LEÇON N 25 : Définition et propriétés du barycentre de n points pondérés. Application à l étude de configurations du plan, de l espace.

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1 LEÇON N 25 : Définition et propriétés du barycentre de n points pondérés. pplication à l étude de configurations du plan, de l espace. Pré-requis : Géométrie dans le plan et dans l espace ; Propriétés du calcul vectoriel ; Espaces et applications affines. On se place dans un espace affine E de dimension p N et de direction E (espace vectoriel associé) arycentre de n points pondérés De manière introductive, en considérant une balance avec deux masses m à gauche (point ) et m à droite (point ), il serait naturel de placer le point G tel que m G = m G afin d obtenir l équilibre. On se propose donc ici d étudier l ensemble S défini par : { } S = M E M i = 0, 1,..., n E,a 1,...,a n R,n N. Dans la suite, on notera systématiquement ( ) l équation M i = 0, et on définit m =. Théorème 1 : Si n = 0, alors S = ou S = E. Sinon, S admet un unique élément. onsidérons un point O arbitraire dans E. Dans ce cas, on a que ( ) M i = 0 ( MO + O i ) = 0 MO + Oi = 0. Si m = 0, alors ( ) n a io i = 0. Le membre de gauche est une constante qui ne dépend pas de M : elle vaut soit 0, auquel cas tout M E est solution de ( ) ; soit différente de 0 et cette équation n admet pas de solution. Si m 0, alors ( ) OM = 1 m Oi.

2 2 arycentre de n points ette égalité définit bien un point M solution de l équation ( ). Supposons alors que M soit une autre solution de l équation ( ). insi, M i = 0 = M i ( M i M i ) = 0 M est donc la seule solution de ( ), d où S admet un unique élément. MM = 0 M = M. Définition 1 : Lorsque m 0, on appelle barycentre des n points pondérés {( i, ) i } l unique point G tel que n G i = 0. Proposition 1 : (i) ommutativité : Le barycentre de n points pondérés reste inchangé si l on permute 2 ou plusieurs points... (ii) Homogénéité :...ou si l on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul... (iii) ssociativité :...ou si l on remplace certains points, dont la somme des coefficients est non nulle, par leur barycentre affecté de cette somme. (i) Découle du fait que l addition de deux vecteurs est commutative. (ii) Soit λ 0. lors G = bar{( i, λ ) i } n (λ) G i = 0 λ n n G i = 0 G = bar{( i, ) i }. i J G i = 0 (iii) Soient J I = {1,...,n} et H = bar{( i, ) i J }, sous réserve que i J 0. lors G = bar{( i, ) i I } Gi = 0 Gi + Gi = 0 i J i I\J GH + Hi + Gi = 0 m GH + G = bar i J i I\J {( Gi = 0 H, i J ) i I\J, ( i, ) i I\J }, d où le résultat. Le point (ii) de cette dernière proposition nous amène à définir : Définition 2 : L isobarycentre de n points pondérés est le barycentre de ces mêmes points, tous affectés des mêmes coefficients, et l on note dans ce cas pour λ 0, G = bar{( 1, λ),..., ( n, λ)}.

