IICT BAS еissn: Lecture Notes in Computer Science and Technologies. Statistique inférentielle. Vera Angelova. eisbn:

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1 IICT BAS еissn: Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies Statistique iféretielle Vera Agelova eisbn:

2 The series Lectures Notes i Computer Sciece ad Techologies of the Istitute of Iformatio ad Commuicatio Techologies at the Bulgaria Academy of Scieces presets i a electroic format textbooks for udergraduate, graduate ad PhD studets studied various programs related to Iformatics, Computatioal Mathematics, Mathematical Modelig, Commuicatio Techologies, etc., as well as for all readers iterested i these scietific disciplies. The Lecture Notes are based o courses taught by scietists of the Istitute of Iformatio ad Commuicatio Techologies - BAS i various Bulgaria uiversities ad the Ceter for Doctoral Traiig i BAS. The published materials are with ope access - they are freely available without ay charge. Editorial board Geady Agre (Editor-i-Chef), IICT-BAS е-mail: agre@iif.bas.bg Vera Agelova, IICT-BAS е-mail: vagelova@iit.bas.bg Pecho Mariov, IICT-BAS е-mail: pecho@bas.bg eissn: The series is subject to copyright. All rights reserved i traslatio, pritig, usig illustratios, citatios, distributio, reproductio o microfilm or i other ways, ad storage i a database of all or part of the material i the preset editio. The copy of the publicatio or part of the cotet is permitted oly with the coset of the authors ad / or editors IICT - BAS 016

3 Avec la collaboratio de madame Viviae Baligad et mosieur Fraçois Mimiague - Professeur à l Uiversité de Bordeaux IV, qui ot posé les basses de l eseigemet e Statistique au programme fraçais de la Faculté de gestio et d écoomie à l Uiversité de Sofia.

4 Table des matières 1 Echatilloage - rappel Itroductio Les problèmes de distributio d échatilloage Distributio d échatilloage de la moyee X Distributio de la variace d échatillo S X Distributio d échatilloage d ue proportio F Sythèse sur les distributios d échatilloage Estimatio 16.1 Estimatio poctuelle Qualités d u estimateur Les estimateurs les plus utilisés Estimatio par itervalle de cofiace Itervalle de cofiace de la moyee d ue populatio : µ Itervalle de cofiace de la proportio d ue populatio : p Précisio - Taille d échatillo - Risque d erreur Itervalle de cofiace de la variace de la populatio : σ Comparaisos Estimatio poctuelle de la différece de moyees Itervalle de cofiace de la différece de moyees Différece de proportios Rapport de variaces ( comparaiso de variaces ) Sythèse sur l estimatio Les tests d hypothèse 48

5 3.1 Gééralités Pricipe d u test d hypothèses Défiitio des cocepts utiles à l élaboratio des tests d hypothèse Tests permettat de détermier si u échatillo appartiet à ue populatio doée Test sur ue moyee : comparaiso d ue moyee expérimetale à ue moyee théorique das le cas d u caractère quatitatif Tests sur ue proportio Risques de première et de deuxième espèce Défiitios Schématisatio des deux risques d erreur sur la distributio d échatilloage Exemples d applicatio Comparaisos. Tests permettat de détermier si deux échatillos appartieet à la même populatio Comparaiso de deux moyees d échatillo : test T Comparaiso de deux variaces d échatillo : test F Comparaiso de deux proportios d échatillo Tests o-paramétriques Test d ajustemet de deux distributios : test du khi-deux Test d idépedace du khi-deux Test d homogééité de plusieurs populatios Bibliographie 8 Aexe 83 Schémas Sythèse sur les distributios d échatilloage Sythèse sur les distributios d échatilloage Estimatio poctuelle. Sythèse Itervalle de cofiace. Sythèse Tables statistiques Table de la loi Normale Fractiles de la loi Normale Fractiles de la loi du χ ν

