Exercice Soit M M n (R). Montrer que

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1 Chapitre Espaces euclidiens.. Espaces préhilbertiens réels Exercice.. Soit l espace E= R [X] muni du produit scalaire P Q= PtQtd t.. Montrer que.. définit un produit scalaire sur E.. Trouver une base orthonormale ε de E. 3. Trouver les coordonnées du vecteur P= X+ dans ε. Exercice.. Dans l espace vectoriel R 4 muni de son produit scalaire usuel, on considère les vecteurs v =,3,, et v =,,,. Soit F le sous-espace vectoriel engendré par ces deux vecteurs. Déterminer un système d équations de F puis une base orthonormale de F. Exercice..3 Soit E un espace préhilbertien réel, et B=e,...,e n une famille de vecteurs de E de norme tels que : x E, x = x e k.e k.. Montrer que si i j, alors e i e j =. k=. Montrer que B est une base orthonormale de E. Exercice..4 Soient E un espace préhilbertien réel et une application f : E E vérifiant f = et x, y E, f x f y = x y. exo_prod_scal_matrices. Montrer que x, y E, f x = x et f x f y = x y.. Calculer f λx+ µy λf x µf y et en déduire que l application f est linéaire. Exercice..5 Un produit scalaire sur M n R Pour deux matrices A,B M n R on définit : A B=TrA T B. Montrer que.. est un produit scalaire sur l espace des matrices carrées E=M n R.. Montrer que l ensemble des matrices symétriques et l ensemble des matrices antisymétriques forment deux sous-espaces orthogonaux pour ce produit scalaire. 3. Déterminer la projection orthogonale d une matrice A sur l espace des matrices antisymétriques. 4. Montrer que si. est la norme dérivant de ce produit scalaire alors Exercice..6 Soit M M n R. Montrer que A M n R, TrA n A. X M n, R,X T MX= M T = M Exercice..7 Soit E un espace euclidien et S= e,...,e n une famille de vecteurs unitaires tels que : Montrer que S est une base de E. x E, x e k = x k=

2 Exercice..8 Soit E un espace euclidien, et F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que. F+G = F G ;. F G = F + G ; 3. E= F G E= F G. Exercice..9 Soit ϕ une forme linéaire surm n R. Montrer qu il existe une matrice B M n R telle que : A M n R, ϕa= Tr BA Exercice.. Égalité de la médiane Soit une norme euclidienne sur E.. Redémontrer l égalité de la médiane : x, y E, x+y + x y = x + y.. En déduire que x, y, z E, x+y+z + x + y + z = y+z + z+x + x+y Exercice.. Une autre démonstration de l inégalité de Cauchy- Schwarz Soit un espace préhilbertien réel E et deux vecteurs x, y E.. Développer l expression y.x x y.y.. Retrouver l inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que le cas d égalité. Exercice.. Soit E un espace préhilbertien réel et f, g : E E deux applications telles que : Montrer que f et g sont linéaires. Exercice..3 x, y E x f y = g x y.. Soit E un espace euclidien et f LE tel que x, y E, x y = = f x f y =. Montrer qu il existe α > tel que. Si f GLE vérifie : x, y E, x, y E non-nuls, montrer qu il existe α> tel que : x E, f x f y = α x y. f x f y x y f x f y = x y, f x = α x. Exercice..4 Sur l espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur à, E= R [X], on définit P Q=PQ+PQ+P Q Montrer qu il s agit d un produit scalaire, et trouver une base orthogonale pour ce produit scalaire. Exercice..5 Soit.. un produit scalaire sur R n, e la base canonique de R n et A la matrice de ce produit scalaire dans la base canonique.. Lorsque n=, montrer que TrA> et deta>.. Lorsque n 3, montrer que TrA> et deta>. 