Mathématiques Terminale C Calcul Vectoriel Résumé de cours

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1 . arycentre I- arycentre de deux points pondérés I. 1. Définition 1: Soit (, ) et (, ) deux points pondérés tels que + 0, Il existe un point unique G tel que G G 0 ; le point G est appelé barycentre des points pondérés (, ) et (, ).On note G bar I.. Propriétés : Propriété 1 : Le barycentre G de est le point de la droite () tel que G. Démonstration : L égalité vectorielle G G 0 équivaut à : G G 0 ( ) G 0 ( ) G G (car 0) Propriété : Si G est le barycentre de alors pour tout réel k non nul G est aussi le barycentre de k k Démonstration : Si G est le barycentre de (, ), (, ), on peut écrire G G 0. En multipliant par k non nul, il vient k G k G 0, avec k + k 0, ce qui prouve que G est aussi barycentre de (, k), (, k). - Conséquence : Si on a G bar avec 0, alors on aura G bar. 1 1 Ce point s appelle l isobarycentre des points et ou tout simplement le milieu de et. Propriété 3 : La droite () est l ensemble des barycentres des points et. La projection conserve le barycentre Propriété 4 : (Propriété caractéristique) G bar pour tout point M du plan M M MG Propriété 5: La projection conserve le barycentre Mahfoudh ould Mohamed mmou Page 1

2 I. 3. Construction : Méthode de l abscisse : G bar G, d où G est le point de la droite () d abscisse dans le repère ;. Exemple1 : Soit G bar donc G, d où la construction du point G 1 3 G Méthode du parallélogramme : Soit G bar où et sont des réels tels que 0 Dans cette méthode on définit les points et tels que I I et I I, I étant un point quelconque du plan, non aligné avec et. D après la propriété 4 on a I I IG. Notons M le point du plan tel que IM I I ( IM est alors un parallélogramme), on 1 a alors que IG IM d où G est un point de la droite (IM). D autre part G est un point de la droite (). On en déduit donc que G est le point d intersection des droites () et (IM). Exemple : Soit G bar. Dans cette méthode on se base sur la relationi 3I 5IG. 3 Soient et tels que I I, I 3I et ID I I, d où ID I 3I 5IG,G est alors le point d intersection des droites (ID) et (). ' D G Coordonnées du barycentre : Dans le repère O,i, j du plan, notons x, x les coordonnées du point et y, y celles de. Les coordonnées du point G bar x x y y X G et Y G I ' sont X G, YG définies par Mahfoudh ould Mohamed mmou Page

3 II. arycentre de trois points II.. 1. Définition : Soit (, ) ; (, ) et (C, ) trois points pondérés tels que + + 0,il existe un point unique G tel que : G G GC 0 le point G est appelé barycentre des trois points pondérés (, ) ; (, ) et (C, ). II... Propriétés - Propriété 5 : (Propriété caractéristique) C G bar M P: M M MC MG Démonstration : M M MC MG G MG G MG GC = MG G G GC = MG car G G GC 0 - Conséquence Si G bar C alors on a : G C - Propriété 6 : Le barycentre de trois points non alignés de l espace appartiennent au plan définit par ces trois points - Propriété 7 : Si G est le barycentre de barycentre de C k k k - Conséquence : Si on a G bar C alors pour tout réel k non nul G est aussi le C avec 0, alors on aura C G bar Ce point s appelle l isobarycentre des points, et C. - Propriété 8 : L isobarycentre de trois points non alignés,, C est le centre de gravité du triangle C - Propriété 9: La projection conserve le barycentre II.. 3. arycentre partiel Théorème : On ne change pas le barycentre de trois points pondérés en remplaçant deux d entre eux par leur barycentre partiel (s il existe) affecté de la somme des deux coefficients. Exemple : C C Soit G bar Notons I bar et J bar Le théorème du barycentre partiel nous montre que : J G bar 6 1 I C G bar 3 4 et encore Mahfoudh ould Mohamed mmou Page 3

