- D'une part que la composante purement déterministe du processus X est simplement une constante µ X

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1 II- LES PROCESSUS AR() On adme ici : - D'ne ar qe la comosane remen déerminise d rocesss X es simlemen ne consane µ X, - D'are ar qe la valer à l'insan d rocesss X es ne somme ondérée des valers assées e d'n bri blanc conemorain. Soi : x = X µ = x + x + + x + X o encore : Bx =, avec B = B B B e ojors, E =, af af c h E + s = R S T σ si s = sinon Ces rocesss aorégressifs son évidemmen ojors inversibles en revanche, comme les déveloemens récédens l on déjà monré, ils ne son as nécessairemen saionnaires : il fa or cela ovoir les réécrire sr ne forme MA d ordre infini ce qi imose ne conraine sr les racines d olynôme caracérisiqeaf. B Un raisonnemen ideniqe à celi mené sr les condiions d inversibilié d n rocesss MA condi à imoser des racines de modle sérier à l nié. Cee référence à ne réécrire sos forme de MA d ordre infini erme déjà de caracériser la mémoire d rocesss AR elle qe mesrée sr la foncion d aocorrélaion : celle-ci sera infinie a sens où les aocorrélaions enre x e x - ne s annleron généralemen as qelle qe soi la valer de. En effe, les ermes -, - -, --,...son résens simlanémen dans chacne des réalisaions x des ems e -. En revanche, e on rerove ici encore la symérie avec les condiions d inversibilié discées sr les MA, les condiions de saionarié von imoser la convergence vers zéro de la sie des aocorrélaions. Noons encore qe l écrire ci-desss sose des réalisaions cenrées. Il es narellemen ossible de ravailler direcemen sr la série X moyennan l inrodcion d n erme consan dans le modèle. En effe :

2 x = x + x + + x b µ g b µ g b µ g c µ X = X + X + + X + c h µ X X = X + X + + X + X X X X X = X + X + + X + c+ avec donc : E X = µ = X c c h Par la sie, e niqemen or simlifier les écrires, nos reiendrons les écrires sr réalisaions cenrées. II-A : LE PROCESSUS AR() Il s écri donc : b g x = x +, o encore : - B x = La condiion de saionarié vise à aoriser le assage à l écrire MA : x = B i b g, soi assi : x = i i= ce qi reqier, comme déjà noé, La foncion d aocovariance se calcle aisémen. En effe : x = x + x x = x x + x b g, il En se raelan qe Ex = si e Ex = E x + = σ vien : γ = γ + σ γ = Exx = Ex x = γ si rael : la foncion d aocovariance es symériqe 3

3 ) La foncion d aocorrélaion d n AR() Paran des dex exressions récédenes divisées ar γ, on obien : = si, o encore = σ σ σ = + γ = = γ Cee foncion es donc marqée ar ne décroissance exonenielle de ermes soi os osiifs si, soi alernan en signe si. On noera enfin qe la foncion d aocovariance e la foncion d aocorrélaion obéissen, a bri blanc rès, à la même éqaion qe le rocesss. En raiqe, cela signifie ar exemle qe si es osiif, alors les aocovariances e aocorrélaions seron assi osiives e ne réalisaion x sériere à zéro (o X sériere à µ X ) sera sivie de réalisaions ls fréqemmen osiives qe négaives, e inversemen. En revanche, si es négaif, alors aocovariances e aocorrélaions alernen en signe e dans ce cas, la rajecoire observée devrai assez soven ransercer sa moyenne. ) La foncion d aocorrélaion arielle d n AR() Celle-ci es facilemen révélée si l on se raelle qe le coefficien d aocorrélaion arielle d ordre es le coefficien de x - dans la régression de x sr x -, x --,...,x -. On considère donc la sie de régressions linéaires sivanes : x = x + x = x + x + x = x + x + + x + K K KK K A l évidence, si le vrai modèle es n AR(), alors x = x + e donc il en résle : =, = = =. 33 En effe, l esimaion de la covariance d ordre es égale à la moyenne des rodis x x-, e donc, saf en résence de valers exrêmes iran à elles seles le signe de cee moyenne, ne esimaion osiive (resecivemen négaive) signifie qe l on observe ls fréqemmen des valers de même signe (res. de signe oosé) or x e x-, 4

