Partie B - Outils de calcul numérique 0

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1 Partie B - Outils de calcul numérique 0 1 Le signe égal (=) Propriété B1 : un nombre, plusieurs formes. Il y a une infinité de manières d'écrire un nombre donné. Preuve : admise et intuitive. Méthode MB1. On écrit le signe = pour indiquer que deux écritures différentes correspondent en fait à un même nombre. Exemple : 0,5= 1 2 = 2 4 = 50% =1,5 1= 0,5+1 Remarques : signifie «n'est pas égal». Exemple : 2 3 signifie «est environ égal à». Exemple : 1 3 0,333 Méthode MB2. Il faut recopier l'intégralité de l'expression à chaque étape de calcul, même si on ne tranforme rien pour certaines parties. Exemple : on définit l'expression A=2( x+5) Pour évaluer A avec x=3 : A=2(3+5) 10 2=2 8 5=16 5=11 2 Opérations : vocabulaire et priorités de calcul 2.1 Quatre opérations Il n'existe que quatre opérations en mathématiques : c'est simple! Symbole Vocabulaire + Addition ou Somme - Soustraction ou Différence ou rien Multiplication ou Produit : ou / ou Division ou Quotient 2.2 Permutations possibles? Règle Pour tous nombres a et b, a+b =b +a et a b =b a Autrement dit : on peut modifier l'ordre des nombres pour les additions et les multiplications. Exemple : 2+4=4+2 et 2 3=3 2 Attention : En général, a b b a et a b b a. On ne peut donc pas changer l'ordre des soustractions et des divisions. Exemple : et v.dujardin - v1.1 1

2 2.3 Priorités de calcul Règle des priorités : Pour évaluer une expression, on effectue les opérations dans l'ordre suivant : 1 Les puissances 2 L'intérieur des parenthèses 3 Les multiplications et divisions (dans l'ordre d'écriture) 4 Les additions et soustractions (dans l'ordre d'écriture) v.dujardin - v1.1 2

3 3 Calculer avec les nombres relatifs 3.1 Rappels : nombres relatifs. Un nombre relatif se caractérise par son signe sa distance à zéro. Exemple : voir activité Carl et Pat Remarques : Un nombre noté sans signe est positif. Exemple : 3=+3. Le signe négatif est le (-) de la calculatrice. Ne pas confondre avec le [-] de l'opération. Zéro n'a pas de signe. 3.2 Nombre opposé et soustraction Définition 1 L'opposé d'un nombre a est le nombre ayant : le signe contraire de a, la même distance à zéro que a. Exemples : L'opposé de 2 est -2, l'opposé de 7,5 est 7,5, l'opposé de π est - π. Propriété B2 Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé Démonstration: vue en 5ème Exemples : 3+( 2)=1 car 3+( 2)=3 (+2)=3 2=1. 17,2+( 7)=10,2 car 17,2+( 7)=17, ( 4 )=27 car 23 ( 4 )=23+(+4)=23+4 v.dujardin - v1.1 3

4 3.3 Multiplication Propriété B3 Le produit de plusieurs nombres relatifs est un nombre dont : le signe est : + s'il y a un nombre pair (ou nul) de facteurs négatifs, - s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs, la distance à zéro est le produit des distances à zéro. Démonstration: admise. Exemples : 3 ( 4 )= 12 car il y a un (impair) facteur négatif 2 3 4=24 car il n'y a aucun facteur négatif ( 5) ( 4)=+20 car il y a deux (pair) facteurs négatifs 1 ( 2) ( 3) ( 1) 2= 12 car il y trois (impair) facteurs négatifs. Méthode MB3. Pour calculer un produit de plusieurs nombres relatifs, on peut : 1. déterminer le signe du résultat en comptant les facteurs négatifs, 2. calculer la distance à zéro sans se préoccuper des signes. Exemple avec 2 ( 3) ( 1) ( 4) ( 10 ) =240 En détail : le résultat est positif car il y a quatre facteurs négatifs. La distance à zéro est =240. Le résultat est donc Conséquence : Pour tout nombre a, l'opposé de a est ( 1) a, que l'on peut noter -a Preuve : la distance à zéro du résultat est 1 a=a. Si a est positif, il y a un seul facteur négatif (-1), le résultat de la multiplication est donc négatif. Si a est négatif, il y a deux facteurs négatifs (-1 et a), le résultat est donc positif. Dans les deux cas, le résultat a la même distance à zéro que a et le signe contraire de a : c'est bien l'opposé de a. Attention : -a n'est pas forcément négatif. Exemple : avec a= 2, a=+2 (-a est positif dans ce cas) v.dujardin - v1.1 4