4 I G II.. 4. Coordonnées du barycentre : C Soient,, C trois points non alignés et G bar La relation G = C montre que G est de coordonnées, ;, C. dans le repère II.. 5. arycentre et aire Théorème : Tout point G situé à l'intérieur d'un triangle C peut être défini comme le barycentre de : G bar C ire(cg) ire(cg) ire(g) Démonstration : Soit G est un point à l'intérieur d'un triangle C, on nomme le point d'intersection de (G) et de (C), le point d'intersection de (G) et de (C). Le théorème du chevron permet de montrer que le barycentre partiel de [, ire(cg)] ; [C, ire(g)] est aussi celui de [, C ] ; [C, ], qui est Le même théorème montre que le barycentre partiel de [, ire(cg)] ; [C, ire(g)], est aussi celui de [, C ] ; [C, ], qui est. Par associativité, le barycentre de [, ire(cg)] ; [, ire(cg)] ; [C, ire(g)] est situé à l'intersection des droites ( ) et ( ) : c'est donc le point G. Ce résultat se généralise au cas où le point G est extérieur au triangle C en comptant négativement les aires entièrement extérieures au triangle C. J C Mahfoudh ould Mohamed mmou Page 4

5 . Produit Scalaire Notation : le produit scalaire des vecteurs u et v se note u v (c est un nombre réel) I- Produit scalaire dans le plan : 1. Expressions : Si l un des vecteurs u et v est nul alors u v 0. Supposons alors que les deux vecteurs u et v sont non nuls vec l angle vec la projection vec les coordonnées Dans un repère u v u v cos u,v C H H H orthonormé, si ux,y et étant le projeté orthogonal de C sur vx,y alors () u v xx yy. Propriétés : u v v u u v u v u v Soit u x, y et vx, y on u v w u v u w u v u v u v a : u v xx yy 0 u v u v u v u v u v u v u x² y² u v u v 0 Si u est un vecteur unitaire u u u alors le projeté orthogonal de v sur u est u v u 3. pplications : a) Relations métriques : C Notons a = C b = C c = b) Théorèmes de la médiane: M M MI M M MI 4 M M IM M M MI 1 ire (C) : S bcsin Formules du sinus: a b c sin sin sin C c) Distance d un point à une droite D : C est la valeur minimale de la distance M lorsque M décrit D. lors d(,d) = H, où H est le projeté orthogonal de sur D. Si D est d équation ax + by + c = 0 alors axo byo c d, D, où x o, yo sont les coordonnées de. a² b² Conséquence : soit C le cercle de centre, de rayon R et D une droite d(,d) < R d(,d) = R d(,d) > R C et D sont sécant C et D sont tangent C et D sont disjoint Mahfoudh ould Mohamed mmou Page 5

6 II- Produit scalaire dans l espace : 1. Définitions : On appelle angle des vecteurs non nuls u et v, l angle géométrique O, où O est un point quelconque de l espace et et les points définis par : O u et O v Définition : Si l un des vecteurs u et v est nul alors u v 0, lorsque les deux vecteurs u et v sont non nuls on a : u v u v cos u,v O O O OH, H étant le projeté orthogonal de sur (O) Dans une base orthonormé on a : u v xx yy zz v x, y,z, où ux, y,z et. Propriétés : Toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan s appliquent dans l espace à des points et des vecteurs coplanaires. Deux droites de vecteurs directeurs u et v sont orthogonales ssi : u v 0 Un vecteur u est normal à un plan P ssi il est orthogonal à tout vecteur de ce plan ; c-à-d : M P, N P on a u MN 0, mais il suffit qu il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. 3. pplications a. Equation cartésienne d un plan L équation du plan de vecteur normal na,b,c et qui passe par le point (x o, y o, z o ) est a x x b y y c z z 0 o o o Réciproquement : L ensemble des points M de l espace dont les coordonnées (x, y, z) vérifient l équation ax by cz d 0, avec a, b, c trois réels non tous nuls, est un plan dont un vecteur normal est de coordonnées (a, b, c) b. Equation cartésienne d une sphère: L équation de la sphère de centre (x o, y o, z o ) et de rayon R est o o o x x y y z z R c. Distance d un point à un plan P : c est la valeur minimale de la distance M lorsque M décrit P. lors d(,p) = H, où H est le projeté orthogonal de sur P. Si P est d équation ax + by + cz +d = 0 alors axo byo czo d d, P, où x o, y o,zo sont les coordonnées de. a² b² c² Conséquence : soit S la sphère de centre, de rayon R et P un plan d(,p) < R d(,p) = R d(,p) > R S et P sont sécant S et P sont tangent S et P sont disjoint d. Lignes et Surfaces de niveau : l ensemble E des points M tels que M k M pour M k M M k dans le plan dans l espace k = 1 E est la médiatrice de [] E est le plan médiateur de [] k 0 E est le cercle de diamètre [IJ] E est la sphère de diamètre [IJ] k 1 I bar et J bar 1 k 1 k E est une droite orthogonale à () E est un cercle centré sur () E est un plan orthogonal à () E est une sphère centrée sur () Mahfoudh ould Mohamed mmou Page 6

