Répétitions d'automates et langages formels

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1 Répétitions d'utomtes et lngges formels Les exercices de cette liste proviennent des notes de cours Automtes et Lngges Formels de M. Rigo.. Mots et lngges. Chpitre : Mots et lngges Exercice. On dénit le miroir d'un mot w Σ, pr récurrence sur l longueur de w, de l mnière suivnte : si w = ε, lors w R = ε; sinon, il existe σ Σ et v Σ tels que w = σv et w R = v R σ. Montrer que cette dénition est équivlente à celle qui suit : si w = ε, lors w R = ε; sinon, il existe σ Σ et v Σ tels que w = vσ et w R = σv R. Démontrer que pour tous u, v, w Σ, (w R ) R = w et (uv) R = v R u R. Exercice 2. Démontrer que pour tous u, v, w Σ, on et uw = vw u = v wu = wv u = v. Exercice 3. Soient x, y, u, v des mots sur un lphet Σ tels que xy = uv. Démontrer que si x > u, lors il existe w ε tel que x = uw et v = wy, si x = u, lors x = u et y = v, si x < u, lors il existe w ε tel que u = xw et y = wv. Exercice 4. Il est clir que pour tout mot w, #(Pref(w)) = w +. (inférieures et supérieures) exctes pour #(Fc(w)). Quelles sont les ornes Exercice 5. Soit Σ = {, } un lphet. Quels sont les mots w Σ pour lesquels w 2 = w 3? Exercice 6. Soit Σ = {, } un lphet. v Σ tel que w 3 = v 2? Quels sont les mots w Σ pour lesquels il existe Exercice 7. Crctériser les mots w tels que w = w R (i.e., les plindromes). Exercice 8. Soit L Σ un lngge. Si L = L R, cel implique-t-il que tous les mots du lngge sont des plindromes? Justier votre réponse et envisger églement le cs prticulier d'un lphet Σ unire. Exercice 9. Soit le lngge L {, } déni récursivement pr les trois conditions : ε L, si u pprtient à L, lors u pprtient à L, un mot pprtient à L seulement s'il peut être otenu à prtir de l première règle et d'un nomre ni d'pplictions de l deuxième règle. Donner une dénition implicite du lngge L. Exercice 0. Soient Σ un lphet et L Σ le lngge déni récursivement pr les trois conditions : ε L et pour tout σ Σ, σ L, si w pprtient à L, lors pour tout σ Σ, σwσ pprtient à L, un mot pprtient à L seulement s'il peut être otenu à prtir de l première règle et d'un nomre ni d'pplictions de l deuxième règle. Quel est ce lngge L? Exercice. Soit L Σ un lngge. Démontrer que A-t-on toujours LL = L? (L ) = L, L L = L, L L {ε} = L = LL {ε}.

2 2 Exercice 2. Soient L, M, N des lngges sur un lphet Σ. Montrer que L(M N) LM LN. Montrer qu'en générl, l'utre inclusion est fusse. Exercice 3. Soient L = {, } et M = {ε,, }. Enumérer les mots de LM et L M. Enumérer les mots de M de longueur u plus trois. Comien de mots de longueur 6 possède le lngge L? Comien de mots de longueur n N possède le lngge L? Exercice 4. Soient L et M deux lngges nis. A-t-on toujours Justier votre réponse. #L.#M = #(LM)? Exercice 5. Soient des lphets disjoints Σ et Γ. Pour m, n N, on note Montrer que t(m, n) := #(u v), u Σ m, v Γ n. t(m, n) = t(m, n ) + t(m, n), m, n > 0 et que t(m, 0) = t(0, m) =. Utiliser cette formule pour en déduire l vleur de #( cd). Pour clculer t(m, n) u moyen de l formule donnée ci-dessus, comien d'étpes sont nécessires? Exercice 6. Soit Σ = {, } un lphet inire. Un mot w Σ est sns crré s'il ne contient ucun fcteur de l forme xx vec x un mot non vide. Enumérer tous les mots sns crré de Σ. (Que se psse-t-il dns le cs d'un lphet contennt plus de deux lettres?) Exercice 7. Soit Σ un lphet. Un mot w Σ est primitif si l'éqution w = u i, u Σ n'est stisfite pour ucun exposnt i 2. On ppelle rcine primitive de w, le plus petit mot u Σ tel que w = u i, pour un i. Démontrer qu'un mot est primitif si et seulement si il est égl à s propre rcine primitive. Exercice 8. Deux mots u et v sur Σ sont conjugués s'il existe x, y Σ tels que u = xy et v = yx. Enumérer tous les conjugués du mot. Montrer que l reltion être conjugué est une reltion d'équivlence sur Σ. Démontrer que si w est primitif, lors ses conjugués le sont ussi. Exercice 9. Soit l'lphet {,,, } où chque èche représente un déplcement d'une unité dns le pln muni d'un repère orthonormé. Crctériser l'ensemle des mots correspondnt à un déplcement du point de coordonnées (0, 0) u point de coordonnées (, ). Même question, mis cette fois, on se restreint u déplcements dns le premier qudrnt (on ne peut se trouver en un point dont une des coordonnées serit strictement négtive). 2. Expressions régulières. Exercice 20. Donner une expression régulière du lngge formé des mots de longueur u moins 2 sur {, } pour lesquels tous les éventuellement présents précèdent les (éventuellement présents). Exercice 2. Même question que l précédente, mis cette fois, le mot vide pprtient u lngge. Exercice 22. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui ne contiennent ps le fcteur. Exercice 23. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent simultnément le fcteur et le fcteur. Exercice 24. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent le fcteur ou le fcteur, mis ps ces deux fcteurs simultnément.

