A method for avoiding tables for centiles in the case of confidence regions and statistical tests

Transcription

1 MPRA Muich Persoal RePEc Archive A method for avoidig tables for cetiles i the case of cofidece regios ad statistical tests Daiel Ciuiu Techical Uiversity of Civil Egieerig, Bucharest, Romaia, Romaia Istitute for Ecoomic Forecastig 6 October 004 Olie at MPRA Paper No 1509, posted 6 May : UTC

2 UNE MODALITÉ D ÉVITER LES TABLES DES CENTILES DANS LE CAS DES RÉGIONS DE CONFIANCE ET DES TESTS STATISTIQUES DANIEL CIUIU Résumé Das cet article o va determier des régios de cofiace pour les paramètres d ue répartitio et des vérsios de quelques tests sas utiliser les tables qui cotieet des cetiles Classificatio AMS 000 des sujets 6F5, 6F03 Mots clefs et phrases itervalles de cofiace, tests statistiques 1 Itroductio Les itervalles de cofiace sot détermiés d habitude e utilisat des tables statistiques qui cotieet des cetiles pour quelques répartitios par exemple les cetiles de la répartitio ormale réduite N 0, 1), les cetiles de la répartitio de Studet à degrés de liberté, t, les cetiles de la répartitio de χ à degrés de liberté ou les cetiles de la répartitio de Sedecor Fisher d ordres m et ) Les tests statistiques, à voir le test de cocordace de χ utiliset aussi ces tables avec des cetiles Mais cette chose est dificile à implater aux ordiateurs, parce qu o a besoi d u fichier avec les cetiles [1], [], [3] Das tout l article o ote par X j la moyee de l échatillo pour X j et par θ le vecteur des paramètres qui défiisset la répartitio de la variable aléatoire X Ocosidére qu o coaît pour j = 1,k des formules pour la moyee du X j et pour la variace du X j dépedat de θ O ote ces valeurs par m j θ) et respectivemet par D j θ) Pour détermier les régios de cofiace o utilise l iégalité de Chébychev et o va résoudre u système d iéquatios Pour les tests, o va calculer, s il est possible, la fuctio de répartitio évaluée pour la statistique cocerée qui va être comparer avec certais cetiles O utilise le lemme de Hici qui dit que si la variable aléatoire X ala fuctio de répartitio F ),FX) suit ue loi uiforme sur [0, 1] Régios de cofiace À préset o a ue variable aléatoire X avec la fuctio de répartitio F x; θ 1,, θ k )dépedat de k paramètres Nous voulos détermier ue régio 98

3 UNE MODALITÉ D ÉVITER LES TABLES 99 de cofiace pour θ =θ j ) j=1,k avec l erreur 1 O ote par = 1 k Sio écrit l iégalité dechébychev pour X j o obtiet X ) P j Dj θ) m j θ) > 1) E utilisat 1), la probabilité d exister j de sorte que 1 j k et X j D m j θ) > j θ) est plus petit ou égale à 1 Il résulte qu o doit résoudrelesystème d iéquatios qui est équivalet à X j m j θ) Dj θ),j= 1,k, ) m j θ) X j m j θ) D j θ) + Xj 0, j = 1,k ) O cosidèrelavariablealéatoire X ormale N m, σ ) et o a θ = m, σ ) T,k= Par des calculs o obtiet m 1 θ) =m, D 1 θ) =σ, m θ) =m + σ et D θ) =4 m σ + σ 4 O ote par α = m et par β = σ L iéquatio du système )pourj =1 deviet Si X =0,larégio 3) est α β + X mx 3) β α, 3 ) qui est das le système d axes αoβ u agle détermié parα =0, β 0et β = α, α 0 Das le système moβ 3 ) est l itérieur de la parabole β = m Si X 0, 3) est α + 1 β αβ X α X β + X4 0 3 ) La frotière du 3 ) est α + 1 β αβ X α X β + X4 =0 4) O calcule les ivariats pour 4) et o obtiet I =1+ 1, δ =0et = 4X4 Doc 4) est ue parabole L axe de la parabole est

