Notions sur la théorie statistique de l estimation

Transcription

1 Notion ur la théorie tatitique de l etimation L etimation déigne le procédé par lequel on détermine le valeur inconnue de paramètre d une population à partir de donnée d un échantillon. Pour cela, il faut paer par de variable aléatoire dont on connait le loi de probabilité (Fig. 1). Le information fournie par un échantillon ne ont inteprétable que i elle ont accompagnée d information quantitative fixant le degré de confiance qu on peut leur accorder. ECHANTILLON (n élément) POPULATION (N élément) Valeur de Paramètre: certaine inconnue SONDAGE ESTIMATION CONSTITUTION DES ECHANTILLONS Valeur de Paramètre: certaine connue LOI DE PROBABILITE (k échantillon de taille n) Valeur de Paramètre: variable aléatoire connue Figure 1: Principe général de l etimation. La ditribution d échantillonnage d un paramètre (proportion, moyenne, variance, quantité totale etc...) et la ditribution de ce paramètre obtenue à partir de l enemble de échantillon. Combien d échantillon de n élément peuvent être iolé d une population de N élément? A 7 B 3 C 6 D 10 E 4 Nombre d heure conacrée au travail univeritaire pour cinq étudiant {A,B,C,D,E}. Pour de ou-échantillon de 3 étudiant, retrouvez la moyenne et l écart type de la ditribution d échantillonnage de moyenne. 1

2 Théorie de petit échantillon On conidère ouvent que pour de grand échantillon (N > 30) le ditribution d échantillonnage de tatitique uivent de loi normale. Cette approximation et d autant meilleure que N et grand. Pour de échantillon de petite taille (N < 30), cette approximation n et plu valable et e détériore lorque N 0. Il faut donc faire appel à la théorie de tet exact pour l étude de ditribution d échantillonnage de tatitique de petit échantillon. Cette théorie utilie une ditribution dite de Student qui préente l énorme avantage de pouvoir appliquer quel que oit le nombre d échantillon. Par exemple, la loi normale et une loi de Student i N La Ditribution t de Student Si pour de échantillon de taille N tiré d une population normale de moyenne µ, on calcule t t = X µ N 1 en utiliant le moyenne X et la variance 2 de chaque échantillon, on obtient une ditribution d échantillonnage qui repecte une loi de Student. On peut alor définir de intervalle de confiance à différent niveaux de rique en utiliant une table de Student. Par exemple pour un intervalle de confiance de 95%, on utilie t et t pour limiter 2.5% de l aire dan chaque queue de ditribution ( X ± ). Dè lor, t < X µ N 1 < t0.975, et l intervalle de confiance pour la moyenne de la population globale écrit X t < µ < X + t N 1 N 1 En général, le limite de confiance pour la moyenne de la population écrivent X ± t c N 1 où le valeur ±t c dite valeur critique ou coefficient de l intervalle de confiance ont fonction du niveau de confiance recherché et de la taille de l échantillon. Tet d hypothèe ur le moyenne Pour teter l hypothèe H 0 que la population normale a pour moyenne µ, on utilie le core t = X µ N 1. La ditribution de t et une loi de Student à N 1 degré de liberté. 2

