. Ces deux circuits produisent donc chacun un champ magnétique, noté B r 1. . Le terme entre parenthèse étant indépendant de I

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1 LP 9 Systè d dux circuits fiifors dns 'pproxition ds régis qusi sttionnirs: Inductnc propr, inductnc utu Aspcts énrgétiqus Introduction: Nous vons étué précédnt phénoèn d'induction, t nous vons vu qu cui-ci étit crctérisé pr vrition du fux d'un chp gnétiqu à trvrs un circuit, t cci sns nous préoccupr d production d c chp gnétiqu Or on sit qu tout circuit prcouru pr un cournt créé un chp gnétiqu, t donc qu d'utrs circuits, ou ê ui-ê, puvnt êtr trvrsés pr fux d c chp t donc subir ds ffts d'induction C'st c qu nous ons voir à présnt Nous nous pcrons dns cs sip d dux circuits, is tous s résutts obtnus pourront êtr générisés à un nobr quconqu d circuits A) Cofficints d'induction: ) Inductnc utu: Considérons dux circuits fiifors t C prcourus rspctivnt pr s cournts I t I Cs dux circuits produisnt donc chcun un chp gnétiqu, noté B r t B r L fux nvoyé pr C à trvrs C v ors s'écrir r r r r BdS = A d S C r r r µ I d d r Or on sit qu A = 4π C r On obtint ors, co s intégrtions s font sur ds vribs fférnts, qu: r r µ d d I 4 C C r = L tr ntr prnthès étnt indépndnt d I, on définit π d r cofficint d induction utu ds dux circuits C t C M =, qui n dépnd qu I d géoétri du systè Pr iurs, i fut bin rrqur qu son sign dépnd d 'orinttion choisi pour chcun ds circuits Si on ccu fux nvoyé pr C vrs C, on, son ê ccu: = M I, où M st égnt donné pr ê xprssion intégr qu M, ppés foru d Nunn L syétri d ctt xprssion n t èn à concur qu M = M = M Ctt propriété d syétri st iportnt, cr dns crtins cs 'un ds dux st bucoup pus fci à ccur qu 'utr Exp : inductnc utu d'un bobin t d'un spir: Ccuons rctnt fux créé pr grnd soénoïd u trvrs du ptit Si on négig s ffts d r NI r bords, on B = µ x, t fux à trvrs s n spirs

2 d ryon r du ptit soénoïd vut ors: Nnπr I µ Nn s = µ On ors M = Sur ct xp on put fir dux rrqus: - d nièr génér on n'utiisr ps foru d Nunn, is uniqunt résutt qu' donn concrnnt 'égité ds cofficints d'induction utu L ccu du cofficint d'induction utu s fr pr un ccu rct d fux - Pr iurs, on voit sur ct xp qu ccu à prtir du fux créé pr ptit soénoïd dns grnd st bucoup pus copiqué, puisqu à fit d négigr s ffts d bords conduit à un résutt fférnt On voit 'vntg ins qu rprésnt propriété d'égité ds cofficint d'inductnc utu Exp : princip d'un pinc pèrétriqu: Considérons un bobin toriqu ncrcnt un fi prcouru pr un cournt I On considèr qu su prti intériur u tor du fi infu sur 'induction utu t qu s utrs prtis du circuit qui prttnt d frr jount un rô négigb Dns ctt pproxition, i st égiti d supposr qu du point d vu du tor, fi st infini, c'st-àr qu s prtis qui frnt circuit sont éoignés L théorè d'apèr donn ors chp produit à un stnc ρ du fi: I N b B = µ, t fux à trvrs tor s'écrit = µ c n I On n tir donc πρ π N b 'xprssion du cofficint d'induction utu ds dux circuits M = µ c n On voit π ors qu connissnt s crctéristiqus du tor, un sur du fux à trvrs circuit à 'id du fuxètr pr xp v nous donnr un sur d I On insi constitué un pinc pèrétriqu ) Cofficint d uto-induction: Considérons à présnt un su circuit fiifor C D ê nièr qu pour 'nsb d dux circuits, chp gnétiqu qu'i génèr dns tous 'spc orsqu'i st prcouru pr un cournt I st proportionn à I I n st ors d ê pour fux qui trvrs circuit C On pos donc = LI, où L st cofficint d uto-induction du circuit, ou inductnc propr ou pus brièvnt sf Notons qu ccu d 'inductnc propr n put s fir pr un intégr d Nunn qui vrg orsqu r En fit, c'st 'pproxition d'un circuit fiifor qui doit êtr bndonné pour obtnir L: on doit décoposr circuit n tubs d cournts Cpndnt, d ts ccus sont rdus t présntnt un intérêt très iité Aussi nous n nous ttrdrons ps dssus I xist cpndnt d'utrs oyns d ccur L, c'st-à-r pr un ccu rct fux Nous ons n voir ici dux xps Exp 3: inductnc propr d'un bobin L cofficint d'inductnc propr d'un bobin s'obtint rctnt à prtir d 'xp N S précédnt n prnnt r = t n=n On obtint ors rctnt L = µ