3. Montrer que p, A p est une matrice symétrique définie positive et donc qu elle définit également un produit scalaire sur R n. On distinguera les cas p pair et impair. Exercice..6 Dans un espace euclidien de dimension n, on dit qu une famille x i i n de vecteurs normés est µ-presque orthogonale µ> si et seulement si pour tous réels a,..., a n R n, on a µ a i a i x i µ a i. Montrer que la famille x i i n est une base orthonormale si et seulement si c est une suite -presque orthogonale.. Montrer qu une famille µ-presque orthogonale est libre. Exercice..7 Dans un espace euclidien E, montrez qu il existe une base e = e,...,e n formée de vecteurs unitaires vérifiant : i, j,n, i j = e i e j = Exercice..8 Soit E un espace euclidien, et x,..., x n E, α,...,α n R. Montrer que α x + + α n x n i x i α Exercice..9 Soit Φ une injection de N dans N. Démontrer que n N, En déduire que k= lim Φk k n k= k. k= Φk =+. k

3 Exercice.. Soit a,..., a m m nombres réels strictement positifs. Démontrer que m nan n= m > a n n= m. Exercice.. Soit f une fonction [;] R continue, n> un entier naturel fixé tel que xn f xdx= Montrer que : n+ f xdx f x dx. Exercice... Soient a,..., a n, b a,...,b n, c,...,c n des réels positifs. Montrer que : a k b k c k a k c k b k c k. k= k= k=. Soit f : [,] R de classe C et telle que f =. Montrer que pour tout x [,], on a : f x x f t dt. n n 3. Soit n réels strictement positifs x,..., x n tels que x i =. Montrer que n. x i Étudier le cas d égalité. Exercice..3 Oral CCP MP 5 Soit a et b deux réels tels que a<b.. Soit h une fonction continue et positive de [a, b] dans R. b Démontrer que hxdx= = h=. a. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [a, b] dans R. On pose, f, g E, f g = b a f xg xdx. Démontrer que l on définit ainsi un produit scalaire sur E. 3. Majorer xe x dx en utilisant l inégalité de Cauchy-Schwarz. Exercice..4 Polynômes de Legendre On munit l espace vectoriel R n [X] du produit scalaire défini par : P Q= PtQt dt. Soit P,P,...,P n la base orthonormalisée par la méthode de Gram-Schmidt de la base canonique,x,...,x n. Pour tout k,n, on pose :. Calculer les polynômes L à L 3. L k = k+ P k.. Démontrer que pour tout n, le polynôme L n possède n racines réelles distinctes appartenant toutes à l intervalle ], [... Vecteurs orthogonaux, orthogonal d un sous-espace vectoriel Exercice..5 Soit E,.. un espace euclidien et u LE telle que : x E,. Montrer que : x, y E, ux y = x uy.. En déduire que : E= Ker u Imu. Exercice..6 Soit M R muni de son produit scalaire canonique A B=Tr A T B. ux x=.. Calculer l orthogonal de D l ensemble des matrices réelles diagonales de taille.. Calculer l orthogonal de S R l ensemble des matrices carrées symétriques de taille. Exercice..7 Oral CCP MP 5 Soit E un espace euclidien.. Soit A un sous-espace vectoriel de E. Démontrer que A = A.. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. a Démontrer que F+G = F G. b Démontrer que F G = F + G. Exercice..8 Oral CCP MP 5 Soit n N. On considère E= M n R l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n. On pose A,B E, A,B =tr t AB où tr désigne la trace et t A désigne la transposée de la matrice A.. Prouver que, est un produit scalaire sur E. 3

