Lois usuelles. Michaël Genin. Université de Lille 2. EA Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins

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1 Lois usuelles Michaël Genin Université de Lille 2 EA Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins michaelgenin@univ-lille2fr

2 Plan 1 Exemple introductif Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

3 Plan 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

4 Plan 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson 3 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi exponentielle Loi normale Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

5 Plan 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson 3 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi exponentielle Loi normale 4 Théorèmes de convergence Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

6 Plan 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson 3 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi exponentielle Loi normale 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

7 Exemple introductif Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes 3 Lois usuelles continues 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

8 Exemple introductif Exemple introductif Observation d un phénoméne : Poids de 5000 bébés à la naissance Distribution des poids à la naissance fréquence 0e+00 2e-04 4e-04 6e-04 8e Poids en g Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

9 Exemple introductif Exemple introductif On voudrait modéliser le phénoméne : Soit X une variable aléatoire réelle qui associe à un bébé son poids à la naissance X : Ω E R ω X (ω) Pour modéliser le phénomène, il faut déterminer la loi de probabilité de X Déterminer sa fonction de densité!! Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

10 Exemple introductif Exemple introductif Distribution des poids à la naissance fréquence 0e+00 2e-04 4e-04 6e-04 8e Poids en g Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

11 Exemple introductif Il existe un certain nombre de lois de probabilités usuelles qui permettent de modéliser des phénomènes aléatoires On distingue : Les lois discrètes associées aux va discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi de Poisson Les lois continues associées aux va continues Loi uniforme Loi exponentielle Loi normale Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

12 Lois usuelles discrètes Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson 3 Lois usuelles continues 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

13 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson 3 Lois usuelles continues 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

14 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi uniforme Définition Une distribution de probabilité suit une loi uniforme lorsque toutes la valeurs prises par la variable aléatoire sont équiprobables Si k est le nombre de valeurs différentes prises par la variable aléatoire, i; P(X = x i ) = 1 k Exemple Lancer de dé non pipé Donner la loi de probabilité associée au lancer de dé et la représenter graphiquement Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

15 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi uniforme Correction X P(X = x) Lancer de dé P(X=k) k Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

16 Lois usuelles discrètes Loi de Bernoulli Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson 3 Lois usuelles continues 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

17 Lois usuelles discrètes Loi de Bernoulli Loi de Bernoulli - Définition Définitions préliminaires Toute expérience aléatoire menant à deux résultats possibles : Succès ou Echec, est appelée Epreuve de Bernoulli ex : Pile ou Face Si on répète de manière indépendante n fois une épreuve de Bernoulli, nous obtenons un schéma de Bernoulli ex : 10 lancers indépendants d une pièce de monnaie Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

18 Lois usuelles discrètes Loi de Bernoulli Loi de Bernoulli - Définition Définition Soit une épreuve de Bernoulli et soit X une va prenant comme valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d échec X : Ω E = {0, 1} ω X (ω) X suit une loi de Bernoulli de paramètre p notée : X B(1, p) Loi de probabilité de X P(X = 1) =p P(X = 0) =1 p = q ou p + q = 1 P(X = k) = p k (1 p) 1 k Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

19 Lois usuelles discrètes Loi de Bernoulli Loi de Bernoulli - Définition Exercice Notons X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p Calculer E[X ] et V [X ] Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

20 Lois usuelles discrètes Loi de Bernoulli Loi de Bernoulli - Définition Exercice Notons X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p Calculer E[X ] et V [X ] Correction E[X ] = E[X ] =p k x i P(X = x i ) = 1 p + 0 (1 p) i=1 V [X ] =E[X 2 ] E[X ] 2 = 1 2 p (1 p) p 2 V [X ] =p(1 p) A retenir : X B(1, p) E[X ] = p V [X ] = p(1 p) Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

21 Lois usuelles discrètes Loi de Bernoulli Loi de Bernoulli - Exemples Exemple 1 On jette une piéce de monnaie équilibrée Ω = {Pile, Face} Soit X une variable aléatoire discrète X (ω) = 1 si ω = Pile X (ω) = 0 si ω = Face P(X = 1) = p = 1/2 donc X B(1, 1/2) Exemple 2 Une maladie M a une prévalence de 4% On choisit au hasard un individu dans la population Soit X une variable aléatoire discrète X (ω) = 1 si ω = Malade X (ω) = 0 si ω = Non malade P(X = 1) = p = 004 donc X B(1, 004) Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

22 Lois usuelles discrètes Loi binomiale Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson 3 Lois usuelles continues 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