4 Dans les grahiqes sivans, nos rerésenons les foncions d aocorrélaion e d aocorrélaion arielle caracérisiqes d n rocesss AR(),5,5 -,5 - -,5 - x =.8x + x =.8x +,5,5 -,5 -,5 - - II-B : LE PROCESSUS AR() Il s écri : x = x + x +, o encore : - B- B x = 5 c h La condiion de saionarié vise à aoriser le assage à l écrire MA : x = c B B h, ce qi reqier qe les racines d olynôme c z z h soi à l exérier d cercle niaire. On rerove donc encore la symérie avec les condiions d inversibilié d ocesss MA() e condi à l ensemble de resricions sivan : R S T + +

5 La foncion d aocovariance se calcle aisémen. En effe : comme : x = x + x + x x = x x + x x + x, b g, Ex = si e Ex = E x + x + = σ on a finalemen : γ = γ + γ + σ γ = Exx = Ex x + Ex x = γ + γ si ) La foncion d aocorrélaion d n AR() En divisan les aocovariances ar γ, on obien la foncion d aocorrélaion : σ σ = + + γ = γ = +, On noera encore qe, comme dans le cas d n AR(), la foncion d aocovariance e la foncion d aocorrélaion obéissen, a bri blanc rès, à la même éqaion qe le rocesss. Dans ces condiions, l hyohèse de saionarié va imliqer la convergence vers zéro de la sie des aocorrélaions, cee convergence éan de ye exonenielle si les racines d olynôme c z z h son réelles, e de ye sinsoïdale si ces racines son comlexes. Remarqons enfin qe l éqaion récédene erme de calcler oes les valers de, 3, en foncion de e, e donc des aramères aorégressifs, sachan qe : or = : = + = or = : = + = + 6

6 ) La foncion d aocorrélaion arielle d n AR() Celle-ci es encore aisémen caracérisée en se raelan qe le coefficien d aocorrélaion arielle d ordre es le coefficien de x - dans la régression de x sr x -, x --,...,x -. Si on considère la sie de régressions linéaires sivanes : x = x + x = x + x + x = x + x + + x + K K KK K A l évidence, si le vrai modèle es n AR(), alors x = x + x + e donc il en résle :,, = = =. Cee foncion devien donc = nlle dès lors qe l on déasse l ordre d rocesss AR. L exression des coefficiens en foncion des aocorrélaions e êre irée des éqaions de Yle-Waler : - = : = - = : F I HG KJ L = N M O Q P F H G I K J F H G I K J L = N M O Q P F HG I KJ - 3 : = = = Dans les grahiqes ci-arès, on a rerésené les foncions d aocorrélaion e d aocorrélaion arielle caracérisiqes de dex rocesss AR() saionnaires don l n ossède des racines comlexes e l are des racines réelles. On remarqera la nare sedo-ériodiqe des aocorrélaions d remier, sedo-ériodicié qi e assi êre visible sr la rajecoire d rocesss li-même(rajecoire simlée sr oins, avec ne variance résidelle niaire). 7

7 ,5,5 -,5 - -,5 - x =.8x.6x + x =.7x +.x +,5,5 -,5 -,5 - - w =.67.i, w =.67+.i w =.9, w = 4.59 x =.8x.6x + x =.7x +.x + 8