6 Table de la loi de Studet Table de la loi de Fisher-Sedecor p = Table de la loi de Fisher-Sedecor p = Table de la loi de Fisher-Sedecor p = Feuilles Feuille 1 : Échatilloage Feuille : Estimatio Feuille 3 : Les tests d hypothèse Feuille 4 : Préparatio pour les cotrôles

7 Statistique iféretielle 1 Chapitre 1 Echatilloage - rappel 1.1 Itroductio L échatilloage représete l esemble des opératios qui ot pour objet de prélever u certai ombre d idividus das ue populatio doée. Avatages de l échatilloage L aalyse d u échatillo, par rapport à celle de la populatio, cout moidre, gai de temps et c est la seule méthode qui doe des résultats das le cas d u test destructif. Figure 1.1 : Statistique descriptive Icovéiets de l échatilloage L échatilloage a pour but de fourir suffisammet d iformatios pour pouvoir faire des déductios sur les caractéristiques de la populatio. Les résultats obteus d u échatillo à l autre sot e gééral différets et différets égalemet de la valeur de la caractéristique correspodate das la populatio. Ces différeces sot dues aux fluctuatios d échatilloage. Pour pouvoir tirer des coclusios valables, il faut détermier les lois de probabilités qui régisset ces fluctuatios. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

8 Vera Agelova Pour que les résultats observés lors d ue étude soiet gééralisables à la populatio statistique, l échatillo doit être représetatif de cette derière, c est à dire qu il doit refléter fidèlemet sa compositio et sa complexité. Seul l échatilloage aléatoire assure la représetativité de l échatillo. U échatillo est qualifié d aléatoire lorsque chaque idividu de la populatio a ue probabilité coue et o ulle d apparteir à l échatillo. Le cas particulier le plus cou est celui qui attribue à chaque idividu la même probabilité d apparteir à l échatillo. Il y a grades catégories de méthodes d échatilloage : l échatilloage o aléatoire : l aalyste utilise so expériece et so jugemet pour costituer l échatillo avec tous les risques de o représetativité de celui-ci. O idetifie das la populatio-mère, quelques critères de répartitio sigificatifs puis o essaye de respecter cette répartitio das l échatillo d idividus iterrogés. La méthode d échatilloage o-probabiliste est utilisée lorsqu il est pas possible de costituer ue liste exhaustive de toutes les uités du sodage. l échatilloage aléatoire ou probabiliste : il permet de calculer précisémet l erreur due à l échatilloage et par coséquet de juger de la valeur de l iformatio partielle obteue (doc de la représetativité de l échatillo). Par la suite, ous e parleros que de l échatillo aléatoire simple : c est u échatillo choisi de telle sorte que chaque uité de la populatio ait la même probabilité d être sélectioée das l échatillo et que chaque échatillo de même taille tiré de la populatio ait la même probabilité d être choisi. O laisse das ce cas le hasard choisir l échatillo e utilisat par exemple ue table de ombres au hasard. U échatillo aléatoire simple peut être tiré avec ou sas remise. Das l échatillo aléatoire simple avec remise, chaque uité est remise das la populatio après avoir été observée et avat qu ue autre uité soit choisie. Il y a doc idépedace etre les résultats d u tirage à l autre et chaque uité coserve la même probabilité d être sélectioée. Das l échatillo aléatoire simple sas remise (échatilloage exhaustif), l uité tirée est pas remise ce qui modifie, pour ue uité particulière, la probabilité d être choisie d u tirage à l autre (si l échatillo est choisi das ue populatio fiie de N uités, chaque uité a ue probabilité 1 d être choisie au 1er tirage, chaque uité restate ue probabilité 1 d être N N 1 choisie au e tirage, etc...). Das ce cas, il y a pas d idépedace d u tirage à l autre. Si l o a affaire à ue populatio ifiie ou si, taille de l échatillo, est relativemet petite par rapport à N, taille de la populatio mère, o peut supposer qu il y a idépedace d ue épreuve à l autre, même si les tirages sot effectués sas remise. Das le cas cotraire, lorsque la populatio est fiie et lorsque > 0, 05N, il faut teir compte d u facteur de correctio ou d exhaustivité (voir l estimatio de l écart type). O distigue catégories de problèmes : les problèmes de distributio d échatilloage : lorsque o coaît la valeur de certais paramètres de la populatio mère et o cherche à iduire des reseigemets sur les Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

