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1 Matrices () Matrices 1 / 45

2 1 Matrices : définitions 2 Calcul matriciel 3 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 4 Transposition On va principalement travailler avec R Mais on peut remplacer dans ce cours R par C, tout reste valable! () Matrices 2 / 45

3 Plan 1 Matrices : définitions 2 Calcul matriciel 3 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 4 Transposition () Matrices 3 / 45

4 Définitions Définition Soit n et m deux entiers naturels non nuls On appelle matrice à n lignes et m colonnes à coefficients dans R, la donnée de n m éléments de R, que l on peut disposer en tableau a 1,1 a 1,2 a 1,m A = (a i,j ) 1 i n = 1 j m a 2,1 a 2,2 a 2,m a n,1 a n,2 a n,m On dit aussi matrice de type (n, m), ou matrice de format (n, m) ou encore matrice n m () Matrices 4 / 45

5 On appelle j-ième vecteur colonne de A le vecteur (a 1,j, a 2,j,, a n,j ) de R n On appelle i-ième vecteur ligne de A le vecteur (a i,1, a i,2,, a i,m ) de R m L ensemble des matrices n m à coefficients dans R est noté M n,m (R) Lorsque n = 1 (resp m = 1), on dit que A est une matrice ligne (resp matrice colonne) Remarque: (a i,j ) 1 i n 1 j m est une convention d écriture qui permet de gagner de la place Il faut bien comprend qu on parle en fait d un tableau de n sur m contenant tous les termes décrit par la formule de a i,j, en remplaçant i par 1 dans la première ligne, par 2 dans la deuxième ligne et idem pour j avec les colonnes () Matrices 5 / 45

6 Différentes formes de matrices Définition On appelle matrice carrée d ordre n une matrice de type (n, n), c est-à-dire une matrice à n lignes et n colonnes L ensemble des matrices carrées d ordre n à coefficients dans R est noté M n (R) () Matrices 6 / 45

7 Notation Soit A = (a i,j ) 1 i n une matrice carrée d ordre n On dit que A est : 1 j n triangulaire supérieure si (i, j) [[1; n]] 2, (i > j) = (a i,j = 0), c est-à-dire si A est de la forme A = () Matrices 7 / 45

8 triangulaire inférieure si (i, j) [[1; n]] 2, (i < j) = (a i,j = 0), c est-à-dire si A est de la forme 0 0 A = 0 () Matrices 8 / 45

9 diagonale si (i, j) [[1; n]] 2, (i j) = (a i,j = 0), c est-à-dire si A est de la forme λ A = 0 λ λ n Cette matrice se note Diag(λ 1,, λ n ) scalaire s il existe λ R tel que A = Diag(λ,, λ) Exemples: () Matrices 9 / 45

10 Vecteurs et matrices Définition L ensemble R n est l ensemble des n-uplets de la forme (x 1, x 2,, x n ) avec x 1, x 2, des nombres de R On appelle le n-uplets(x 1, x 2,, x n ) un vecteur de R n On verra plus tard que ce sont des vecteurs au sens large On a l habitude d utiliser R 2 pour les coordonnées de vecteurs dans le plan, ou R 3 pour les coordonnées de vecteurs dans l espace par exemple Par habitude (et pour gagner de la place), on écrit (x 1, x 2,, x n ) en ligne En calcul matriciel, on écrira les vecteurs de R n en colonne Notation: A tout vecteur x = (x 1, x 2,, x n ) de R n, on associe la matrice x 1 x 2 colonne de taille (n, 1), X = x p () Matrices 10 / 45

11 Rappelons qu une famille (X 1, X 2,, X p ) d éléments d un ensemble est appelée famille à p éléments, que les v i soient distincts ou non Dans une famille, l ordre des éléments compte Définition Soit une famille F = (X 1, X 2,, X m ) formée de m vecteurs de R n, on appelle matrice de la famille F la matrice de taille (n, m) formée en mettant côte à côte les colonnes de X 1, X 2 dans le même ordre On note cette matrice M(F) Exemple: On considère les trois vecteurs de R 2 suivants et la famille F : ( ) ( ) ( ) X 1 =, X 1 2 =, X 0 3 =, F = (X 1 1, X 2, X 3 ) la matrice de la famille F est alors M(F) = ( ) () Matrices 11 / 45

