Multiplier agrandit, diviser diminue?!...

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1 Outil produit par l académie de Clermont-Ferrand 2009 NIVEAU DISCIPLINE MOTS CLÉS Collège : cycle central (5 ème, 4 ème ) ; cycle d orientation (3 ème ) Lycée : cycle de détermination (2 nde GT ; 2 nde pro) ; cycle terminal (1 ère ) Mathématiques Multiplier Diviser Agrandissement Réduction Multiplier agrandit, diviser diminue?!... Sommaire PRÉSENTATION DE L OUTIL... 1 RÉSUMÉ... 1 COMPOSANTE ÉVALUÉE... 1 PRÉ-REQUIS... 1 CONDITIONS DE LA PASSATION... 1 PASSATION ET ANALYSE... 2 COMMENTAIRES SUR L OUTIL... 2 CONSIGNES DE PASSATION... 2 CODAGE ET ANALYSE DES RÉPONSES... 2 SUGGESTIONS PÉDAGOGIQUES... 4 Questionnaire élève... 6 PRÉSENTATION DE L OUTIL RÉSUMÉ Mots clés : Multiplier Diviser Agrandissement Réduction. Dans la langue française, «Multiplier» signifie : «Augmenter le nombre, la quantité de». Cet outil cherche à examiner la perception de la multiplication et de la division par un nombre strictement inférieur à 1. Il vise à repérer les erreurs suivantes : «Multiplier par un nombre (positif) agrandit». L élève pense que le produit de deux nombres est toujours supérieur aux facteurs de départ. «Diviser par un nombre (positif) diminue». L élève pense que le quotient de deux nombres est toujours inférieur au dividende. Cet outil reprend certains items de l outil «Multiplier agrandit» en élargissant aux effets de la division. COMPOSANTE ÉVALUÉE Les effets de la multiplication et de la division par un nombre strictement inférieur ou strictement supérieur à 1 sur les nombres dans des contextes différents. PRÉ-REQUIS Pas de pré-requis spécifique. CONDITIONS DE LA PASSATION Temps imparti : 20 minutes. Matériel nécessaire : règle. Documents ou matériels complémentaires autorisés/interdits : calculatrice interdite. 1

2 PASSATION ET ANALYSE COMMENTAIRES SUR L OUTIL L outil propose différents contextes : numérique, géométrique et situations de la vie courante. Il permet de repérer les élèves qui conservent la perception de «multiplier agrandit» mais effectuent correctement le travail dans certains contextes. En effet, les concepteurs ont pu constater un manque de cohérence fréquent entre les comparaisons et les constructions de l exercice 3 : certains élèves affirment que multiplier agrandit et pourtant réalisent des constructions correctes. Des tests ont été réalisés en collège (5 ème, 4 ème et 3 ème ), mais aussi en lycée (2 nde ) et les concepteurs ont constaté que les difficultés perdurent, surtout pour la division. Il peut donc être utile d analyser les résultats de ce test avant d aborder des notions telles que puissances, puissances de 10, ou encore limites, suites géométriques, voire probabilités conditionnelles. Les concepteurs avaient dans un premier temps libellé l exercice 4 de la façon suivante : «Peut-on trouver un nombre par lequel multiplier AB pour obtenir AC? Peut-on trouver un nombre par lequel diviser AC pour obtenir AB?» La proportion importante de non-réponses les a amenés à changer la formulation. Dans les exercices 1, 2 et 4, des explications sont demandées, mais ne sont pas codées. Elles pourront constituer une amorce de dialogue avec l élève. CONSIGNES DE PASSATION Distribuer les feuilles et lire la consigne suivante aux élèves, sans donner aucune indication qui pourrait attirer leur attention et fausser le diagnostic : Vous disposez de deux feuilles, la première feuille comporte un recto et un verso, la deuxième feuille un recto seulement (Montrer les deux feuilles). Vous n inscrivez rien dans la colonne de droite. Vous écrivez uniquement au stylo bille ou au feutre, vous raturez proprement en cas de retour en arrière, en laissant la trace de ce qui était écrit. La calculatrice est interdite. Vous avez 20 minutes. Vous pouvez commencer. CODAGE ET ANALYSE DES RÉPONSES Exercice 1 Item 1 : Item 2 : Item 3 : «supérieur à 7 062»... code 1 «inférieur à 7 062»... code 7 «égal à 7 062»... code 8 «inférieur à 2 879»... code 1 «supérieur à 2 879»... code 7 «égal à 2 879»... code 8 «inférieur à 6»... code 1 «supérieur à 6»... code 7 «égal à 6»... code 8 2