8 II-C : LE PROCESSUS AR() Il s agi simlemen de généraliser les récédens réslas. Son écrire es : x = x + x + + x + o encore : Bx =, avec B = B+ B + + B af af c h La saionarié va exiger qe les racines d olynôme af B soien exérieres a cercle niaire comlexe. En renan l esérance d rodi x x e en remlaçan x ar l éqaion de définiion d rocesss, il es immédia de monrer qe : - avec = : γ = γ + γ + + γ + σ σ d où, = γ σ γ = - avec > : γ = γ + γ + + γ ) La foncion d aocorrélaion d n AR() Come en d résla récéden, il vien or > : = L éqaion lian les valers de cee foncion es donc la même qe celle exisan enre les réalisaions d rocesss ax divers insan, -, -,..., -. Les condiions de saionarié von imliqer la convergence vers zéro de la sie des ermes. Cee décroissance éan dominée ar des exonenielles o des vages sinsoïdales selon qe les racines d olynôme af B son réelles o comlexes. ) La foncion d aocorrélaion arielle d n AR() Son évolion héoriqe es aisémen idenifiable en rearan des aorégressions sccessives : 9

9 x = x + x = x + x + x = x + x + + x +,,, + x = x + x + + x +, x = x + x + + x + x + +, +, +, +, + + x = Kx + Kx + + KKx K +, K>+ Dès lors qe l ordre d modèle vrai es déassé, il es clair qe = = = isq alors le modèle considéré se ramène a vrai modèle K, + K, + KK, récisémen en imosan ce ensemble de resricion. Por K=, on a bien évidemmen : =, =, e en ariclier =. Lorsqe K<, on es dans le cas,,, classiqe d omission de variables erinenes avec corrélaion non nlle enre les variables résenes e les variables omises. Les coefficiens des résenes seron donc biaisés mais, ls imoran, ils seron généralemen non nls. En d ares ermes, cee foncion es non nlle jsq à l ordre is nlle ensie. Il es encore ossible d exrimer les différens coefficiens en foncion des aocorrélaions,,, en résolvan le sysème de Yle-Waler or des valers sccessives de. Ainsi : - or = : = - or = : F I HG KJ L = N M - or =3 : F 3I L 3 G J = M - or = : H F HG 33 K NM I F KJ = HG O Q P F HG I L KJ = N M O QP I KJ F H G 3 I K J O Q P F HG I KJ 3

10 III- LES PROCESSUS ARMA(,q) On adme ici : - D'ne ar qe la comosane remen déerminise d rocesss X es simlemen ne consane µ X, - D'are ar qe la valer à l'insan d rocesss X es ne somme ondérée des valers assées e d'n bri ayan ne rerésenaion MA(q) sr n bri blanc. Soi : x = X µ = x + x + + x + v X = ϑ ϑ ϑ q q e : v o encore : Bx = ϑ B, avec B = B B B af af af c h q e ϑ B = ϑb ϑ B ϑ q B e ojors, af c E =, E + s = R S T σ si s = sinon On e égalemen ravailler sr données non cenrées. Dans ce cas, n calcl simle monre q il es nécessaire d inrodire ne consane c dans l éqaion d filre de sore qe : X = X + X + + X + c+ ϑ ϑ ϑ q q, c avec : EX = µ X = h Ici on devra regarder les condiions de saionarié e celles d inversibilié. Le rocesss ARMA(,q) doi en effe ovoir êre considéré - soi comme moyenne mobile infinie :x = B ϑ B af af - soi aoriser ne écrire aorégressive infinie à arir de : = ϑ B B x Il fadra donc qe les racines des olynômes ϑ B sériers à l nié. af af e B af af soien de modles Précisons encore qe l écrire ARMA(,q) reene es la rerésenaion ARMA minimale d rocesss considéré. Ceci signifie q il n exise as de racines commnes 3

