Exercices - Capes première épreuve / option mathématiques : corrigé

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1 Avertissement : Ceci n est ps une correction in etenso du prolème de cpes. Il s git plutôt d une lecture personnelle des questions, vec des indictions, des idées de preuve, des mises en grde d erreurs à éviter. Ce n est surtout ps une correction modèle à reproduire... Pour signler toute erreur, merci d écrire à devgeolo@gmil.com Le premier prolème orde des considértions sur le réseu Z de R et sur les isométries lissnt invrint ce réseu. Il se termine pr deu prties portnt sur les frises et les pvges. Les thèmes ordés sont l lgère linéire, l géométrie ffine et euclidienne, l rithmétique théorème de Bezout). Le deuième prolème vise à résoudre une éqution fonctionnelle. Les seuls outils nécessires sont des clculs lgériques et les notions de se sur les pplictions injection, surjection,...). Premier prolème Prtie A I. C est ssez difficile de répondre u deu premières questions qui ne sont que des nlités. Leur importnce dns le rême doit prolement être nulle, ou presque. On remrque donc que e, e ) sont deu éléments de Z, et que tout élément de Z s écrit de mnière unique e + e. + II.. Le produit mtriciel AX donne le vecteur colonne. D utre prt, le vecteur + e + e pour coordonnées +. D où l équivlence! + II... Évident? II... Les vecteurs e et e sont des vecteurs de R et e, e ) est une Z-se de R. Le résultt est lors une conséquence immédite du deuième point de l définition d une Z-se de R. II..c. Il est on d interpréter cette question de fçon lgérique. Si on sit que e, e ) est une se de R ici, on prle de se d espce vectoriel), lors A est l mtrice de pssge de l se cnonique à l se e, e ) et B est l mtrice de pssge de l se e, e ) à l se cnonique. L propriété que l on demnde de démontrer est lors une conséquence des formules de chngement de se. Mlheureusement, à ce stde du prolème, on ne sit ps si e, e ) est une se de R. On v cependnt s inspirer de nos connissnces ) en lgère ) linéire pour démontrer le résultt. Remrquons que Be = et notons X = A. Alors d près le résultt de l question II., X = e + e = e, c est-à-dire que ABe = e. De l même fçon, on prouve que ) ABe = e. On en déduit lors que ) AB = I...pr eemple, en écrivnt u v u AB = et en remrqunt que ABe w z = ce qui permet de démontrer que u = w et w = 0. On procède de même pour démontrer que v = 0 et z = en utilisnt e.

2 II..d On utilise trois outils : le déterminnt du produit de deu mtrices est le produit du déterminnt de chque mtrice ; le déterminnt d une mtrice à coefficients dns Z est un entier très fcile ici puisqu on ffire qu à des mtrices ) ; si n et m sont deu entiers tels que n m =, lors n = ± et m = ±. II.3. Rppelons qu une mtrice est inversile si et seulement si son déterminnt est non nul. Ainsi, A est inversile. De plus, on sit clculer l inverse d une mtrice. On ici : A =. deta) Puisque deta) = ±, les coefficients de A sont ien tous des entiers reltifs. II.3.. Les vecteurs e et e sont ien des vecteurs de R. De plus, ) prenons X R et notons Y = A X R d près l question précédente. On pose les coordonnées de Y. Alors X = AY s écrit X = e + e d près l question I.. De plus, cette ) écriture est unique. En effet, si X s écrit ussi X = e + e, lors notons Y =. On lors X = AY = AY = A AY = A AY = Y = Y = = et =. Une utre fçon de procéder est d utiliser le cours d lgère linéire. Puisque l mtrice A est inversile, on peut désormis dire que e, e ) est une se de R u sens espce vectoriel), ce qui entrîne en prticulier l unicité de l écriture l eistence ne pouvit s en déduire ussi fcilement cr on n urit ps forcément otenu des coordonnées entières) II.4. On prouvé que e, e ) est une Z-se de R si et seulement si, en utilisnt les nottions de l énoncé, l mtrice A ssociée est à coefficients entiers et son déterminnt vut ±. ) III.. Soit e = de l question précédente, de sorte que e, e ) soit une Z-se de R. Alors, en grdnt les nottions deta) = = ±. Pr le théorème de Bezout, et sont premiers entre eu. III.. Mircle! Le théorème de Bezout est une condition nécessire et suffisnte, et l condition écrite à l question II.4. ussi! Ainsi, si et sont premier entre eu, il eiste ) des entiers reltifs et de sorte que = et donc le vecteur e = est tel que e, e ) est une Z-se de R. III.3. On doit trouver une solution prticulière à une éqution de Bezout etrêmement simple! Pr eemple, le vecteur convient! 3 Prtie B I. Le sens réciproque est évident, et pour le sens direct, on remrque que fe ) R entrîne que l première colonne de l mtrice A est à coefficients entiers.