4 . On note S n R l ensemble matrices symétriques de E et A n R l ensemble des matrices antisymétriques de E. a Prouver que E= S n R A n R. b Prouver que S n R= A n R. 3. Soit F l ensemble des matrices diagonales de E. Déterminer F...3 Projections orthogonales Exercice..9 Soit F le sous-espace de R 3 engendré par,, et,,.. Donner une équation de F.. Déterminer une base de l orthogonal de F. 3. Déterminer le projeté orthogonal de,, sur F. Exercice..3. Montrer que P Q = PQ+PQ+PQ définit un produit scalaire sur E= R [X]. Dans la suite, on considère E muni de ce produit scalaire.. Orthonormaliser la base canonique,x,x. 3. Calculer la distance de X à F=R [X]. Exercice..3 Montrer que l endomorphisme de R 3 dont la matrice relativement à la base canonique est A= est une projection orthogonale dont on déterminera l image. Exercice..3 Soit E,.. un espace préhilbertien réel et soit p LE un projecteur. Montrer que p est orthogonal si et seulement si x E, px x. Exercice..33 Soit E,.. un espace euclidien de dimension 3, u E, u et P = Vectu. Soit p la projection orthogonale sur P et s la réflexion d axe P.. Montrer que : x E, x u px= x u u.. Montrer que : x E, x u sx=x u u On considère dans R 3 le plan P : x y+ z =. Déterminer la matrice dans la base canonique de la réflexion d axe P. Exercice..34 Déterminer la matrice dans la base canonique de R 3 de la projection orthogonale sur le plan P d équation x + y 3z =. En déduire la matrice de la réflexion d axe ce plan. Exercice..35. Montrer que le système définit un plan P de R 4. { x+y z t = x+ 3y+ z t =. Construire une base orthonormale f, f de P. 3. Former la matrice relativement à la base canonique de R 4 de la projection orthogonale p sur le plan P puis celle de la symétrie orthogonale s d axe P. 4. Soit X=,,,, calculer dx,p. Exercice..36 DansM n R muni du produit scalaire usuel A B=Tr A T B, on pose : U= M n R Soit aussi F=Vect { U k k,n }.. Montrer que k,n, U T k = U n k.. Montrer que U k k,n est une base orthogonale de F. 3. Déterminer la projection orthogonale d une matrice A M n R sur F. Exercice..37 Soit E,.. un espace préhilbertien réel, et p, q deux projecteurs orthogonaux. Montrer les équivalences : i p + q est un projecteur orthogonal ii x E, px qx = iii poq = qop= iv Im p Im q Exercice..38 Sur l espace E=R n [X], on définit pour deux polynômes P,Q E, P Q= tptqt dt

5 . Vérifier que c est un produit scalaire.. Déterminer une base orthonormale du sous-espace F=R [X] pour ce produit scalaire. 3. Déterminer le projeté orthogonal du polynôme P= X 3 sur le sous-espace F. Exercice..39 Soit E,n,.. un espace euclidien et un vecteur x E. Soit un vecteur non-nul a E. On définit la droite vectorielle D = Vecta et son orthogonal H = D. Exprimer les distances dx, H et dx, D en fonction de la norme du vecteur x et du produit scalaire x a. Exercice..4 Soit E un espace préhilbertien réel et e n n N une famille orthonormale. Soit x E. Montrer que n N x e i x Exercice..4 Soit E un espace euclidien et p un projecteur. Montrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si x E, px x Exercice..4 Oral CCP MP 5 Soit E l espace vectoriel des applications continues et π-périodiques de R dans R. π. Démontrer que f g = f t g t dt définit un produit scalaire sur E. π. Soit F le sous-espace vectoriel engendré par f : x cos x et g : x cos x. Déterminer le projeté orthogonal sur F de la fonction u : x sin x. Exercice..43 Oral CCP MP 5 On définit dans M R M R l application ϕ A, A = tr t AA, où tr t AA désigne la trace du produit de { la matrice t A par la matrice } A. a b On note F =, a,b R. b a On admet que ϕ est un produit scalaire sur M R.. