Chapitre 4. Maximisation de l Utilité et Choix. Nicholson and Snyder, Copyright 2008 by Thomson South-Western. All rights reserved.

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1 Chapitre 4 Maximisation de l Utilité et Choix Nicholson and Snyder, Copyright 2008 by Thomson South-Western. All rights reserved.

2 Principe d Optimisation Pour maximiser son utilité, étant donné un niveau de revenu fixé, un individu achètera des biens et services : qui épuisent son revenu global pour lesquel le TMS est égal au taux pour lequel les biens peuvent être échangés contre d autres sur le marché

3 Illustration Numérique Suposons que le TMS d un individu = 1 désire échanger une unité de x pour une unité de y Supposons que le prix de x = 2 et celui de y = 1 L individu peut améliorer sa situation, échanger 1 unité de x pour 2 unités de y sur le marché

4 La Contrainte Budgétaire Supposons qu un individu a I euros à répartir entre le bien x et le bien y Quantité de y p x x + p y y I Si tout son revenu est dépensé sur y, c est la quantité de y qu il peut avoir L individu ne pourra choisir que les combinaisons de x et y de la zone verte Si tout son revenu est dépensé sur x, c est la quantité de x qu il peut avoir Quantité de x

5 CPO pour un Maximum On peut ajouter la carte d indifférence de l individu pour montrer le processus de maximisation de l utlité Quantité de y A B C L individu peut obtenir mieux que le point A en réallouant son budget L individu ne peut pas obtenir C car son revenu n est pas suffisant U 1 U 2 U 3 Le point B est le point qui maximise son utlité Quantité de x

6 CPO pour un Maximum L utlité est maximisée à l endroit où la CI est tangent à la CB Quantité of y Pente de la CB = p x p y B Pente de la CI = dy dx U= constant U 2 Quantité of x

7 CDO pour un Maximum La règle de la tangence est nécessaire mais pas suffisante à moins de supposer un TMS décroissant Si le TMS est décroissant, alors les CI sont strictements convexes Si le TMS n est pas décroissant, nous devons alors vérifer les conditions du 2 nd ordre afin de s assurer d avoir bien un maximum

8 CDO pour un Maximum La règle de la tangence est seulement une condition nécessaire Le TMS doit être décroissant Quantité de y B Il y a tangence en A, Mais l individu peut atteindre plus d utilité au point B A U 2 U 1 Quantité de x

9 Solutions en Coin L individu peut maximiser son utilité en choisissant de ne consommer qu un des biens Quantité de y U 1 U 2 U 3 En A, la CI n est pas tangente à la CB Utilité maximale en A A Quantité de x

10 Le Cas à n biens L objectif de l individu est de maximiser Utilité = U(x 1,x 2,,x n ) sous sa contrainte de budget I = p 1 x 1 + p 2 x p n x n Posons le Lagrangien: L = U(x 1,x 2,,x n ) + λ(i - p 1 x 1 - p 2 x p n x n )

11 Le Cas à n biens CPO pour un maximum intérieur : L/ x 1 = U/ x 1 - λp 1 = 0 L / x 2 = U/ x 2 - λp 2 = 0 L / x n = U/ x n - λp n = 0 L / λ = I - p 1 x 1 - p 2 x p n x n = 0

12 Implications des CPO Pour deux biens, Ceci implique qu à l optimum TMS (x i pour x j ) = p i p j

13 Interprétation du Multiplicateur de Lagrange λ = U / x 1 p 1 = U / x 2 p 2 =... = U / x n p n λ = MU x 1 p 1 = MU x 2 p 2 =... = MU x n p n λ est l'utilité marginale d'un euro supplémentaire des dépenses de consommation l utilité marginal du revenu

14 Interprétation du Multiplicateur de Lagrange Pour un consommateur, le prix d un bien représente l évaluation de l utilité de la dernière unité consommée combien le consommateur est prêt à payer pour la dernière unité p i = Um x i λ

15 Solutions en Coin Une solution en coin signifie que les CPO doivent être modifiées : L/ x i = U/ x i - λp i 0 (i = 1,,n) Si L/ x i = U/ x i - λp i < 0, alors x i = 0 Ce qui veut dire que p i > U / x i = Um x i λ λ Pour un consommateur, tout bien dont le prix dépasse sa valeur marginale ne sera pas acheté