12 Matrice d un système d équations linéaires Quand on a fait la méthode du pivot de gauss, on a a déjà vu qu on pouvait mettre le système sous forme matricielle : a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 + +a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 + +a 2,p x p = b 2 a n,1 x 1 +a n,2 x 2 + +a n,p x p = b n a 1,1 a 1,2 a 1,p x 1 b 1 a 2,1 a 2,2 x 2 a 2,p x 2 b 2 = } a n,1 a n,2 {{ a n,p x p }}{{} b n }{{} A X B avec A la matrice des coefficients, X le vecteur colonne des inconnues et B le vecteur colonne des constantes Remarque: Si on modifie le système, ça modifie la matrice des coefficients et la matrice des constantes () Matrices 12 / 45

13 Plan 1 Matrices : définitions 2 Calcul matriciel 3 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 4 Transposition () Matrices 13 / 45

14 Addition et multiplication externe Dans ce paragraphe, les deux entiers naturels m et n non nuls sontfixés Définition On appelle addition dans M n,m (R) la loi interne, notée +, définie par (a i,j ) M n,m (R), (b i,j ) M n,m (R), (a i,j ) + (b i,j ) = (a i,j + b i,j ) Cette addition est clairement associative et commutative Son élément neutre est la matrice nulle de M n,m (R), c est-à-dire la matrice, notée simplement 0, dont tous les coefficients sont nuls Toute matrice A = (a i,j ) admet une opposée qui est A = ( a i,j ) Attention : On ne peut additionner que des matrices de même format Exemple: () Matrices 14 / 45

15 Définition On appelle multiplication par les scalaires sur M n,m (R) la loi externe définie par λ R, (a i,j ) M n,m (R), λ(a i,j ) = (λa i,j ) Exemple: () Matrices 15 / 45

16 Multiplication matricielle Définition Soit n, m, q N, A = (a i,j ) une matrice de M n,m (R) et B = (b j,k ) une matrice de M m,q (R) de sorte que le nombre de colonnes de A est égal au nombre de ligne de B (c est pour cette raison que l on a choisi le même indice pour les colonnes de A et les lignes de B) On peut alors définir le produit matriciel de A par B, noté AB, comme la matrice (c i,k ) de M n,q (R) dont le coefficient général est défini par (i, k) [[1; n]] [[1, q]], c i,k = m a i,j b j,k = a i,1 b 1,k + a i,2 b 2,k + + a i,m b m,k j=1 Le produit AB de A par B a donc le nombre de ligne de A et le nombre de colonne de B () Matrices 16 / 45

17 Technique: Dans le calcul de c i,k interviennent les coefficients de la i-ième ligne de A et de la k-ième colonne de B, ce que l on peut visualiser de la façon suivante : b 1,1 b 1,k b 1,q b 2,1 b 2,k b 2,q b m,1 b m,k b m,q a 1,1 a 1,2 a 1,m a i,1 a i,2 a i,m a n,1 a n,2 a n,m c 1,1 c 1,q c i,k c n,1 c n,q () Matrices 17 / 45

18 Exemples: Calculer les produits suivants : ( ) , ( ) , ( ) 2 (1 ) 2, 1 ( ) ( ) Exercice Calculer A 3 = A A A où A = () Matrices 18 / 45

19 Proposition Soit n, m, q, r N 1 Le produit matriciel est associatif : A M n,m (R), B M m,q (R), C M q,r (R), (AB)C = A(BC) 2 Le produit matriciel est distributif par rapport à l addition : A M n,m (R), B, C M m,q (R), A(B + C) = AB + AC ; A, B M n,m (R), C M m,q (R), (A + B)C = AC + BC 3 Le produit matriciel et le produit par les scalaires commutent : λ R, A M n,m (R), B M m,q (R), (λa)b = λ(ab) = A(λB) L associativité du produit nous permet d écrire ABC à la place de (AB)C ou A(BC) () Matrices 19 / 45

