Limites : Exercices. Amerinsa - Ecole d été. Exercice 1 : Notions intuitives

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1 Amerinsa - Ecole d été Limites : Eercices Eercice : Notions intuitives Dans la figure ci-contre, vers quoi tend f() lorsque tend vers : a) - b) + c) 0 d) -4 e) 4 Eercice : Notions intuitives Vers quelle valeur tend la fonction ci-dessous : lorsque tend vers : f () - 0 ; ; 5 f () + - ; 0 ; + f f 0 ; ; + 0 ; ; ; + 4 f 5 () cos () + sin () π 0 ; ; π ; + f 6 () ln ( + ) - ; 0 ; ; + f 7 () e - ; 0 ; ; + Eercice : Notions intuitives (représentations graphiques ci-dessus) La fonction f sin + sin ( 0) possède-t-elle des ites en 0; ; +?

2 Eercice 4 : Définitions Que signifient les ites suivantes? Sont-elles eactes? Si non, quelle est l epression eacte? Peut-on les prouver? a) b) + + c) Eercice 5 : Calcul pratique Calculer les ites suivantes, si elles eistent (le cas échéant, préciser la ite à droite et à gauche). Choisir la bonne technique a) i) sin ( ) q) b) + j) ( ) sin r) c) k) ( ) sin s) ( sin ) d) sin sin( ) l) t) 0 + e) + sin sin m) u) π π n) v) a étant un réel : + f) + ( + + ) cos ( ) + a a cos 0 a a sin tan g) o) 5 5 ( + ) cos w) 0 + π sin + tan 8 + h) p) cos( sin ) sin ) π π Eercice 6 : Calcul pratique + * La fonction f : cos( ) admet-elle une ite en 0? Et en +? Le démontrer

3 Eercice 7 : Calcul pratique (comparaisons) Soient l un réel strictement positif, et u une fonction définie sur et telle que u ) Justifier qu il eiste au moins un intervalle I dans lequel u 0 ) Soit f la fonction définie sur I par f u. a) Monter par la technique de la quantité conjuguée que b) En déduire la ite de f en +. f l + u l l l. ) Applications : Déterminer les ites en + des fonctions f + et g + Eercice 8 : Calcul pratique Calculer les ites suivantes, si elles eistent : + a) ; b) 8 ; c) ; d) ( + ) 0 Eercice 9 : logarithmes, eponentielles et fonctions composées Calculer les ites suivantes, si elles eistent : a), a 0 ; + b) +, a 0 ; ; + c) a a d) ln e) + 8 ; a + a + ; - ln ( + h) ln ( + ) g) h) h 0 h 0 5 ln ( + ) j) k) ln 0 sin a m) ln + n) ln a +, a 5 ; - 5 sin f) 0 ln + + i) 0 ; a ; + l) ln ( ) a ; a 0 ; + + o) ln ; a - ; + a

4 Eercice 0 : Asymptotes Soit f la fonctions définie par f + + ) Quel est son intervalle de définition D f? ) Montrer qu il eiste trois réels a, b et c tels que pour tout de D f, ) Etudier le comportement de f en - et +.. c f a+ b+. + 4) Mêmes questions avec les fonctions f et f définies respectivement par : f 6 f 4 5) Peut-on appliquer le même raisonnement au fonctions : sin + 8cos + e + 8e g ; h i cos + e + ; e e + + et Eercice : Asymptotes Montrer que la droite d équation y est asymptote en + et en - à la courbe représentative de la fonction définie par : f + Eercice : Asymptotes Soit f la fonction définie sur par : f + + et C f sa représentation graphique. ) Montrer que la droite d équation y 0 est asymptote à C f en -. ) Montrer que la droite d équation y est asymptote à C f en +. Eercice : Un peu de géométrie Soient C la courbe représentative de la fonction f : 0; + et A le point de C d abscisse. A tout réel 0 différent de on associe le point de C d abscisse, que l on note M, et on désigne par m () le coefficient directeur de la droite (AM ). sur [ [ ) Quelles sont les coordonnées de A et de M (pour + \{})? ) Quelles conjectures le graphique permet-il de faire sur la fonction m? (monotonie, encadrement, ites ) ) Epliciter m () ; étudier les variations de la fonction m et sa ite en +. 4) Calculer la ite de m () lorsque tend vers. Quelle interprétation graphique peut-on donner de ce résultat?

5 Eercice4 : Calcul pratique Continuité On appelle E() la fonction «partie entière» définie sur. E ) Etudier la continuité de la fonction f. ) f a-t-elle des ites au points suivants : - ; - ; 0 ; ; ; +? Le cas échant les calculer et justifier. ) Peut-on prolonger f par continuité en 0? Rappel : la partie entière E() d un réel est le plus grand entier inférieur ou égal à. On a : < E, ou : E < E +. Eercice 5 : Petit problème Soit f la fonction définie par : f + ln + ) Quel est son ensemble de définition? Montrer que f est impaire et étudier ses variations. Trouver ses ites au points intéressants. ) Soit C la représentation graphique de f. Etudier les asymptotes de C. Montrer en particulier que C admet une asymptote oblique en +, et donner l équation de. ) Représenter graphiquement C. Eercice 6 : Gros problème On cherche à étudier la fonction f définie par f + ln sur ] [ ) Etudier les variations de la fonction g définie sur ] 0; + [ par g 0; +. + ln, ses ites en 0 et +. En déduire que l équation g()0 admet une seule solution α, et que,0 α,5. Etudier le signe de g. ) Etudier les ites de f en 0 et +. Etudier f à l aide de g et en déduire les variations de f. ) Soit C la représentation graphique de f. Montrer que la droite d équation y est asymptote à C en +. Déterminer le point d intersection B de C et. Déterminer la position de C par rapport à. Eercice 7 : Dernier problème Soit f la fonction telle que f E, ou E désigne la fonction «partie entière». ) Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal. ) a) Montrer que pour tout réel strictement positif, 0 f () b) Trouver un encadrement de f () valable pour tout strictement négatif. c) Quelle est la ite de f en 0? ) Considérons le prolongement par continuité g de f sur. On cherche la ite en zéro de g( 0) g ϕ. En raisonnant par l absurde, montrer qu aucun nombre réel l n est la ite de ϕ en 0. En déduire que g n est pas dérivable en 0.