9 Statistique iféretielle 3 valeurs que peuvet predre ces paramètres das l échatillo. les problèmes d estimatio : o coaît la valeur de certais paramètres das l échatillo et o cherche à iduire des reseigemets sur les valeurs que peuvet predre ces paramètres das la populatio mère. Das la suite du cours o utilisera les otatios les suivates : pour la populatio mère : taille : N, moyee arithmétique de la variable étudiée : µ, variace : σ, écart type : σ. pour l échatillo : taille :, moyee arithmétique mesurée sur l échatillo : x, variace : s, écart-type : s. Populatio Échatillo Défiitio Esemble des uités cosidérées par le statisticie Sous-esemble de la populatio choisie pour étude Caractéristiques Paramètres Statistiques Taille N Caractère quatitatif moyee de la populatio moyee de l échatillo µ = 1 N N i=1 x i x = 1 i=1 x i écart-type de la populatio σ = 1 N N i=1 (x i µ) s = écart-type de l échatillo 1 i=1 (x i x) s = s 1 Caractère qualitatif proportio das la populatio p proportio das l échatillo f Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

10 4 Vera Agelova 1. Les problèmes de distributio d échatilloage 1..1 Distributio d échatilloage de la moyee X Das ue populatio mère de taille N, o peut tirer plusieurs échatillos de taille : Pour chaque échatillo, o peut calculer ue moyee : ( ) CN = N!.!(N )! x = 1 x i. i=1 et ue variace s = 1 (x i x). i=1 La valeur de l espérace mathématique x et de la variace s variet d u échatillo à l autre. C est cette variatio qui doe aissace à la distributio des variables aléatoires : échatilloage de la moyee ou moyee d échatillo X, caractérisée par :. E( X) : l espérace mathématique des moyees calculées sur tous les échatillos de taille s X : l écart type de la distributio d échatilloage, qui représete la dispersio de l esemble des moyees d échatillos de taille autour de E( X) variace d échatillo S X défiie par S X = 1 S X = 1 1 (X i X). L espérace de S X est la variace de la populatio et S X /E(S X) = σ / est u estimateur sas biais de σ. i=1 I. Cas : moyee µ et écart-type σ de la populatio cous : A) Si la populatio est ifiie ou si l échatilloage est o exhaustif (tirage avec remise) : l espérace mathématique de X est égale à la moyee de la populatio : E( X) = µ Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

11 Statistique iféretielle 5 la variace de X est égale à la variace de la populatio divisée par la taille de l échatillo : s X = σ s X = σ. Soit E 1, E,..., E p : p échatillos de taille issues d ue même populatio mère de moyee µ et de variace σ. Soit x 1, x,..., x p : leurs moyees respectives. Soit X : la variable aléatoire qui pred pour valeur ces moyees : X = x 1, x,..., x p Alors lorsque 30, X N(µ, σ ) e vertu du théorème cetral limite. Exemple 1..1 /Feuille 1/ Ue machie effectue l esachage d u produit. O sait que les sacs ot u poids moye de 50g avec u écart-type de 5g. Quelles sot les caractéristiques de la moyee des poids d u échatillo de 100 sacs? Solutio. (P ) : µ = 50, σ =, 5; (E) : = 100 > 30 X suit la loi ormale de paramètres µ = 50 et σ = 5 10 =, 5. Remarque 1 1. La moyee de la distributio d échatilloage des moyees est égale à la moyee de la populatio.. O costate que plus croît, plus V ar( X) décroît. La distributio des moyees d échatillo est mois dispersée que la distributio iitiale. E effet, à mesure que la taille de l échatillo augmete, ous avos accès à ue plus grade quatité d iformatios pour estimer la moyee de la populatio. Par coséquet, la différece probable etre la vraie valeur de la moyee de la populatio et la moyee échatilloage dimiue. L étedue des valeurs possibles de la moyee échatilloale dimiue et le degré de dispersio de la distributio aussi. σ X = σ est aussi appelé l erreur-type de la moyee. B) Si l échatilloage est exhaustif (tirage sas remise) das ue populatio fiie (avec > 0.05N) : o doit teir compte d u facteur d exhaustivité pour détermier s X. Celui-ci deviet : s X = σ N N 1. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