3 Item 4 : Item 5 : Exercice 2 Item 6 : Exercice 3 Item 7 : Item 8 : Item 9 : «oui, 3/4» ou «oui, 0,75»... code 1 «oui» sans nombre ou avec référence à un nombre faux... code 6 «non» sans explication... code 7 «non» avec explication... code 8 «oui, 4/5» ou «oui, 0,8»... code 1 «oui» sans nombre ou avec référence à un nombre faux... code 6 «non» sans explication... code 7 «non» avec explication... code 8 Une réduction... code 1 Un agrandissement... code 7 Une figure identique... code 8 CD < AB... code 1 CD > AB... code 7 CD = AB... code 8 EF < AB... code 1 EF > AB... code 7 EF = AB... code 8 GH > AB... code 1 GH < AB... code 7 GH = AB... code 8 Item 10 : Le point D est bien placé, 4 carreaux à droite du point C... code 1 Le point D est à plus de 12 carreaux du point C... code 7 Le point D est à 12 carreaux du point C... code 8 Item 11 : Le point F est bien placé, 6 carreaux à droite du point E... code 1 Le point F est à plus de 12 carreaux du point E... code 7 Le point F est à 12 carreaux du point E... code 8 3

4 Item 12 : Le point H est bien placé, 15 carreaux à droite du point G... code 1 Le point H est à moins de 12 carreaux du point G... code 7 Le point H est à 12 carreaux du point G... code 8 Exercice 4 Item 13 : «oui, 0,25» ou «oui, 1/4» ou «oui, 2/8»... code 1 «oui» sans nombre ou avec référence à un nombre faux... code 6 «non» sans explication... code 7 «non» avec explication... code 8 Item 14 : «oui, 0,25» ou «oui, 1/4» ou «oui, 2/8»... code 1 «oui» sans nombre ou avec référence à un nombre faux... code 6 «non» sans explication... code 7 «non» avec explication... code 8 Exercice 5 Item 15 : Les phrases correspondant à «x 0,5» et «2» sont cochées... code 1 Seule l une des phrases correspondant à «x 0,5» ou «2» est cochée... code 6 Les phrases correspondant aux deux multiplications ou aux deux divisions sont cochées... code 7 Les phrases correspondant à «x 2» et «2», ou «x 0,5» et «0,5» sont cochées... code 8 SUGGESTIONS PÉDAGOGIQUES L outil propose des situations avec des nombres décimaux, des nombres en écriture fractionnaire, dans des cadres purement numériques, géométriques ou de la vie courante. Le code 6 repère les élèves qui ont franchi une étape. Ils ont perçu les effets de la multiplication et de la division, ils savent qu il existe des nombres qui diminuent le produit mais ne savent pas les trouver. De même pour la division. Le code 7 repère les élèves qui sont restés dans le schéma des nombres entiers et confondent «multiplier» avec «agrandir» et «diviser» avec «diminuer». Le code 8 repère ceux qui pensent que certaines multiplications ou certaines divisions sont sans effet sur les nombres. On pourra proposer des exercices tels que : Compléter le tableau suivant : 3 x 0,1 x 0,2 x 0,3 x 0,4 x 0,5 x 0,6 x 0,7 x 0,8 x 0,9 x 1 x 1,1 x 1,2 x 1,3 Entourer en rouge les produits inférieurs à 3. Entourer en vert les produits supérieurs à 3. Que peut-on penser de la phrase «Multiplier agrandit»? 4