23 Lois usuelles discrètes Loi binomiale Loi Binomiale - Définition Définition Soit un schéma de Bernoulli et soit X la va qui associe au schéma le nombre de succès : X : Ω E = 1 n ω X (ω) X suit une loi binomiale de paramètres n et p : X B(n, p) Probabilité de l obtention de k succès au cours de n épreuves indépendantes Loi de probabilité k {0, 1, 2, n}, Avec P(X = k) = C k n p k (1 p) n k C k n = n! k!(n k)! Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

24 Lois usuelles discrètes Loi binomiale Loi Binomiale - Définition Propriété La somme de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p X i B(1, p), i {1, 2,, n}, X i indépendantes S n = n i=1 X i S n B(n, p) Remarque Une variable de Bernoulli est un cas particulier d une variable binomiale X B(1, p) Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

25 Lois usuelles discrètes Loi binomiale Loi Binomiale - Exercice Exercice Soit S n B(n, p) Calculer E[S n ] et V [S n ] Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

26 Lois usuelles discrètes Loi binomiale Loi Binomiale - Exercice Exercice Soit S n B(n, p) Calculer E[S n ] et V [S n ] Correction [ n ] E[S n ] = E X i = [ n ] V [S n ] = V X i i=1 i=1 = n E[X i ] = np i=1 n V [X i ] i=1 }{{} Les X i sont indépendantes = np(1 p) A retenir : S n B(n, p) E[S n ] = np; V [S n ] = np(1 p) Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

27 Lois usuelles discrètes Loi binomiale Loi Binomiale - Exemples Exemple 1 On jette 10 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée Quelle est la probabilité d avoir un total de 8 piles? Soit X une va qui associe à ces 10 lancers de pièce le nombre de pile P(X = 8) = C 8 10 X B(10, 1/2) ( 1 2 ) 8 ( P(X = 8) = ) 10 8 Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

28 Lois usuelles discrètes Loi binomiale Loi Binomiale - Exemples Exemple 2 On veut modéliser le nombre de garçons dans une famille de 6 enfants Chaque naissance i (i {1, 2, 6}) peut être considérée comme une variable de Bernoulli X i B(1, p) avec p = 1/2 On suppose chaque naissance indépendante des autres Soit : 6 Y = i=1 X i Y B(6, 1/2) La probabilité d avoir 4 garçons dans une famille de 6 enfants est : P(Y = 4) = C 4 6 ( ) 4 ( = ) Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

29 Lois usuelles discrètes Loi de Poisson Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson 3 Lois usuelles continues 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

30 Lois usuelles discrètes Loi de Poisson Loi de Poisson - Définition Loi des événements rares Définition Soit X une va à valeurs dans N On dit que X suit une loi de Poisson de paramètre λ(λ R + ), notée P(λ), si : A retenir : X P(λ) k N, P(X = k) = e λ λ k E[X ] = V [X ] = λ Cette loi est souvent utilisée dans la modélisation des files d attente : nombre de clients en attente à une caisse de supermarché, nombre de conducteurs passés à un péage pendant une période de temps k! Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

31 Lois usuelles discrètes Loi de Poisson Loi de Poisson - Exemple Loi de Poisson de paramètre lambda = 2 P(X=k) k Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

32 Lois usuelles discrètes Loi de Poisson Loi de Poisson - Exemple Exercice A un guichet d une banque, on sait que le nombre moyen de clients par heure est de 12 On suppose que le nombre de clients par heure est distribué selon une loi de Poisson Quelle est la probabilité pour qu en une heure, le guichetier s occupe de plus de 15 clients? Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

33 Lois usuelles discrètes Loi de Poisson Loi de Poisson - Exemple Exercice A un guichet d une banque, on sait que le nombre moyen de clients par heure est de 12 On suppose que le nombre de clients par heure est distribué selon une loi de Poisson Quelle est la probabilité pour qu en une heure, le guichetier s occupe de plus de 15 clients? Correction Soit X P(λ) avec λ = 12 P(X > 15) = 1 P(X 15) = 1 P(X > 15) = k=0 e ! Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

34 Lois usuelles discrètes Loi de Poisson Approximation de la loi binomiale par une loi de Poisson Avantage calculatoire Coefficient binomial Approximation de la loi binomiale par une loi de Poisson Soit une variable aléatoire binomiale X B(n, p) Si n 50, p 01 et np 10 alors B(n, p) P(np) Exemple Soit X le nombre de cas d un maladie rare (1/10 000) d un échantillon de 1000 personnes X B(1000, 00001) P( ) = P(10) Remarque : le nombre moyen espéré de personnes atteintes par la maladie dans l échantillon est de 10 Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