11 af af ax dex olynômes ϑ B e B. Admeons, or illsrer ce oin, qe les olynômes consiifs d n filre ARMA, Φaf B e Θaf B, aien ne racine commne λ. Dans ces condiions, on arai : Φaf Bx = Θaf a λ fa fx = a λ fϑa af B x = ϑaf B B B B B Ainsi, o rocesss ARMA(,q) ossède ne infinié de rerésenaions ARMA(+m,q+m) éqivalenes qe l on obien en mlilian la rerésenaion minimale ar n même olynôme de degré m à gache e à droie d signe =. Le fai de ravailler avec la rerésenaion minimale signifie qe les rédcions ossibles on éé effecées. II-A : LE PROCESSUS ARMA(,) Il s écri : b g b g x = x + -ϑ -, o encore : - B x = -ϑ B La condiion de saionarié vise à aoriser le assage à l écrire MA : ce qi exige x = B v i i b g, soi assi : x = v i = b ϑbg i i= i= La condiion d inversibilié erme le assage à l écrire AR : ce qi exige ϑ b g b i g, soi assi : = b Bg ϑx i i= = ϑb B x Il es d aillers aisé d exrimer les coefficiens de ces rerésenaions moyenne mobile o aorégressive en foncion des dex aramères hi e hêa d filre. Ainsi, si ψ B = + ψ B+ ψ B es le olynôme corresondan à la af c rerésenaion moyenne mobile infinie, on vérifie alors : ϑ B x B B = ψa f b g = b g 3 h

12 e donc : b Bgc+ ψ B+ ψ B h= b ϑ Bg Dans cee égalié, les coefficiens afférens à ne même issance j de B doiven êre ideniqes. Il vien : j= : + ψ = ϑ ψ = ϑ j= : ψ + ψ = ψ = ϑ b g j=n : ψ + ψ = ψ = n ϑ b g n n n Por ce qi concerne la rerésenaion aorégressive infinie, si π B = π B π B es le olynôme cherché, il vien : a f c h B abx f b g = = b ϑ g π B x o encore : B π B = B b g af b g De sore q en égalisan les coefficiens de B j, j=,,3,, on obien l ensemble d égaliés sivan : j= : π + ϑ = π = ϑ j= : π + ϑ π = π = ϑ ϑ b g j=n : π + ϑ π = π = n ϑ ϑ b g n n n La foncion d aocovariance de ce rocesss se calcle sans difficlé ariclière : γ = Ex = E x + ϑ b = E x + + ϑ + x ϑ x ϑ g = Ex + E + ϑ E ϑ Ex = γ + σ + ϑσ ϑe x + ϑ b g = γ + σ + ϑ σ ϑ σ γ = c + ϑ ϑ h σ 33

13 b g γ = Exx = E x + ϑ x = E x + x ϑ x b = γ ϑe x + ϑ = γ ϑe = γ ϑ σ g Finalemen, or : b g γ = Exx = E x + ϑ x = E x x + x ϑ x γ = = γ ) La foncion d aocorrélaion d n ARMA(,) Des exressions récédenes, e en se raelan qe foncion d aocorrélaion d rocesss : e ϑ = + ϑ ϑ c h = = or γ =, on dédi la γ On observe donc ne décroissance géomériqe des coefficiens d aocorrélaion à arir d remier, caracérisiqe déjà mise en évidence sr le rocesss AR(); la valer de éan déendane des aramères e ϑ. On monre en ore aisémen qe le signe de es le même qe celi de b ϑ g. ) La foncion d aocorrélaion arielle d n ARMA(,) Comme le rocesss a ne rerésenaion éqivalene AR d ordre infini, on sai mainenan qe se foncion d aocorrélaion arielle sera égalemen infinie. Come en de la condiion d inversibilié, la sie des coefficiens d aocorrélaion arielle va endre vers zéro, selon ne évolion roche de celle 34

14 caracérisan n MA(). Lers exressions en foncion de,, e donc, come en des récédens réslas, de e ϑ s obien de façon habielle en résolvan or des valers sccessives de les éqaions de Yle-Waler. Dans les shémas qi siven, nos avons rerésené les foncions d aocorrélaion e d aocorrélaion arielle de rois rocesss ARMA(,). Les dex remiers fon bien ressorir la décroissance réglière (avec o sans alernance des signes) de ces foncions. L objecif d roisième es de faire ressorir q en raiqe il sera soven difficile de révéler les caracérisiqes rores ax ARMA : si l ne o l are des foncions converge raidemen vers zéro, on orra êre ené de reenir soi n AR r, soi n MA r.,5,5 -,5 - -,5 - x =.8x x =.8x +.8,5,5 -,5 -,

