Volume d une boule = 4 3 π r3

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1 Page 1 sur 5 Figure : Calcul d aires : exemple Parallélogramme Rectangle... Base hauteur Triangles base hauteur 2 Aire du parallélogramme ABCD = DC AE pour repérer la hauteur et la base, j ai repassé l angle droit. BD aire ABC = 2 pour repérer la hauteur et la base, j ai repassé l angle droit. Disque π r² = π r r aire du cercle de centre A passant par B : π AB² = π AB AB Calcul de volumes : Pour calculer un volume : - Repérer la ( ou les bases) - Calculer l aire de la base à l aide des formules ci-dessus - Repérer la hauteur du solide - solide à une base : Volume du solide = aire de la base hauteur 3 solide à deux bases : Volume de solide = aire de la base hauteur SO = 6 cm 6,5 cm H E 4 cm S O Exemple : La base de la pyramide est le rectangle EFGH Aire EFGH = EF EG = 12 cm² La hauteur de la pyramide est [SO] SO = 6 cm Le solide a une seule base donc son volume est égal à : G = 24 cm 3 F 3 cm Volume d une boule = 4 3 π r3

2 Page 2 sur 5 Calculer une longueur??? Trigonométrie : Un angle Une longueur On se fixe l angle qu on connait On met o,a et h sur le dessin On choisit SOHCAHTOA ( on prend ce qu on veut et ce qu on a ) Penser au produit en croix Exemple : Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : B = 42 et BC = 4 cm. Calculer au mm près. On se fixe l angle B ( on le connait) On connait A et on veut H ( ) : on utilise CAH Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : Cos B = BC cos 42 = 4 cos 42 = 4 = 4 cos 42 Théorème de Pythagore : Penser à bien mettre Deux longueurs l hypoténuse tout seul et ne pas oublier les carrés A est le centre du cercle. On a : = AB = AD = CD 2 Egalité de rayons dans un cercle : Théorème de Thalès : Des droites parallèles Repérer les deux triangles Exemple : Dans la figure ci-contre, On donne AB= 6 cm, BE= 1 cm, BC = 3 cm. Les droites ( EF) et ( BC) sont parallèles. Calculer la longueur de EF: Les deux triangles sont : AEF et ABC. Les points A,E,B et A,F,C sont alignés dans le même ordre Les droites (EF) et (BC) sont parallèles, d après le théorème de Thalès, on a : AE AB = AF = EF BC triangle AEF triangle ABC

3 Page 3 sur 5 Deux longueurs Calculer la mesure d un angle??? Trigonométrie : On se fixe l angle qu on veut On met o,a et h sur le dessin On choisit SOHCAHTOA ( on prend ce ce qu on a ) On utilise acrcos ( ou cos -1 )... PAS de produit en croix Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : AB = 7cm et BC = 5cm. Calculer la mesure de l angle CAB au degré près. Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : Tan B = BC AB tan B = 5 7 B Somme des angles d un triangle : On doit avoir : Un triangle quelconque et la mesure de deux angles Exemple : Dans le triangle ABC, on a : B = 43 et B = 80. Calculer la mesure de ABC. Dans le triangle ABC, la somme des angles est égale à 180 donc on a : ABC+ B + CAB = ABC = 47 Réciproque du Théorème de Thalès : Bien repérer les deux triangles Exemple : Dans la figure ci-contre, On donne AB= 6 cm, BE= 1 cm, BC = 3 cm. Les droites ( EF) et ( BC) sont parallèles. Calculer la longueur de EF: Les deux triangles sont : AEF et ABC. Les points A,E,B et A,F,C sont alignés dans le même ordre Les droites (EF) et (BC) sont parallèles, on a : AEF = ABC et AFE = B ( le triangle AEF est une réduction du triangle ABC) Lors d une réduction ou d un agrandissement, les angles conservent leur meure. Triangle équilatérale : trois côtés de même longueur tous les angles mesurent 60 Triangle isocèle : deux côtés de même longueur les angles à la base ont la même mesure.

4 Prouver que des droites sont parallèles??? Droites perpendiculaires à une même droite : Page 4 sur 5 Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la même droite ( ) donc (AB) et (CD) sont parallèles. Droites parallèles à une même droite : Les droites (AB) et (DC) sont parallèles à la même droite ( EF) donc (AB) et (DC) sont parallèles. Réciproque du Théorème de Thalès : Dans la configuration ci-contre, on a : DM = 5 cm ; ME = 3cm ; DE = 6 cm ; MP = 9 cm et MN = 15cm. Prouver que les droites (DE) et (PN) sont parallèles. Les points D,M,N et E,M,P sont alignés dans le même ordre DM ME MN MP ( DE PN ) ATTENTION : on ne sait pas si les droites sont parallèles donc on ne peut pas mettre = Entre parenthèses, on doit avoir les deux droites qu on veut prouver qu elles sont parallèles = = 45 donc DM MN = ME, d après la réciproque du MP théorème de Thalès les droites ( DE) et (PN) sont parallèles.

5 Page 5 sur 5 Prouver qu un triangle est rectangle??? Réciproque du Théorème de Pythagore : Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, on doit connaître les trois longueurs du triangle. Ne pas mettre = car on ne sait pas si le triangle est rectangle Bien mettre le plus grand côté tout seul Ne pas oublier les carrés A l aide d un cercle On doit avoir : Les trois points sur le cercle Un côté du triangle est un diamètre du cercle Si B est un point du cercle de diamètre [CD] alors le triangle BCD est rectangle en B. Il suffit de voir si on trace le cercle de centre A on retrouve bien la propriété du cercle circonscrit Si - A est le milieu de [] - = AB = AD - alors le point B est sur le cercle de diamètre [CD] donc le triangle BCD est rectangle en B La somme des angles d un triangle : Si on connait deux angles du triangle, on calcule le troisième sachant que la somme des angles d un triangle est égale à 180. Si on trouve 90, cela signifie bien que le triangle est rectangle.

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H = H = H =30 7 F = 15 F = F = F = F = F = 23 5 BREVET BLANC de MATHEMATIQUES Classe de troisième Correction des exercices 1. Racines carrées Connaître les règles de calcul avec des racines carrées Savoir effectuer un produit ou un quotient avec des

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