35 Lois usuelles discrètes Loi de Poisson Loi de Poisson - Exercice Exercice Une maladie rare présente une prévalence de 2/ Quelle est la probabilité que dans un échantillon de personnes, on observe 0,1 ou 2 malades? 2 Quelle est la probabilité d observer au moins 3 malades? Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

36 Lois usuelles discrètes Loi de Poisson Loi de Poisson - Exercice Exercice Une maladie rare présente une prévalence de 2/ Quelle est la probabilité que dans un échantillon de personnes, on observe 0,1 ou 2 malades? 2 Quelle est la probabilité d observer au moins 3 malades? Correction Soit X la variable aléatoire qui associe à un échantillon de personnes le nombre de malades X B(10000, 2/10000) Comme n = > 50, p = 2/10000 > 01 et np = /10000 = 2 < 10 B(10000, 2/10000) P(2) 1 P(X = 0) = 013 ; P(X = 1) = 027 ; P(X = 2) = P(X 3) = 1 P(X 2) = 1 ( ) = 033 Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

37 Lois usuelles continues Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes 3 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi exponentielle Loi normale 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

38 Lois usuelles continues Loi uniforme Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes 3 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi exponentielle Loi normale 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

39 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi uniforme - Définition Définition La va X suit une loi uniforme sur l intervalle [a, b], a < b, notée U [a,b], si sa fonction de densité f (x) est donnée par : 1 si x [a, b] f (x) = (b a) 0 sinon Loi uniforme entre 2 et 4 f(x) x Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

40 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi uniforme - Définition Calculer E[X ] Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

41 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi uniforme - Définition Calculer E[X ] E[X ] = + a xf (x)dx = xf (x)dx + }{{} b =0 b a + xf (x)dx + xf (x)dx b } {{ } =0 1 = x( a b a )dx [ ] 1 x 2 b 1 1 = = (b a) 2 a (b a) 2 (b2 a 2 ) 1 = (b a)(b + a) 2(b a) E[X ] = b + a 2 Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

42 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi uniforme - Définition Variance de X V [X ] = E[X 2 ] E[X ] 2 + ( ) ( 1 b + a = x 2 dx b a 2 ) 2 On admettra : V [X ] = (b a)2 12 Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

43 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi uniforme - Définition Fonction de répartition Rappel : Pour toute loi continue on peut calculer la probabilité que la variable aléatoire [a, b] présente des valeurs comprises dans un intervalle [a, b] via la densité de probabilité : P(X [a, b]) = b a f (x)dx via la fonction de répartition F (x) = P(X x) = x f (t)dt Fonction de répartition - Loi uniforme F (x) = x P(X [a, b]) = F (b) F (a) f (t)dt = x a f (t)dt = 1 b a [t]x a = x a b a Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

44 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi uniforme - Exemple Exercice On considére que la mesure d un caractére biologique chez des patients suit une loi uniforme sur l intervalle continu [0, 20] Soit X la var qui associe à un patient sa mesure biologique X U [0,20] 1 Quelle est la probabilité d avoir une mesure entre 14 et 18? 2 Quelle est la probabilité d avoir une mesure entre 4 et 8? Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

45 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi uniforme - Exemple Exercice On considére que la mesure d un caractére biologique chez des patients suit une loi uniforme sur l intervalle continu [0, 20] Soit X la var qui associe à un patient sa mesure biologique X U [0,20] 1 Quelle est la probabilité d avoir une mesure entre 14 et 18? 2 Quelle est la probabilité d avoir une mesure entre 4 et 8? Equiprobabilité!! P(X [14, 18]) = F (18) F (14) = 1/5 P(X [4, 8]) = F (8) F (4) = 1/5 Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

46 Lois usuelles continues Loi exponentielle Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes 3 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi exponentielle Loi normale 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

47 Lois usuelles continues Loi exponentielle Loi exponentielle - Définition La loi exponentielle modélise la survie au sens large (être humains, appareils, piéces mécaniques ) Elle a pour paramètre λ > 0 et est notée E(λ) X : temps de survie : Fonction de répartition P(X x) = e λx = S(x) x R +, P(X x) = 1 e λx Fonction de densité Moments f (x) = { λe λx si x 0 0 si x < 0 E[X ] = 1 λ V [X ] = 1 λ 2 Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

48 Lois usuelles continues Loi exponentielle Loi exponentielle - Définition Loi exponentielle de paramètre lambda = 1/2 f(x) x Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