3 II.. L espce vectoriel Imf) contient e et e. II.. Si Imf) contient deu vecteurs indépendnts, il contient l espce vectoriel qu ils engendrent cr f est une ppliction linéire). Mis on trville dns R et l espce vectoriel engendré pr deu vecteurs indépendnts est R tout entier. Ainsi, Imf) = R et f est surjective. Puisque f est un endomorphisme d un espce de dimension finie en prticulier, une ppliction linéire d un espce vectoriel de dimension finie dns un espce vectoriel de même dimension), s surjectivité entrîne s ijectivité. Donc f est ijective. II.3. Pour toute ppliction ijective de R dns lui-même, pour toute prtie E de R, on f fe)) = E. Le résultt que l on demnde de démontrer est une conséquence de cette propriété pour E = R, schnt que fr) = R, et on démontre même plus fort que ce qui est demndé pr l énoncé puisqu on prouve l églité. II.4. A est inversile cr f est ijective, et les coefficients de A sont des entiers reltifs cr A est l mtrice de f et cr on peut ppliquer les résultts de B.II.3. et B.I. II.5 Le risonnement est identique à celui de l question A.II..d. III.. C est une conséquence immédite de A.II.3.. III.. Il suffit de démontrer que R fr), l utre inclusion nt été prouvée à l question I. Prenons X R. Puisque fe ), fe )) est une Z-se de R, on X = fe ) + fe ) = fe + e ) vec, Z. Puisque Y = e + e R et que X = fy ), on ien R fr). IV. On prouvé que fr) = R si et seulement si A est une mtrice à coefficients entiers reltifs dont le déterminnt vut ±. Prtie C L rédction du prolème pour cette prtie comporte une vrie difficulté : le mélnge entre l ffine et le vectoriel. Ainsi, l énoncé mélnge sns vergogne le clcul de fo), où O est un point, et celui de fe ), où e est un vecteur. Contrint et forcé, je vis suivre cet mlgme... I. Le plus fcile pour démontrer qu un ensemle donné est un groupe, c est de démontrer que c est un sous-groupe d un groupe connu. Ici, on sit que l ensemle des isométries ffines de R est un groupe. Démontrons que G, qui est contenu dns ce groupe, en est un sous-groupe. L élément neutre l ppliction identité) est ien un élément de G. Prenons f, g R. Alors g f est une isométrie ffine on le svit déjà!) et de plus, g fr) = g fr) ) = gr) = R. Ainsi, g f G. De plus, si f G, lors f est ien une isométrie ffine ç ussi, on le svit déjà!) et en plus f R) = R : en effet, fr) = R = f fr)) = f R) et, comme on l déjà utilisé dns l prtie B, On procède de même pour G 0. II.. Ce sont les points,, 0 0 f fr)) = R. 0 0,. 3

