5 Groupes-Permutations

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1 1 Groupes La définition des groupes est connue : c est un ensemble G muni d une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre. de plus, tout élément de G admet un symétrique pour cette loi. La loi d un groupe est notée, sauf exception, multiplicativement. Le neutre de G est noté en général e G ou e, le symétrique de x est noté x 1 ; il est aussi alors appelé inverse. 1.1 Sous-groupes, morphismes Si G est un groupe, un sous-ensemble (non vide) H est un sous-groupe s il est lui-même un groupe (pour la même loi). Proposition 75. H non vide est un sous-groupe de G s il est stable pour la loi et pour la prise d inverse. On écrit alors H < G. La seconde condition est indispensable : N n est pas un sous-groupe de (Z, +). Avec la première, elle montre que le neutre de H est forcément le même que celui de G (comparer avec la notion de sous-anneau). Définition 39. Une application φ entre un groupe G et un groupe G est un morphisme (de groupes) si elle vérifie (x, y) G 2, φ(xy) = φ(x)φ(y) Il est alors facile de vérifier (en utilisant que G est un groupe) que φ(e G ) = e G et φ(x 1 ) = φ(x) 1. Proposition 76. Si φ est un morphisme de groupe, les images et les images réciproques de sous-groupes sont des sous-groupes. C est en particulier le cas de Im φ = φ(g), et Ker φ = φ 1 (e G ) = {x G φ(x) = e g } Bien sûr, le lien entre injectivité et noyau,et entre surjectivité et image subsiste. Un isomorphisme de groupe est un morphisme bijectif. On vérifie facilement que son application réciproque est aussi un morphisme de groupe. 55

2 1.2 Groupes cycliques, produit de groupes cycliques On rappelle que, si n N, l ensemble U n des racines n-ièmes de l unité est formé des complexes définis par : U n = {z C z n 1 = 0} = {z C k = 0..n, z = e 2kiπ n } Si on note z k le nombre e 2kiπ n, on remarque que z k = z1 k et donc que U n = {1, z 1, z 2 1,..., z n 1 1 } L ensemble U n est un groupe pour le produit. Compte-tenu de z n 1 = 1, il est constitué de toutes les puissances de z 1. Il faut connaître les cas n = 1, n = 2, n = 3 et n = 4. Définition 40. Tout groupe G isomorphe à U n est dit cyclique d ordre n. On note C n "le" groupe cyclique à n éléments. Ainsi, tout groupe à deux éléments est cyclique d ordre 2 : c est le cas de U 2 = { 1, 1} et de (Z/2Z, +) ou du groupe formé par une symétrie vectorielle et l identité, etc... De même, on vérifie que tout groupe à trois éléments est isomorphe à C 3. Enfin, il est immédiat que l application k ω k où ω = e 2iπ/n est un isomorphisme de groupe entre (Z/nZ, +) et U n. La notion de sous-espace vectoriel engendré par une partie se généralise aux groupes : si S est une partie de G, le sous-groupe engendré par S est le plus petit sous-groupe de G qui contient tous les éléments de S. On le note S. Comme dans le cas des sous-espaces vectoriels son existence est claire, S est l intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent S (l intersection de sous-groupes est évidemment elle-même un sous-groupe.) La description de G n est pas toujours facile : il doit comprendre les éléments de S, leurs puissances, leurs inverses, et tous les produits de ces éléments entre eux. Définition 41. De même, un groupe G est dit monogène s il existe un élément g de G tel que G = g ; on écrit G = g. Les groupes monogènes finis ne sont autres que les groupes cycliques. Théorème 77. Un groupe monogène g, s il est fini de cardinal n, est cyclique d ordre n, donc isomorphe à U n. S il est infini, il est isomorphe à (Z, +). Démonstration. Soit φ l application Z g k g k est un morphisme surjectif de groupes. Si φ est injectif, c est un isomorphisme. Sinon, son noyau est un sous-groupe de Z, donc de la forme nz, n non nul. Ainsi g k = e k nz. Mais alors, pour tout couple (i, j) de l ensemble E = {0, 1,..., n 1}, on a i j g i g j sinon g i j = e avec i j non multiple de n. Ces éléments sont donc distincts. De plus, si k n, g k = g kq+r = g r où k = nq + r est la division euclidienne de k par n. On a donc E = g. Enfin, il est immédiat que E est un groupe isomorphe à U n. 56