3 3 Exercice 25. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent exctement deux fois le fcteur. (Suggestion : ttention u fcteur ). Exercice 26. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui ne contiennent ps deux consécutifs. Exercice 27. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent le fcteur exctement une fois. Exercice 28. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui déutent pr, contiennent exctement deux et se terminent pr cc. Exercice 29. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui contiennent un nomre de divisile pr 3. Exercice 30. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } de longueur impire et qui contiennent le fcteur. Exercice 3. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } ynt u plus trois. Exercice 32. Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui contiennent un nomre impir d'occurences du fcteur. Exercice 33. Donner une expression régulière du lngge formé des représenttions en se 3 des nomres pirs. Exercice 34. Donner une expression régulière du lngge formé des représenttions en se 0 des nomres multiples de 5. Exercice 35. Soit Σ un lphet. Dns les expressions régulières données ci-dessous, on s'utorise à utiliser l'expression ϕ + (vec ϕ R Σ ) qui est telle que L(ϕ + ) = (L(ϕ)) + = i>0 (L(ϕ)) i. Démontrer que () + ( + ) = () + ( + e), + ( + e) = ( + e) +, ( + ) = ( + ), ( + ) = ( + ), ( + ) = ( ( + e) ). Exercice 36. Soit Σ = {, }. Vérier que () + = (Σ Σ ) \ (Σ Σ + Σ Σ ). 3. Lngges réguliers sur un lphet unire. Exercice 37. Exprimer L(ϕ) comme une union nie de progressions rithmétiques lorsque ϕ = () +, ϕ = (( ) + ), ϕ = ()(c( + )), ϕ = (c). Exercice 38. Construire une expression régulière ϕ telle que L(ϕ) = 5 + N.3, L(ϕ) = N.7 (4 + N.5). Exercice 39. Le lngge { n3 +2n+ n N} est-il régulier? Justier. Exercice 40. Le lngge { 2n+ n N} est-il régulier? Justier. Exercice 4. Le lngge { n n P} où P désigne l'ensemle des nomres premiers est-il régulier? Justier. Remrque. Le résultt otenu à l'exercice précédent n'est en rien incomptile vec le célère théorème de Dirichlet qui stipule que si et sont premiers entre eux (i.e., pgcd(, ) = ), lors l progression rithmétique + N. contient une innité de nomres premiers.