4 100 D CIUIU β = α 1 ) X 5) +1 Le sommet de la parabole est V 4 4 X, X ), et les itersectios avec les axes sot A X, 0 et B 0, X ) ) +1) +1) L autreaxeest β = 1 α + +1 X 5 ) Parce que 0, 0) est pas das 3 ), la régio de cofiace détermiée par la première iéquatio est l itérieur de la parabole L autre iéquatio est α + 1 ) β + 1 ) αβ X α X β + X 0 6) La frotière du 6) est α + 1 ) β + 1 ) αβ X α X β + X =0 7) O calcule les ivariats pour 7) et o obtiet I = 1), δ = ) et Si > u fait statistique résoable si o tiet compte que = 4X estlevolumedel échatillo) 7) est ue ellipse Le cetre de l ellipse est C que ta ϕ) = 1+ ) +1 Les axes de l ellipse sot a et b et o a 0, X ) et l agle de rotatio est ϕ de sorte 1+ ) 4 +5 a = ) X et 8) 1 ) 4 +5 b = ) X 8 ) Les poits d itersectio avec les axes sot A ) et C X, 0 DocOα est tagete à l ellipse q ) 0, 1 X,B 1 q ) 0, 1+ X 1 Quelle que soit X = 0 ou 0) et pour tout β = σ o a ue itervalle [a β,b β ]aveca β 0 de telle sorte que α = m [a β,b β ] Si X = 0, o a m [ aβ, b β ] [ bβ, a β ] SiX 0,oam [ aβ, b β ] ou m [ b β, a β ], depedat si X>0, respectivemet si X<0 Exemple 1 Soit X qui suit ue répartitio ormale N m, σ ) Ocosidère u échatillo de volume = 1000 et l erreur maximale 1 =0

5 UNE MODALITÉ D ÉVITER LES TABLES 101 Il resulte =01 et = 100 O a das cet exemple X =031 La lige oblique de l agle est β = 100α L ellipse est α ) 50 β ) 1 αβ 031 α 031 β+031 = 0 La régio de cofiace pour α, β) se trouve das la figure suivate Fig 1 :La régio de cofiace pour α, β) La régio de cofiace pour m, σ ) est détermiée par la parabole β = 100m et 031 m β 4 m β+ β = 10 Elle se trouve das la figure suivate Fig : La régio de cofiace pour m, σ ) Exemple Soit X qui suit ue répartitio ormale N m, σ ) Ocosidère u échatillo de volume = 1000 et l erreur maximale 1 =0 Il resulte =01 et = 100 O a das cet exemple X =593 et X =81 La parabole est α β 1 50 αβ 593 α β =0 L ellipse est α ) β ) αβ 81 α 81 β +81 =0

6 10 D CIUIU La régio de cofiace pour α, β) se trouve das la figure suivate Fig 3 :La régio de cofiace pour α, β) La régio de cofiace pour m, σ ) est détermiée par m 593 = et β + m 81 = 4 m β+ β 10 Elle se trouve das la figure suivate m +β 10 Fig 4 : La régio de cofiace pour m, σ ) 3 Versios sas cetiles pour quelques tests statistiques Le test T bilatéral vérifie l hypothèse ulle H 0 : m = m 0 cotre l hypothèse altérative H 1 : m m 0 avec l erreur de premier ordre Oauéchatillo de volume de la variable X OcalculeT = X m 0 S 1, où X est la moyee de l échatillo et S est la variace de l échatillo [1], [3] O accepte H 0 si T <T 1 1 ) Le test T uilatéral gauche vérifie l hypothèse ulle H 0 : m = m 0 cotre l hypothèse altérative H 1 : m<m 0 avec l erreur de premier ordre O accepte H 0 si T>T 1 ) Le test T uilatéral droit vérifie l hypothèse ulle H 0 : m = m 0 cotre l hypothèse altérative H 1 : m>m 0 avec l erreur de premier ordre O accepte H 0 si T<T 1 1 ) Mais la désité derépartitio de Studet à degrés de libérté est

