Ceci est une correction partielle d exercices du chapitre 22. Les numéros d exercices devraient être corrects, mais sans garantie!

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1 Ceci est une correction partielle d exercices du chapitre. Les numéros d exercices devraient être corrects, mais sans garantie!.. Ecrire les matrices représentant les opérateurs linéaires suivants dans la base canonique du plan euclidien R : a) Rotation de π autour de l origine. b) Homothétie centrée à l origine et de rapport. c) Symétrie par rapport à l origine. d) Symétrie par rapport à Ox. e) Symétrie par rapport à Oy. f) Symétrie par rapport à y = x. g) Symétrie par rapport à y = x. h) Symétrie par rapport à y = 4x. i) La composée des transformations d et e j) La composée des transformations f et h. (Dans ces deux derniers cas, indiquer la nature de la transformation résultante). Correction. Dans chaque cas, nous devons déterminer l image de (, ) et de (, ), et en écrire les composantes verticalement, côte à côte, dans une matrice. a. Rotation de π autour de l origine. ( ) ( cos(π/) sin(π/) sin(π/) cos(π/) = / / / /) b. Homothétie centrée à l origine et de rapport. ( ) c. Symétrie par rapport à l origine. ( ) d. Symétrie par rapport à Ox. ( ) e. Symétrie par rapport à Oy. ( ) f. Symétrie par rapport à y = x. ( )

2 g. Symétrie par rapport à y = x. ( ) h. Symétrie par rapport à y = 4x. Le plus simple ici semble être une approche analytique. Pour obtenir l image d un point (x, y) par la symétrique, nous cherchons d abord son projeté orthogonal, noté P, sur la droite. Comme la droite passe par l origine et admet (, 4) comme vecteur directeur, ce point est donné par (, 4) + 4y P = (x, y), (, 4) = (x, (x + 4y) ) 7 Pour obtenir le symétrique de (x, y), il suffit alors de calculer : (x, y) ((x, y) P ) = P (x, y) = ( (x + 4y) 7x /7, 8(x + 4y) 7y /7) = ( 8y 5x /7, 8x + 5y /7) La matrice est alors : ( ) 5 /7 8 /7. 8 /7 5 /7 i. Il suffit de multiplier les matrices : ( ) j. ( ) ( ) ( ) 5 /7 8 /7 5 /7 = 8 /7 8/7 5/7 8 /7 5 /7.6. Sans calculer, déterminer les valeurs et vecteurs propres des tranformations suivantes de l espace euclidien R : a) la symétrie orthogonale par rapport au plan passant par les points (,, ), (,, ), (,, ) ; b) la symétrie orthogonale par rapport à la droite d équation x = y = z. Correction. a. Pour la symétrie orthogonale fixant par rapport au plan passant par les points (,, ), (,, ) et (,, ) : les points du plan sont fixés par la symétrie, donc ce sont des vecteurs propres de valeur propre. L espace propre associé est V = {x(,, ) + y(,, ) t.q. x, y R}. Par ailleurs, les points de la droite (passant par l origine) orthogonale à ce plan, sont envoyés sur leur image dans le miroir, et donc restent sur la droite : chaque vecteur v de cette droite est envoyé sur v. Les points de cette droite forment donc V, l espace propre associée à la valeur propre. Pour l obtenir explicitement il faut connaître un vecteur orthogonal au plan, par exemple (,, ) (car le plan s écrit x + y z = ). b. Dans le cas de la symétrie orthogonale par rapport à la droite d équations x = y = z, les valeurs propres sont encore et, mais cette fois V est la droite fixe : { V = (x, y, z) t.q. x = y } = z = {(x, x, x) t.q. x R}.

3 Quant à V, c est un plan passant par l origine orthogonal à V. Pour trouver une base de ce plan, notons que la droite est à l intersection du plan x + y = et x + z =, donc (,, ) et (,, ) sont des vecteurs du plan orthogonal à cette droite! L espace propre est donc V = {x(,, ) + y(,, ) t.q. x, y R}.7. Soit la matrice A = 4. a) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. b) La matrice A est-elle diagonalisable? Si oui, écrire une matrice qui permet d effectuer la diagonalisation. c) Existe-t-il une matrice orthogonale qui diagonalise A? Correction. a. Les valeurs propres sont les réels λ tels que le déterminant de A λ Id est nul. Un calcul fournit dét (A λ Id) = λ + 8λ λ + 6 = ( λ) (4 λ) Les valeurs propres sont donc et 4. L espace propre V λ est l ensemble des vecteurs propres (associés à λ), c est-à-dire les vecteurs (x, y, z) tels que x x 4 y = λ y z z ou, de manière équivalente : λ x 4 λ y = λ z En résolvant le système pour λ = et λ = 4 successivement, on obtient les espaces propres associés : V = {u(,, ) + v(,, ) t.q. u, v R} V 4 = {u(,, ) t.q. u R} b. On a une base de vecteurs propres, la matrice est donc diagonalisable. La matrice de changement de base, permettant de réaliser cette diagonalisation, est formée des vecteurs propres : M = De la sorte, la matrice M AM est diagonale : 4 M AM =

4 4 Non. En effet, les colonnes d une matrice de changement de base qui diagonalise A sont des vecteurs propres de A. Pour que la matrice soit diagonale, il faut donc qu il existe une base de vecteurs propres orthogonale. Pour cela, il faut que les espaces propres soient orthogonaux. Ici, (,, ) n est pas orthogonal à (,, ) (le produit scalaire vaut ) donc V 4 ne sera pas orthogonal à V, ce qui achève la preuve..8. Déterminer une matrice orthogonale O qui diagonalise la matrice A =. Correction. Les valeurs propres sont, et 4, de vecteurs propres respectifs : (,, ), (,, ()), (,, ()) On peut donc utiliser la matrice :.9. Soit f l opérateur linéaire sur l espace vectoriel réel R, représenté dans la base canonique de R par la matrice M =. a) Calculer les valeurs propres de f. b) Déterminer les vecteurs propres de f. c) Donner une base orthonormée B de vecteurs propres de f. d) Par quelle matrice est représenté l opérateur linéaire f dans la base B qui vient d être trouvée? e) Donner une matrice orthogonale C telle que C MC soit une matrice diagonale. Correction. a. Les valeurs propres sont et. b. Les espaces propres sont V = {(x,, x) t.q. x R} V = {(x, y, x) t.q. x, y R} c. Une base orthonormée est donnée par : (,, ) (,, ) (,, )

5 5 d. La matrice est e.