4 4 Chpitre 2 : Automtes Exercice. Modéliser u moyen d'un utomte ni déterministe le prolème du chou, de l chèvre et du loup. Un erger doit fire trverser une rivière u moyen d'une rque à un chou, une chèvre et un loup. L rque étnt petite pour les trnsporter tous, à chque trjet sur l rivière, il ne peut emporter qu'un seul des trois protgonistes. On ne peut lisser l chèvre et le chou (resp. le loup et l chèvre) seuls sur une rive. Comment doit fire le erger pour fire trverser les trois protgonistes sous les contrintes indiquées. Avec l modélistion choisie, quel est le lngge des déplcements cceptles? Exercice 2. Soit l'afd A = (Q,, F, Σ, δ) où Q = {, 2, 3}, Σ = {, }, F = {3} et où l fonction de trnsition est donnée pr δ Trcer le digrmme d'étts de A. Donner l'exécution de A sur les mots,,,. Quel est le lngge ccepté pr A (en donner une expression régulière)? Exercice 3. Soient les lngges et {c}. Construire un AFD cceptnt {c}. Pour ce fire, on construir u prélle un AFD sur {, } cceptnt le lngge et un AFD sur {c} cceptnt le lngge {c}. Si on note ρ L l fonction qui à n N ssocie le nomre de mots de longueur n dns L, ρ L : N N : n #(L Σ n ). Que vut ρ (n)? Même question pour ρ {c}(n). Exercice 4. Soient les deux AFD représentés à l gure. Construire un AFD cceptnt le Figure. Deux utomtes nis déterministes. shue des lngges cceptés pr ces deux utomtes. Exercice 5. Soit l'afnd représenté à l gure Figure 2. Un AFND.

5 5 Enumérer les éléments de l reltion de trnsition de l'utomte. Quelles sont toutes les exécutions possiles du mot dns cet utomte (en démrrnt de l'unique étt initil). Le mot est-il ccepté? Rendre cet utomte déterministe u moyen de l construction pr sous-ensemles d'étts. Donner une expression régulière du lngge ccepté pr l'utomte. Exercice 6. Rendre déterministe l'utomte repris à l gure 3. (Prendre grde ux ε-trnsitions.) ε, 2 4 ε 3 Figure 3. Un AFND à rendre déterministe. Exercice 7. Remplcer l'utomte représenté à l gure 4 pr un utomte équivlent possédnt un unique étt initil et un unique étt nl. Figure 4. Un AFND. Exercice 8. Construire un AFND cceptnt () +. Si l'utomte otenu n'est ps déterministe, le rendre déterministe. Exercice 9 (Cet exercice pourr être pssé en première lecture, et repris près voir vu l notion d'utomte miniml). Montrer que pour tout n, le lngge ( + ) ( + ) n peut être reconnu pr un AFND à n + étts, mis que tout AFD cceptnt ce lngge possède u moins 2 n étts. Exercice 0. Construire un AFND cceptnt (c). Si l'utomte otenu n'est ps déterministe, le rendre déterministe. Exercice. En utilisnt l'exercice précédent, construire un AFD cceptnt le lngge ((c) ) R.

6 6 Exercice 2. Construire un AFND cceptnt ( + ) + ( + ). Si l'utomte otenu n'est ps déterministe, le rendre déterministe. Exercice 3. Construire un AFND cceptnt ( + ) +. Si l'utomte otenu n'est ps déterministe, le rendre déterministe. Exercice 4. Construire un AFD cceptnt exctement les mots sur {, } qui contiennent le fcteur. Exercice 5. Construire un AFD cceptnt exctement les mots sur {, } pour lesquels tout fcteur de longueur 4 contient u moins un. Exercice 6. Soit L {,, c} un lngge dont ucun mot ne commence pr. Montrer que L est un lngge ccepté pr un AFD si et seulement si L est ussi ccepté pr un AFD. Exercice 7. Soit Σ = {, }. Construire un AFD cceptnt le lngge suivnt {w Σ : w 0 (mod 3)}, {w Σ : w 0 (mod 3)}, {w Σ : w (mod 3)}, {w Σ : w 0 (mod 3)}, {w Σ : w 4}, Exercice 8. Construire un AFD cceptnt le lngge { i j i j (mod 2)}. Dénition. Soit p 2, tout entier n se décompose de mnière unique comme l n = c i p i, vec c i {0,..., p } et p l 0. i=0 Le mot c l c 0 {0,..., p } est l représenttion en se p de l'entier n. Pr convention, zéro est représenté pr le mot vide. Cette mnière de procéder fournit une ijection entre N et le lngge L p = {ε} {,..., p }{0,..., p }. Exercice 9. Soient k, m 2. Démontrer que {k n (mod m) n N} est ultimement périodique. Exercice 20. Construire un AFD cceptnt exctement les représenttions inires des nomres pirs. (On suppose que 0 est représenté pr le mot vide et pour des risons de simpliction, on utorise les zéros de tête dns les représenttions, i.e., 0000 est pr exemple une représenttion de 5.) Si esoin est, on permet de considérer les représenttions miroir. Exercice 2. Même question vec les représenttions inires des multiples de 4, 5, 6 ou 7. Exercice 22. Donner l tle de trnsition d'un utomte ni déterministe reconnissnt les écritures décimles des multiples de 6 (ou leur miroir, si vous jugez l construction plus simple). Remrque 2. Ces trois derniers exercices montrent que tout critère de divisiilité peut toujours être reconnu pr un utomte ni et ce, quelle que soit l se choisie pour les représenttions des entiers. Exercice 23. Soit Σ = {0, }. Si u Σ, lors on note π 2 (u) l'entier représenté pr u en se 2. Pr exemple, π 2 (0) = 3, π 2 (0000) = 0. On considère l'lphet Γ = Σ Σ. Construire un utomte sur Γ qui reconnît le lngge des couples (u, v) de mots de même longueur tels que π 2 (v) = 2π 2 (u).