20 Proposition Dans l ensemble M n (R) des matrices carrées d ordre n l élément neutre du produit matriciel est la matrice unité ou identité d ordre n : 1 I n = 1 O O 1 1 = Diag(1, 1,, 1) C est à dire que pour tout matrice 1 de taille n, on a A I n = A et I n A = A Si n 2, la multiplication n est pas commutative : pour la plupart des matrices A et B de taille n, A B B A () Matrices 20 / 45

21 Démonstration Un contre-exemple pour montrer que la multiplication n est pas commutative pour n = 2 : ( ) ( ) ( ) = Par contre, le résultat de la multiplication dans l autre sens est : ( ) ( ) ( ) = Remarque: On peut avoir AB = 0 sans que ni A ni B ne soit la matrice nulle! () Matrices 21 / 45

22 Notation: Si A est une matrice carrée, on note A 0 = I n et A n = } A {{ A } n facteurs Proposition La formule du binôme de Newton ne s applique que dans un cas précis : n ( ) n Si AB = BA, alors pour tout n N, on a (A + B) n = A k B n k k Si A et B ne commutent pas, appliquer la formule du binôme de Newton donne un résultat faux! k=0 () Matrices 22 / 45

23 Matrices carrées inversibles Définition Une matrice carrée A M n (R) est dite inversible s il existe une matrice notée A 1 M n (R) telle que AA 1 = A 1 A = I n La matrice A 1 est alors unique et s appelle l inverse de A Le sous-ensemble de M n (R) contitué des matrices inversibles s appelle le groupe linéaire d ordre n et il est noté GL n (R) Pour être inversible, une matrice doit d abord être carrée!! () Matrices 23 / 45

24 Proposition Soit A, B GL n (R) et λ R 1 I n GL n (R) et I n 1 = I n L inverse de l identité est elle-même 2 A 1 GL n (R) et (A 1 ) 1 = A L inverse de l inverse de A est A 3 AB GL n (R) et (AB) 1 = B 1 A 1 Appliquer l inverse sur un produit de matrice change l ordre du produit 4 (λa) GL n (R) et (λa) 1 = 1 λ A 1 Appliquer l inverse sur le produit d un nombre et d une matrice inverse le nombre et la matrice Démonstration () Matrices 24 / 45

25 Remarque: 1 La propriété (3) implique en particulier que si A est une matrice carrée inversible, alors, pour tout n N, A n est inversible d inverse (A 1 ) n Cette dernière matrice est notée A n 2 Soit A M n (R) Supposons que l on ait trouvé une matrice B M n (R) telle que AB = I n Du fait que la multiplication matricielle n est pas commutative, on ne peut pas affirmer a priori que B A = I n et que B = A 1 Ce résultat est cependant vrai dans le cas des matrices Proposition Soit A M n (R) S il existe B M n (R) telle que AB = I n alors A est inversible et A 1 = B () Matrices 25 / 45

26 Lien avec les systèmes d équations linéaires Considérons un système de n équations à p inconnues dans le corps R, mis sous forme matricielle AX = B avec A la matrice des coefficients, X le vecteur colonne des inconnues et B le vecteur colonne des constantes L écriture AX signifie en réalité le produit matriciel de A par X, si on fait le calcul A X, on retrouvera l écriture normale du système () Matrices 26 / 45

27 y +z = a Exemple: Le système x +z = b correspond à l équation x +y = c matricielle suivante : x a y = b z c Pour résoudre l équation AX = B, on a envie de dire je divise par A et on a alors X = B A ce qui n a AUCUN SENS!! On ne peut pas diviser une matrice par une autre matrice! Par contre, il y a un lien entre résolution de système et matrice inversible () Matrices 27 / 45

28 Rappel : Le rang d un système est le nombre de pivot à la fin de la méthode du pivot partiel de Gauss Définition On appelle rang de la matrice A le rang du système d équation linéaire AX = B Proposition Soit A une matrice carrée de M n (R) Les propriétés suivantes sont toutes équivalentes 1 A est inversible 2 A est de rang n 3 Le système AX = 0 a pour seule solution le vecteur nul 4 Pour tout vecteur B R n, le système AX = B admet une unique solution () Matrices 28 / 45