4 II.. Puisque f est une isométrie et que fo) = O, fe ) doit être à distnce de O donc être égl à un des qutre éléments précédents. II.3. L idée est simple. On choisit pour fe ) l un des qutre choi possiles. Une fois ce choi fit, il n en reste plus que deu pour fe ), puisqu on ne veut ps que fe ) = fe ) ou que fe ) = fe ). Puisque 4 = 8, on trouve les huit mtrices mentionnées pr l énoncé l première correspond à fe ) = e et fe ) = e, l seconde à fe ) = e et fe ) = e,...). III.. On s =. s est donc l smétrie orthogonle) d e =. Qunt à s, il s git de l smétrie orthogonle d e = 0 l ordonné est inchngée, l scisse est trnsformée en son opposé). 0 III.. L mtrice de s s est l mtrice. On reconnit l mtrice de l rottion de 0 centre O on ffire à) une ppliction linéire!) et d ngle π/. De même, l mtrice 0 de s s est, qui est l mtrice de l rottion de centre O et d ngle π/. 0 Question susidiire : quelle est l mtrice de l rottion d ngle θ???? Réponse : c est cos θ sin θ. sin θ cos θ III.3. Évident? III.4. Puisque s et s sont dns G 0, leurs composées sont ussi dns G 0. Donc les pplictions linéires dont les mtrices sont l deuième, l cinquième, l siième ou l septième qui pprit dns H sont éléments de G 0. Ensuite, l identité est dns G 0 insi que l smétrie centrle de centre O ceci nous donne le premiere et le qutrième élément de H). Notons s 3 cette dernière smétrie. Alors en clculnt l mtrice de s 3 s G 0 et celle de s 3 s G 0, on otient les deu mtrices mnquntes. IV. Les éléments de G 0 sont les éléments dont l mtrice dns l se cnonique pprtient à H. Demnde-t-on en plus l nture géométrique des éléments de G 0? On l déjà fit pour si d entre elles. Il est lissé u lecteur l nture géométrique de l ppliction correspondnt à l troisième mtrice et à l huitième on trouve respectivement l smétrie orthogonle d e = 0 et l smétrie d e = ). V. Remrquons que ) t est une isométrie ffine. On donc t G tr) = R. Mis si t G, lors = to) R. Réciproquement, si R, lors, d une prt tr) R + puisque si X = R, tx) = R. D utre prt, tout élément X = de + R s écrit X = ty ) vec Y = R et donc R tr). L condition R crctérise ien le fit que t pprtienne à G. VI. Que t pprtienne à G est une conséquence directe de l question précédente. De plus, g = t f G puisque G est un groupe, et go) = t fo)) = O entrîne que g est un élément de G

5 VII. L eistence vient ) de l question précédente, en remrqunt que si t ) G est une trnsltion de vecteur R, lors t est une trnsltion de vecteur R. L unicité vient du fit que si f = t g = t g, lors fo) = t O) = t O) et donc les deu trnsltions t et t sont identiques ce sont les trnsltions de vecteur fo)). On en déduit lors que g = g = t f. Prtie D Je vis ller ssez vite dns les corrections des deu dernières prties, sns doute très peu ordées pr les cndidts! I.. On commence pr remrquer que le crré C est invrint pr chcune des huit isométries de G 0 il suffit d esser pour chcune). Ceci démontre en prticulier, puisque T est inclus dns C, que g G 0 gt ) C. Ensuite, on reconstruit fcilement C à prtir de T et des isométries de G 0 : si g est l smétrie d e =, on construit d ord l intersection du crré et du qurt de pln { 0, 0}. Ensuite, pr l smétrie d e = 0, on construit l prtie droite du crré. Puis, pr l smétrie d e = 0, on construit tout le crré. I.. Cel me semle plus délict. Notons g = g g G 0, g Id, et E = g T ) g T ). Alors g E) = T gt ). Puisque l imge d un point pr une trnsformtion ffine est un point, et que l imge d un segment pr une trnsformtion ffine est un segment, il suffit de démontrer que l intersection de T et de gt ), où g est un élément de G 0 différent de l identité, est soit un segment, soit un point. Là encore, il suffit d esser vec les huit éléments de G 0. II.. Pour, Z, notons C, l surfce délimitée pr le crré de sommets + + ) + ) Alors il est clir cel demnde-t-il une justifiction?) que R = C,.,) Z ) +. Puisque C, = t X C), où t X est l trnsltion de vecteur X = R, on le résultt. II.. Notons X = et Y =. Alors on distingue plusieurs cs : Si = et =, lors t X C) t Y C) est un segment horizontl). Si = et =, lors t X C) t Y C) est un segment verticl). Si = et =, lors t X C) t Y C) est un point un sommet commun u deu crrés). Dns tous les utres cs, c est-à-dire si > ou >, lors t X C) t Y C) est vide. III.. Svez-vous voir pourquoi c est une conséquence immédite des questions I. et II. de cette prtie? 5