12 6 Vera Agelova Échatilloage exhaustif (tirage sas remise) das ue populatio fiie avec > 0.05N ( ) σ N X N µ, N 1 Exemple 1.. /Feuille 1/ Das ue usie textile, o utilise ue machie automatique pour couper des morceaux de tissu. Lorsque la machie est correctemet ajustée, la logueur des morceaux de tissu est e moyee de 90 cm avec u écart type de 0.60 cm. Pour cotrôler la logueur des morceaux de tissu, o tire das la productio d ue jourée u échatillo aléatoire de 00 morceaux. a) Si l o suppose que la logueur X des morceaux de tissu suit ue loi ormale, calculer la probabilité que la moyee de l échatillo soit au plus égale à cm, ceci das cas : productio de la jourée : morceaux productio de la jourée : 000 morceaux. b) Détermier la même probabilité sas faire l hypothèse que X soit distribuée ormalemet. c) Si la moyee observée sur cet échatillo est de cm, celui-ci est-il représetatif de la populatio mère e preat u risque de 5 % de se tromper? (avec N = ). Solutio : a) Productio jouralière = N = ; Taille de l échatillo = = 00 ; N = 0.0 Même si l échatilloage est exhaustif, ce est pas la peie de teir compte du coefficiet d exhaustivité. Das ce cas E( X) = 90 cm et s X = σ = = Comme X N(90, 0.6) X N(90, 0.04) P ( X 89.9) = P ( T ) = P (T.38) = 1 π(.38) = % 0.04 Productio jouralière = N = 000 N d exhaustivité = 0.1 o doit teir compte du coefficiet P ( X 89.9) = P s X = σ N N 1 = = 0.04 X N(90, 0.04) ( T ) = P (T.5) = 1 π(.5) = % 0.04 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

13 Statistique iféretielle 7 b) Même si l o e fait plus l hypothèse que X soit ue variable ormale, comme = 00 > 30, le théorème cetral limite permet de dire quel X N(90, 0.04) pour N = O trouvera doc la même probabilité P ( X 89.9) = , 87%. c) L échatillo est représetatif de la populatio mère avec u itervalle de cofiace de 95 % lorsque : P (µ t s X x µ + t s X) = 0.95 Lorsque la probabilité d u itervalle symétrique est de 0.95, o a ( t = 1.96 π(t) π( t) = π(t) 1 = 0.95 π(t) = 1.95 ) = 0, 975 t = 1, 96. P ( x ) = 0.95 L itervalle est doc [89.917; 90.08]. Comme x = 90.3 cm, e se situe pas das cet itervalle de cofiace, l échatillo est pas jugé représetatif de la populatio mère (avec u risque de 5 % de se tromper). C) Distributio de X 1 X Il peut arriver e statistique que l o désire comparer populatios relativemet à ue certaie caractéristique X. Populatio 1 : caractéristique X 1, moyee : µ 1, variace σ 1, écart-type σ 1 Populatio : caractéristique X, moyee : µ, variace σ, écart-type σ Pour comparer ces populatios, o tire idépedammet u échatillo aléatoire de taille 1 das la 1re et u échatillo aléatoire de taille das la e et o cosidère la distributio de la différece ( X 1 X ). D après les propriétés de l espérace mathématique et de la variace, o a : E( X 1 X ) = µ 1 µ σ X1 X = σ σ σ X1 X = σ1 + σ = s X1 + s X 1 Si X 1 N(µ 1, σ 1 ), X N(µ, σ ) ( X1 X ) σ N 1 µ 1 µ, + σ 1 Si 1 et sot grads (supérieurs à 30), quelles que soiet les distributios de X 1 et X, ( X 1 X ) suivra ue loi ormale de mêmes paramètres, e vertu du théorème cetral limite. O utilisera le facteur d exhaustivité das les mêmes coditios (tirages sas remise, populatios fiies avec i > 0.05N i ). Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