3 1 Groupes Définition 42. Si G = g est de cardinal n, on dit que l ordre de g est n. C est aussi le plus petit entier non nul tel que g n = e. Si g est infini, on dit que g est d ordre fini. L ordre d un élément est invariant par isomorphisme. Si G = g est de cardinal n, on dit que l ordre de g est n. C est aussi le plus petit entier non nul tel que g n = e. Si g est infini, on dit que g est d ordre fini. Un petit résultat assez pratique : Corollaire 78. Un groupe de cardinal n est cyclique si et seulement si il contient un élément d ordre n. Ainsi, le groupe du rectangle n est pas cyclique. Outre le fait bien sûr qu ils sont commutatifs, il y a deux théorèmes importants sur les groupes cycliques. Théorème 79. Soit g d ordre n. Alors, pour tout entier k, g k est d ordre le groupe g a pour générateurs les g k avec k premier à n. n n k. En particulier, Démonstration. Soit k {0, 1,..., n 1}. Notons p l ordre de g k. Alors (g k ) p = e kp = ln. Soit d le pgcd de k et n. On peut écrire { k = k d n = n d où k n = 1. L égalité précédente s écrit k p = n l Par le théorème de Gauss, p doit être un multiple de n. La plus petite valeur non nulle de p est donc n. L ordre de g k est donc p = n = n n k Ainsi, un groupe cyclique G = g de cardinal 6 a pour générateurs g et g 5. S il était de cardinal 7, il aurait 6 générateurs. On définit le produit direct de deux groupes G G par : pour deux couples de G G. (x, y)(x, y ) = (xx, yy ) Théorème 80. Le produit de deux groupes cycliques C n C m est cyclique, d ordre nm, si et seulement si n m = 1 Démonstration. C est un sous-produit du théorème chinois. 57

4 1.3 Groupes de permutations Première définition, exemples Soit E = {1, 2,..., n} l ensemble des entiers de 1 à n. Les bijections de E dans lui-même s appellent des permutations. L ensemble de ces permutations forme un groupe, que l on appelle groupe symétrique S n. Exemple : S 1 = {id}, S 2 = {id, τ}, S 3 = D 6 groupe du triangle Les deux premiers sont cycliques, ce sont les seuls Première notation, cycles, supports Une première notation possible est la suivante : ( ) σ = Cette notation désigne un élément σ de S 8 telle que σ(1) = 3, σ(2) = 1, etc. Parmi les permutations, certaines ont une description qui les fait appeler «cycles» ou plus précisément k-cycles. Définition 43. Soit 2 k n un entier. Une permutation σ de S n est appelée k-cycle s il existe (i 1, i 2,..., i k ) entiers distincts de {1,..., n} tels que σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3,... σ(i k 1 ) = i k, σ(i k ) = i 1 Il est facile de vérifier que Proposition 81. Un k-cycle est d ordre k. La démonstration est laissée en exercice. Remarquons que si σ est un k-cycle, le sous-groupe σ est cyclique d ordre k. On note σ = (i 1, i 2,..., i k ) ce k-cycle. Les k-cycles de longueur 2, notés τ = (i 1, i 2 ) sont appelés transpositions. Toutes les permutations ne sont pas des k-cycles, ainsi l exemple supra. Les éléments qui sont dans la liste (i 1, i 2,..., i k ) forment ce qu on appelle le support du k-cycle, les autres constituent les points fixes. Cette définition s applique à toutes les permutations : l identité est la seule permutation dont le support est vide. Un lemme utile dans les calculs, et même sur le plan théorique. Lemme 82. (Principe de conjugaison) Soit (a, b, c,..., k) un k-cycle et σ une permutation quelconque. Alors σ (a, b, c,..., k) σ 1 est un k-cycle, et σ (a 1, a 2, a 3,..., a k ) σ 1 = (σ(a 1 ), σ(a 2 ),..., σ(a k )) 58

