HYDRODYNAMIQUE. EXAMEN PARTIEL Samedi 31 mars, 9 12h Calculettes et bon sens strictement autorisés

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1 Paris 7 PH HYDRODYNAMIQUE EXAMEN PARTIEL Samedi 31 mars, 9 12h Calculettes et bon sens strictement autorisés Avertissement Pas de panique, les exercices 1 à 4 sont, à l exception parfois de leur dernière question, de simples transpositions réellement élémentaires de ce que vous avez vu en cours ou fait, et refait, en travaux dirigés. Leur résolution est aussi suffisante que nécessaire pour vous assurer la moyenne. Le reste, problèmes 5 et 6, probablement plus difficile, voire interminable, exige plus d initiative, de compréhension et de culture, mais il ne vous est, en tout cas, rien demandé de compliqué. Remarques Les questions hors commerce sont parfois ouvertes, sans solution type. Il vous revient d estimer de manière plausible les données qui ne sont pas spécifiées dans l énoncé. Les résultats numériques doivent être donnés en unités légales explicitées. Accessoirement, eu égard à leur ordre de grandeur, vous pouvez ensuite donner ces résultats en unités plus éloquentes. Vous avez la chance d être à l université, un lieu où vous avez le droit de faire preuve d intelligence, sinon d humour. Les commentaires, brefs et pertinents, ainsi que la mention des hypothèses plus ou moins implicites conditionnant la validité de vos résultats, seront appréciés comme il se doit. Vous devez donc manifester votre bon sens, vérifier les dimensions de vos résultats et l erreur est humaine assortir d un commentaire tout résultat manifestement invraisemblable. Quelques informations plus ou moins inutiles Masse volumique de l air normal : ρ a 1,2 kg m 3 Viscosité de l air normal : µ a 1, kg m 1 s 1 1 Viscosité Votre semelle dérape sur une tache d huile (viscosité kg m 1 s 1 ) dont l épaisseur est de l ordre du dixième de millimètre. Estimez la force de freinage exercée par l huile sur la semelle. 2 Écoulement laminaire dans un tube cylindrique 1. Établir les expressions du profil de vitesse puis du débit, en fonction du gradient de pression, de la viscosité et du rayon du tube. 2. Estimez la dépression minimale que vous devez exercer avec votre bouche pour y faire parvenir votre boisson favorite à l aide d une paille. 3. Vous exercez maintenant la même dépression, à travers la même paille, dans l air. Estimez le débit d air aspiré. Estimez la puissance dépensée pour assurer ce débit. 3 Délit de fuite Une voie d eau de section 1mm 2 se déclenche dans la coque de votre embarcation à 1m sous la ligne de flottaison. 1. Estimez la vitesse de l eau. 2. Estimez le débit d eau. Cette estimation pèche t-elle a priori par excès ou par défaut? Pourquoi?