14 8 Vera Agelova Exemple 1..3 /Feuille 1/ Deux sociétés fabriquet des piles électriques d u certai format. Les piles de la société 1 ot ue durée d utilisatio moyee de 30 heures avec u écart type de 30 heures. Les piles de la société ot ue durée d utilisatio moyee de 10 heures avec u écart type de 0 heures. Quelle est la probabilité que la durée d utilisatio moyee d u échatillo aléatoire simple de 100 piles de la société 1 soit d au mois 30 heures de plus que la durée d utilisatio moyee d u échatillo aléatoire simple de 15 piles de la société? Solutio : Soit : X 1 la durée d utilisatio des piles de la société 1, X la durée d utilisatio des piles de la société. O e coaît pas les distributios de X 1 et X, mais comme les tailles 1 = 100 et = 15 sot grades (> 30), o peut dire que : ( ) ( X 1 X 30 ) N 30 10, ( X 1 X ) N(0; 3.493) ( ) P ( X 1 X ) = P T > = P (T >.86) = 1 π(.86) = = 0.1% II. Cas : variace σ de la populatio icoue A. U grad échatillo ( 30) permet de déduire ue valeur fiable pour σ e calculat la variace de l échatillo s et e posat σ = 1 s = 1 1 Les remarques précédetes restet valables : U grad échatillo 30 de variace s ( ) s X N µ, 1 (x i x). i=1 B. Cas des petits échatillos : < 30 O cosidère exclusivemet le cas où X suit ue loi ormale das la populatio. Lorsque l échatilloage s effectue à partir d ue populatio ormale de variace icoue et que la taille de l échatillo est petite ( < 30), l estimatio de la variace effectuée par la Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