7 7 Pour otenir des mots de même longueur, on s'utorise toujours à plcer des zéros de tête dns les représenttions. Pr exemple, ( ) pprtient u lngge ccepté. Comme dns les exercices précédents, pr souci de simpliction, on pourr dns un premier temps considérer les représenttions miroir. Exercice 24. Dns le même contexte que l'exercice précédent, on note Γ = Σ 3. Construire un utomte sur Γ qui reconnît les triplets (u, v, w) de mots de même longueur tels que Pr exemple, π 2 (u) + π 2 (v) = π 2 (w) pprtient u lngge ccepté. Comme dns les exercices précédents, pr souci de simpliction, on pourr dns un premier temps considérer les représenttions miroir. Exercice 25. Même question qu'à l'exercice 23, mis cette fois, on impose π 2 (v) = 3π 2 (u). Exercice 26. Montrer que le lngge des représenttions inires des nomres entiers divisiles pr 4 est régulier, en donnnt une expression régulière. Montrer que le lngge des représenttions inires des nomres entiers divisiles pr 3 est régulier, en fournissnt un utomte ni déterministe cceptnt ce lngge (ou son miroir, u choix). Déduire des deux premiers points que le lngge des représenttions inires des nomres entiers divisiles pr 2 est régulier? Justier votre réponse.

8 8. Lngges réguliers. Exercice. Soit le lngge Ce lngge est-il régulier? Justier. Chpitre 3 : Lngges réguliers et utomtes L = { n 2n n N}. Exercice 2. Le lngge { n n n N} est-il régulier? Exercice 3. Le lngge { n 2n n N} est-il régulier? Exercice 4. Le lngge {w {, } : w < w } est-il régulier? Exercice 5. Le lngge { 2n n N} est-il régulier? Exercice 6. Soit le morphisme f : {, } {, } tel que f() = et f() =. Le lngge L = {wf(w) w {, } } est-il régulier? Exercice 7. Soit A un AFD possédnt k étts, k. Démontrer que si le lngge ccepté pr A ne contient ucun mot de longueur strictement inférieure à k, lors le lngge ccepté pr A est vide. Exercice 8. Soit A un AFD possédnt k étts, k. Démontrer que si le lngge ccepté pr A est ni, lors tout mot ccepté w est tel que w < k. Exercice 9. Soit Σ un lphet de tille u moins 2. Le lngge des plindromes sur Σ est-il régulier? Que se psse-t-il dns le cs prticulier d'un lphet unire? Exercice 0. Le lngge { n m n+m m, n N} est-il régulier? Exercice. Le lngge formé des mots sur {, } qui contiennent deux fois plus de que de, i.e., L = {w {, } : w = 2 w }, est-il régulier? Que vut ψ(l)? Exercice 2. Soient les lphets Σ = {,, c} et Γ = {e, f} et un lngge L sur Σ. On donne le morphisme h : Σ Γ tel que h() = h() = e et h(c) = f. Si h(l) Γ est un lngge régulier, peut-on en déduire que L est lui-même régulier, justier? 2. Lngge ccepté pr un utomte. Exercice 3. Déterminer une expression régulière du lngge ccepté pr l'utomte repris en gure 5. Exercice 4. Même question que l'exercice précédent pour l'afd représenté à l gure 6. Si les mots cceptés sont considérés comme des représenttions en se 2 d'entiers, en déduire les propriétés rithmétiques de l'ensemle d'entiers ccepté.