2 2 Hydrodynamique, PH282 Paris 7 4 Le réservoir et le venturi L air comprimé d un grand réservoir s écoule par une conduite de diamètre 10 mm présentant un étranglement, du type venturi, de diamètre 5 mm. Les pressions sont mesurées par les manomètres à eau représentés sur la figure. 1. Calculez la pression effective p 1eff de l air dans le réservoir. 2. Calculez la pression statique effective p 2eff de l air dans la conduite en amont de l étranglement. 3. Estimez la vitesse V 2 de l air dans la conduite en amont de l étranglement. 4. Estimez les débits volumique et massique de l air dans la conduite. 5. Estimez la vitesse V 3 de l air dans l étranglement et la différence de niveaux d eau correspondante dans le manomètre. 6. Dans quelle mesure l écoulement peut-il être considéré comme incompressible? (Évaluer la variation de masse volumique de l air.) 5 Plus vieux 1. Estimez, d après vos observations, les tailles et vitesses de chute typiques des gouttes de pluie. On va maintenant tenter une étude théorique qualitative de la chute d une goutte d eau dans l atmosphère lorsqu elle a atteint une vitesse limite constante. Il nous faut pour cela une estimation de la résultante les professionnel(le)s disent la traînée! des forces de freinage exercées par l air sur la goutte : l inertie de l air que la goutte doit accélérer pour se frayer un passage, et la viscosité de l air. 2. Il est de notoriété que, toutes choses égales par ailleurs, la vitesse limite augmente lorsque la viscosité diminue (voir la chute des frites dans l huile selon la température de celle-ci). On peut donc, inversement, supposer que lorsque la vitesse est grande (?) les effets de la viscosité sont négligeables et la traînée alors dominée par l inertie de l air. i) Énumérez les grandeurs dont peut alors dépendre la traînée. ii) Quelle forme l invariance par similitude implique t-elle pour l expression de la traînée? iii) Quelle expression approchée le principe zéro implique t-elle? iv) Quelle est la relation entre la traînée et le poids de la goutte? v) En déduire enfin l expression (approchée) de la vitesse limite en fonction de la taille de la goutte. Estimez cette vitesse prédite pour quelques gouttes typiques. Estimez la durée de chute d une goutte typique depuis un nuage typique. vi) Comment varie la vitesse limite lorsque la taille de la goutte diminue? 3. À basse vitesse, l effet de la viscosité n est certainement pas négligeable. i) Montrez, toujours par invocation de l invariance par similitude, que l intervention de la viscosité se traduit par un aménagement de l expression précédemment trouvée pour la traînée faisant intervenir une combinaison des paramètres de la situation, sans dimension, et représentant les effets relatifs de l inertie et de la viscosité (nombre de Reynolds). ii) Estimez la taille critique de goutte départageant les domaines où la traînée est dominée par les effets d inertie ou par les effets de viscosité.

3 Hydrodynamique, PH282 Paris Éolienne On modélise de façon rudimentaire le fonctionnement d une éolienne couvrant une aire A, placée dans un écoulement uniforme de vitesse V et pression p 0 à l infini : loin en amont, la veine d air qui traverse l éolienne a une section cylindrique d aire CA, où C est un coefficient de restriction ; loin en aval, la veine d air est redevenue cylindrique et sa vitesse, supposée uniforme, fv, avec f < 1 (puisque l éolienne est censée récupérer, au moins en partie, l énergie cinétique de l air qui la traverse). 1. i) Estimez, par application de l équation de Bernoulli entre les points 0, loin en amont, et 1 immédiatement en amont, la différence des pressions p 1 p 0. ii) Estimez de même la différence des pressions p 3 p 2 entre les points 2, immédiatement en aval, et 3, loin en aval. iii) Dans quelle mesure peut-on se permettre ces recours à l équation de Bernoulli? Pourquoi ne peut-on faire de même entre les points 1 et 2? iv) Quelle est la valeur de la pression p 3? v) En déduire la différence des pressions p 1 p 2, et l expression de la résultante des forces exercées par l air sur l éolienne. 2. i) Évaluez, à l aide du théorème des quantités de mouvement, la résultante des forces exercées sur la portion de veine entre les points 0 et 3. ii) En déduire une (autre) expression de la résultante des forces exercées par l air sur l éolienne. 3. Par identification entre les deux expressions de la résultante des forces, en déduire l expression du coefficient de constriction en fonction du facteur f. 4. i) Évaluez la variation d énergie cinétique d un volume de contrôle de la veine entre les instants t et t + dt. ii) En déduire l expression de la puissance mécanique récupérée par l éolienne, en termes de V, A et f. iii) Calculez la valeur du facteur f (qui dépend a priori de la conception et du régime de fonctionnement adoptés pour l éolienne : dessin des pales, vitesse de rotation, réglage de pas des pales, etc.) correspondant à la puissance maximale. iv) En déduire, dans le cadre de cette très rudimentaire théorie, l expression de la puissance théorique maximale d une éolienne d aire A dans un vent de vitesse V.

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