3 arycentre de n points pplications affines Définition 3 (rappel) : Une application f : E E est dite affine s il existe E d image et une application f : E E linéaire tels que pour tout M E, d image M, on ait M = f ( M). Remarque 1 : Si, alors f ( M) = f ( M ) = f ( M) f ( ) = M = M, donc cette définition est indépendante du point. Théorème 2 : f : E E est une application affine si et seulement si f conserve le barycentre. "= " : n G i = n bar{(f( i ), ) i }. f ( Gi ) = f ( n G i ) = f ( 0) = 0 déf G = f(g) = " =" : Soit f : E E une application conservant le barycentre, et E. tout vecteur u E est associé un unique point M E tel que M = u. On peut ainsi définir une application f : E E par f ( u) = M. Montrons alors que f est linéaire. Soient u 1, u 2 E, λ, µ R et M 1, M 2, N E tels que M 1 = u 1, M 2 = u 2 et N = λm 1 + µ M 2 = λ u 1 + µ u 2. lors on peut aussi écrire : N = (1 λ µ) + λ M 1 + µ M 2 = (1 λ µ)( N + N) + (λ + µ) N + λ NM 1 + µ NM 2 = N + (1 λ µ) N + λ NM 1 + µ NM 2 0 = (1 λ µ) N + λ NM 1 + µ NM 2 N = bar{(, 1 λ µ), (M 1, λ), (M 2, µ)}. Par hypothèse, en notant N l image de N par f, on a N = bar{(, 1 λ µ), (M 1, λ), (M 2, µ)}, et le raisonnement ci-dessus montre qu alors N = (1 λ µ) + λ M 1 + µ M 2, c est-à-dire f (λ u1 + µ u 2 ) = λ f ( u 1 ) + µ f ( u 2 ), de sorte que f est linéaire.

4 4 arycentre de n points 25.3 oordonnées d un point Vectorielles Théorème 3 : Si le point i admet pour coordonnées (resp. affixe) (x i1,..., x ip ) (resp. z i ) dans un repère affine de l espace E (resp. un repère orthonormé direct du plan E ), alors les coordonnées (g 1,..., g p ) (resp. l affixe g) du point G sera donnée par j {1,..., p}, g j = 1 m x ij (resp. g = 1 m z i ). eci découle directement de la définition arycentriques Soit ( 0, 1,..., p ) un repère affine de E (donc tel que pour tout i {1,...,p}, 0 i forme une base de E ). Soit M E quelconque. Il existe alors un unique (p + 1)-uplet (x 0,...,x p ) tel que M = bar{( i,x i ) i {0,...,p} }. Le point (ii) de la proposition 1 nous permet de supposer que p i=0 x i = 1 (quitte à diviser chaque x i par la somme de tous les x i ). De petits calculs vectoriels montrent que dans ce cas, 0 M = p x i 0 i = (1 p x i) p x i 0 i, de sorte que M = bar{( 0, 1 p x i), ( i,x i ) i {1,...,p} }. Nous obtenons donc la définition suivante : Définition 4 : On appelle alors l unique (p+1)-uplet (x 0, x 1,..., x p ) défini ci-dessus les coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine ( 0, 1,..., p ). Remarque : En particulier, pour l isobarycentre G, on a 0 G = p x i 0 i i {1,...,p}, x i = /m, ce qui implique que la première coordonnée barycentrique du point G est nulle pplications entre O du cercle circonscrit Proposition 2 : Soit un triangle acutangle (par abus de notation, on notera de la même manière un sommet de ce triangle et l angle qui lui est associé). lors O = bar{(, sin 2), (, sin 2), (, sin 2)}.

5 arycentre de n points 5 Décidons d abord de l orientation d un angle en convenant que le sens négatif serait celui des aiguilles d une montre (convention habituelle...). Soit alors u = Osin2 + O sin2 + O sin2. lors u O = ( Osin 2 + O sin2 + O sin2) O = sin2( O O) + sin2( O O) sin2( O O) + sin2( O O) sin(2)r 2 ( sin 2) + sin(2)r 2 sin 2 = 0, donc u et O sont colinéaires. On montrerait de même que u est aussi colinéaire à O et O, ce qui contraint u d être le vecteur nul. De plus, + + = π implique que sin 2 + sin 2 + sin 2 = 4 sinsin sin 0 pour un triangle non aplati (ce qui est le cas ici...). O Droites remarquables d un triangle non aplati Proposition 3 : Soit S un triangle, a, b, c les longueurs, et, ainsi que α, β, γ la mesure des angles en, et. (i) Les médianes sont concourantes en G = bar{(, 1), (, 1), (, 1)}, (ii) Les bissectrices le sont en H = bar{(, a), (, b), (, c)}, (iii) Les hauteurs le sont en I = bar{(, tan α), (, tan β), (, tan γ)}, (iv) Les médiatrices le sont en J = bar{(, tan β + tan γ), (, tan α + tan γ), (, tan α + tan β)}. Illustrons ceci par un dessin, afin de mettre aussi au clair les notations utilisées dans cette proposition. I H G J

