Changement de référentiels

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1 1 Changement de référentiels Une horloge est constituée d un pendule de longueur L, le fil étant sans masse, attaché en O au bout duquel est attachée en M une masse ponctuelle m. Il oscille dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On note θ(t) l angle que le fil fait avec la verticale à l instant t. Initialement on a θ(t = 0) = θ o et θ (t = 0) = 0 avec θ o [0, π ]. 1) Quelle est la période T o des petites oscillations? Pour la suite on prend T o = 1 s. ) Le pendule est maintenant dans un ascenseur qui monte avec une accélération constante a o = m. s. On suppose que les oscillations du pendule sont petites. L horloge retarde-t-elle ou avance-t-elle par rapport à une horloge restée dans un référentiel galiléen de l escalier? 3) Le mouvement de l ascenseur se décompose maintenant en trois phases : Pendant δt = 5s une accélération constante vers le haut ; Pendant τ, un mouvement à vitesse constante ; Pendant δt = 5s une accélération constante vers le bas. A la fin, l horloge placée dans l ascenseur retarde-t-elle ou avance-t-elle par rapport à une horloge placée dans un référentiel galiléen de l escalier? Un train rapide (v = 50 km/h) circule dans une direction nord-sud de Paris à Nice (latitude environ de 45 ). Préciser la nature et le sens de la force de Coriolis. De quel angle faudrait-il incliner le plan des rails sur l'horizon si l'on voulait que la réaction des rails soit rigoureusement perpendiculaire à ce plan? Une voiture prend une accélération constante a = a o u x. La portière AB est restée ouverte, l angle initial est θ o = π/. Elle est modélisée par une plaque de hauteur h, de largeur a, de masse m uniformément répartie et de moment d inertie par rapport à son axe de rotation J = 4/3ma. La liaison Az est supposée parfaite.,6. 1) Déterminer l équation différentielle en θ(t). ) En déduire le temps nécessaire à la fermeture de la portière. On donne 4) Faut-il courir sous la pluie? : Faut-il courir sous la pluie si on veut se mouiller le moins possible? π/ dθ 0 cosθ 5) Pendule de Foucault : On considère un pendule simple constitué d une masse m = 30kg situé à l extrémité A du pendule. L autre extrémité est fixée en un point O 1, placé à une hauteur égale à L = 67m sur la verticale du lieu de latitude λ. On utilise comme base du référentiel terrestre (O, x, y, z), l axe Oz étant la verticale ascendante, Ox est orienté vers l est et Oy vers le nord, O étant pris au niveau du sol. La période de la Terre est T T = s. =

2 Le pendule est lâché sans vitesse initiale et on fait l hypothèse que l amplitude du mouvement est faible. 1) Montrer que la tension du fil peut s écrire T = T O 1A. L ) Appliquer la loi de la quantité de mouvement et projeter l équation obtenue sur les trois axes de la base du référentiel terrestre en posant et T = π T T 3) On pose o = g. On suppose que le mouvement du pendule est dans le plan xoy. Justifier L cette approximation. Résoudre avec les conditions initiales suivantes : x(0) = x o et y(0) = 0. 4) Donner la forme de la solution et la nature du mouvement dans un système d axes tournant autour de Oz à la vitesse angulaire T sin (λ) dans le sens N-E-S-O? Le plan d oscillation du pendule au lieu λ = ( Paris) effectue un tour complet en T = 31h47 min. En déduire la période de rotation de la Terre. 6) Anneau sur une barre en rotation : Une barre Ox est animée, par rapport à un axe vertical faisant avec lui un angle, d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire. Un petit anneau M, de masse m, coulisse sans frottement sur Ox. 1) Déterminer la position d'équilibre M o de Mdans le référentiel lié à la barre. On pose = sinα Etudier sa stabilité. ) M étant abandonné sans vitesse initiale relativement à Ox à une distance a de M o, donner l'expression de x en fonction du temps. 3) Calculer, à l'instant t, la composante de la réaction de Ox sur M dans le plan perpendiculaire à (, Ox). 7) What else : Dans le film Gravity, George Clooney se trouve dans une station spatiale S est en orbite circulaire autour de la Terre de centre O. Le rayon de l orbite est r o = 7000 km et la vitesse angulaire de la station est notée. On introduit le référentiel R s (S, I, J, k ) centré sur la station et en rotation par rapport au référentiel R g ( O, i, j, k ) supposé galiléen. A un instant pris comme initial, George Clooney se trouve séparé de la station et perd sa tasse de café de masse, notée C qui part dans l espace avec une vitesse relative v o. On se propose d étudier le mouvement de C dans le référentiel R s de la station sous l influence du champ de gravitation de la Terre. La position instantanée de C est donnée par SC = r (X, Y, Z = z). On donne M T = kg et G = 6, N. m. kg 1) On considère r << r o. Montrer que les équations du mouvement de la tasse dans le référentiel R s sont, au premier ordre, : X (t) = 3 X(t) + Y (t) ; Y (t) = X (t) ; Z (t) = Z(t) ) On suppose que : v v 0 et v ox oy oz vo 15m. s. Quelle est la trajectoire de C? Quelle est la distance maximale L 1 de C à la station au cours de son mouvement? Retournerat-il à la navette? Si oui en combien de temps? 3) On suppose que : v v 0 et vox vo 5m. s. Mêmes questions qu au ). oz oy O α M x