3 Exp 4: inductnc propr d un bobin toriqu: Considérons un bobin toriqu, c'st-à-r un bobin où s spirs sont nroués sur un tor circuir d sction rctnguir Appiquons théorè d'apèr à un ign d chp circuir à 'intériur du tor On NI obtint B π ρ = µ NI, soit B = µ πρ c / b NIc b L fux d B à trvrs un spir st ors donné pr ϕ = dz B( ) d n c / ρ ρ = µ, π xprssion d qu on tir fux tot t finnt 'xprssion d 'inductnc propr du N b tor L = µ c n π Pour un ordr d grndur ds inductncs proprs, ccuons sf d'un soénoïd d ryon 5c, d onguur c d 5 spirs On obtint L=3 - Hnry B) Phénoèn d'uto induction Induction ntr circuit coupés: ) Auto induction: Si un circuit st prcouru pr un cournt I, on vu qu'i étit ors trvrsé pr un fux = LI Si c cournt vri u cours du tps, d'près s résutts d 'induction, on ssist à 'pprition d'un f induit, t d'uto-induction, t qu: di = = L On rtrouv résutt bin connu n éctrocinétiqu donnnt tnsion ux borns d'un bobin E s'oppos toujours à vrition d I n rison du sign - Pr iurs, intrt tout scontinuité du cournt dns circuit, qui ènrit un fférnc d potnti infini Un ppiction très cournt d 'uto-induction st son utiistion dns s circuits éctriqus Etuons cs sip d'un bobin n séri vc un résistnc dns un circuit uni d'un intruptur L oi d'oh générisé s'écrit ors: t L = i, c qui ipiqu qu = L i L cournt croît donc progrssivnt jusqu'à vur qu'i urit s'i n'y vit ps bobin Signons just pour 'instnt qu génértur trvi contr 'fft Jou, is égnt contr f induit Nous rvindrons pus trd sur c point Qu s pss-t-i orsqu 'on ouvr circuit S'i n'y vit ps bobin, cournt subirit un scontinuité t rvindrit à zéro Mis ici bobin ipos u cournt d'êtr continu I v y voir un fort décroissnc du cournt, c qui v cusr 'pprition d'un fort fé induit, qui v s nifstr ux borns d 'intrruptur qui v ors s coportr co un condnstur L fférnc d potnti qui v pprîtr ors v êtr ssipé u fur t à sur dns résistnc sous un régi d'oscition ortis, is si tnsion initi st trop fort, put dépssr tnsion iit d'ionistion d 'ir Un étinc s produit ors ux borns d 'intrruptur, cci pouvnt 'ndogr fortnt En génér on pc

4 n prè d 'intrruptur un condnstur d pus fort cpcité qui v prttr à ssiption d s fir n doucur ) Systè d dux circuits coupés: Considérons à présnt dux circuits, coupés pr un cofficint d'induction utu M D ê qu pour 'uto-induction, tout vrition d cournt dns un circuit v provoqur un vrition d fux dns 'utr circuit, t donc 'pprition d'un f induit E vut, pr xp pour circuit : di = M L oi d'oh générisé donn donc, vc résistnc tot du circuit t L son inductnc propr: L M = i L'ppiction jur d c phénoèn st trnsfortur, dont nous ons ici étur princip I st constitué d'un circuit contnnt un génértur d tnsion vrib t d'un circuit C ouvrt ux borns duqu nous surons tnsion M Dns circuit priir, on, d nièr génér: = i, t dns circuit scondir = Si d pus on suppos qu s dux spositifs sont coupés d t sort qu ϕ = =, t qu résistnc du priir st n n négigb, on obtint = n n L phénoèn d'induction utu égnt un conséqunc iportnt dns 'ssocition d dux bobins Supposons n fft qu dux bobins soint ssociés n séri dns un circuit prcouru pr un cournt vrib Dns ctt configurtion, s présntnt chcun un inductnc propr L t L, t un cofficint d'induction utu M L f = L M M L, t donc 'inductnc induit ux borns d 'nsb vut ors ( ) propr équivnt vut L + L + M Iginons intnnt qu 'on invrs sns d brnchnt d 'un ds bobins L cofficint d'induction utu st ors trnsforé n M, t 'inductnc équivnt vut L + L M I fut donc fir ttntion à c qu cofficint d'induction utu soit bin négigb pour fir c gnr d'ssocition 3) Quntité d'éctricité dépcé; princip d'un fuxètr: Considérons un circuit prcouru à 'instnt initi pr un cournt i = t trvrsé pr un fux Utériurnt, c fux vri pour un rison quconqu (induction utu, vrition d'un chp gnétiqu, dépcnt du circuit ), puis i dvint à nouvu constnt t cournt rdvint nu u bout d'un crtin tps