5 1 Groupes La démonstration est calculatoire : on commence par étudier l image d un élément qui n est pas de la forme σ(a i ). Les k-cycles permettent de reconstituer tout le groupe symétrique : Théorème 83. Toute permutation σ se décompose de façon unique en composés de cycles à supports disjoints. De plus, ce composé est commutatif. Démonstration. On utilise une méthode algorithmique. Exemple : étude des éléments de S Générateurs du groupe symétriques Bien sûr, les k-cycles engendrent le groupe symétrique. Mais on peu faire mieux. Théorème 84. Le groupe symétrique est engendré par les transpositions. Il suffit de montrer que tout k-cycle est composé de transpositions. C est immédiat en observant : (a, b, c, d, e) = (a, b)(b, c)(c, d)(d, e) On remarque qu il suffit de k 1 transpositions. Ce résultat peut être amélioré jusqu à réduire à deux générateurs Signature, groupe alterné Il existe un morphisme de S n dans le groupe à deux éléments U 2 = {1, 1}. Ce morphisme, appelé signature est de toute première importance dans la théorie des déterminants. Théorème 85. Il existe un seul morphisme ǫ de groupes entre S n et U 2 = {1, 1} différent du morphisme constant. Ce morphisme s appelle la signature, il est égal à 1 pour toutes les transpositions. Démonstration. Définissons la signature par ǫ(σ) = ( 1) n k où k est le nombre des cycles entrant dans la décomposition de σ, augmenté du nombre des points fixes : on dit que c est le nombre des orbites. Pour une transposition, on obtient bien une signature égale à 1 (un cycle et n 2 points fixes). Montrons que la signature est un morphisme. Il faut montrer que ǫ(σ σ) = ǫ(σ )ǫ(σ). On peut se contenter du cas où σ est une transposition (car les transpositions engendrent le groupe symétrique). Prenons τ = (a, b) et soit k le nombre des orbites de σ (= cycles et points fixes de σ). Il faut montrer que la signature est multiplié par 1. Il y a plusieurs alternatives : Si a et b sont fixes par σ, il y a une orbite de plus. Si a et b apparaissent dans deux cycles disjoints, on utilise (a, b)(a, x 1,..., x k )(b, y 1,..., y l ) = (a, x 1,..., x k, b, y 1,..., y l ) pour observer qu il y a une orbite de moins. 59

6 Si a et b apparaissent dans le même cycle : (a, b)(a, x 1,..., x k, b, y 1,..., yl) = (a, x 1,..., x k )(b, y 1,..., y l ) il y a une orbite de plus. Le cas où b est fixe et non a est un cas limite du premier cas : (a, b)(a, x 1,..., x k ) = (a, x 1,..., x k, b) il y a un point fixe de moins (donc une orbite de moins). Remarque : il existe une autre définition de la signature, basée sur ce qu on appelle le nombre des inversions. Corollaire 86. Si la permutation σ se décompose en un produit de α transpositions, sa signature est ( 1) α. Corollaire 87. Si une permutation σ est décomposée en k transpositions, toute autre décomposition de σ en transpositions contiendra k transpositions où k est de même parité que k. Définition 44. L ensemble des permutations de signature 1 forme un sous-groupe de S n appelé groupe alterné et noté A n. Ses éléments sont appelées permutations paires. Exemple : le groupe alterné de S 3 est formé de l identité et des deux trois cycles, il est isomorphe au groupe cyclique à trois éléments. Le groupe alterné de S 4 contient douze éléments. (...) Un exercice : montrer que le groupe alterné est engendré par les 3-cycles. 2 Sous-groupes distingués, groupes quotients Pour pouvoir définir des groupes quotients, il faut adapter les idées rencontrées lors de l étude des anneaux. 2.1 Relations d équivalence associées à un sous-groupe, théorème de Lagrange Si G est un groupe et si H < G, on peut définir deux relations d équivalences associés à H, la première étant x y (mod H) x 1 y H Théorème 88. Il s agit bien d une relation d équivalence, les classes d équivalence sont de la forme xh = {g G h G, g = xh} Ces classes d équivalence s appellent classes à gauche. L ensemble des classes d équivalences à gauche est noté G/H. Son cardinal est noté [G : H], il s appelle l indice de H dans G. Il est bien sûr fini quand G est fini, mais peut-être fini quand G et H sont infinis. Exemple 1. Pour l addition,nz est un sous-groupe d indice n de Z. 60