29 Démonstration Considérons la matrice A et le système d équations AX = B, de n équations à n inconnues La méthode du pivot nous dit que le nombre de solution d un système ne dépend que des pivots et des équations auxiliaires 3) 4) Si le système AX = 0 a une seule solution, ça signifie que toutes les variables ont un pivot Comme il y a n variables, ça signifie que toutes les lignes ont un pivot Donc il n y a pas d équations auxiliaires Donc, on peut faire la même méthode du pivot pour le système AX = B pour tout B R n, il y a toujours n pivot et pas d équations auxiliaires, donc le système AX = B au une unique solution pour tout B R n 4) 3) le vecteur nul est une solution évidente du système AX = 0 Il suffit de prendre pour B le vecteur nul pour affirmer que AX = 0 a une unique solution, donc le vecteur nul est bien la seule solution 4) 2) Le rang de A est le rang du système AX = B LE rang de A est n ssi il y a n pivots dans le système ssi il a une unique solution (cf juste avant) () Matrices 29 / 45

30 1) 4) Si la matrice A est inversible, alors A 1 existe On multiplie le système AX = B à gauche par A 1 et on obtient AX = B A 1 AX = A 1 B I n X = A 1 B X = A 1 B Donc il y a une unique colonne de solution qui est X = A 1 B 4) 1) (le plus difficile) Pour tout vecteur B, AX = B admet une unique solution On prend B 1 = (1, 0, 0, 0, ), il y a donc une solution X 1 telle que AX 1 = B 1 On prend B 2 = (0, 1, 0, 0, ), il y a donc une solution X 2 telle que AX 2 = B 2 On prend B 3 = (0, 0, 1, 0, ), il y a donc une solution X 3 telle que AX 3 = B 3 et on va jusqu à B n = (0, 0,, 0, 1) On a donc (X 1, X 2,, X n ) une famille de n vecteur on forme C la matrice de cette famille de vecteur Alors le produit AC = I n Donc C est l inverse de A, donc A est inversible () Matrices 30 / 45

31 Remarque: 1) 4) donne une méthode de résolution d un système : il suffit de multiplier par l inverse Encore faut-il connaître A 1! En fait, on va aller dans l autre sens, en utilisant un système et la méthode de Gauss pour trouver A 1 En effet, si on cherche l inverse d une matrice, on peut introduire une colonne d inconnue X, une colonne de constantes B (avec des lettres, pas des nombres) On écrit le système AX = B, et on le résout par la méthode de gauss Comme on sait que la solution correspond à A 1 B, on peut trouver A 1 en rangeant bien les coefficients () Matrices 31 / 45

32 ( ) 1 2 Exemple: On cherche l inverse de la matrice A = On introduit 0 1 ( ) ( ) x a X = inconnu, B = constantes Et on résout le système y b AX = B : { { x +2y = a x = a 2b AX = B y = b y = b ( ) x = y }{{} X ( ) a 2b = b ( 1 ) ( ) 2 a 0 1 }{{ b }}{{} A 1 B On va voir une méthode qui ne nécessite pas d introduire X et B () Matrices 32 / 45

33 Plan 1 Matrices : définitions 2 Calcul matriciel 3 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 4 Transposition () Matrices 33 / 45

34 Définition et interprétation matricielle Définition On appelle opération élémentaire sur les lignes d une matrice l une des trois opérations suivantes : addition d un multiple d une ligne à une autre ligne, multiplication d une ligne par un scalaire non nul, échange de deux lignes étant donnés deux entiers distincts i et j et λ K, on utilise le codage suivant : addition de λl j à la ligne L i multiplication de la ligne L i par λ 0 échange des lignes L i et L j L i L i + λl j L i λl i L i L j () Matrices 34 / 45

35 Proposition Toute opération élémentaire sur les lignes d une matrice consiste en la multiplication à gauche par une matrice inversible Remarque: On peut faire simultanément plusieurs opérations élémentaires sur les lignes d une matrice mais seulement si l on est sûr qu on pourrait les faire successivement En particulier, les opérations sur les lignes d une matrice qui apparaissent à chaque étape de la méthode du pivot de Gauss correspondent à la multiplication à gauche par une matrice inversible Remarque: On peut ré-écrire toute cette section en remplaçant ligne par colonne et multiplication à gauche par multiplication à droite Mais on n utilisera QUE les opérations sur les lignes pour résoudre les systèmes Les opérations sur les colonnes serviront plus tard pour les déterminants () Matrices 35 / 45