16 Fonctions de Demande Cobb-Douglas Fonction d utilité Cobb-Douglas : U(x,y) = x α y β Ecrivons le Lagrangien : CPO : L = x α y β + λ(i - p x x - p y y) L/ x = αx α-1 y β - λp x = 0 L/ y = βx α y β-1 - λp y = 0 L/ λ = I - p x x - p y y = 0

17 Fonctions de Demande Cobb-Douglas CPO impliquent : Comme α + β = 1: αy/βx = p x /p y p y y = (β/α)p x x = [(1- α)/α]p x x En substituant dans la constrainte : I = p x x + [(1- α)/α]p x x I = (1/α)p x x

18 Fonctions de Demande Cobb-Douglas En résolvant pour x, on obtient x* = αi p x En résolvant pour y, y* = βi p y L agent allouera α pourcent de son revenu à l achant du bien x et β pourcent à celui du bien y

19 Fonctions de Demande Cobb-Douglas La fonction d'utilité Cobb-Douglas est limitée dans sa capacité à expliquer le comportement réel de consommation la part du revenu consacrée à un bien change souvent en réponse à l'évolution des conditions économiques Une forme fonctionnelle plus générale serait plus utilite

20 Demande CES Suppons que δ = 0.5 U(x,y) = x y 0.5 Ecrivons le Lagrangien : CPO : L = x y λ(i - p x x - p y y) L/ x = 0.5x λp x = 0 L/ y = 0.5y λp y = 0 L/ λ = I - p x x - p y y = 0

21 Ceci implique que : Demande CES (y/x) 0.5 = p x /p y En la substituant dans la contrainte, nous pouvons déterminer les fonctions de demande

22 CES Demand Dans ces fonctions de demande, la part du revenu consacrée soit à x soit à y n est pas une constante dépend du ratio des deux prix Plus le prix relatif de x est élevé, plus la part du revenu consacrée à x sera faible

23 Si δ = -1, Demande CES U(x,y) = -x -1 - y -1 CPO impliquent : y/x = (p x /p y ) 0.5 Les fonctions de demande sont :

24 Si δ = -, Fonctions CES U(x,y) = Min(x,4y) L agent choisira uniquement les combinaisons de biens pour lesquelles x = 4y Ceci implique que : I = p x x + p y y = p x x + p y (x/4) I = (p x p y )x

25 Demande CES Ainsi, les fonctions de demande sont : x* = I p x p y y* = I 4p x + p y

26 Fonction d Utilité Indirecte Il est toujours possible de manipuler les CPO afin de déterminer les valeurs optimales de x 1,x 2,,x n Ces valeurs optimales seront x* 1 = x 1 (p 1,p 2,,p n,i) x* 2 = x 2 (p 1,p 2,,p n,i) x* n = x n (p 1,p 2,,p n,i)

27 Fonction d Utilité Indirecte On peut utiliser les valeurs optimales des x pour déterminer la fonction d utilité indirecte V(p 1,p 2,,p n,i) = U(x* 1,x* 2,,x* n ) Le niveau optimal d utilité dépendra indirectement des prix et du revenu

28 Le Principe d imposition forfaitaire Les impôts des individus sont généralement supérieurs aux taxes sur les biens L impôt permet à l individu de décider librement comment allouer le revenu restant Une taxe sur un bien réduira le pouvoir d achat d un agent et faussera ses choix

29 Le Principe d imposition forfaitaire Une taxe sur le bien x fera se déplacer l optimum du consommateur du point A au point B Quantité de y B A U 1 U 2 Quantité de x

30 Le Principe d imposition forfaitaire Un impôt forfaitaire fera se déplacer la contrainte de budget en I Quantité de y I Utilité est maintenant maxi. en C sur U 3 B C A U 3 U 1 U 2 Quantité de x

