Calcul matriciel. matrices-ligne et colonne : on appelle matrice-ligne toute matrice n ayant qu une seule ligne. On peut identifier

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1 Calcul matriciel Dans ce qui suit, K désigne R ou C. 1 Petite visite au zoo matriciel 1.1 matrices générales notion de matrice : une matrice à coefficients dans K est une liste d éléments de K disposés en lignes et colonnes. - plus précisément, on appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K, np éléments de K disposés en n lignes et p colonnes! - on appellera taille d une matrice le couple (n, p) où n est le nombre de lignes et p le nombre de colonnes. on notera les matrices par des lettres majuscules : A, B, X, Y, M,etc... On notera les coefficients d une matrice par une lettre minuscule avec deux indices : a i,j par exemple. Plus précisément, on pourra écrire A = [a i,j ] 1 i n;1 j p. - une notation pratique est aussi (A) i,j pour désigner le coefficient ligne i colonne j de la matrice A. - on note M n,p (K) l ensemble des matrices à coefficients dans K, à n lignes et p colonnes. - si n = p, on abrège cette notation en M n (K). 1.2 formes particulières de matrices la matrice de M n,p (K), dont tous les coefficients sont nuls, est appelée matrice nulle et se note parfois n,p. matrices-ligne et colonne : on appelle matrice-ligne toute matrice n ayant qu une seule ligne. On peut identifier naturellement une matrice-ligne de M 1,p (K) au p-uplet de ses coordonnées. - on appelle matrice-colonne toute matrice n ayant qu une seule colonne. On peut identifier naturellement une matrice-colonne de M n,1 (K) au n-uplet de ses coordonnées. - soit une matrice A de M n,p (K). Pour tout entier i de [1; n], on appelle i ieme ligne extraite de A et on note L i (A), la matrice-ligne correspondant à la i eme ligne de A. De même, pour tout entier j de [1; p], on appelle j ieme colonne extraite de A et on note C j (A), la matrice-colonne correspondant à la j eme colonne de A. une matrice est dite carrée ssi elle a autant de lignes que de colonnes. - pour une matrice carrée [a i,j ] 1 i,j n, les coefficients a i,i sont appelés coefficients diagonaux et forment la diagonale de la matrice. 1

2 1.3 matrices carrées particulières matrice diagonale : une matrice carrée est dite diagonale ssi tous ses coefficients non-diagonaux sont nuls. On peut alors la noter diag(b 1, b 2,, b n ) où les (b i ) 1 i n sont ses coefficients diagonaux. - la matrice nulle est diagonale et on a n = diag(0, 0,, 0). - on appelle matrice-identité d ordre n la matrice diagonale de M n (K) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1. On la note I n. - plus généralement, toute matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont égaux est appelée matrice scalaire ou matrice d homothétie. matrice triangulaire : une matrice carrée est dite triangulaire supérieure ssi tous ses coefficients strictement en dessous de la diagonale sont nuls. Autrement dit, [a i,j ] 1 i,j n est triangulaire supérieure ssi i, j [1; n]/i > j, a i,j = 0. - une matrice carrée est dite triangulaire inférieure ssi tous ses coefficients strictement au dessus de la diagonale sont nuls. Autrement dit, [a i,j ] 1 i,j n est triangulaire inférieure ssi i, j [1; n]/i < j, a i,j = 0. - rq : une matrice carrée est diagonale ssi elle est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure. matrice symétrique ou antisymétrique : une matrice carrée est dite symétrique ssi ses coefficients sont symétriques par rapport à la diagonale. Autrement dit, [a i,j ] 1 i,j n est symétrique ssi i, j [1; n], a i,j = a j,i. - une matrice carrée [a i,j ] 1 i,j n est dite antisymétrique ssi i, j [1; n], a i,j = a j,i. - rq : les coefficients diagonaux d une matrice antisymétrique sont nuls. 2 Opérations sur les matrices 2.1 combinaison linéaire pour deux matrices A = [a i,j ] et B = [b i,j ] de même taille (n, p), on définit la matrice A + B de taille (n, p), par A + B = [a i,j + b i,j ]. - pour une matrice A = [a i,j ] de M n,p (K) et un scalaire (élément de K) t, on définit ta, la matrice de M n,p (K), par ta = [ta i,j ]. la loi interne + sur M n,p (K) est commutative et associative et admet la matrice nulle n,p comme élément neutre. - La loi externe. vérifie les lois attendues pour un produit : (λ + µ)a = λa + µa ; λ(a + B) = λa + λb ; λ(µa) = λµa ; 1.A = A ; 0A = n,p On dit que M n,p (K) est un K-espace vectoriel. 2