9 9, Figure 5. Expression régulière du lngge ccepté , Figure 6. Expression régulière du lngge ccepté. Fntome

10 0 Chpitre 4 : Automte miniml Exercice. L'utomte de l gure 7 est-il ccessile et réduit? Autrement dit, s'git-il d'un utomte miniml? Même question vec l'utomte de l gure 8. Pour ces deux utomtes, 2 3, 4 5 Figure 7. Un AFD., Figure 8. Un utre AFD. donner une expression régulière du lngge ccepté. Exercice 2. Donner (en utilisnt une méthode u choix) l'utomte miniml des lngges suivnts: (), ( + ) ( + ), ( + ), le lngge formé des mots contennt le fcteur ou, le lngge formé des mots contennt le fcteur et, () (), le lngge formé des mots de () () qui sont de longueur pire. Exercice 3. Soit L = ( + ). Quels sont les diérents ensemles de l forme En déduire l'utomte miniml de L. w.l, w {, }? Exercice 4. Montrer que L n'est en générl ps une congruence à guche, i.e., il existe z Σ tel que x L y et zx L zy.

11 Exercice 5. Soit L = {,,,,, }. Quels sont les diérents ensemles de l forme En déduire l'utomte miniml de L. w.l, w {, }? Exercice 6. Soit L = ( + ). Quels sont les diérents ensemles de l forme En déduire l'utomte miniml de L. w.l, w {, }? Exercice 7. Soit L, le lngge sur {, } des mots contennt exctement deux. Quels sont les diérents ensemles de l forme w.l, w {, }? En déduire l'utomte miniml de L. Exercice 8. Soit l'utomte déterministe A représenté à l gure 9. Rechercher l'utomte, Figure 9. Un utre AFD dont on cherche le miniml. miniml du lngge ccepté pr A. On procéder pr deux méthodes : l recherche des étts équivlents et l procédure µ(µ(a)). Exercice 9. Soit le lngge L = { n m n, m N : n m}. Crctériser les étts de l'utomte miniml de L et donner l tle de trnsition de cet utomte. Exercice 0. Soit l'utomte ni déterministe A représenté à l gure 0. Rechercher les étts équivlents pour l reltion A. En déduire l'utomte miniml du lngge ccepté pr A. Exercice. On considère l'lphet Σ = {,, c}. Donner l'utomte miniml du lngge L = c (dns votre réponse, justier en quoi l'utomte que vous proposez est miniml). Quelles sont les clsses d'équivlence de Σ pour l reltion de Nerode L et quels sont les diérents ensemles de l forme w.l, w Σ? L clôture commuttive de L donnée pr com(l) = {w Σ v L, σ Σ : w σ = v σ } est-elle un lngge régulier? Justier.

12 2, Figure 0. Recherche des étts équivlents. Fntome

13 3. Trnsduction. Chpitre 5 : Quelques compléments sur les lngges réguliers Exercice. Supposons que les positions des lettres d'un mot soient comptées de guche à droite. Ainsi, w = w w n, w i Σ pour un mot w de longueur n. Construire un trnsducteur T qui trnsforme chque se trouvnt en position de l forme 3i (resp. 3i +, 3i + 2) en c (resp. c, c) et chque se trouvnt en position de l forme 3i (resp. 3i +, 3i + 2) en c (resp. c, c), i N. Donner une expression régulière du lngge T ( ). 2. Prolèmes de dénomrement. Exercice 2. Soit L Σ un lngge. On dénote pr ρ L (n), le nomre de mots de longueur n pprtennt à L. Si $ est une lettre n'pprtennt ps à Σ, vérier que #[({$} L) (Σ {$}) n ] = n ρ L (n ), n. Utiliser ce résultt pour construire un lngge régulier M tel que ρ M (n) = n 2 pour tout n. Même question vec cette fois, ρ N (n) = n 3 pour tout n 2. Exercice 3. On considère le lngge L formé des mots sur {, } ynt un nomre impir de. Quel est l'utomte miniml de L? Donner l mtrice d'djcence de cet utomte. En déduire une reltion de récurrence linéire pour ρ L (n). Trouver une formule close pour ρ L (n). Exercice 4. On considère le lngge L formé des mots sur {,, c} ne commençnt ps pr c et ne contennt ps le fcteur c. Quel est l'utomte miniml de L? Soit l série génértrice F (X) = n 0 ρ L (n) X n. Montrer que X F (X) = X 2 3X +. En déduire une formule close pour ρ L (n). Exercice 5. On considère le lngge L =. Quel est l'utomte miniml de L? Donner l mtrice d'djcence de cet utomte. En déduire une reltion de récurrence linéire pour ρ L (n). Montrer que l série génértrice de ρ L (n) est de l forme F (X) = ( X) 2 En développnt en série de puissnces, en conclure que ρ L (n) = n +. Exercice 6. On considère l'lphet Σ = {,, c} et le lngge régulier sur Σ formé des mots ne contennt ps le fcteur. Ce lngge est ccepté pr l'utomte ni déterministe A = ({, 2, 3},, {, 2}, Σ, δ) où l fonction de trnsition δ : {, 2, 3} Σ {, 2, 3} est donnée pr δ c