7 2 Sous-groupes distingués, groupes quotients Si G = S 3 et H = (1, 2), il y a trois classes d équivalences, H, (2, 3)H et (1, 3)H. Le premier résultat, qui n utilise que les propriétés des classes d équivalences est le suivant : Théorème 89. Toutes les classes d équivalences sont en bijection avec H et forment une partition de G. Dans le cas où G est fini, on en déduit une relation entre cardinal de G, de H et l indice : [G : H] = card G card H On peut illustrer cette relation par l exemple suivant : H = (1, 2) et G = S 3. On en déduit le célèbre théorème Théorème 90. (de Lagrange) Si H < G et si G est fini, alors le cardinal de H est un diviseur du cardinal de G. Théorème 91. (de Lagrange, variante) Si G est fini, alors l ordre de tout élément est un diviseur de card G. (variante) Si G est fini de cardinal n, alors pour tout élément de G, on a x n = e. Démonstration. Montrons que les classes sont en bijection : l(application h xh est un application de H dans xh, surjective par définition de xh, injective : xh = xh h = h en multipliant par x 1. Comme les classes d équaivalence forment une partition de G, on a : card G = card H + card xh +... = card H card(g/h) Enfin, le dernier théorème est une conséquance, en prenant H = x. Et les classes à droites? On peut définir une nouvelle relation par : x y (mod H) xy 1 H Théorème 92. Il s agit bien d une relation d équivalence,appelée... les classes d équivalence sont de la forme Hx = {g G h G, g = xh} On peut examiner le cas où H = (1, 2). Les calculs montrent qu il y a trois classes «à droites», qui ne coïncident pas avec les classes à gauche. L ensemble des classes à droite est noté G \ H. 2.2 Sous-groupe distingué, conjugaison La notion de sous-groupe distingué est analogue (de façon relativement lointaine...) à celle d idéal "bilatère". Définition 45. Soit H < G un sous-groupe de G. On dit que H est distingué dans G si, pour tout g de G, on a gh = Hg. 61

8 Autrement dit les deux relations d équivalence coïncident. L exemple de H = (1, 2) dans S 3 montre qu un sous-groupe n est pas toujours distingué. Par contre, le sous-groupe de S 3 engendré par σ = (1, 2, 3) est distingué. Il n y a dans ce cas que deux classes. Bien sûr, les deux sous-groupes triviaux {e} et G sont des sous-groupes distingués de G, mais ce n est pas drôle. Episode hors programme mais intéressant Définissons maintenant la conjugaison et les éléments conjugués : Proposition 93. Soit G un groupe et g G. On appelle automorphisme intérieur l application i g : G G x gxg 1 C est un automorphisme de G (c est-à-dire un morphisme bijectif de G dans lui-même). Démonstration. Immédiate. Lorsque deux éléments de x et y sont tels qu il existe g G tel que y = gxg 1, on dit qu ils sont conjugués. Il s agit en fait d une relation, et on montre facilement que c est une relation d équivalence (la conjugaison). On dispose avec cette notion d une autre caractérisation des sousgroupes distingués. Proposition 94. Soit H < G. Le sous-groupe H est distingué dans G si pour tout x de H, les conjugués de x sont dans H. On peut ainsi retrouver les sous-groupes distingués de S 3. Fin de l épisode intéressant mais hors programme. Une façon efficace et rapide de trouver des sous-groupes distingués : Théorème 95. Si φ : G G est un morphisme de groupe, alors l image réciproque s un sous-groupe distingué de G est un sous-groupe distingué de G. En particulier, tout noyau d un morphisme est un sous-groupe distingué. Démonstration. Soit H G, H φ 1 (H ) son image réciproque, et soit x G. Si y xhx 1, alors φ(y) = φ(x)h φ(x) 1 H, avec des notations immédiates, donc y H et H G. 2.3 Groupes quotients Les sous-groupes distingués sont analogues aux idéaux des anneaux commutatifs : ils permettent de définir une structure de groupe sur le quotient G/H, ensemble des classes à gauche, qui coïncide avec l ensemble des classes à droite. Théorème 96. Lorsque H G, G/H est muni d une structure de groupe par : On dit que c est un groupe quotient. xh yh = xyh 62