3 2.2 produit pour toute matrice A = [a i,j ] de taille (n, p) et B = [b i,j ] de taille (p, q), on définit la matrice AB de taille (n, q) par : AB = [c i,j ] où i [1; n], j [1; q], c i,j = p a i,k b k,j k=1 - N.B : le coefficient (i,j) de AB ne dépend que de la ligne i de A et de la colonne j de B. Plus précisément L i (A)C j (B) est la matrice de taille (1, 1) dont le coefficient est c i,j. formules pour lignes ou colonnes extraites : on a d autres formules concernant les lignes ou colonnes extraites d une matrice : i [1; n], L i (AB) = L i (A)B et j [1; p], C j (AB) = AC j (B) propriétés : A M n,p (K), I n A = A; AI p = A et r,n A = r,p ; A p,q = n,q le produit de matrices est associatif mais pas commutatif! matrices qui commutent : on dit que 2 matrices A et B commutent ssi les produits AB et BA existent et sont égaux. Deux matrices qui commutent sont forcément carrées et de même taille. - attention : deux matrices non nulles A et B peuvent donner un produit AB =. Ainsi, si AB = AC, on ne peut en déduire que B = C ( sauf si A est inversible) - l opération est distributif sur + en particulier. 2.3 transposition transposée : pour toute matrice A = [a i,j ] de M n,p (K), on définit t A = [a i,j] comme la matrice de M p,n (K) telle que i, j, a i,j = a j,i. propriétés : la transposition transforme une matrice-ligne en une matrice - colonne et réciproquement. - la transposition échange le rôle des lignes et des colonnes d une matrice, plus précisément : i, L i ( t A) = t (C i (A)); C i ( t A) = t (L i (A)) - on a bien sûr : t ( t A) = A. - on a les propriétés suivantes vis à vis du produit et des combinaisons linéaires : t (λa + µb) = λ t A + µ t B et t (AB) = t B t A 3

4 caractérisation des matrices symétriques ou antisymétriques : - une matrice A est symétrique ssi t A = A. - une matrice A est antisymétrique ssi t A = A. 3 Notions spéciales pour les matrices carrées 3.1 puissances de matrices carrées soit A une matrice carrée de taille (n, n). pour tout entier k, on peut définir A k par la formule de récurrence : A 0 = I n et k N, A k+1 = AA k = A k A. formules : - k N, (I n ) k = I n. - on a les propriétés classiques des exposants : - d autres propriétés de calcul : r, s N, A r A s = A s A r = A r+s ; (A r ) s = (A s ) r = A rs λ K, r N, (λa) r = λ r A r et t (A r ) = ( t A) r 3.2 formules pour 2 matrices qui commutent puissance d un produit : si A et B sont 2 matrices de M n (K) qui commutent alors : r N, (AB) r = A r B r. formule du bin^ome : si A et B sont deux matrices de M n (K) qui commutent, alors : r N, (A + B) r = r k=0 ( ) r A k B r k k formule de factorisation : si A et B sont deux matrices de M n (K) qui commutent : r 1 r N, A r B r = (A B) A k B r 1 k k=0 4

5 3.3 inversibilité de matrices carrées inversibilité : une matrice carrée A de M n (K) est dite inversible ssi il existe une matrice B telle que AB = BA = I n. - si une matrice A est inversible, il y a une unique matrice B vérifiant AB = BA = I n, on la note A 1, c est l inverse de A. - I n est inversible et son inverse est elle même! formules : - si A est inversible alors A 1 l est aussi et (A 1 ) 1 = A. - si A est inversible, alors pour tout scalaire non nul λ, λa est inversible et : (λa) 1 = 1 λ A 1 - si deux matrices A et B de M n (K) sont inversibles, alors AB l est aussi et : (AB) 1 = B 1 A 1 - si A est inversible alors, pour tout entier naturel k, A k est inversible et (A k ) 1 = (A 1 ) k. - si A est inversible, alors t A est inversible et : ( t A) 1 = t (A 1 ). - l ensemble des matrices inversibles de M n (K) est noté GL n (K). 4 Opérations sur les matrices spéciales 4.1 le cas des matrices diagonales stabilité de la notion : toute combinaison linéaire et produit de 2 matrices diagonales est une matrice diagonale. Autrement dit, D n (K) est stable par combinaisons linéaires et produits, il contient n et I n (les éléments neutres pour + et respectivement dans M n (K)). formules : on notera diag(d 1,, d n ) la matrice diagonale de taille (n, n) et de coefficients diagonaux d 1, d 2,, d n. On a les formules : λdiag(d 1,, d n ) = diag(λd 1,, λd n ) diag(a 1,, a n ) + diag(b 1,, b n ) = diag(a 1 + b 1,, a n + b n ) diag(a 1,, a n ) diag(b 1,, b n ) = diag(a 1 b 1,, a n b n ) k N, (diag(a 1,, a n )) k = diag(a k 1,, a k n) - on constate que deux matrices diagonales commutent. 5