14 4 Donner une reltion de récurrence linéire pour l suite ρ L (n) = #(L Σ n ) comptnt le nomre de mots de longueur n dns L. Pr une méthode u choix, en déduire une formule close pour ρ L (n). 3. Monoïde syntxique et lngges sns étoile. Exercice 7. Soit L un lngge. Démontrer que L est une union de clsses d'équivlence pour l congruence syntxique L. Exercice 8. Soit L =. Donner un représentnt de chcune des clsses d'équivlence du monoïde syntxique de L. On choisir, si possile, un représentnt de longueur minimle dns chque clsse. Construire l tle de multipliction de ce monoïde. Le monoïde syntxique est-il périodique? Exercice 9. Même question vec le lngge L formé des mots sur {, } comprennt un nomre pir de. S'git-il d'un lngge sns étoile? Exercice 0. Même question vec le lngge L formé des mots cceptés pr l'utomte dessiné à l gure 2 3, 4 5 Figure. Un AFD dont on recherche le monoïde syntxique du lngge ssocié. Exercice. Même question vec le lngge L formé des mots sur {, } qui sont formés exclusivement de en nomre impir ou qui comprennent un nomre de qui est multiple strictement positif de 3. Montrer que le monoïde syntxique se décompose en deux sous-groupes cycliques dont on donner à chque fois un générteur. Exercice 2. On considère le lngge ccepté pr l'utomte de l gure 2. Après voir vérié Figure 2. Un AFD dont on recherche le monoïde syntxique. que cet utomte est miniml, montrer que le monoïde syntxique de ce lngge est isomorphe à S 3 (le groupe des permuttions de {, 2, 3}).

15 5 Exercice 3. Pour les utomtes repérésentés à l gure 3, vérier qu'ils sont minimux. Clculer l tle de multipliction du monoïde syntxique et déterminer dns chque cs s'il s'git d'un lngge sns étoile , 2 Figure 3. Deux AFD. Exercice 4. Pour le lngge ccepté pr l'utomte de l gure 4, démontrer que 3 2 4, Figure 4. Un AFD. et,, 3 3, 4 3, 3 3, 2 2, 3 3, 3 3, 2 2, 2 2, 2 2 2, 2 3 3, 2 2 2, , En déduire que 3 est un zéro et que ces 6 reltions peuvent se simplifer en 3 3,,, 2 2, 2 2 2, pour décrire complètement le monoïde syntxique. Ainsi, ces 6 reltions donnent une représenttion ien plus succinte que l tle de multipliction du monoïde. Dénition. Un AFD A est sns permuttion s'il n'existe ucun mot w rélisnt une permuttion non trivile d'un sous ensemle d'étts de A, i.e., s'il n'existe ps de mot w et de sous-ensemle d'étts {q,..., q r } tels que q.w = q ν,..., q r.w = q νr où ν est une permuttion de {,..., r} distincte de l'identité. Exercice 5. Démontrer qu'un lngge régulier est sns étoile si et seulement si son utomte miniml est sns permuttion.