49 Lois usuelles continues Loi exponentielle Loi exponentielle - Exemple Le temps de survie de patients atteints d un certain cancer peut être modélisé par une loi exponentielle de moyenne 2 ans Soit X une var qui associe à un patient sa durée de survie en années 1 Quelle est la probabilité de survivre au bout d un an? 2 ans? 5 ans? Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

50 Lois usuelles continues Loi exponentielle Loi exponentielle - Exemple Le temps de survie de patients atteints d un certain cancer peut être modélisé par une loi exponentielle de moyenne 2 ans Soit X une var qui associe à un patient sa durée de survie en années 1 Quelle est la probabilité de survivre au bout d un an? 2 ans? 5 ans? Correction On sait que E[X ] = 2 λ = 1/2, X E(1/2) P(X 1) = 1 F (1) = S(1) = 1 (1 e 1/2 ) = e 1/2 = 061 P(X 2) = e 1 = 037 P(X 5) = e 5/2 = 008 Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

51 Lois usuelles continues Loi normale Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes 3 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi exponentielle Loi normale 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

52 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale générale - Définition Loi normale, Loi gaussienne, Loi de Gauss, Loi de Laplace-Gauss Loi trés importante en statistique : De nombreux phénoménes suivent une loi proche Certaines lois convergent vers une loi Normale sous certaines conditions Rôle important dans l estimation statistique Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

53 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale générale - Définition Définition Soit X une var X suit une loi normale de paramètres (µ, σ), notée N (µ, σ), si X admet comme densité : x R, µ R, σ R + f (x) = 1 1 ( x µ σ 2π e 2 σ ) 2 Remarques E[X ] = µ V [X ] = σ 2 Cette loi est symétrique par rapport à µ : F ( x) = 1 F (x) Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

54 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale générale - Définition Loi normale N(0,1) f(x) x Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

55 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale générale - Définition Lois normales N(0,1) et N(0,2) f(x) N(0,1) N(0,2) x Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

56 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale générale - Définition Lois normales N(0,1) et N(2,1) f(x) N(0,1) N(2,1) x Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

57 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale générale - Définition Fonction de répartition Probléme : F (x) = P(X x) = x f (t)dt = x 1 ( t µ 1 σ 2π e 2 σ F (x) n a pas d expression explicite (analytique) en fonction de x!! Solution : Nécessité d utiliser des tables Méthode des trapézes : autant de calculs de lois possibles On utilise une normalisation pour utiliser une seule table ) 2 Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

58 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale - Définition Définition Soit X une variable aléatoire continue de moyenne µ et d écart-type σ On appelle variable centrée-réduite la va X définie par X = X µ σ E[X ] = 0 (Centrée), V [X ] = 1 (Réduite) Conséquence : Si X N (µ, σ) alors X N (0, 1) La fonction de répartition de X, notée Φ(x), est tabulée Souvent notée Z ou U Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

59 Lois usuelles continues Loi normale Table de la loi Normale centrée-réduite Présentation des tables Table de la fonction de répartition Φ(u) de la loi normale centrée réduite Cette table indique les probabilités des intervalles sous la forme ], u] pour des valeurs positives de u C est la fonction de répartition Φ telle que Φ(u) = u f (t) dt Pour des valeurs négatives de u, on utilise la symétrie de la courbe Table de distribution de U, loi normale centrée réduite On veut déterminer u tel que P(U u) = F (u) = 1 α ou P(U u) = G(u) = α La table donne u α en fonction de α Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

60 1 2 Lois usuelles continues Loi normale Pour les valeurs négatives de x, on utilise la propriété suivante : Loi normale centrée-réduite Table F ( x) =1 F (x) x Φ(164) = P(X 09904< 164) = Φ( 164) = 1 Φ(164) = Michaël Genin (Université de Lille ) Lois usuelles Version octobre / 66 Soit X N (0, 1)

61 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale - Exercice Exercice : Poids des bébés à la naissance Le poids des bébés à la naissance suit une loi normale de moyenne 3,3 Kg et d écart-type 0,6 Kg On note X la variable aléatoire poids des bébés à la naissance 1 Calculer la probabilité que 2, 12 X 4, 48 2 Déterminer la limite du poids correspondant aux 10% des bébés les plus gros Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

62 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale - Exercice X : poids des bébés à la naissance X N (µ = 33, σ = 06) Z : va centrée réduite Z = X µ σ ( P(212 < X < 448) = P < Z < 06 = P( 197 < Z < 197) ) Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

63 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale - Exercice P(212 < X < 448) = P( 197 < Z < 197) = F (197) F ( 197) = F (197) [1 F (197)] = 2 F (197) 1 = Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