5 On pourra aussi proposer un autre tableau avec un coefficient 3 2. On pourra travailler avec un support géométrique : 1. Tracer un segment de longueur 2 cm. Partager ce segment en quatre segments de même longueur. Quelle est la longueur de chacun de ces segments? Compléter : 4 x.. cm =.. cm. 2. Tracer un segment de longueur 2 cm. Partager ce segment en cinq segments de même longueur. Quelle est la longueur de chacun de ces segments? Compléter : 5 x.. cm =.. cm. 3. Que peut-on penser de la phrase «Multiplier agrandit»? On pourra travailler avec un support de la vie courante : 1. a) Une maman a réalisé une tarte qu elle partage équitablement entre ses trois enfants. Compléter : «La part de chacun représente tarte.» Compléter : «3 x.. = 1 tarte». b) Une maman a réalisé deux tartes qu elle partage équitablement entre ses trois enfants. Compléter : «La part de chacun représente tarte.» Compléter : «3 x.. = 2 tartes». c) Que peut-on penser de la phrase «Multiplier agrandit»? 2. On achète 0,200 kg de fruits pour 1,20. Quel est le prix du kilogramme? On pourra travailler à partir des définitions et expressions courantes et les erreurs qu elles induisent : «Les risques se multiplient.» (On sous-entend qu ils augmentent.) «Multiplier : Augmenter le nombre, la quantité de.» «Se multiplier : Se répéter un grand nombre de fois, augmenter en nombre par voie de génération, faire preuve d une activité extrême.» «Multiplier, greffer, bouturer.» «Diviser : Séparer en plusieurs parties, partager.» Dictionnaire en ligne On pourra travailler sur les nombres : Peut-on trouver un nombre qui, multiplié par 25, donne un nombre très grand? Un nombre très petit? Même exercice avec la division. Les calculs sur les puissances de 10 pourront aussi fournir d autres occasions d effectuer ce genre d exercice. On pourra utiliser un tableur : Entrer un nombre en A1, un nombre en A2, entrer en A3 la formule =A1*A2. On commencera par entrer des nombres entiers, puis on demandera des grands nombres, un petit et un grand, deux petits On pourra alors conjecturer sur le résultat à obtenir : plus petit ou plus grand? Les difficultés perdurant au-delà du collège, il peut être utile lors de l apprentissage de la division en 6 ème de manipuler la notion en utilisant la calculatrice ou un tableur et en prenant de nombreux exemples. On examinera une non-réponse à l item 4 pour en cerner les raisons, par exemple en proposant une autre formulation : «Chercher x tel que 4 x = 3». Au lycée, on pourra travailler sur les limites en 0 et +, et sur les suites géométriques. 5

6 NOM Prénom : Âge : ans Date : Classe : Durée : 20 min Nombre de pages : 3 Multiplier et diviser Exercice 1 1. On considère le calcul suivant : A = ,1. Le résultat est égal à inférieur à supérieur à On considère le calcul suivant : B = x 0,1. Le résultat est égal à inférieur à supérieur à Item 1 Item 2 3. On considère le calcul suivant : C = 6 x 4 1. Le résultat est égal à 6 inférieur à 6 supérieur à 6 Item 3 4. Est-il possible de trouver un nombre vérifiant l égalité 4 x = 3? Si oui, lequel? Si non, expliquer pourquoi. Item 4 5. Est-il possible de trouver un nombre vérifiant l égalité 4 = 5? Si oui, lequel? Si non, expliquer pourquoi. Item 5 Exercice 2 Un professeur de mathématiques réalise des photocopies d une figure de géométrie. Sur le cadran de la photocopieuse, il tape 0,7, ce qui signifie que les mesures de toutes les longueurs de la figure seront multipliées par 0,7. Il obtiendra (cocher la bonne réponse) : un agrandissement de la figure Expliquer. une réduction de la figure une figure identique. Item 6 6

7 NOM Prénom : Âge : ans Date : Classe : Durée : 20 min Nombre de pages : 3 Exercice 3 On donne un segment [AB]. On veut tracer : 1 un segment [CD] tel que CD = x AB 3 un segment [EF] tel que EF = 0,5 x AB un segment [GH] tel que GH = AB 0,8 Dans chacun des cas suivants, cocher la réponse qui convient : 1. CD = AB CD > AB CD < AB 2. EF = AB EF > AB EF < AB 3. GH = AB GH > AB GH < AB Item 7 Item 8 Item 9 Item 10 Item 11 Item 12 Placer les points D, F et H et tracer les segments [CD], [EF] et [GH]. Exercice 4 A C B On a AB = 8 cm et AC = 2 cm. 1. Peut-on trouver un nombre tel que AB x.. = AC? Si oui, lequel? Si non, expliquer pourquoi. Item Peut-on trouver un nombre tel que AC.. = AB? Si oui, lequel? Si non, expliquer pourquoi. Item 14 7

8 NOM Prénom : Âge : ans Date : Classe : Durée : 20 min Nombre de pages : 3 Exercice 5 Observer les figures A et B, puis cocher la (ou les) bonne(s) réponse(s). Figure A Figure B Pour obtenir la figure B, on multiplie les mesures de longueur de la figure A par 2 on multiplie les mesures de longueur de la figure A par 0,5 on divise les mesures de longueur de la figure A par 2 on divise les mesures de longueur de la figure A par 0,5. Item 15 8