7 UNE MODALITÉ D ÉVITER LES TABLES 103 f x) = Γ ) +1 Γ ) Γ 1 ) 1+ x O calcule la fuctio de répartitio et o obtiet x+ x + 1 ) +1 9) F x) = Γ ) +1 Γ v ) Γ 1 ) 1 v +1) dv 10) 0 Das 10) o remarque la possibilité decalculerf x) pourchaquex Das le test bilatéral o accepte H 0 si F T ), 1 ) Dasletest uilatéral gauche o accepte H 0 si F T ) > Das le test uilatéral droit o cotre l hy- accepte H 0 si F T ) < 1 Le test de χ bilatéral vérifie l hypothèse ulle H 0 : σ = σ0 pothèse altérative H 1 : σ σ0 OcalculeX = 1) S O accepte σ0 H 0 si X χ 1 ),χ 1 1 )) Letestdeχ uilatéral gauche vérifie l hypothèse ulle H 0 : σ = σ0 cotre l hypothèse altérative H 1 : σ <σ0 O accepte H 0 si X >χ 1 ) au risque d erreur de premier ordre Le test de χ uilatéral droit vérifie l hypothèse ulle H 0 : σ = σ0 cotre l hypothèse altérative H 1 : σ >σ0 OcalculeX = 1) S O accepte H σ0 0 si X <χ 1 1 ) Mais la répartitio de χ coïcide avec la répartitio Erlag E, 1 fuctio répartitio Erlag E,λ d ordre et paramètre λ est La 1 F,λ x) =1 e λx λ j x j 11) j! j=0 Doc si est pas pair 1 est pair) o peut calculer la fuctio de répartitio du X Dasletestdeχ bilatéral o accepte H 0 si F 1, 1 X ), 1 ) Dasletestdeχ uilatéral gauche o accepte H 0 si F 1, 1 X ) > Dasletestdeχ uilatéral droit o accepte H 0 si F 1, 1 X ) < 1 Pour le test de Tukey pour l égalité des moyees o a k échatillos des volumes X ij ) 1 i k,1 j cocerat k variables aléatoires ormales N µ i,σ ) Ovérifie l hypothèse ulle H 0 : µ i = µ j pour chaques i, j cotre l hypothèse altérative H 1 :ilexisteti, j de telle sort que µ i µ j au risque d erreur de premier ordre O ote par X i la moyee de l échatillo i, par X mi le miimum des X i et par X max le maximum des X i OcalculeS u estimateur pour σ qui suit la répartitio de χ r et q = Xmax X q mi S O accepte H 0 si q t r ) Mais commet o peut voir das les tests de Studet pour la moyee si o e coaît pas la variace, o peut calculer la fuctio de répartitio pour q, F q) O accepte H 0 si F q)

8 104 D CIUIU Pour le test de Hartley pour l égalité des variaces o a k échatillos des volumes +1 X ij ) 1 i k,1 j +1 sur k variables aléatoires ormales N µ i,σi ) O vérifie l hypothèse ulle H 0 : σi = σ j pour chaques i, j cotre l hypothèse altérative H 1 :ilexisteti, j de sort que σi σj au risque d erreur de premier ordre O ote par X i = j=1 X ij et par Si = 1 +1 j=1 Xij X i ) O ote aussi par Smi le miimum des S i et par Smax le maximum O calcule F max = S max S ) mi O accepte H 0 si F max F, 1,où F, 1 ) est la cetile d ordre 1 pour la repartitio de Sedecor Fisher d ordres, ) Mais la desité de cette répartitio est g, x) = Γ) Γ x 1 ) 1 + x) 1) O peut calculer la fuctio de répartitio et o obtiet G, x) = Γ) Γ x 1 ) 1 + x) 1 ) Le test de cocordace de χ vérifie l hypothese ulle H 0 : la variable aléatoire X a la fuctio de répartitio F x; θ 1,, θ k ), où θ 1,, θ k sot les paramètres de la répartitio, cotre l hypothèse altérative H 1 :lavariable aléatoire X a pas la fuctio de répartitio F x; θ 1,, θ k ) avec l erreur de premier ordre Oauéchatillo de volume de X et r itervalles, r>k O ote par i le uméro des valeurs de l échatillo das l itervalle I i et par i = F I i ; θ 1,, θ k ),où θ 1,, θ k sot des éstimatios pour θ 1,, θ k r i i) O calcule X = et o accepte H 0 si X <χ r k 1 1 ), où i j=1 χ r k 1 1 ) est la cetile de χ à r k 1degrés de libérté Si r k 1 est pair, o peut calculer la fuctio de répartitio de χ r k 1 e utilisat 11) Doc o accepte H 0 si F r k 1, 1 X ) < 1 4 Coclusios Pour les régios de cofiace l erreur est maximale elle peut être plus petite que ) Das le cas de k paramètres o doit résoudre u système de k iéquatios Pour les tests o calcule la fuctio de répartitio s il est possible) pour la statistique et o compare cette valeur avec l ordre de cetile Ces cosidératios peuvet aider le programmateur à fair des programmes pourrésoudre des problems de statistique O doit choisir si o utilise l iégalité de Chébychev ou les tables des cetiles si le système est trop difficile à résoudre, o utilise les cetiles)

9 UNE MODALITÉ D ÉVITER LES TABLES 105 Référeces [1] G Ciucu, V Craiu, Iférece statistique Editure Didactique et Pedagogique, Bucarest, 1974 e roumai) [] V Craiu, V Preda, Des tests pour vérifiquer la ormalité Editure de l Uiversité de Bucarest, 1981 e roumai) [3] A Popescu, V Petrehuş, Probabilitées et statistique Editure de l Uiversité Techique des Costructios, Bucarest, 1997 e roumai) Daiel Ciuiu) Departemet des Mathematiques, Uiversité Techique des Costructios, Bucarest, Bd Lacul Tei o 14, Bucarest, Roumaie address: dciuiu@yahoocom