3 3 c) On suppose que : v oz v ox 0 et voy vo 15m. s. Mêmes questions qu au ). George Clooney arrivera-t-il à boire rapidement son café préféré? 1) Deux particules P et P de masses respectives m 1 et m sont liées élastiquement par un ressort de longueur propre l o et de rigidité k. Elles reposent sans frottements sur un plateau horizontal animé par rapport à un référentiel galiléen d' un mouvement de translation rectiligne d'accélération a o constante. A l'instant t = 0, la distance des particules est de l o, leur vitesse relativement au plateau est nulle; en outre P 1 P // a o. On choisit l'origine en O 1 = O. Déterminer l'allongement u du ressort en fonction du temps, ainsi que le mouvement des particules relativement au plateau. On pose 1 k m et k 1 m ) On suppose maintenant que a o est de la forme a o cost avec = 1 +. Les conditions initiales sont les mêmes que précédemment. Comment choisir a o pour que la particule P 1 reste au repos /plateau? Déterminer alors le mouvement de P dans le référentiel du plateau. Indications : 1) Appliquer la loi de la quantité de mouvement projetée sur la direction perpendiculaire à OM ; ) Même principe mais en ajoutant la force d inertie d entrainement ; 3) il faut compter combien de période fait le balancier de l horloge de l ascenseur en 10 s ; dans le référentiel de l escalier le balancier fait 10 périodes. La réaction des rails s oppose au poids et à la force d inertie de Coriolis. 1) Appliquer le théorème du moment cinétique dans le référentiel lié à la voiture ; ) Multiplier l expression obtenue pour faire apparaitre une intégrale première en θ (t) ; attention au signe de θ (t). 4) Faut-il courir sous la pluie? Le plus simple est de modéliser la personne par un parallélépipède animé d une vitesse v o. On introduit également l angle que fait la pluie avec la verticale θ. Il faut se placer dans le référentiel lié à la personne et dénombre combien il reçoit de gouttes entre t et t + dt en introduisant une densité des gouttes n. En déduire le nombre de gouttes reçues sur une distance D et chercher le minimum de ce nombre de gouttes reçyes par rapport à la vitesse v o. Il faut distinguer deux cas : les gouttes arrivent dans le dos dans le référentiel où le personnage est immobile et les gouttes arrivent de face. 5) Pendule de Foucault : 1) La tension est dirigée suivant O 1 A ; ) Ne pas oublier que la force d inertie d entrainement est déjà comprise dans le poids ;3) Les oscillations étant petites devant L on fait l hypothèse d un mouvement dans le plan xoy. On peut négliger T x devant L o ; on obtient alors T = mg ; pour résoudre les équations on pose Z = x + iy ; évaluer T et o pour simplifier la solution ;4) Dans le repère tournant exprimer Z (t) puis les composantes x (t) et y (t) 6) Particule sur une barre en rotation :