15 ,5 -,5 - x =.8x +.3,5 -,5 - II-B : LE PROCESSUS ARMA(,q) Un rocesss a ne rerésenaion ARMA minimale s il e s écrire comme : o encore : x = x + x + + x + -ϑ -ϑ -ϑ a f Bx a f af c af c = ϑ B, avec : B = B B B, B = ϑ B ϑ B ϑ B e {} bri blanc. q - - q -q h h Les condiions habielles son imosées : - Saionarié : les racines de B af son exérieres a cercle niaire, de sore qe es l innovaion, - Inversibilié : les racines de ϑaf B son exérieres a cercle niaire. 36

16 Sa foncion d aocovariance es obene en sivan la démarche habielle : γ = Ex = Ex x + + x + ϑ ϑ c q q = γ + + γ + Ex ϑex ϑ Ex q q = γ + + γ + + ϑ + + ϑ σ c q γ = Exx = E x + + x + ϑ ϑ x q q h c h = γ + + γ ϑe x ϑ E x c q q = γ + + γ ϑ + ϑϑ + + ϑ ϑ σ q q h h c h γ = Exx = E x + + x + ϑ ϑ x q q q q q = γ + + γ ϑ E q q q q q = γ + + γ ϑ σ q q q x is, or >q, les aocovariances siven l éqaion de récrrence sivane : γ = γ + + γ On remarqera qe ne fois assé l ordre q de la arie MA d rocesss, les aocovariances obéissen à la même éqaion qe celle obene dans le cadre d n rocesss aorégressif r d ordre. ) La foncion d aocorrélaion d n ARMA(,q) Des écrires récédenes, il ressor aisémen qe les q remiers coefficiens d aocorrélaion von déendre de façon comlexe des coefficiens hi e hea. Par la sie, les élémens de cee foncion obéissen à l éqaion de récrrence yiqe d n rocesss AR() r : = or >q On rerove donc des réslas déjà v : ne convergence vers zéro, liée à la condiion de saionarié, dominée ar des exonanielles o des sinsoïdales selon qe les racines d olynôme caracérisiqe de la comosane AR son o non comlexes. 37

17 ) La foncion d aocorrélaion arielle d n ARMA(,q) D fai de la rerésenaion aorégressive infinie don l exisence es assrée ar les condiions d inversibilié, cee foncion converge égalemen vers zéro. Elle se raroche donc des évolions caracérisan la foncion d aocorrélaion arielle d n rocesss MA r. Toefois, ses élémens seron des foncions comlexes des dex ensembles de coefficiens hi e héa. En raiqe, on conçoi aisémen qe la discriminaion enre foncions d aocorrélaion arielle d n MA(q) e d n ARMA(,q) n es as ne chose simle ainsi qe nos l avons vérifié récédemmen dans le cas d simle ARMA(,). En résmé, on e résener les caracérisiqes majeres des dex foncions d aocorrélaion e d aocorrélaion arielle des différens rocesss saionnaires considérés jsq ici dans n ablea récailaif : Processs MA(q) Foncion d aocorrélaion annlaion arés les q remiers coefficiens Foncion d aocorrélaion arielle Décroissance AR() Décroissance annlaion arés les remiers coefficiens ARMA(,q) Décroissance Décroissance On noera en ariclier la arfaie dalié des rocesss MA e AR, laissan ar là enrevoir d ne ar ne ossibilié de sélecionner enre l ne o l are des rerésenaions e, d are ar, de sélecionner n ordre o q selon le cas. Comme déjà noé, la sélecion d n rocesss ARMA e, qi ls es, de ses ordres e q, a moyen d n examen visel des dex foncions aaraî beaco ls roblèmaiqe 3. 3 Selon ne formle qelqefois ilisée, n el choix relève de l Ar e reqier, à o le moins, ne bonne exérience en maière de modélisaion des séries emorelles. On e égalemen se référer à l aorié de la chose die. 38

