1) Barycentre de deux points ponderes :

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1 1) de deux points ponderes : Propriété Soit et deux points distincts du plan, a et b deux réels tels que a + b 0 Il existe un unique point G vérifiant : ag + bg 0 DEéfinition e point G est appelé barycentre. des points pondérés ( ou des points massifs ) ( ; a ) et ( ; b ). a et b peuvent être négatifs Dans la pratique on dit: «G barycentre de ( ; a ), ( ; b )» Démonstration : Remarque : En échangeant le rôle de et et dans le cas bien sur où a + b est non nul on obtient la formule Exemples G1 barycentre de ( ; 1 ), ( ; 1 ) G2 barycentre de ( ; 3 ), ( D ; 2 ) G3 barycentre de ( E ; 4 ), ( F ; -2 ) G 1 G 2 EG 3 D E F 05/08 PREMIERE S Page 1 sur 5

2 2) Propriétés ( On suppose dans la suite a + b 0 ) a) Homogénéité Propriété :Si G est le barycentre de ( ; a ), ( ; b ), alors, pour tout réel k non nul, G est le barycentre de ( ; k a ), ( ; k b ). Démonstration Exemple : G1 est aussi le barycentre de ( ; 3 ), ( ; 3 ) G2 est aussi le barycentre de ( ; 9 ), ( D ; 6 ) G3 est aussi le barycentre de ( E ; 4 ), ( F ; 2 ) Remarque : Lorsque a b ont dit que G est l'isobarycentre de,. Il s'agit du barycentre de (;1) (;1). 1 Donc G vérifie G, donc l'isobarycentre est le milieu de [] 2 b) et alignement Propriété:Si G est le barycentre de (, a ), (, b ), alors G est situé sur la droite () Réciproquement: Pour tout point M de ( ) il existe des nombres réels a et b de somme non nulle tel que M soit le barycentre ( ; a ) et ( ; b) Démonstration : Exercice : est le barycentre de ( ; ), ( ; ) D est le barycentre de ( ; ), ( ; ) D 05/08 PREMIERE S Page 2 sur 5

3 3) de 3 points ponderes et plus a) Définition L étude faite au paragraphe précédent se généralise à trois points pondérés, quatre points ou plus. Nous n énoncerons la définition et les propriétés que dans le cas de trois points pondérés. Propriété: Soit, et trois points du plan, a, b et c trois réels tels que 0. Il existe un unique point G vérifiant ag + bg + cg 0 Définition e point G est appelé barycentre de (, a ), (, b ), (, c ). 1 Il est donné par G ( b + c ) On a comme dans le cas de deux points pondérés : Homogenéite : le barycentre ne change pas lorsqu on multiplie les coefficients par un même nombre non nul Isobarycentre : Si a b c ( 0 ), G est encore appelé isobarycentre de, et. Exercices : 1) a) On considère la relation vectorielle suivante : 2T 3T 0 T est alors le barycentre de ( ;.) ; ( ;.) ; ( ;. ) b) On considère la relation vectorielle suivante : + 2 2D D est alors le barycentre de ( ;.) ; ( ;.) ; ( ;. ) 2) On considère un parallélogramme D. D est alors le barycentre de ( ;.) ; ( ;.) ; ( ;. ) 3) Soit D un quadrilatère. Soit I le barycentre de ( ; -1 ) ; ( ; 5 ) ; ( ; 6 ) a) I b) I c ) 2 D + 10D ) Méthode du barycentre partiel ( ou associativité du barycentre) On suppose non nul et a + b non nul Le barycentre de (, a ), (, b ), (, c ) est aussi le barycentre de ( H ; a + b ) ( ; c ) Où H est le barycentre ( dit partiel ) de (, a ), (, b ). utrement dit : dans la recherche du barycentre on peut remplacer deux points pondérés par leur barycentre ( partiel) affecté de la somme des poids de ces deux points (pourvu bien sur que cette somme soit non nulle ) Schématisation : G barycentre de ( ; a) ( ; b) ( ; c) est aussi barycentre de (H ; a+b ) ( ; c) 05/08 PREMIERE S Page 3 sur 5

4 Remarque as particulier de l'isobarycentre Soient, et trois points non alignés Soit G l'isobarycentre de,, G est donc barycentre de ( ; 1) ( ; 1) ( ; 1) est aussi barycentre de (H ; ) ( ; ) On a donc G appartient à et HG... H... En associant les points et puis les points et on en déduit que l'isobarycentre est le point d'intersection des médianes du triangle il s'agit donc du centre de gravité du triangle Exercice 1 a) G est le barycentre de ( ;.) ; ( ;.) ; ( ;. ) I G b) La droite (G) coupe () en T On a alors : K T est le barycentre de ( ; ) ; ( ; ) G Exercice 2 onstruire le barycentre U de (;12) ( ; 12 ) ; ( ; 12 ) (D ; 18 ) D 05/08 PREMIERE S Page 4 sur 5

5 L Exercice 3 D est un tétraèdre I, J, K et L sont les milieux des arêtes correspondantes On note G l' isobarycentre de,,, D En utilisant l'associativité du barycentre construire de deux manières différentes le point G J D K I 5) et coordonnées Propriété 1 : On considère un repère ( O,i, j ) du plan Soient ( x ; y ) ( x ; y ) et ( x ; y ) et a, b, c trois nombres réels de somme non nulle. On note G le barycentre de ( ; a) ( ; b) ( ; c) lors les coordonnées e G sont données par : xg ax + bx + cx yg ay + by + cy Propriété 2 : On considère un repère ( O,i, j,k ) de l'espace Soient ( x;y; z ) ( x ;y ; z ) et ( x ;y ; z ) et a, b, c trois nombres réels de somme non nulle. On note G le barycentre de ( ; a) ( ; b) ( ; c) lors les coordonnées e G sont données par : xg ax + bx + cx yg ay + by + cy zg az + bz + cz 05/08 PREMIERE S Page 5 sur 5