5 L quntité d'éctricité qui trvrsé circuit ntr cs dux instnts vut ors: t L Q = t t i Or on L = i, t donc Q = t, soit Q = t t Ctt quntité n dépnd donc ni d 'inductnc du circuit, ni du déti d vrition d fux: su fférnc d fux ntr 'étt initi t 'étt fin intrvint Cci st is à profit pour réisr ds fuxètrs Is sont coposés d'un bobin pt suivi d'un intégrtur qui fit 'intégrtion d 'intnsité, donnnt insi ccès à Q C) Aspcts énrgétiqus: Nous vons vu ors d 'étud du princip du trnsfortur qu'i pprissit u scondir un tnsion Si 'on brnch ors un ppri éctriqu (résistnc, otur ), i v y voir circution d'un cournt D 'énrgi st donc pssé du circuit u circuit pr induction utu Nous ons intnnt xinr cci n déti ) Circuit sip rigid t fix: prnons circuit précédnt L oi d'oh générisé nous donn: L = i Mutipions ors ctt éqution pr i On obtint L i = i + L prir tr st puissnc fourni pr génértur, t scond puissnc ssipé pr fft Jou L troisiè tr pprît co puissnc nécssir pour ofir chp gnétiqu à 'intériur d bobin, pus précisént I pour 'ugntr L'énrgi tot corrspondnt vut U = L Ctt grndur st positiv, t st n ququ sort stocké dns bobin E put d'iurs êtr récupéré En fft, supposons qu'à ct instnt on nnu f du génértur On ors: t L L = i, t donc i = I L'énrgi ssipé pr fft Jou ors d ctt décroissnc vut ors ω = i = LI On urit ussi bin pu utiisr ctt énrgi pour pr xp fir tournr un otur Ctt énrgi U stocké s'pp énrgi gnétiqu du circuit L'xp précédnt ontr qu orsqu cournt vri dns un circuit, f d'utoinduction fournit ux porturs d chrg durnt 'énrgi donné pr dw = Li = du, dérivnt d 'énrgi potnti qu constitué 'énrgi gnétiqu ) Circuits rigids coupés: Considérons à nouvu s dux circuits coupés pr inductnc utu, is frons scond circuit pr un résistnc Ls dux éqution éctriqus corrspondnts sont:

6 = i, c qui ipiqu qu i = i + i + i + i On voit ors = i qu puissnc fourni pr génértur n'st qu'n prti ssipé pr fft Jou dns prir circuit Un utr prti été trnsféré u scond circuit t ssipé pr fft Jou dns c circuit, t nfin un utr prti été fourni ux dux f d'induction On put r pr nogi vc prir cs qu'n prnnc d 'énrgi st pporté à prièr bobin qui n trnst à scond qui intint insi son énrgi constnt gré ssiption pr fft Jou dns scond résistnc L trvi corrspondnt ux ffts d'induction vut δ W = i + i Or on vu qu = L i + Mi, t = L i + Mi, t donc δ W = Li + M ( i + i ) + Li Ici on ncor δ W = du, vc L i + Li + Mii Ici ncor U st n ququ sort 'énrgi gnétiqu stocké pr s circuits, t qui put ussi êtr réutiisé Ctt énrgi put s'écrir d'un utr nièr, n considérnt s xprssions ds fux: U = i + i, xprssion très iportnt cr v prttr d'étndr ctt notion d'énrgi potnti gnétiqu à un nobr quconqu d circuits coupés sous for U = i k k k