5 4 Rappel : simplifier une écriture fractionnaire Propriété B4 Pour tous nombres a, b et k, avec b 0 et k 0, on a : a k b k = a b Preuve : vue en cinquième. Méthode MB4 : simplifier une fraction c'est trouver le plus grand divieur commun k au numérateur (haut) et dénominateur (bas), et appliquer cette propriété. Exemple avec : = = = = 4 5 est une simplification incomplète (par 2) est la simplification complète (par 6). Important : la calculatrice vous donne le résultat simplifié, mais je vous demande en général de rédiger sur votre copie le détail de la simplication. Exemple : = 4 5 est correct, mais il manque le détail de la simplication. v.dujardin - v1.1 5

6 5 Nombre inverse Définition 2 : inverse Un nombre multiplié par son inverse donne 1. Exemples : l'inverse de 4 est 0,25 car 4 0,25=1. L'inverse de 10 est 0,1 car 10 0,1=1 Notation : l'inverse de n peut se noter n 1 (comme sur la calculatrice). Conséquence 1 : Si n est un nombre non nul, alors l'inverse de n est égal à 1 n. Preuve : n 1 n =n 1 n=n n=1 Conséquence 2 : Le signe d'un nombre et celui de son inverse sont identiques. Preuve : par définition, n 1 =1 n. Le produit est positif, donc n et 1 n deux positifs, soit négatifs (règle des signes dans un produit). Exemples : l'inverse de -4 est - 0,25 car ( 4) ( 0,25)=1. l'inverse de 2 est 0,5 car 2 0,5=1 sont soit tous les Important : 0 est le seul nombre n'ayant pas d'inverse. En effet, si l'inverse de 0 existait, on aurait 0 fois cet inverse égale 1, ce qui est faux car tout nombre multiplité par zéro donne 0, et jamais 1. Attention : on ne peut pas toujours écrire exactement l'inverse d'un nombre en décimal. Exemple : 1 6 n'a pas d'écriture décimale exacte. Conséquence 3 : Diviser par un nombre non nul équivaut à multiplier par son inverse. Explication par un exemple : division d'un nombre x par 2 : x 2=x 1 2=x (1 2)=x 1 2. On constate que diviser par 2, c'est multiplier par l'inverse de 2 qui est 1 2 Cet exemple marche aussi pour une division par n'importe quel autre nombre que 2 (sauf 0). v.dujardin - v1.1 6

7 6 Multiplication et division de fractions 6.1 Multiplication de deux fractions Propriété B5 : produit de deux fractions Pour tous nombres a,b,c,d avec b 0 et d 0, on a a b c d = a c b d Autrement dit : le produit de deux quotients est le quotient du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs. Démonstration: voir en annexe. 6.2 Diviser par une fraction Propriété B6 : inverse d'une fraction Pour tous nombres c et d non nuls, l'inverse de c d est d c Démonstration : c d d c = c d d c = cd cd =1 Méthode MB5: la conséquence est que pour diviser par une fraction, on peut multiplier par son inverse. C'est très pratique! Exemple : = = ou encore = = = Règle des signes dans un produit/quotient Propriété B7 La règle des signes dans un produit s'applique aussi avec des quotients. Preuve : diviser, c'est multiplier par l'inverse. On peut donc transformer les quotients en produits. Or un nombre et son inverse ont le même signe. Le signe du résultat d'un quotient est donc déterminé par la règle des signes d'un produit. Exemple : le signe de ( 4) ( 3) ( 3,5) est négatif car il y a trois facteurs négatifs dans ce produit/quotient. v.dujardin - v1.1 7

8 7 Ajouter, soustraire un nombre en écriture fractionnaire 7.1 Opposé d'une fraction Propriété B8 : opposé d'une fraction Si a b est une fraction, alors l'opposé de a b peut se noter a b a ou b ou a b. Preuve : les trois formes ont le même signe (qui dépend de a et b) et la même distance à zéro qui est (a b). Ce sont donc trois formes du même nombre. Exemple : l'opposé de 2 3 est 2 3 = 2 3 = Ajouter des nombres fractionnaires Propriété B9 : somme de deux fractions au même dénominateur Quels que soient les nombres a, b et c avec c 0, a c + b c = a+b c Démonstration: admise et intuitive. Autrement dit : on peut sommer les numérateurs lorsque les dénominateurs sont égaux. Méthode MB6 : pour ajouter deux fractions, il est nécessaire de les mettre d'abord au même dénominateur en cherchant le plus petit multiple commun des deux dénominateurs. Exemple avec Le plus petit mutliple commun de 3 et 5 est 15. Le dénominateur commun sera 15. Calcul détaillé : = = = Soustraire deux fractions Méthode MB7: pour soustraire une fraction, on peut ajouter son opposé. Exemple : = = = 4 5 Attention : il faut selon le cas mettre au même dénominateur. v.dujardin - v1.1 8