18 Il es dès lors narel qe l on rove dans la liérare des méhodes de sélecion de rocesss comlémenaires à la démarche Box-Jenins. Nos reviendrons ar la sie sr ces déveloemens. Il convien aaravan de orsivre l exosé de cee dernière qi rese néanmoins ile, en raian de l idenificaion ax moyen non ls des aocorrélaions oale e arielles héoriqes, mais de lers esimaions resecives, or coniner avec les éaes d esimaion des aramères d rocesss sélecionné d ne ar e de validaion emiriqe de celi-ci d are ar. IV- L IDENTIFICATION AU MOYEN DES FONCTIONS DE CORRELATION TOTALE ET PARTIELLE ESTIMEES Dans la démarche Box-Jenins, les dex oils déjà résenés, foncion d aocorrélaion e foncion d aocorrélaion arielle, joe n rôle esseniel dans la recherche de l idenificaion d rocesss généraer d ne variable. Toefois, ainsi qe noé récédemmen, cee echniqe es défecese or les rocesss ARMA(,q) o, a moins, recqier ne solide exérience en la maière. Plsiers ares ossibiliés on donc éé roosées qi visen à simlifier cee éae de sélecion en limian a maximm l arbiraire de l ilisaer. Parmi ces echniqes, la ls siée fai référence à l emloi de crières de sélecion. Bien qe non dénée de défas, q il imore de connaîre, la généralisaion de son emloi e ses qaliés rores fon q elle mérie d êre considérée. Por cela, il es ceendan nécessaire de disoser de la valer de la log-vraisemblance d filre donc d avoir rocéder à l esimaion d modèle. Nos différons donc la discssion de ces crières qi viendra arès la résenaion des rocédres d esimaion. Por cee raison, nos résenons ici l emloi des dex foncions d aocorrélaion. Par aillers, l emloi des crières de sélecion, s il facilie narellemen la sélecion, condi ro raidemen à ne déresonsabilisaion de l ilisaer dans le choix effecé. Il n es as d o inile de vérifier qe le filre sélecionné ar ne méhode qi rese arbiraire n es as en conradicion avec les enseignemens qe donnen les foncions d aocorrélaion e foncion d aocorrélaion arielle. 39

19 On connaî mainenan les évolions de ces foncions or les différens rocesss considérés e on sai qe ces évolions caracérisen les filres en qesion : saf difficlé de lecre, la connaissance des nes erme d idenifier ce dernier. En raiqe ceendan les valers héoriqes de ces foncions ne son as observables. A miex, nos ovons esérer, sr n échanillon donné, êre en mesre de calcler des réalisaions d esimaers de ces qaniés. La robabilié éan nlle or q ne réalisaion de l esimaer soi égale à la vraie valer d aramère, il es clair qe l on n observera jamais arfaiemen les évolions des foncions héoriqes sr les foncions esimées. Dans ces condiions, adela de l asec visel de ces dernières qi, on e l esérer coniendra ne informaion ile, il es nécessaire de réaliser des ess d hyohèse. En ariclier, l hyohèse de nllié d n o lsiers coefficiens d aocorrélaion oale o arielle doi reenir l aenion dans la mesre où la résence d ne rre, ie. d annlaion de la vraie foncion, es n enseignemen ariclièremen inéressan. ) La foncion de corrélaion esimée Le calcl des esimaers r ainsi qe l exression de ler variance, donnée ar l exression de Barle, ayan déjà éé résenés, il sffi de raeler les évolions aendes de cee foncion dans les différens cas de figre : - Si le rocesss sos-jacen es n AR o n ARMA, ne décroissance ls o moins réglière devrai êre observée, conformémen à l évolion de la foncion héoriqe corresondane; - Si le rocesss es n MA(q), alors ne rre arés l ordre q doi se faire jor, isq alors = or >q. Ce dernier oin mérie donc aenion. Clairemen, si la rerésenaion grahiqe fai enser ls à ne ossible rre q à ne décroissance réglière, alors on es amené à réaliser n es d hyohèse de la forme H: = conre H :. Ceci es ossible, à arir de la formle de Barle don l exression es : 4