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de M R.. Déterminer une base de F. 3. Déterminer la projection orthogonale de J = 4. Calculer la distance de J à F. sur F...4 Symétrie orthogonales Exercice..44 Dans l espace E=R 3 muni du produit scalaire usuel, on considère le vecteur n =,, et le sous-espace F={n}. Ecrire la matrice du projecteur orthogonal sur F dans la base canonique. Si x = 3,,, déterminer dx,f. Exercice..45 Soit E un espace préhilbertien réel, et s LE une symétrie vectorielle. Montrer que s est une symétrie orthogonale si et seulement si x E, sx = x. Exercice..46 Soit E= R 4 muni du produit scalaire usuel et F le plan d équations x+y+z =, x z+t =. Déterminer une b.o.n. de F, puis écrire la matrice du projecteur orthogonal sur F, et de la symétrie orthogonale par rapport à F dans la base canonique. Exercice..47 Soit E un espace préhilbertien réel. Soit f : E E une application.. Montrer l équivalence : x, y E, f x y = x f y f est linéaire et x E, f x x =. Que peut-on dire de la matrice de f dans une base e orthonormale? 3. Montrer que Ker f et Im f sont orthogonaux. 4. Montrer que Ker f = Ker f o f. Exercice..48 Soit E= R 4 muni du produit scalaire usuel et F le plan d équations x+y+z =, x z+t =. Déterminer une b.o.n. de F, puis écrire la matrice du projecteur orthogonal sur F, et de la symétrie orthogonale par rapport à F dans la base canonique. Exercice..49 Oral CCP MP 5 Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie n >. On admet que pour tout x E, il existe un élément unique y de F tel que x y soit orthogonal à F et que la distance de x à F soit égale à x y. a b a Pour A= et A b = c d c d, on pose A A = aa + bb + cc + dd.. Démontrer que.. est un produit scalaire sur M R.. Calculez la distance de la matrice A= au sous-espace vectoriel F des matrices triangulaires supérieures...5 Problèmes de minimisation Exercice..5 Trouver le réel a qui minimise ln x ax dx. 5

6 Exercice..5 Soit E= C [ π,π],r. Trouver a,b,c R 3 tels que la quantité π π π soit minimale. Exercice..5 Soit α=inf a,b R x ax b dx. e t a+ b sin t+ c cos t d t. Déterminer un espace euclidien E,.., un sous-espace vectoriel F de E et f E tel que α=df,f.. En déduire l existence et le calcul de α. Exercice..53 Droite des moindres carrés Soient X= x,..., x n,y=y,..., y n R n. /. Interpréter Φ=inf a,b R y i ax i b comme la distance d un vecteur de R n à un sous-espace vectoriel de R n.. En déduire qu il existe un couple a,b R en lequel cette borne inférieure est atteinte. 3. Calculer a en fonction de x= i, y = n x i, P= n y i y i et C x = n x x i n. Exercice..54. Montrer que f g = f tg t+ f yg t dt définit un produit scalaire sur E = C [,],R.. Montrer que F= { f E f = f = } et G= { f E f = f } sont supplémentaires orthogonaux dans E. 3. Préciser le projeté orthogonal de h E sur G. 4. Soit a,b R. On pose E a,b = { f E f = a, f =b } {. Justifier l existence d une borne inférieure pour l ensemble ht + h t } dt h E a,b. Exercice..55 Oral CCP MP 5 Soit E un R-espace vectoriel muni d un produit scalaire noté. On pose x E, x = x x.. a Énoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz. b Dans quel cas a-t-on égalité? Le démontrer.. Soit E= { f C [a,b],r, x [a,b] f x> }. { b b } Prouver que l ensemble f td t a a f t d t, f E admet une borne inférieure m et déterminer la valeur de m...6 Groupe orthogonal Exercice..56 Soit F un sev d un espace euclidien E,.. et soit f OE. Montrer que f F = f F. Exercice..57 Soit f une isométrie vectoriel d un espace euclidien E,... Montrer que Ker f id E = Im f ide. Exercice..58 Montrer que l endomorphisme de R 3 canoniquement associé à la matrice A= 3 est une réflexion dont on déterminera l axe. Exercice..59 Similitudes d un espace euclidien Un endomorphisme f d un espace euclidien E,.. est une similitude vectorielle s il existe une isométrie u et un réel strictement positif k tels que f = ku.. Montrer que si f est une similitude