15 Statistique iféretielle 9 variace de l échatillo est plus fiable. Comme s varie trop d échatillo e échatillo, o e peut plus écrire que σ 1 s. L écart-type de la distributio de X σ, approximé par σ s 1 est plus ue costate et sa valeur varie das chaque échatillo. La variable écart-type d échatillo, otée S est ue variable aléatoire, défiie par S = 1 i=1 (X i X). X µ s/ = 1( X µ) 1 s Cosidéros la variable aléatoire T = ue costate. Alors, la variable T e suit ue loi ormale. E divisat umérateur et déomiateur par σ, o écrit T sous la forme 1( X µ) 1 X µ σ/ T = = s ( ). i=1, dot le déomiateur est pas dot le umérateur est composé par ue variable aléatoire qui suit ue loi N(0, 1), multipliée par u facteur 1, et le déomiateur est ue somme de carrés de variables suivat aussi la loi N(0, 1). Le carré du déomiateur suit doc ue loi du χ. Pour pouvoir utiliser correctemet les tables du χ il faut détermier le ombre de degrés de liberté. Le ombre de degrés de liberté est toujours associée à ue somme de carrés et représete le ombre de carrés idépedats das cette somme. O peut calculer le ombre de degrés de liberté d après deux règles : - o effectue la différece etre le ombre total de carrés et le ombre de relatios qui liet les différets élémets de la somme ; - o effectue la différece etre le ombre total de carrés et le ombre de paramètres que l o doit estimer pour effectuer le calcul. Pour détermier les degrés de liberté de la somme i=1 ( X i X ), d après la première règle le σ ombre de carrés das la somme est. Il y a ue relatio etre les variables i=1 (X i X) = 0. Le ombre de degrés de liberté est doc 1. D après la deuxième règle le ombre de carrés das la somme est. Lorsqu o dit que i=1 ( X i X σ ) est ue somme de carrés de variables ormales cetrées réduites, o remplace µ par X. O a estimé u paramètre. doc le ombre de degrés de liberté est 1. Si < 30, et σ icou, la variable T = degrés de liberté, otée T 1. X µ s/ 1 X i X σ suit ue loi de Studet à 1 Exemple 1..4 /Feuille 1/ Le resposable d ue etreprise a accumulé depuis des aées les résultats à u test d aptitude à effectuer u certai travail. Il semble plausible de supposer que les résultats au test d aptitude sot distribués suivat ue loi ormale de moyee µ = 150 et de variace σ = 100. O fait passer le test à 5 idividus de l etreprise. Quelle est la probabilité que la moyee de l échatillo soit etre 146 et 154? Solutio : O cosidère la variable aléatoire X moyee d échatillo pour les échatillos de taille = 5. O cherche à détermier P (146 < X < 154). Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

16 10 Vera Agelova Pour cela, il ous faut coaître la loi suivie par X. Examios la situatio. Nous sommes e présece d u petit échatillo ( < 30) et heureusemet das le cas où la variable X (résultat au test d aptitude) suit ue loi ormale. De plus, σ est cou. Doc X σ suit N(µ, ) = N(150, 10/5). O e déduit que Z = X 150 suit N(0, 1). La table doe P (146 < X < 154) = ( ) P < Z < = P ( < Z < ) = P (0 < Z < ) = (P (Z < ) P (Z < 0)) = (0, 977 0, 5) = = Distributio de la variace d échatillo S X Supposos que X suit ue loi ormale. O cosidère la variable Y = S X σ = σ 1 i=1 (X i X) = ( i=1 ) X i. X σ Y est ue somme d écarts réduits relatifs à ue variable ormale, doc Y suit ue loi du χ à 1 degrés de liberté (o perd u degré de liberté car o a estimé le paramètre µ par X). Y = S X σ χ 1. Comme S = 1 S et d ici S = 1 S o pet écrire Y = ( 1)S X σ χ 1. Approximatio de la distributio de S das le cas des grads échatillos : 30 Lorsque est grad ( 30), o peut approcher la loi χ ν par la loi N(ν, ν). Doc Y suit approximativemet ue loi ormale, E(Y ) 1 = ν et V ar(y ) ( 1) = ν. Y = ( 1)S X σ = νs X σ χ ν 30 N(ν, ν). De Y = νs X σ N(ν, ν) et S = Y σ ν o a V (Y ) = ν; E(Y ) = ν; E(S X) ( ) Y σ = E = σ ν ν V (S X) ( ) Y σ = V = σ4 ν ν E(Y ) = σ ν ν = σ σ4 σ4 V (Y ) = ν = ν ν = σ4 1 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