31 Le Principe d imposition forfaitaire Si la fonction d utlité est une Cobb-Douglas avec α = β = 0.5, nous savons alors que La fonction d Utilité Indirecte est donc, V(p x,p y,i) = U(x*,y*) = (x*) 0.5 (y*) 0.5 = I 2p x 0.5 p y 0.5

32 Le Principe d imposition forfaitaire Si une taxe de 1 sur le bien x est décidée l individu n achètera plus que x* = 2 l utilité indirecte chutera de 2 à 1.41 Un impôt forfaitaire d un montant équivalent amènera son revenu à 6 L utlité indirecte chutera de 2 à 1.5

33 Le Principe d imposition forfaitaire Si la fonction d utlité est de type Léontief avec U = Min(x,4y), nous savons que La fonction d utilité indirecte est alors

34 Le Principe d imposition forfaitaire Si taxe de 1 sur le bien x La fonction d utilité indirecte chute de 4 à 8/3 Un impôt d un montant équivalent amènera son revenu à 16/3 La fonction d utilité indirecte chute de 4 à 8/3 Comme les préferences sont rigides, la atxe sur x ne faussera pas ses choix

35 Minimisation de la Dépense C est le problème dual à la maximisation de l utilité affecter le revenu pour atteindre un niveau d'utilité donné avec une dépense minimale La fonction objectif et la contrainte ont été inversées

36 Minimisation de la Dépense Point A = solution du problème dual Quantité de y Le niveau de dépense E 2 fournit juste assez pour atteindre U 1 Le niveau de dépense E 3 permettra à l indiv d atteindre U 1 mais n est pas la dépense minimale requise pour le faire A Le niveau de dépense E 1 est trop faible pour atteindre U 1 U 1 Quantité de x

37 Minimisation de la Dépense Le problème de l individu est de choisir x 1,x 2,,x n qui minimisent les dépenses totales = E = p 1 x 1 + p 2 x p n x n sous la contrainte utilité = Ū = U(x 1,x 2,,x n ) Les montants optimaux de x 1,x 2,,x n dépendront des prix des biens et du niveau d utilité requis

38 La Fonction de Dépense La fonction de dépense représente les dépenses minimales nécessaires pour atteindre un niveau d utilité donné pour un ensemble de prix donnés dépenses minimales= E(p 1,p 2,,p n,u) La fonction de dépense et la fonction d utilité indirecte sont inversement liées les deux dépendent des prix sur le marché mais nécessitent différentes contraintes

39 Deux Fonctions de Dépense La fonction d utilité indirecte de Cobb- Douglas dans le cas de deux biens est V(p x,p y,i) = I 2p x 0.5 p y 0.5 Si nous interchangeons le rôle de l utilité et du revenu (dépense), nous aurons la fonction de dépense E(p x,p y,u) = 2p x 0.5 p y 0.5 U

40 Deux Fonctions de Dépense Pour le cas Léontief, la fonction d utilité indirecte est V(p x,p y,i) = I p x p y Si nous interchangeons à nouveau le rôle de l utilité et du revenu (dépense), nous aurons la fonction de dépense E(p x,p y,u) = (p x p y )U

41 Propriétés des Fonctions de Dépense Homogéneité Un doublement de tous les prix doublera précisément la valeur des dépenses requises homogènes de dégré 1 Non décroissantes en prix E/ p i 0 pour chaque bien, i Concaves en prix

42 Concavité de la Fonction de Dépense En p* 1, l indiv dépense E(p* 1, ) E(p 1, ) E pseudo E(p 1, ) S il continue à acheter le même ensemble de biens lorsque p* 1 varie, sa fonction de dépense sera E pseudo E(p* 1, ) p* 1 p 1 Puisque son mode de consommation va sans doute changer, les dépenses réelles seront inférieures à E pseudo comme sur E(p 1, )

43 Points importants: Pour atteindre un maximum, un agent devrait : dépenser tout son revenu disponible choisir un panier de biens tel que le TMS entre deux biens est égal au rapport des prix de ces deux biens the individual will equate the ratios of the marginal utility to price for every good that is actually consumed

44 Points importants : Les conditions de tangence sont uniquement associées au CPO La carte d indifférence des agents doit présenter des TMS décroissants la fonction d utilité doit être strictement quasi-concave