6 inversibilité : une matrice diagonale est inversible ssi tous ses termes diagonaux sont non nuls et on a alors : (diag(a 1,, a n )) 1 = diag(1/a 1,, 1/a n ) 4.2 le cas des matrices triangulaires stabilité : toute combinaison linéaire et produit de 2 matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure. Autrement dit,t n,sup (K) est stable par combinaisons linéaires et produits, il contient n et I n (les éléments neutres pour + et respectivement). coeff diagonaux d un produit : pour deux matrices triangulaires supérieures, les coefficients diagonaux du produit sont les produits des coefficients diagonaux. Plus précisément : i [1; n], (AB) i,i = (A) i,i (B) i,i. inversibilité : une matrice triangulaire supérieure est inversible ssi tous ses termes diagonaux sont non nuls et dans ce cas, son inverse est aussi triangulaire supérieure. De plus les coefficients diagonaux de son inverse sont les inverses de ses coefficients diagonaux. on a les mêmes résultats en remplaçant supérieure par inférieure. 4.3 le cas des matrices symétriques ou antisymétriques S n (K) et A n (K) sont stables par combinaisons linéaires, mais pas par produit. 5 matrices élémentaires et opérations sur les lignes soit n un entier naturel non nul. On appelle matrice élémentaire toute matrice d un des 3 types ci-dessous. Chacune traduit, via le produit matriciel ( à gauche), une opération élémentaire sur les lignes d une matrice. 5.1 matrices de dilatation : on appelle matrice de dilatation toute matrice du type suivant : pour tout entier i de [1; n] et tout réel non nul λ, on note D i (λ) la matrice diagonale diag(1,, 1, λ, 1, 1) : tous ses coefficients diagonaux valent 1 excepté le i eme, qui vaut λ. 6

7 produit à gauche par une matrice de dilatation : multiplier à gauche une matrice A par D i (λ) revient à lui appliquer l opération élémentaire L i λl i. Plus précisément : A M n,p (K), L i (D i (λ)a) = λl i (A) ; k [1; n]/k i, L k (D i (λ)a) = L k (A) Rq : les matrices de dilatation sont inversibles et D i (λ) 1 = D i (1/λ). 5.2 matrices de transvection : on appelle matrice de transvection toute matrice du type suivant : pour tous entier (i, j) de [1; n], on note E i,j la matrice dont tous les coefficients sont nuls, excepté le coefficient (i, j) qui vaut 1. Pour tous entiers i, j distincts de [1; n] et tout réel non nul λ, on note T i,j (λ) la matrice triangulaire I n + λe i,j. produit à gauche par une matrice de transvection : multiplier à gauche une matrice A par T i,j (λ) revient à lui appliquer l opération élémentaire L i L i + λl j. Plus précisément : A M n,p (K), L i (T i,j (λ)a) = L i (A)+λL j (A) ; k [1; n]/k i, L k (T i,j (λ)a) = L k (A) Rq : les matrices de transvection sont inversibles et T i,j (λ) 1 = T i,j ( λ). 5.3 matrices de transposition on appelle matrice de transposition toute matrice du type suivant : pour tous entiers i et j de [1; n], on note P i,j la matrice symétrique : P i,j = I n E i,i E j,j + E i,j + E j,i produit à gauche par une matrice de transposition : multiplier à gauche une matrice A par P i,j revient à lui appliquer l opération élémentaire L i L j. Plus précisément : A M n,p (K), L i (P i,j A) = L j (A) ; L j (P i,j A) = L i (A) ; k [1; n]\{i, j}, L k (P i,j A) = L k (A) Rq : les matrices de transposition sont inversibles et sont égales à leur propre inverse. 5.4 pivot de Gauss traduction matricielle du pivot de Gauss : pour toute matrice A de M n,p (K), il existe une matrice inversible E ( produit de matrices élémentaires) et une unique matrice R réduite échelonnée par lignes, telle que A = ER. 7