vectorielle alors f conserve l orthogonalité, c està-dire : x, y E [ ], x y = = f x f y =.. Réciproquement, on suppose que g est un endomorphisme non nul de E conservant l orthogonalité. a Pour a,b E unitaires, calculer a+ b a b. b Montrer que g a = g b. Peut-on avoir g a =? c En déduire qu il existe une isométrie vectorielle v et λ R + tels que g = λv. Conclure. Exercice..6 Soit E euclidien de dimension n. Soit f une isométrie symétrique et g un endomorphisme antisymétrique de E vérifiant f og = g o f. Calculer f x g x et montrer que f + g et f g sont des isomorphismes. Exercice..6 Soit E un espace préhilbertien réel. Soit f : E E une application.. Montrer l équivalence : x, y E, f x y = x f y f est linéaire et x E, f x x =. Que peut-on dire de la matrice de f dans une base e? 3. Montrer que Ker f et Im f sont orthogonaux. 4. Montrer que Ker f = Ker f o f. 6

7 Exercice..6 Soit M la matrice d un produit scalaire dans la base canonique de R n. Montrer que M n définit également un produit scalaire. Exercice..63 Soit A= a i j O n R une matrice orthogonale. Montrer que j= ai j n n Exercice..64 Oral CCP MP 5 Soit E un espace euclidien de dimension n et u un endomorphisme de E. On note x y le produit scalaire de x et de y et. la norme euclidienne associée.. Soit u un endomorphisme de E, tel que : x E, ux = x. a Démontrer que : x, y E ux uy=x y. b Démontrer que u est bijectif.. Démontrer que l ensemble OE des isométries vectorielles de E, muni de la loi, est un groupe. 3. Soit u L E. Soit e = e,e,...,e n une base orthonormée de E. Prouver que : u OE ue,ue,...,ue n est une base orthonormée de E...7 Isométries vectorielles du plan euclidien Exercice..65 Identifier et préciser les éléments géométriques des endomorphismes f et g de R canoniquement associés à :. A= 3 ;. B= 3. Exercice..66 Soit P un plan euclidien de base orthonormale i, j. Déterminer la matrice dans cette base de la réflexion s d axe Vecti j. Exercice..67 Démontrer que tout matrice de O R est diagonalisable dansm C. Que dire de la diagonalisabilité dansm R? Exercice..68 Soient u et v deux vecteurs non nuls de même norme d un plan euclidien P.. On note x, y et x, y les coordonnées respectives de u et v dans une base orthonormale e de P. Montrer qu il existe une unique matrice avec a + b = telle a b b a que : a b x x = b a y y. 7 Qu a-t-on démontré?. a Que peut-on dire des vecteurs u+ v et u v? b Quelle est l image de u par la réflexion s d axe Vectu+ v? c Si s est la réflexion d axe Vectu, que dire de r = s s et de r u? d Supposons que r soit une rotation vectorielle de P telle que r u= v. Montrer, en considérant r = r r que r = r. En quoi cela confirme-t-il le résultat de la première question?..8 Produit vectoriel Exercice..69 Soit E un espace euclidien de dimension 3, et u, v un système libre de E. On définit l application : { E E f : x v x.u+ u x.v Montrer que f est un endomorphisme et déterminer son noyau et son image. Exercice..7 Soit u, v, w trois vecteurs d un ev euclidien orienté de dimension 3. Démontrer :. u v w = u w v v wu. double produit vectoriel. w u u v=[u, v, w]u. 3. [v w, w u,u v]=[u, v, w]. Exercice..7 Soit u, v, w, t quatre vecteurs d un ev euclidien orienté de dimension 3. Démontrer :. u v w t=u wv t u tv w. u v w t= [u, v, w]t+ [u, v, t]w 3. [t, v, w]u+ [u, t, w]v+ [u, v, t]w = [u, v, w]t. Exercice..7 Soit x, y, z une base d un ev euclidien orienté E de dimension 3. Déterminer u, v, w E tels que v w = x, w u=y, u v = z...9 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales Exercice..73 Montrer que est orthogonale et calculer A. A= 5