6 III.. Notons f = t g et f = t g. Distinguons deu cs : Premier cs : t = t. Alors f T ) f T ) = t g T ) g T )) et le résultt est une conséquence de l question I.. Deuième cs : t t. Si f T ) f T ), lors, puisque g T ) C et g T ) C, on t C) t C). Puisque t t, l question précédente nous dit que t C) t C) est soit un segment, soit un point. Ainsi, f T ) f T ) est contenu soit dns un segment, soit dns un point, tout en étnt non vide. Mis f T ) est un tringle, et f T ) est un tringle, et l intersection de deu tringles contenue dns un point ou dns un segment est un point ou un segment. Prtie E k I.. t k est l trnsltion de vecteur tndis que s 0 k est l smétrie d e = k/ indiction : commencer pr chercher les points invrints pr s k ). + l + k) I.. On t k s l = de sorte que t k s l = s l+k. On démontre de même que s k t l = s k l, s k s k = t k l et que t k t l = t k+l. II. H contient l identité t 0. L question précédente nous prouve que l composée de deu éléments de H reste dns H. Enfin, des formules t k t k = t 0 et s k s k = t 0, on déduit que l inverse d un élément de H est dns H. Ainsi, H est ien un sous-groupe de G. III. L ensemle F est une frise, de motif élémentire le tringle T, et dont le groupe des isométries est H. L figure ci-dessous donne l frise : IV. Le groupe des isométries lissnt invrint l frise est le groupe constitué des smétries centrles de centre k/, 0), vec k Z ; des smétries d e = k, k ) Z ; k des trnsltions de vecteur. 0 Deuième prolème I.. Les smétries sont des involutions. Donc l fonction ϕ) = convient! Attention ici u fit qu on demnde de trviller vec des involutions de R. En prticulier, l fonction inverse ne convient ps! I.. C est ici que l eemple ϕ) = / convient! I.3. On peut utiliser un résultt du cours : si f : I J et g : J I sont tels que f g = Id J et g f = Id I, lors f est une ijection et f = g. C est ectement ce que l on ici vec 6

7 g = f = ϕ. Si on veut redémontrer ce résultt dns le cs prticulier qui nous intéresse, lors ϕ est injective. Si ϕ) = ϕ), lors = ϕϕ)) = ϕϕ)) =. ϕ est surjective. Si I, lors posons = ϕ). On ien = ϕϕ)) = ϕ). II.. En ppliqunt l reltion ) vec = et respectivement = puis =, on II.. f) est non-nul... f) = ff )) = ff )) = f). II.3. On utilise l reltion vec = =, puis le fit que f est injective! II.4. Il s git simplement de réécrire l reltion ) vec = et d utiliser que f) =. II.5. Posons = f). Alors l reltion ) ppliquée à = et = f) et le fit que f est involutive, et donc que ff)) =, donnent le résultt. III.. On pplique l reltion ) vec =. Il vient et donc f) F. III.. C est l question II.3. III.3. Si et sont deu éléments de F, lors ff)) = f) f) = f)f) = et donc F. Écrivons ensuite =. Alors = f) = f ) = f)f = f = f =. Ainsi, on ussi / F. III.4. Il suffit de fire une récurrence très fcile utilisnt l question n oulions ps que 0 est un entier nturel) et l question 3. III.5. Supposons que soit un élément de F vec >. Alors f n ) = n + qund n tend vers l infini, ce qui contredit le fit que f est mjorée. III.6. Supposons qu il eiste F vec ]0, [. Alors, puisque F, on d près l question III.3. que / F vec / >. Ceci contredit le résultt de l question précédente. Donc F {}. On déjà prouvé l inclusion réciproque plus tôt. III.7. En cominnt les réponses u question III. et III.6, on voit que pour tout > 0, on f) = /. Ainsi, f est l ppliction inverse. IV. On vu que si f vérifie les conditions imposées pr l énoncé, f est l ppliction inverse. Réciproquement, l ppliction inverse vérifie ien ces conditions. L seule ppliction répondnt u prolème posé est donc l ppliction inverse. 7

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