8 6 Brève extension aux opérations sur les colonnes 6.1 définitions on peut définir les opérations élémentaires sur les colonnes d une matrice, de la même façon que pour les lignes : C i λc i pour λ 0. C i C i + λc j pour i j. C i C j. notion d équivalence par colonnes : deux matrices A et A sont dites équivalentes par colonnes ssi on peut passer de l une à l autre par une suite finie d opérations élémentaires sur les colonnes. On note alors A C A. effet de la transposition : la transposition permet de faire correspondre les définitions sur lignes et colonnes : deux matrices sont équivalentes par lignes ssi leurs transposées sont équivalentes par colonnes. une matrice est dite échelonnée par colonnes et réduite ssi sa transposée est échelonnée par lignes et réduite. 6.2 résultats traduction matricielle des opérations sur les colonnes : multiplier à droite une matrice A par D i (λ) revient à lui appliquer l opération élémentaire C i λc i. Plus précisément : A M p,n (K), C i (AD i (λ)) = λc i (A) ; k [1; n]/k i, C k (AD i (λ)) = C k (A) multiplier à droite une matrice A par T i,j (λ) revient à lui appliquer l opération élémentaire C j C j + λc i. Plus précisément : A M p,n (K), C j (AT i,j (λ)) = C j + λc i (A) ; k [1; n]/k j, C k (AT i,j (λ)) = C k (A) multiplier à droite une matrice A par P i,j (λ) revient à lui appliquer l opération élémentaire C i C j. Plus précisément : A M p,n (K) C i (AP i,j ) = C j (A) ; C j (P i,j A) = C i (A) ; k [1; n]\{i, j}, C k (AP i,j ) = C k (A) traduction matricielle du pivot de Gauss : pour toute matrice A de M n,p (K), il existe une matrice inversible E ( produit de matrices élémentaires) et une unique matrice R échelonnée par colonnes et réduite, telle que A = R E. 8

9 7 Inversibilité, inverse et systèmes 7.1 équations du type AX = Y avec X et Y des matricescolonnes expression matricielle d un système : Soit A une matrice de M n,p (K). Soient X et Y les matrices colonnes de coefficients respectifs (x 1,, x p ) et (y 1,, y n ). Soit (S) le système linéaire d inconnues (x 1,, x p ), de coefficients ceux de A et de second membre (y 1,, y n ). résoudre (S) revient à résoudre l équation matricielle AX = Y. Plus précisément : X est solution de AX = Y ssi (x 1,, x p ) est solution de (S). - on dit que AX = Y est l expression matricielle de (S). 7.2 inversibilité d une matrice carrée résultat théorique : on a l équivalence entre les assertions suivantes pour une matrice A de M n (K) : (i) A est inversible. (ii) A L I n. (iii) le système AX = n,1 n admet que la solution nulle. (iv) pour toute matrice colonne Y de M n,1 (K), le système AX = Y admet une unique solution ( est de Cramer). (v) pour toute matrice colonne Y de M n,1 (K), le système AX = Y admet au moins une solution. condition suffisante pour être inversible : une matrice A de M n (K) est inversible ssi il existe une matrice B de M n (K) telle que AB = I n ou BA = I n. 7.3 calcul de l inverse d une matrice de GL n (K) si A est une matrice carrée inversible, alors le système (S), s exprimant matriciellement AX = Y est de Cramer et son unique solution consiste en les coefficients de la matrice colonne A 1 Y. méthode de calcul de l inverse d une matrice : on a ainsi une méthode efficace pour calculer l inverse d une matrice inversible : on résout le système AX = Y où Y est un second membre générique ( i.e avec des coefficients généraux (y 1,, y n )). On a donc l unique solution X qui s exprime en fonction de Y, i.e les inconnues (x 1,, x n ) s exprimant linéairement en fonction des seconds membres (y 1,, y n ). Les coefficients de ces expressions linéaires sont ceux de A 1, quand on identifie avec la formule X = A 1 Y. 9

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