17 Statistique iféretielle 11 et d ici o obtiet la distributio de S X, lorsque 30 Si 30, S X N ( ) σ, σ 1 e première approximatio. La loi de S X est alors approximativemet ormale, so espérace vaut σ et sa variace approximativemet V ar(s X) ( ) σ = V ar 1 Y = σ 4 σ4 V ar(y ) ( 1) Distributio d échatilloage d ue proportio F Das certaies circostaces e gestio, o peut traiter les doées sous forme de proportios (taux d absetéisme, de rebuts, de réussite...). Notatios : Populatio mère : p : proportio moyee ; q = 1 p = proportio complémetaire Echatillo : f : fréquece observée de l échatillo de taille. Soit F la fréquece d apparitio du caractère das u échatillo de taille. Doc F = X/ où X est le ombre de fois où le caractère apparaît das le -échatillo. Par défiitio X suit B(, p). Doc E(X) = p et V ar(x) = pq. A) Si la populatio est ifiie ou si l échatilloage est o exhaustif (tirage avec remise), o motre que : E(F ) = p; s F = pq pq ; s F = Si est grad ( 30) et p 15, q 15, alors B(, p ) N(p, pq ) et d ici F N(p, pq ) B) Si l échatilloage est exhaustif (tirage sas remise) das ue populatio fiie (avec > 0.05N) : o doit teir compte du facteur d exhaustivité. F N ( p, pq ) N N 1 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

18 1 Vera Agelova Échatilloage exhaustif (tirage sas remise) das ue populatio fiie (avec > 0.05N) ( ) pq N F N p, N 1 Exemple 1..5 /Feuille 7/ [] Le directeur fiacier d ue société sait par expériece que 1 % des factures émises e sot pas réglées das les 10 jours ouvrables suivat l échéace. Il fait prélever u échatillo aléatoire de 500 factures. Quelle est la probabilité qu au mois 70 factures e sot pas réglées das le délais, sachat que l esemble des factures pouvat être étudiées est de plusieurs dizaies de milliers. Solutio : Soit F = proportio d échatillo das u échatillo de taille 500. P ( F 500) 70 =? - Distributio d échatilloage d ue proportio F ; échatilloage exhaustif (tirage sas remise) das ue populatio fiie, mais < 0, 05N, doc il e faut pas teir compte du facteur d exhaustivité. Ici p = 0.1, q = 1 p = = Comme = 500 > 30, p = 500 0, 1 = 60 > 15, q = 500 0, 88 = 440 > 15 = approximatio de la loi biomiale par la loi ormale : ( ) ( ) pq 0, 1 0, 88 F N p, = N 0, 1; = N(0, 1; 0, 015) 500 P ( F 70 ) 500 = P = 1 P ( F > 69, ( Z < ) ( ) 0, 139 0, 1 = P Z > 0, 015 ) 0, 019 = 1 P (Z < 1, 7) = 1 π(1, 7) = 1 0, , 1 0, % de chaces pour que plus de 70 factures das u 500 échatillo soiet o réglées das le délais. Exemple 1..6 Selo ue étude sur le comportemet du cosommateur, 5% d etre eux sot ifluecés par la marque, lors de l achat d u bie. Si o iterroge 100 cosommateurs pris au hasard, quelle est la probabilité pour qu au mois 35 d etre eux se déclaret ifluecés par la marque? Solutio : Soit F = proportio d échatillo das u échatillo de taille 100. P (F > 0, 35) =? = il faut détermier la loi de F. = 100 > 30 ; p = 100 0, 5 = 5> 15 et q = 100 0, 75 = 75> 15 ( ) pq = F N p, = N(0, 5, 0, 0433). Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

19 Statistique iféretielle 13 O utilise la variable Z = F 0,5 0,0433 qui suit la loi N(0, 1). P (F > 0, 35) = P (Z >, 31) = 0, 5 P (0 < Z <, 31) = 0, 5 0, 4896 = 0, Coclusio :. Il y a eviro ue chace sur 100 pour que plus de 35 cosommateurs das u échatillo se diset ifluecés par la marque lorsque l esemble de la populatio cotiet 5% de tels cosommateurs. C) Distributio de F 1 F Lorsque 1 et sot grads, alors : (F 1 F ) N ( p1 q 1 p 1 p ; + p ) q 1 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