8 Exercice..74 Soit u= u,...,u n un vecteur unitaire de R n. On définit la matrice. Montrer que A O n R.. Reconnaître A. A= I n u t u Exercice..75 Etudier l endomorphisme u de R 3 euclidien de matrice M = dans la base canonique. Exercice..76 Soit A= Quel endomorphisme u de R 3 euclidien représente-t-elle? Montrer que u est la composée d une rotation et d une réflexion. Exercice..77 Dans R 3 euclidien usuel, e = i, j,k la base canonique, on considère la rotation r d axe Vecti+ j + k d angle π. Déterminer la matrice de r dans la base canonique. Exercice..78 Dans R euclidien usuel, trouver une base i, j telle que dans cette base, la transformation u= xi + y j x yi + 3x yj soit une rotation. Exercice..79 On considère un espace euclidien E de dimension n et e une base de cet espace. On note A la matrice du produit scalaire dans cette base. Trouver une CNS sur la base e pour que la matrice A soit orthogonale. Exercice..8 Soit a b b A= b a b b b a Trouver une CNS pour que A soit orthogonale. Caractériser alors l endomorphisme associé à A dans la base canonique. Exercice..8 Etudier l endomorphisme de R 3 euclidien usuel ayant pour matrice dans la base canonique. A= Exercice..8 Etude dans R 3 de l endomorphisme ayant pour matrice A dans la base canonique, où a + b c d bc+ d a bd ca A= a + b + c + d bc d a a b + c d cd + ba bd+ ca cd ba a b c + d Exercice..83 Montrer qu une matrice A SO 3 R possède comme valeur propre en étudiant deta I 3. Exercice..84 Oral CCP MP 5 Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté par la base orthonormée i, j, k. Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans la base i, j,k est A= a Prouver que f est un endomorphisme orthogonal. b Déterminer l ensemble des vecteurs invariants par f.. En déduire la nature de f ainsi que ses éléments caractéristiques... Endomorphismes symétriques, matrices symétriques Exercice..85 Diagonaliser A= dans une base orthonormale. Exercice..86 Soit E,.. un espace euclidien de dimension n 3 et a,b deux vecteurs unitaires de E formant une famille libre. On considère l application : { E E f : x a x a+ b xb.. Montrer que f est un endomorphisme symétrique de E.. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f. Exercice..87 Soient E,.. un espace euclidien, k R \ { }, a un vecteur unitaire de E et u LE donné pour tout x E par ux=kx a a+ x.. Montrer que u est un endomorphisme symétrique.. En utilisant la matrice de u dans une base bien choisie, trouver une condition nécessaire et suffisante sur k pour que u soit un automorphisme orthogonal de E. Dans chaque cas, identifier u. 8

9 Exercice..88 exo:5:jan:sun:8:6:55 Dans R 4 muni de son produit scalaire canonique, on considère l endomorphisme f dont la matrice dans la base canonique est : exo:4:dec:sat::: A= exo:4:dec:sat:8:8: Sans calcul, dite pourquoi R 4 admet une base orthonormale formée de vecteurs propres de A. exo:4:dec:sat::5:4. Montrer que f est une isométrie vectorielle. En déduire les seules valeurs propres réelles possibles pour f. 3. Sans calculer le polynôme caractéristique de f, déterminer à l aide de la trace l ordre de multiplicité des valeurs propres de f. En déduire le polynôme caractéristique de f. 4. Déterminer le sous-espace propre E. En donner une base, puis une base orthonormale. exo:5:jan:sun:8:9: 5. Montrer que le sous-espace propre E vérifie E =E. En déduire un vecteur générateur de E. 6. Donner une base orthonormale dans laquelle la matrice exo:4:dec:sat:9:37:7 f est diagonale. Identifier f. Exercice..89 