9 8 Notation puissance 8.1 Notation puissance avec un exposant positif Définition de la notation puissance Pour tout nombre a, et tout nombre entier positif n non nul, n facteurs on peut noter a n le produit a a a a Cas particulier : a 1 =a Autrement dit : a n est une nouvelle manière simple et rapide d'écrire une grande multiplication avec le même facteur (ici a) à n reprises. Vocabulaire : on dit «a puissance n» ou «a exposant n». Important : la notation puissance ne concerne que le nombre directement à gauche : Exemples : =4 9= = (4 4)= 16 ( 4) 2 =( 4) ( 4)= Méthodes de calcul avec les puissances Méthode MB8 (la puissance prend les parenthèses). Quels que soient les nombres a, b et les entiers n et m, on peut utiliser les règles de calculs ci-dessous pour gagner du temps : a m a n =a m+n car am a n =a a a a=a a m facteurs n facteurs Mutliplication de a à (n+m) reprises. m+n facteurs =a n+m (a b) n =a n b n car (ab)n =ab ab=a a b b=a n b n n produits n facteurs n facteurs Mutliplication avec a à n reprises, fois b à n reprises aussi ( a b )n = an b n (avec b 0 ) car ( a n b ) =( a 1 n b ) =a ( n 1 b ) n=a n Multiplication de a à n reprises, fois 1 b 1b n = an b n à n reprises aussi (a m ) n =a m n car (a m ) n =(a a ) (a a ) =a a m m facteurs facteurs n paquets m n facteurs Mutliplication de n «paquets de a» ayant a à m reprises. =a m n Définition 3 Par convention, on définit que : a 0 =1 Explication : a=a 1 =a 1+0 =a 1 a 0 =a a 0 donc a 0 =1 v.dujardin - v1.1 9

10 8.3 Notation puissance avec exposant négatif Définition 4 Quels que soient le nombre non nul a et l'entier m non nul, on définit que a m est l'inverse de a m et donc a m = 1 Explication : l'idée de noter a m l'inverse de a m vient de la méthode de calcul de a m a n En effet, pour n= m, on a a m a m =a 0 qui vaut 1, donc a m doit bien correspondre à l'inverse de a m. a m Conséquence de la définition : Toutes les méthodes de calcul pour les exposants positifs sont aussi valables pour les exposants négatifs, avec une méthode en plus : am a n =am n car am a n =am 1 a n =am a n =a m+ n =a m n Exemples de puissances négatives : 4 1 = 1 x 3 = 1 a 2 = x 3 a ( 2 Exemple de calculs avec des puissances négatives : =5 18+( 6) = =713 ( 8) = ) =( ) v.dujardin - v1.1 10

11 8.4 Cas particulier : puissances de 10 Méthode B9: Pour obtenir le résultat de la multiplication par 10 n avec n positif, on peut décaler la virgule n fois vers la droite, en ajoutant des zéros si nécessaire. Exemples : 56, =5678,9 (décalage de 2) 123, = (décalage de 4, qui nécessite d'ajouter 3 zéros). Pour obtenir le résultat de la multiplication par 10 n avec n négatif, on peut décaler la virgule n fois vers la gauche, en ajoutant des zéros si nécessaire. Exemple : 1234, =1,2345 (décalage de 3) 56, =0,567 (décalage de 2 qui nécessite d'ajouter un zéro) 8.5 Ecriture scientifique Définition Définition 5 Un nombre est écrit en notation scientifique lorsque sa forme est a 10 n où a est un nombre décimal avec un seul chiffre devant la virgule (1 a<10) et n est un nombre entier relatif (positif ou négatif) Vocabulaire : le 10 n est parfois appelé l'ordre de grandeur du nombre. Méthode B10 : il faut savoir utiliser la notation scientifique sur la calculatrice Comparaison de deux nombres écrits en scientifique Méthode B11: pour comparer deux nombres en écriture scientifique, on peut 1. Comparer les puissances de 10 d'abord (ordre de grandeur) 2. Comparer les nombres décimaux quand les puissances sont égales. Exemples : 1, est plus grand que 2, car 10 5 est supérieur à , est plus petit que 7, car à même ordre de grandeur, on compare les nombres décimaux. v.dujardin - v1.1 11

12 9 Annexes 9.1 Démonstration de la propriété de produit de deux fractions. Soient a,b,c,d quatre nombres avec b 0 et d 0. Calculons ( a b c d ) bd en utilisant les propriétés de calcul connues : = a 1 b c 1 d b d En transformant les quotients en produits. = a c b 1 b d 1 d En modifiant l'ordre des six facteurs du produits. = a c 1 1 En simplifiant, car 1 b b=1 et 1 d d=1 = a c En reprenant le départ, on sait maintenant que : ( a b cd ) bd=a c En divisant de chaque côté par bd (qui n'est pas nul car b 0 et d 0 ), on obtient : ( a bd b cd ) bd = a c b d, c'est à dire ( a b c d ) = a c b d C'est ce qu'il fallait démontrer. bd car =1 bd v.dujardin - v1.1 12