateurs ont un point de vue équivalent sur l univers (principe de Copernic?) Lois de l astrophysique %!

16 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 la relativité générale est une théorie éminemment «cosmologiste» puisqu elle permet de caractériser l espace-temps et son évolution à partir du contenu de l univers équation d Einstein tensorielle entre tenseur de Ricci R, tenseur d impulsion énergie de l univers T, et constante cosmologique Λ le tenseur de Ricci R permet d écrire le tenseur métrique (symétrique) g µν la gravitation est inscrite dans la structure de l espace-temps : courbure locale mouvement selon géodésiques pour une masse libre Lois de l astrophysique &!

17 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 Lois de l astrophysique '!

18 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév La relativité générale et l expérience la courbure de l espace est réalité : première observation lors de l éclipse totale de 1919 lentilles gravitationnelles produisant mirages, amplification, déformation, arcs, arclets Lois de l astrophysique (!

19 UV Astrophysique/Astronomie Bruno Maheu - fév 005 Lois de l astrophysique!!