6 6 arycentre de n points (i) Soient m, m, m les milieux respectifs de [], [], []. lors m = m, donc m = bar{(,1), (,1)}, et de même, m = bar{(, 1), (,1)} et m = bar{(, 1), (,1)}. Mais dans ce cas, on détermine que G = bar{(, 1), (,1), (,1)} = bar{(, 1), ( m, 2)}, ce qui prouve que G ( m ). On montre alors de la même manière que G appartient aussi aux droites ( m ) et ( m ), ce qui montre que ces trois droites sont bien concourantes en le barycentre annoncé. (ii) Soient b (resp. b, b ) les points définis respectivement par l intersection de la bissectrice issue de (resp., ) et du segment [] (resp. [], []). La parallèle à () passant par coupe la bissectrice ( b ) en M, de sorte que les angles M et ÂM soit égaux (alternes-internes), rendant le triangle M isocèle (et en particulier, = M). Par application du théorème de Thalès dans les triangles b et b M, on montre que b b b = b b = M = = c b. Or b [], donc il existe un réel strictement positif k tel que b = k b. D après ce qui précède, et puisque M les points b, et sont alignés, il vient que k = b b = c b, d où b b = c b b = bar{(, b), (, c)}. On montre de la même manière que b = bar{(, a), (, c)} et b = bar{(, a), (, b)}. Mais dans ce cas, on détermine que H = bar{(, a), (, b), (, c)} = bar{(, a), ( b, b + c)}, ce qui prouve que H ( b ). On montre alors de même que H appartient aussi à ( b ) et ( b ), d où le résultat. (iii) Soient h, h, h les pieds des hauteurs issues respectivement de, et. Supposons que chacun de ces points sur dans le segment opposé. h étant le projeté orthogonal de sur [], il existe un réel k strictement positif tel que h = k h. es trois points étant alignés, il vient que k = h / h. Mais alors tan β = h h et tanγ = h h = k = tan γ tan β, de sorte que tan β h = tanγ h, ou encore h = bar{(,tan β), (,tan γ)}. On montre de même que h = bar{(, tan α), (,tan γ)} et h = bar{(, tan α), (,tan β)}, et l on conclut comme précédemment. Supposons maintenant que l un des trois pieds se situe en-dehors du segment opposé. lors on peut se ramener au cas fraîchement traité par les formules de trigonométrie. (iv) On sait déjà que m = bar{(, λ), (, λ)} pour tout réel λ non nul. Par le théorème des milieux, ( m m ) / () (resp. ( m m ) / () et ( m m ) / ()), ce qui fait aussi des médiatrices de les hauteurs du triangle m m m. Par (ii), les médiatrices de sont alors concourantes en un point J tel que J = bar{( m, tan α), ( m, tan β), ( m, tanγ)} = bar{(,tan α), (,tan α), (, tan β), (,tan β), (, tan γ), (,tan γ)} = bar{(, tan β + tanγ), (,tan α + tanγ), (,tan α + tanβ)},

7 arycentre de n points 7 d où le résultat (les scalaires 1/2 ont été omis après le second signe d égalité par le (ii) de la proposition 1) Médianes et bimédianes d un tétraèdre L isobarycentre G d un tétraèdre D est aussi le barycentre des deux points pondérés (, 1), (g, 3), où g désigne l isobarycentre du triangle D (son centre de gravité). Les quatre «médianes» (segment joignant un sommet du tétraèdre au centre de gravité de la face opposée) d un tétraèdre sont donc concourantes en G, qui est situé aux 3/4 de chacune en partant du sommet. Par associativité, le point G est aussi le barycentre des points (I, 2), (J, 2), où I et J désignent les milieux respectifs des segments [] et [D]. Les trois «bimédianes» (segment joignant les milieux de deux arêtes opposées) sont aussi concourantes en G, qui est leur milieu commun. I G g D J