Soit A= a i,j M n R telle que i, j,n, a i,j =. Montrer que A est diagonalisable et déterminer sans calcul son spectre ainsi que ses sous-espaces propres. Exercice..9 Soit A M n R.. Que dire de la diagonalisabilité des matrices AA T et A T A? a Montrer que les produits MN et NM de deux matrices exo:5:feb:wed::38:3 de M n R ont les mêmes valeurs propres. b Soit λ une valeur propre non nulle de MN et donc NM. Montrer que les sousespaces propres E MN λ et E NM λ ont la même dimension.. Montrer que les valeurs propres de AA T et A T A ont le même ordre de multiplicité. 3. En déduire qu il existe une matrice orthogonale U telle que AA T = U T A T AU. Exercice..9 exo:4:dec:mon:3:54:5. Soit A=a i,j M n R. Montrer que S = A T A est une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres λ,...,λ n sont positives.. Démontrer l égalité λ i = a i,j. i,j n 3. Soit S M n R une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont positives. existe-t-il une matrice A M n R telle que S= A T A? Donner une condition nécessaire et suffisante sur S pour que A soit inversible. Exercice..9 Soit A M n R une matrice antisymétrique réelle. Que peut-on dire de son spectre complexe? Exercice..93 Déterminer les matrices A M n R telles que A+ A T soit nilpotente. Exercice..94 Ensi Soit A M n R une matrice vérifiant :. A et A T commutent ;. A est nilpotente. Montrer que A=. Exercice..95 Déterminer les couples de matrices X,Y M n R vérifiant Exercice..96 { X T YX = I n Y T XY Soit A M n R. On pose S= A+AT. Montrer que SpA [α,β] où α est la plus petite et β = I n la plus grande valeur propre de S. Exercice..97 Soit E un espace euclidien et u LE. On définit l ensemble E u = {x E ux = u x }. Montrer que E u est un sous-espace vectoriel de E différent de { E }.. Déterminer les endomorphismes u LE tels que E u = E. Exercice..98 Soit A M n R une matrice vérifiant { A T A=AA T A = I n Montrer que A est une matrice orthogonale. Exercice..99 Oral Mines Soit A M n R une matrice vérifiant A 3 = A T A.. On suppose A inversible. Montrer que A est diagonalisable dansm n C.. Donner un contre-exemple qui montre que A n est pas forcément diagonalisable dans M n R. 3. Si on ne suppose plus A inversible, montrer que A est encore diagonalisable dans M n C. 9

10 :33 :53 : :7 Exercice.. Racine carrée d une matrice symétrique positive Soit A S n + R une matrice symétrique positive. Montrer qu il existe une unique matrice R S n + R symétrique positive telle que R = A. Exercice.. Décomposition polaire d une matrice réelle Soit M GL n R une matrice inversible. Montrer qu il existe une unique matrice Ω O n R orthogonale et une unique matrice S S n ++ R symétrique définie positive telles que M=ΩS. Exercice.. Soit A M n R. On pose S= A+AT. Montrer que SpA [α,β] où α est la plus petite et β la plus grande valeur propre de S. Exercice..3 Soit E un espace euclidien et u LE. On définit l ensemble E u = {x E ux = u x }. Montrer que E u est un sous-espace vectoriel de E différent de { E }.. Déterminer les endomorphismes u LE tels que E u = E. Exercice..4 Oral CCP MP 5 Soit la matrice A=.. Démontrer que A est diagonalisable de quatre manières : a sans calcul, b en calculant directement le déterminant detλi 3 A, où I 3 est la matrice identité d ordre 3, et en déterminant les sous-espaces propres, c en utilisant le rang de la matrice, d en calculant A.. On suppose que A est la matrice d un endomorphisme u d un espace euclidien dans une base orthonormée. Trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice de u est diagonale.