16 6 Chpitre 6 : Introduction ux lngges lgériques Exercice. Déterminer une grmmire hors contexte générnt les lngges et L = {ww R w {, } } M = {wcw R w {, } }. Exercice 2. Décrire une grmmire hors contexte générnt les lngges et { n n c m n, m N}, { n m c m n, m N} { n m m > n 0}. Exercice 3. Le lngge { i j c k i j ou i k} est-il lgérique? Justier votre réponse. Exercice 4. Le lngge L = {w {,, c} : w = w = w c } est-il lgérique? Justier. Remrquer qu'il s'git, en prticulier, de l clôture commuttive du lngge { n n c n n N}. Exercice 5. Dns le pln muni d'un repère orthonormé, on symolise un déplcement d'une unité vers l droite (resp. l guche, le hut, le s) pr l lettre D (resp. G, H, B). Ainsi, une suite de déplcements est représentée pr un mot sur {D, G, H, B}. Crctériser le lngge des mots qui correspondent à un déplcement de deux unités vers l droite. Ce lngge est-il lgérique? Justier. Exercice 6. Soit le morphisme f tel que f() = et f() =. Le lngge est-il lgérique? L = {wf(w) w {, } } Exercice 7. Le lngge formé des mots comprennt deux fois plus de que de est-il lgérique? Même question vec le lngge L = {w {, } : w = 2 w + 3}. Exercice 8. Le lngge des plindromes est-il lgérique? Justier. Même question en considérnt uniquement les plindromes de longueur pire. Exercice 9. Donnez l description d'un utomte à pile déterministe cceptnt le lngge {wcw R w {, } }. Exercice 0. Décrire un utomte à pile cceptnt le lngge formé des plindromes sur l'lphet {, }. Même question en considérnt uniquement les plindromes de longueur pire. Exercice. Quels sont les lngges cceptés respectivement pr les utomtes à pile de l gure 5? Exercice 2. Décrire un utomte à pile cceptnt le lngge L formé des mots sur {, } pour lesquels il existe un préxe contennt (strictement) plus de que de, i.e., u, v {, } : w = uv et u > u. Pr exemple,, et pprtiennent à L mis et n'y pprtiennent ps. Exercice 3. Montrer que si l'utomte à pile A = (Q, Σ, Π, δ, q 0, F ) est élémentire lors les lngges G p,q = {x Π m Σ : [p, m, x] [q, ε, ε]}, p, q Q sont réguliers. (Suggestion : exprimer t.g p,q à l'ide des diérents lngges G r,s, t Π.)

17 7 ε, /AAA, A/ε, ε/aaa, A/ε, ε/aaa, A/ε, A/ ε, A/ ε Figure 5. Automtes à pile. Exercice 4. Utiliser le lemme de l pompe pour montrer que les lngges suivnts ne sont ps lgériques { k2 k N} { i j c i d j i, j 0} L'ensemle des préxes de longueur nie du mot inni n n+ Exercice 5. Les lngges suivnts sont-ils lgériques? et Exercice 6. Soit le lngge L = { i 2i c j i, j 0}, M = { j i c 2i i, j 0} L M. L = {ww w {, } }. Montrer que {, } \ L est lgérique mis que L ne l'est ps. Exercice 7. Fournir une grmmire hors contexte générnt le lngge L = { i j c j d 2i i, j N}. Exercice 8. Fournir une grmmire hors contexte générnt le lngge formé des mots sur {,, c} qui commencent pr, se terminent pr c et qui comprennent un nomre pir de c. Exercice 9. Mettre sous forme essentiellement monotone l grmmire suivnte (élimintion des ε-productions) S ACA A A B C B B C cc ε. Si l grmmire otenue contient des -productions, les éliminer elles ussi pour otenir une grmmire équivlente. Exercice 20. Mettre sous forme essentiellement monotone l grmmire suivnte (élimintion des ε-productions) S ABC A A ε B B ε C cc ε. Quel est le lngge généré pr cette grmmire? Exercice 2. Mettre sous forme normle de Chomsky, l grmmire suivnte S ABA BB A A B cb c.

18 8 Exercice 22. Mettre sous forme normle de Chomsky, l grmmire suivnte S A AB AA A A ε B B BC C CB CA B. Exercice 23. Fournir une grmmire non restrictive de type 0 générnt le lngge Même question vec le lngge {ww w {, } }. {w 3 w {, } }.