7 a. Définition :Dans une base i, j C. Déterminant du plan, on appelle déterminant de u,v x x det u, v défini par : det u, v xy yx y y Si i, j est orthonormale directe alors : 0 si l'un des vecteurs u ou v est nul det u, v u v sin u, v lorsque u et v sont non nuls b. Propriétés : u et v sont colinéaires ssi det u, v 0 1 L aire d un triangle C est égale à det,c L aire d un parallélogramme CD est égale à det,c le réel noté D. ngles Orientés 1. Orientation du plan : Orienter un cercle C, c'est choisir, sur C, l'un des sens de parcours. Orienter le plan P, c'est choisir, sur tous les cercles du plan, le même sens de parcours. Sens direct = sens trigonométrique = sens positif = sens contraire des aiguilles d'une montre. Sens indirect = sens rétrograde = sens négatif = sens des aiguilles d'une montre. Cercle trigonomètrique = cercle orienté dans le sens direct et dont le rayon est égal à 1.. ngles orientés de vecteurs u, v, signifie que α est une mesure en radian de l angle des vecteurs u et v et que toute autre mesure de cet angle s écrit de la forme k où k est un entier, ( u et v étant non nuls) Une et une seule de ces mesures est comprise entre et, elle s appelle la mesure principale de l angle u et v. La valeur absolue de cette mesure est la mesure de l angle géométrique des vecteurs u et v Propriétés : soient u, v et w des vecteurs non nuls k k k v, u u, v ; k u v u, v Relation de Chasles : u, v v, w u, w u, v si kk 0 ku,kv u, v u, v + si kk 0 u, v u, v u, v u, v u, v u, v ou u, v Mahfoudh ould Mohamed mmou Page 7

8 3. ngles de droites : Deux droites D et D de vecteurs directeurs u et v définissent deux angles orientés u, v et u, v Si α est une mesure de l un de ces angles alors l autre mesure serait α + π D où : D, D 4. Théorèmes usuels Sot (C) un cercle de centre O, et deux points distincts de (C) a. Théorème de l angle inscrit : M, M O,O Pour tout point M de (C), distinct de et on a : b. Théorème de tangente : Pour tout point T de la tangente à (C) en, on a : T, O,O c. Cocyclicité : Quatre points distincts,, C, D, non alignés sont cocycliques ssi zc z zd z C,C D, D ce qui est équivalent à est réel ZC Z ZD Z 5. Ensemble des pts M du plan tels que : M, M au modulo π au modulo π E est la droite () privée du 0 E est la droite () segment [] privée de et Pour α 0 [π], soit T un point du plan tel que T, E est le cercle Γ passant par et ( et n appartenant pas à E) dont (T) est la tangente en E est le segment [] privé de et E est l arc (privé de et ) du cercle contenu dans le demi plan de frontière () ne contenant pas les points T E. Parallélisme et Orthogonalité dans l Espace 1. Règles de base (ou axiomes) de la géométrie de l espace : Par deux points distincts passe une et une seule droite Par trois points non alignés passe un plan et un seul Si et sont deux points du plan P alors tous les points de la droite () appartiennent au plan P Si deux plans distincts ont un point commun alors leur intersection est une droite Tous les résultats de la géométrie plane s appliquent dans chaque plan de l espace Un plan peut être déterminé par : Un point et une droite ne passant pas par ce point Deux droites sécantes Trois points non alignés Mahfoudh ould Mohamed mmou Page 8