36 La méthode du pivot totale Dans la méthode classique du pivot de Gauss (appelé aussi pivot de Gauss partiel ), on réécrit à chaque étape, sans aucune modification, les lignes qui contiennent un pivot et on modifie les autres lignes pour faire apparaître des 0 En matrice, ça signifie que par un échange de lignes et de colonnes, on peut obtenir une matrice triangulaire supérieure à la fin de la méthode du pivot La méthode du pivot totale consiste à transformer la matrice de départ en une matrice diagonale () Matrices 36 / 45

37 à chaque étape, on choisit (en l encadrant) un pivot, avec les deux règles impératives suivantes : un pivot ne peut pas être nul, on ne peut choisir plus d un pivot par ligne et par colonne Une fois notre pivot choisi : on ré-écrit sans aucune modification, la ligne L qui contient le pivot choisi On annule tous les coefficients de la colonne où se trouve le pivot C est-à-dire que pour chaque ligne, on retire ou ajoute un multiple de L de manière à annuler le coefficient Y compris pour les lignes qui contiennent d autres pivots! Lorsqu il n est plus possible de choisir un nouveau pivot, le processus s arrête () Matrices 37 / 45

38 On multiplie ensuite chaque ligne où apparait un pivot par l inverse de ce pivot pour le transformer en le nombre 1 Par un échange de lignes et/ou de colonnes, on peut alors transformer la matrice en une matrice de la forme r 0 0 n r r p r où r est le nombre de pivot () Matrices 38 / 45

39 Calcul de l inverse d une matrice carrée inversible Lorsqu on applique la méthode du pivot totale à une matrice carrée inversible de type n n, on obtient à l avant-dernière étape une matrice avec un et un seul 1 sur chaque ligne et chaque colonne En échangeant alors uniquement des lignes de cette matrice, on obtient alors la matrice identité I n Pour calculer A 1, il suffit d appliquer à la matrice I n les mêmes opérations élémentaires que sur la matrice A, en parallèle En même temps que l on transforme A en I n, on transforme I n en A 1 Exercice Inverser la matrice A = () Matrices 39 / 45

40 Plan 1 Matrices : définitions 2 Calcul matriciel 3 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 4 Transposition () Matrices 40 / 45

41 Définition de la transposée d une matrice Définition Soit A M n,m (R) La transposée de A est la matrice notée t A M m,n (R) dont l élément générique b i,j vaut a j,i Les lignes de t A sont donc les colonnes de A et vice versa On a fait une symétrie par rapport à la diagonale (celle qui part du coin haut gauche!) () Matrices 41 / 45

42 Exemple: ( ) Si A =, alors 0 π 6 t A = 0 π 1 6 La transposée de I n est I n et plus généralement, toute matrice diagonale est égale à sa transposée La transposée d une matrice ligne est une matrice colonne et vice-versa () Matrices 42 / 45

43 Propriétés de la transposition Proposition 1 A M n,m (R), t ( t A) = A La transposée de la transposée est la matrice elle-même 2 λ R, A, B M n,m (R), t (λa + B) = λ t A + t B La transposée ne modifie par l addition, ni la multiplication par un nombre 3 A M n,m (R), B M m,q (R), t (AB) = t B t A La transposée change l ordre de la multiplication des matrices (Attention à l ordre!!) 4 A GL n (R), t A GL n (R) et ( t A) 1 = t (A 1 ) La transposée d un inverse est l inverse de la transposée () Matrices 43 / 45

44 Matrices carrées symétriques et antisymétriques Définition Une matrice carrée A de M n (R) est dite : (i) symétrique lorsque t A = A ; (ii) antisymétrique lorsque t A = A On note S n (K) l ensemble des matrices symétriques d ordre n et A n (R) l ensemble des matrices antisymétriques d ordre n On notera que les coefficients diagonaux d une matrice antisymétriques sont nécessairement nuls () Matrices 44 / 45

45 e Exemples: est symétrique et 12 0 i est e i 0 antisymétrique Le produit de deux matrices symétriques peut ne pas être symétrique, comme le montre l exemple ( ) ( ) = ( ) () Matrices 45 / 45

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