4 4 Appliquer la loi de la quantité de mouvement dans le référentiel lié à la tige Ox ; ne pas oublier la force d inertie de Coriolis pour le calcul de la réaction. 7) What else : 1) Etudier tout d abord le mouvement de la station spatiale dans le réf géocentrique et en déduire sa vitesse angulaire. Puis étudier le mouvement de la tasse dans le référentiel lié à la station spatiale. Il faut appliquer la loi de la quantité de mouvement en tenant compte de l attraction de la Terre, de la force d inertie d entrainement et de la force d inertie de Coriolis; puis faire un DL de la force d inertie d entrainement ; ) intégrer en tenant compte à chaque fois des conditions initiales. 1) Appliquer la loi de la quantité de mouvement à chacun des points matériels ; résoudre en posant u(t) = x (t) x 1 (t) et X(t) = m 1x 1 (t)+m x (t) ; ) u(t) n est pas modifié ; on cherche x 1 (t) = 0 Solutions : 1) T o = π L g ; ) T + = π L g+a o ; 3) le nombre de périodes que fait le balancier est N = 5( 1 + g a o + 1 g a o ) ; par exemple pour a o = m. s N = 1,98 5 ; l horloge de l ascenseur a un balancier qui est plus lent, elle retarde. f ic = mv o sin u φ ; tanα = v osin = 7,.10 4 rd ; ce résultat est trop faible pour g qu on modifie les rails, cependant les rails ne vont pas s user de la même manière selon les directions car il y a de nombreux passage du train. 1) θ (t) + a o3sin (θ(t)) 4a = 0 ; ) t f =,6 a 3a o. 4) Faut-il courir sous la pluie? Si v personne < v pluie sinθ, il faut aller à la vitesse v pluie sinθ ; si v personne > v pluie sinθ le résultat dépend de l angle que fait la pluie : en posant θ o = arctan ( L ) avec L largeur de la h personne et h sa hauteur, si θ < θ o il faut courir le plus vite possible et si θ > θ o il faut aller à v pluie sinθ. 5) Pendule de Foucault : ) mx = T x + m L T sin(λ) y m T cos (λ)z ; my = T y m L T sin(λ) x ; mz = T z L L + m T cos(λ) x mg ; 3) x(t) = x o cos( o t) cos ( T sin(λ) t) ; y(t) = x o cos( o t) sin ( T sin(λ) t) ; 4) x (t) = x o cos( o t) et y (t) = 0 ; on trouve T = π Tsin(λ) = 7, rad. s 1 alors que la bonne valeur est T = 7, rad. s 1 6) Particule sur une barre en rotation : 1) x éq = gcosα sin α ; c est une position d équilibre instable ; ) x(t) = ach t + x éq ; 3) R z (t) = ma sinαsh t. 7) What else :

5 5 1) Dans le référentiel (R s ) : ma = F g + f ic + f ie = me z v Rs + m (3X(t)I Z(t)K ) (après DL) soit X (t) = 3X(t) + Y (t) ; Y (t) = X (t) ; Z (t) = Z(t) ; ) Dans ce cas le mouvement est uniquement sur l axe des Z : Z (t) + Z(t) = 0 ce qui donne Z(t) = v o la navette est L 1 = v o x(t) = v o sint ; la trajectoire est rectiligne sur l axe des Z et la distance maximale à = 14 km ; 3) le mouvement est dans le plan (XSY). sint et y(t) = + v o (1 cost) ; la trajectoire est une ellipse d équation : v x + (1 y) = 1 ; L o v = 4v o = 56 km ;3) Le mouvement est dans le plan (XSY). o x(t) = + v o (1 cost) et y(t) = 3v ot + 4 v o sint ; Le cosmonaute ne reviendra plus jamais ; La première situation est celle qui permettra à George d apprécier son café. 1) u(t) = l o cos ( 1 + t) = l o cost ; x 1 (t) = m l o cost 1 a ot + m l o ; x (t) = m 1 l o cost 1 a ot + m l o ; ) a o = m l o ; x (t) = l o cost.

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