9 . Perspective cavalière : Des droites sécantes sont représentées par des droites sécantes sur le dessin (mais deux droites sécantes sur le dessin ne signifie pas forcement qu elles sont réellement sécantes) Dans cette perspective on reflète le parallélisme, l alignement et l intersection Les arêtes visibles sont représentées en traits continus, les arêtes cachées en pointillé Tout ce qui est parallèle au plan frontal est représenté en grandeur réelle, par contre pour le reste les longueurs ne sont pas conservées mais les rapports de longueurs sont conservés 3. Représentations paramétriques : a) d une droite de l espace : Soit D une droite de l espace, et deux points distincts de D. Dire qu un point M de l espace appartient à D signifie que : point de vue vectoriel M k où k est un réel point de vue barycentrique M bar 1 k k point de vue analytique Si M(x, y, z), (x o, y o, z o ) et a,b,c dans un repère orthonormé O; i, j, k alors on a : x xo ka Ce système est une y yo kb représentation paramétrique z zo kc de D dans le repère O; i, j,k b) d un plan : Soit P un plan,,,c trois points non alignés de P. dire qu un point M quelconque appartient à P signifie que : point de vue vectoriel point de vue barycentrique point de vue analytique M C bar Si M(x,y,z), (x o, y o, z o ), a,b,c et 1 k k k k Ca,b,c dans un repère orthonormé M k kc O; i, j, k alors on a : où k et k sont deux réels 4. Parallélisme dans l espace a. Position relative de deux plans Deux plans peuvent être : Confondus Strictement Parallèles (ils n ont aucun point commun) Sécants (leur intersection est une droite) x xo ka k'a ' Ce système est une y yo kb k'b' (représentation paramétrique z zo kc k'c' de P dans le repère O;i,j,k Mahfoudh ould Mohamed mmou Page 9

10 b. Position relative d une droite et d un plan Une droite peut être sécante à un plan (ils ont un seul point commun) Strictement parallèle au plan (ils n ont aucun point commun) Contenue dans le plan c. Position relative de deux droites de l espace Deux droites de l espace peuvent être coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires Deux droites strictement parallèles définissent un plan et un seul Soit d une droite et un point, il existe une unique droite parallèle à d et passant par. d. Propriétés du parallélisme Une droite est parallèle à un plan ssi elle est parallèle au moins à une droite de ce plan Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l une coupe l autre Si deux plans sont parallèles alors toute droite qui coupe l un coupe l autre Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l un est parallèle à l autre Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l une est parallèle à l autre Si deux droites sont parallèles alors tout plan parallèle à l une est parallèle à l autre Si deux plans sont parallèles alors toute droite parallèle à l un est parallèle à l autre Si deux plans sont sécants(en une droite d ) et parallèles à une droite d, alors d et d sont parallèles Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les intersections sont deux droites parallèles Si deux droites sécantes d un plan sont parallèles à un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles Si deux plans sont parallèles, alors toute droite de l un des plans est parallèle à l autre plan 5. Orthogonalité dans l espace a. Orthogonalité et perpendicularité Dans l espace, deux droites orthogonales ne sont pas forcement perpendiculaires. En effet, deux droites orthogonales ne sont perpendiculaires que si elles sont coplanaires. Une droite d qui coupe un plan P en un point, est orthogonale (donc perpendiculaire) à ce plan ssi elle est perpendiculaire à deux droites de P passant par. b. Définition D est orthogonal à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à toute droite de P, mais il suffit qu elle soit orthogonale à deux droites sécantes de P c. Propriétés Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles Si deux plans sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l un est perpendiculaire à l autre Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre Si deux plans sont orthogonaux alors toute droite perpendiculaire à l un est parallèle à l autre Mahfoudh ould Mohamed mmou Page 10

11 1. Définition : F. Produit Vectoriel Soient u et v deux vecteurs de l'espace orienté, on appelle produit vectoriel des vecteurs u et v le vecteur noté u v tel que : si u et v sont colinéaires u v 0 si u et v ne sont pas colinéaires alors u v est orthogonal à u et à v direction u v est tel que la base u,v,u v est directe sens u v u v u v sin u,v norme est de norme. Propriètés : u v 0 ku v u kv k u v u v w u v u w Si, dans une base orthonormée directe i, j, k u et v sont colinéaires v u u v coordonnées du vecteur u 3. pplications : u v w u v u w,, C alignés C 0 u x, y, z v x, y,z alors les, on a et v sont yz zy ;zx xz ;xy yx M C 0 Plan C est l ensemble des points M de l espace tels que : La distance d un point M de l espace à la droite D ( qui passe par et dont un vecteur directeur est u M u ) est dm,d u La distance d un point M de l espace au plan P dont de repère ;u, v ) est M d M, P u v u v L aire d un triangle C est 1 C Le volume d un tétraèdre CD est 1 C D 6 Mahfoudh ould Mohamed mmou Page 11