3 Sur 7 jour, on oberve un débit moyen journalier de 32 m 3 et un écart type de 12 m 3. Etimer l interval moyen de débit journalier avec un rique de 5% et de 1%. Tet d hypothèe ur le différence de moyenne Pour teter l hypothèe H 0 que deux ou-population de N 1 et N 2 élément, de moyenne X 1 et X 2, et de variance 2 1 et 2 2 ont iue de la même population, on utilie le core X 1 t = X 2 N N σ + 1 avec σ = N 1 + N 2 2. N 1 N 2 La ditribution de t et une loi de Student a N 1 + N 2 2 degré de liberté. Deux ou-population d agneaux ont été oumie à différent régime alimentaire. Aprè huit moi, voici le mae meurée: Régime I Régime II Le régime alimentaire ont-il un effet ur la mae de agneaux? La Ditribution du χ 2 Si pour de échantillon de taille N tiré d une population normale de variance σ 2, on calcule χ 2 = N2 = (X 1 X) 2 + (X 2 X) (X n X) 2 σ 2 σ 2 en utiliant le moyenne X et la variance 2 de chaque échantillon, on obtient une ditribution d échantillonage qui repecte une loi du chi-carré. On peut alor définir de intervalle de confiance à différent niveaux de confiance en utiliant une table du χ 2 χ < N2 σ 2 < χ à N 1 degré de liberté. Dè lor, il et poible d etimer σ dan l intervalle N χ < σ < N. χ Noter que le nombre de degré de liberté ν et ytématiquement le nombre N d obervation au ein de l échantillon moin le nombre k de paramètre de population que l on doit etimer à partir de l échantillon. Dan le exemple ci-deu, il agit de la ou de moyenne (tet de Student), et de la variance (tet du χ 2 ). 3

4 L écart type de la durée de vie de 10 batterie et de 120 heure. Quel et l intervalle de confiance pour le batterie de la même marque aux rique de 5% et 1%? La Ditribution F de Fiher Comme pour la moyenne, il et parfoi important de déterminer la ditribution d échantillonnage de la différence de deux variance. Trè diffcile à mettre en oeuvre, il et plu facile d étudier le rapport 2 1 /2 2 de deux variance de oupopulation donnee. Cette tatitique uit la loi de Fiher. Plu exactement, pour deux échantillon de taille N 1 et N 2 et de variance 2 1 et 2 2 provenant de population normale de variance σ1 2 et σ2, 2 la tatitique N F = (N 1 1)σ 2 1 N (N 2 1)σ 2 2 uit une ditribution de Fiher avec ν 1 = N 1 1 et ν 2 = N 2 1 degré de liberté. Deux échantillon de taille 11 et 15 ont tiré de deux population normale de variance 40 et 60. Si le variance de échantillon ont repectivement 90 et 50, déterminer i la variance du premier échantillon et ignificativement plu grande que la variance du econd au rique de 5% et de 1%. 4

5 Notion ur la théorie tatitique de la déciion Hypothèe et rique d erreur tatitique H 0 et une hypothèe tatitique. H 1 et une hypothèe alternative qui uppoe généralement le fait contraire de H 0. Hypothèe H 0 et H 1 et vraie vraie H 0 acceptée Bonne Erreur β déciion H 0 rejetée Erreur α Bonne déciion Le mae de tortue de mer mâle repectent une loi normale de moyenne µ M = mm et de variance σ M = 10.5 mm. Le mae de tortue de mer femelle repectent une loi normale de moyenne µ F = 98.6 mm et de variance σ F = 8.7 mm. On veut établir un tet qui permet de dicriminer entre le individu mâle et le individu femelle. Fixer le hypothèe H 0 et H 1, et etimer leur erreur α et β. Par définition, le euil de probabilité de 5% et ignificatif, le euil de probabilité de 1% et hautement ignificatif, le euil de probabilité de 0.1% et trè hautement ignificatif. Puiance et robutee d un tet Pour une même erreur α, le tet qui fournit l erreur β la plu petite et, par définition, le plu puiant. En pratique, il agit de tracer la courbe de puiance du tet ou courbe caractéritique d efficacité. Elle indique la probabilité de prendre une bonne déciion i H 1 et vraie. La puiance et donc meurée par la probabilité 1 β pour un α donné. Une machine outil produit de boulon de g et de variance g 2 à la fréquence de 1 boulon par econde. Toute le minute, 10% de boulon ont prélevé pour vérifier le bon fonctionnement de la machine. En prenant 1% de rique, établir l hypothèe principale H 0. Quelle ont le hypothèe alternative? En conidérant que eule la mae moyenne de boulon peut varier i la machine outil commence à mal fonctionner, faire la courbe de puiance de tet. Même quetion avec un prélévement de 50% de la production. 5