20 b g c h Vr T j j j j j j j= Dans le raisonnemen qi si, nos admerons qe les rocesss ne son as roés. En d ares ermes acn des q coefficiens héa d MA(q) n es nl. Dans ces condiions, la qesion de la erinence d n MA(q) ne se ose qe si l on a réalablemen admis a moins la non nllié d coefficien d aocorrélaion d ordre q-. Ceci condi alors à la réalisaion d ne sccession de ess jsq à l acceaion de la remière hyohèse nlle esée e en ce cas, l ordre d rocesss MA es déerminé. Les éaes son les sivanes : (i) es-on en résence d n MA()? La réonse à cee qesion déend de la conclsion d es : H: = conre. Dans l affirmaive, os les son nls à l exceion de e la formle de Barle amène à : Vr bg T Un es asymoiqemen valide revien donc à comarer r à ± T. Si r es à l inérier de l inervalle de confiance à 95 % consri aor de zéro, on ne rejee as à ce seil l hyohèse H e donc la rerésenaion MA() n es as remise en case. A l oosé, si r es à l exérier de ce inervalle on rejee l hyohèse nlle, or admere en conséqence êre en résence a moins d n MA() e le assage à la seconde éae s imose. (ii) es-on en résence d n MA()? Si oi, alors les sels coefficiens d aocorrélaion non nls son, e.(raelons qe cee foncion es symériqe). La formle de Barle donne alors l exression de la variance de r : Vr bg c + h T En l éa ce résla es inilisable isqe es inconn. En raiqe on convien de remlacer ar la valer rise ar son esimaer r, ceci éan jsifié ar le fai qe lim(r )=. Dès lors, il sffi de comarer r à ± Vb rg, avec Vbg r = c + r h. T Si r es à l inérier de l inervalle de confiance à 95 % consri aor de zéro, on ne rejee as à ce seil l hyohèse H e donc la rerésenaion MA() n es as 4

21 remise en case. A l oosé, si r es à l exérier de ce inervalle on rejee l hyohèse nlle, or admere en conséqence êre en résence a moins d n MA() e le assage à la roisième éae, o ls généralemen à la ème éae, s imose. (iii) es-on en résence d n MA()? Si oi, alors les sels coefficiens d aocorrélaion non nls son j, j =, ±,, ±, e la variance de r + es donnée ar : Vr bg j = c h T T j= Exresion encore inilisable, e dans laqelle on oère à novea la sbsiion des esimaers or irer Vr bg= rj T j=. Si r + es à l inérier de l inervalle de confiance à 95 % consri aor de zéro, on ne rejee as à ce seil l hyohèse H e donc la rerésenaion MA() es acceée. Dans le cas conraire, la démarche es orsivie jsq à rover ne valer de ermean l acceaion de H e donc l idenificaion de l ordre d rocesss. ) La foncion d aocorrélaion arielle esimée Lorsqe le rocesss es n AR(), les ravax de Qenoille [949] déjà signalés fornissen les acqis sivans : Vd i e Covd, lli or, l > T Dans ces condiions, n es asymoiqemen valide de nllié de jj revien à comarer jj à dex fois son écar-ye, soi / T. Ainsi, lors de l observaion d ne décroissance réglière sr la foncion d aocorrélaion oale favorisan ne modèlisaion de ye AR, si > / T, on envisage n AR d ordre a moins égal à n, si > / T, on envisage n AR d ordre a moins égal à dex,... La déerminaion de l ordre éan réalisée dès lors qe T +, + < / La logiqe d ilisaion es donc ideniqe à celle résenée récédemmen sr la foncion d aocorrélaion oale. 4