64 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale - Exercice l : limite du poids correspondant aux 10% des bébés les plus gros P X } {{ } Z P(X l) = 010 P(X < l) = = 090 < l 33 } 06 {{} l = 090 Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

65 Lois usuelles continues Loi normale Loi normale - Exercice La valeur de l telle que P(Z < l ) = 090 est l =12816 l = l 41kg Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

66 Théorèmes de convergence Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes 3 Lois usuelles continues 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

67 Théorèmes de convergence Rappel : Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson correcte quand n 50, p 10, np 10 La loi binomiale et la loi de Poisson peuvent être approchées par une loi normale Approximation de la loi binomiale par la loi normale Si n > 30, np > 5 et n(1 p) > 5 alors : B(n, p) N (np, np(1 p)) Logique car E[X ] = np et V [X ] = np(1 p) Approximation de la loi de Poisson par la loi normale Si n 30 et λ 10 alors P(λ) N (λ, λ) Logique car E[X ] = V [X ] = λ Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

68 Théorèmes de convergence Approximation de la loi binomiale par la loi normale Loi binomiale B(5,1/3) Loi binomiale B(10,1/3) P(X=x) P(X=x) x x Loi binomiale B(20,1/3) Loi binomiale B(100,1/3) P(X=x) P(X=x) x Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66 x

69 Théorèmes de convergence Approximation de la loi binomiale par la loi normale Approximation d'une loi binomiale B(100,1/3) par une loi normale P(X=x) N(100*3,sqrt(100*1/3*2/3)) x Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

70 Théorèmes de convergence Approximation de la loi de Poisson par la loi normale Loi de Poisson P(2) Loi de Poisson P(5) P(X=x) P(X=x) x x Loi de Poisson P(15) Loi de Poisson P(50) P(X=x) P(X=x) x Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66 x

71 Théorèmes de convergence Approximation de la loi de Poisson par la loi normale Approximation d'une loi de Poisson P(50) par une loi normale N(50,sqrt(50)) P(X=x) x Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

72 Théorèmes de convergence Théorème Central - Limite (TCL) Théorème très important en statistique Idée : convergence en loi de la somme de va iid vers la loi normale Utile dans l approximation d une loi par une loi normale (Binomiale, Poisson,) Utile, essentiel dans la théorie de l estimation Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

73 Théorèmes de convergence Théorème Central - Limite (TCL) Contexte : Epreuves répétées caractérisées par une suite X 1, X 2,, X n de va iid E[X i ] = µ et V [X i ] = σ 2 Soit S n = n i=1 X i et Z n la variable centrée-réduite : Z n = S n nµ σ n Théorème x, la fonction de répartition F n (x) = P(Z n x) est telle que lim Fn(x) = Φ n avec Φ fonction de répartition de N (0, 1) Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

74 Théorèmes de convergence Théorème Central - Limite (TCL) Autrement dit, une variable aléatoire résultant de la somme de plusieurs va ayant même loi et paramètres est distribuée selon une loi normale centrée réduite lorsque le nombre d épreuves tend vers l infini Le TCL s applique quelque soit la loi de probabilité suivie par les va discrètes ou continues, pourvu que les épreuves soient indépendantes, reproductibles et en très grand nombre Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

75 Compléments Point étudié 1 Exemple introductif 2 Lois usuelles discrètes 3 Lois usuelles continues 4 Théorèmes de convergence 5 Compléments Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

76 Compléments Lois déduites de la loi Normale Loi du χ 2 de Pearson Soient X 1, X 2,, X n avec X i N (0, 1) Soit Y = n i=1 X 2 i Alors Y suit une loi du Khi-deux de Pearson à n degrés de libertés Y χ 2 n ddl Cette loi est tabulée, à la manière de la loi normale Utilité dans les tests statistiques!! Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

77 Compléments Lois déduites de la loi Normale Loi de Student Soit U N (0, 1) et V χ 2 n ddl, U et V étant indépendantes Soit : T n = U V n Alors T n suit une loi de Student à n degrés de liberté T n T n ddl Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66

78 Compléments Loi de Fisher-Snédécor Soient X 1 χ 2 ν 1 ddl et X 2 χ 2 ν 2 ddl, X 1 et X 2 étant indépendantes Soit : F = X 1/ν 1 X 2 /ν 2 F suit une loi de Fisher-Snedecor à ν 1 et ν 2 degrés de liberté F F (ν1,ν 2 ) ddl Michaël Genin (Université de Lille 2) Lois usuelles Version - 16 octobre / 66