Théorème de Rolle dans le cas complexe.

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1 Théorème de Rolle das le cas complexe. Das ce problème o se propose de prouver l aalogue complexe suivat du théorème de Rolle : Théorème. Soiet a et b deux ombres complexes disticts et u etier. Soit P (X) C[X] u polyôme de degré tel que P (a) = P (b). Le polyôme dérivé P (X) de P possède alors au mois u zéro z 0 (ie P (z 0 ) = 0) das le disque { D a,b; = z C; z a + b } R (a, b), où Soit P (X) = doé par : R (a, b) = a b cos( π ) si( π ). N u l X l C[X], le polyôme dérivé P (X) de P (X), est l=0 P (X) = N l=0 u l+ (l + )X l. Pour k {0,..., }, k désige le coefficiet biomial! A. Défiitio de A z P (X). ( k)! k!. O ote C [X] l espace vectoriel complexe des polyômes à coefficiets complexes de degré iférieur ou égal à. Soit P C [X] et z C. O défiit le polyôme A z P C[X] par la formule : A z P (X) = (z X)P (X) + P (X). Cette défiitio de A z déped doc de l espace de départ C [X]. ) Vérifier que A z défiit ue applicatio liéaire de C [X] vers C [X]. ) Soiet z, z C et P C [X]. Prouver que : A z (A z P )(X) = A z A z P (X), où das la compositio A z A z (du membre de gauche), A z est vu comme applicatio de C [X] vers C [X] et A z est vu comme applicatio de C [X] vers C [X]. Pareillemet, das la compositio

2 A z A z (du membre de droite), A z est vu comme applicatio de C [X] vers C [X] et A z est vu comme applicatio de C [X] vers C [X]. 3) Pour z C, détermier l esemble des P C [X] tels que A z P (X) soit le polyôme ul. (O pourra utiliser la famille formée par les polyômes (X z) k, 0 k ). Détermier alors l image de l applicatio A z : C [X] C [X]. 4) Soit z C. Détermier les valeurs propres et sous espaces propres de l edomorphisme Âz de C [X] défii par : P C [X], Âz(P )(X) = (z X)P (X) + P (X). Motrer que Âz est diagoalisable. 5) O coserve les otatios de la questio précédete. Soit E u edomorphisme de C [X] commutat avec Âz. Motrer qu il existe Q C [X] tel que Q(Âz) = E. (O pourra utiliser u polyôme associé à ue iterpolatio de Lagrage coveable). B. Défiitio de δ ξ. O cosidère la bijectio f : f : C \ {0} C \ {0} z C \ {0} = f(z) z O se place das le pla euclidie R idetifié à C. O désigera par C u cercle (de cetre z 0 et de rayo R o ul) de C : C = {z C, z z 0 = R}. O otera respectivemet C et C + l itérieur géométrique et l extérieur géométrique de C. Plus précisémet : C = {z C, z z 0 < R}, C + = {z C, z z 0 > R}. 6) Soit C u cercle de cetre z 0 et de rayo R > 0 tel que l origie 0 appartiet à C +. O pose z 0 = re iα où r ]R, + [ et α R. Prouver que f(c) est u cercle dot o précisera le cetre et le rayo e foctio de r, α, R. Vérifier e outre que l origie 0 appartiet à f(c) +. (O pourra partir de (z z 0 )(z z 0 ) = zz z 0 z zz 0 + z 0 z 0 = R.) 3

3 7) O coserve les hypothèses et otatios de la questio précédete. Prouver que f(c ) = f(c). C est à dire que f trasforme l itérieur du cercle C e la totalité de l itérieur du cercle f(c) (o pourra utiliser le fait admis suivat. U poit u de C \ {0} appartiet à C si et seulemet si la demi-droite D u issue de 0 et passat par u recotre C e deux poits disticts A, B tels que u appartiet au segmet ouvert ]A, B[. O pourra alors cosidérer f(d u )). Soiet z,, z C, o écessairemet deux à deux disticts. Soit ξ C \ {z i, i {,, }} tel que est o ul. O z i= i ξ cosidère alors le ombre complexe δ ξ défii par δ ξ ξ = i= z i ξ. () 8) Soit C u cercle tel que {z i, i {,, }} C. Motrer que si l origie 0 appartiet à C + alors δ 0 est bie défii et appartiet à C (o pourra commecer par prouver que f(z i ) appartiet à f(c) ). 9) Soit C u cercle tel que {z i, i {,, }} C. Motrer que si ξ C + alors δ ξ est bie défii et appartiet à C. C. Coditio d apolarité. Das cette partie, z,, z désigerot ombres complexes o écessairemet deux à deux disticts. 0) Soit P (X) = (X z i ) u polyôme de C [X] et i= i=0 ξ C \ {z i, i {,, }}. Exprimer P (ξ) P (ξ) e foctio des ( i ). E déduire que si ξ z i P (ξ) est o ul alors où δ ξ est défii par (). δ ξ = ξ P (ξ) P (ξ) 4

4 ) Soit P (X) = (X z i ) C[X] et z C \ {z i, i {,, }}. i= Motrer que l esemble des zéros ξ C de A z P (X) est la réuio des deux esembles suivats : {z i, i, P (z i ) = 0}. {ξ C \ {z i, i {,, }}, δ ξ = z}, où δ ξ est défii par (). ) O coserve les otatios de la questio précédete. Motrer que z = j= z j si et seulemet si le degré de A z P (X) est strictemet iférieur à. 3) O cosidère le polyôme P (X) = (X z i ) et z C. O suppose qu il existe u cercle C tel que {z i, i {,, }} C et z C C +. Prouver alors que A z P (X) est exactemet de degré. Puis prouver que les zéros de A z P (X) (e comptat les multiplicités) appartieet tous à C (o pourra utiliser les questios 9 et ). i= O cosidère deux polyômes de C[X] de degré, P (X) = u (X z i ), et Q(X) = v i= (X z i), où u, v C et z i, z i désiget respectivemet les zéros de P (X) et Q(X). O dira que P est apolaire par rapport à Q si P (X) = 0. Quad o écrit das cet ordre o utilise la covetio décrite das la questio. Plus précisémet, est vu comme applicatio de C [X] vers C [X], est vu comme applicatio de C [X] vers C [X],..., est vu comme applicatio de C [X] vers C. Aisi P (X) est ue costate. 4) O suppose que P est apolaire par rapport à Q. Motrer que si C est u cercle tel que {z i, i {,, }} C alors il existe i {,, } tel que z i C (o utilisera la questio précédete). i= Das la suite, o fixe a, b deux poits disticts de C. 5

5 5) Motrer qu il existe b 0,, b C que l o calculera, tels que pour tout polyôme du type T (X) = a 0 + a X + + a X + a X, o ait T (a + t(b a))dt = 0 a 0 b a b + ( ) a b ( ) a b 0. Avec les otatios de la questio précédete, o fixe u etier supérieur ou égal à deux et o pose (X) = b 0 + b X + + b X + b X. 6) Motrer que (X) = C ( (X a) (X b) ) où C est ue costate o ulle que l o calculera. Soit P (X) C [X] de degré tel que P (a) = P (b). O écrit P (X) = a 0 + a X + + a X + a X. O désige par t, t,..., t les zéros (comptés avec multiplicité) de P (X). O admet que la costate ( ) a A ( )! t A t... A t (X) est égale à : a 0 b a b + a b ( ) a b 0. 7) Motrer que (X) est apolaire par rapport à P (X) (o pourra utiliser la questio 5). E déduire alors le Théorème (o pourra appliquer la questio 4). Fi du problème 6