9 3 Exemples de groupes Démonstration. La première chose à vérifier c est que la définition est cohérente : si x x et y y alors x y xy : xh = x H, yh = y H xyh = xy H = Hxy = Hx y = x y H de façon un peu désinvolte ou : (x y ) 1 xy = y 1 x 1 xy = y 1 hy = h en sous-entendant les quantificateurs. Les axiomes de groupes se démontrent de la même façon : (xhyh)zh = (xyh)zh = (xy)zh = x(yzh) = xh(yhzh) pour l associativité et l élément neutre est H, l inverse de xh est x 1 H. On peut alors démontrer le théorème d isomorphisme : Théorème 97. Si φ : G G est un morphisme de groupes alors il existe un isomorphisme canonique de G/ Ker φ sur Im φ. La démonstration est immédiate : c est la même que dans le cas des anneaux. Elle utilise néanmoins que le noyau d un morphisme est toujours un sous-groupe distingué de G. Un exemple : le noyau de la signature (qui est surjective) est le groupe alternée. Le quotient S n /A n est donc isomorphe à {+1, 1}. en particulier, A n, qui est distingué dans S n, a pour cardinal n!/2. Non, d accord : sauf si n = 1. Il est possible de démontrer aussi un théorème de correspondance comme pour les anneaux. 3 Exemples de groupes 3.1 Le théorème de Cayley Voici un théorème qui a un intérêt théorique : Théorème 98. Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe d un groupe symétrique. Démonstration. Facile! On regarde la table... Plus précisément, si on note τ g l application de G dans G définie par x gx, alors τ g est une bijection de G (attention, pas un automorphisme) et g τ g est, par contre, un morphisme de G dans S(G), le groupe des bijections de G dans lui-même. En effet : τ gg (x) = gg x = τ g (g x) = τ g τ g (x) Ce morphisme est injectif : si τ g est l identité, c est que g est le neutre de G. Gagné. Ainsi tout groupe fini de cardinal n est isomorphe à un sous-groupe de S n. À titre d exercice instructif, on pourra identifier à quels sous-groupes de S 4 sont isomorphes le groupe cyclique C 4 et le groupe de Klein C 2 C 2. 63

10 3.2 Groupes diédraux Si on observe dans le plan complexe l ensemble U n, on se convainc qu il est isomorphe au groupes R n des rotations qui transforment un n-gone régulier en lui-même. Ainsi, U 4 est le groupe des rotations qui conservent un carré. L isomorphisme est défini par : ω k = e 2ikπ n r O, 2ikπ n Le groupe des rotations en question est donc cyclique d ordre n, il est engendré par exemple par la rotation r d angle 2π n. C est donc {id, r, r 2,..., r n 1 } Si on tient compte des autres isométries qui conservent le même polygone, on obtient le groupe diédral D n. Ces isométries sont des réflexions. Si s est une de ces isométries, les autres sont s, s r,..., s r n 1 Voir par exemple le groupe à huit éléments des isométries qui conservent un carré. Le théorème à connaître dans ce chapitre est celui qui donne l ordre de g k quand G = g est un groupe cyclique d ordre n. 64