20 14 Vera Agelova 1.3 Sythèse sur les distributios d échatilloage Variable aléatoire Défiitio Paramètres descriptifs Loi F = X/, F Proportio d échatillo X B(, p) E(X) = p V ar(x) = pq E(F ) = p V ar(f ) = pq 30, p > 15, q > 15 B(, p ) N ( p, ) pq tirage avec remise (sas remise et < 0, 05N) F N ( p, ) pq tirage sas remise et > 0, 05N ( F N p, ) pq N N 1 F 1 F F 1 ( N p 1, p1 q 1 1 ) F ( N p, p q ) F 1 F E(F 1 F ) = p 1 p V ar(f 1 F ) = p1 q p q 1 30 ; 30 F 1 ( F N p 1 p, p1 q p q ) Table 1.1 : Sythèse sur les distributios d échatilloage Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

21 Statistique iféretielle 15 Variable aléatoire Défiitio Paramètres descriptifs Loi X Moyee d échatillo X = 1 (X X) E( X) = µ 30 < 30, X N(µ, σ) = 1 i=1 X i V ar( X) = σ σ cou σ icou σ cou σ icou estimatio fiable ˆσ = 1 s estimatio fiable ˆσ = 1 s X1 : 1, µ1, σ1 X :, µ, σ X1 X E( X1 X) = µ1 µ ; V ar( X1 X) = σ 1 + σ 1 tirage avec remise ; tirage sas remise et < 0, 05N X N(µ, σ ) tirage sas remise et ) > 0, 05N X N σ (µ, N N 1 1, 30 ; i < 0, 05N X1 X N ( T = X µ s = 1 X µ s T T 1 1, < 30 et X1 N(µ1, σ1), X N(µ, σ) σ µ1 µ, 1 + σ 1 ) i > 0, 05N facteur d exhaustivité S X Variace d échatillo - estimatio S de σ X = 1 i=1 (X i X) E(S X) = 1 σ, 30 < 30 S X = 1 S i=1 (X i X) E(S X) = σ S X N = 1 1 ( σ, σ ( 1) ) ( 1)S X χ σ 1 Table 1. : Sythèse sur les distributios d échatilloage Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

22 16 Vera Agelova Chapitre Estimatio L estimatio fait part de la Statistique iféretielle L estimatio répod au problème réciproque à celui de l échatilloage : obteir de l iformatio sur la populatio à partir d échatillos. Ce problème comporte des icertitudes. Il e pourra être résolu que moyeat u certai risque d erreur. Figure.1 : [] Statistiques iféretielle Das les problèmes d estimatio, o cherche à se faire ue idée de la valeur d u paramètre icou de la populatio mère à partir de doées observées das u échatillo - iductio du particulier au gééral. L objectif est d obteir ue boe estimatio de µ, p et σ à partir de x, f et s, compte teu de l existece d ue dispersio das la distributio d échatilloage. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

23 Statistique iféretielle 17 Les méthodes d estimatio se diviset e grades catégories : l estimatio poctuelle : o estime la valeur du paramètre icou de la populatio mère par u seul ombre à partir de l iformatio fourie par l échatillo. l estimatio par itervalle de cofiace : o estime u paramètre d ue populatio doée par deux ombres qui formet u itervalle à l itérieur duquel le paramètre de la populatio a de grades chaces de se trouver. Les estimatios par itervalles idiquet la précisio d ue estimatio et sot doc préférables aux estimatios poctuelles. Exemple.0.1 Cosidéros la v.a. discrète X défiie par la face obteue e laçat le dé. E relaçat le dé 100 fois puis 1000 fois, ous avos obteu les répartitios suivates : Les Faces Probabilités 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Proportios (100 valeurs) Proportios (1000 valeurs) Table.1 : Résultats des lacers d u dé équilibré à 6 faces moyees sot doc : Moyee théorique : µ = p 1 x 1 + p x + p 3 x 3 + p 4 x 4 + p 5 x 5 + p 6 x 6 = (1/6) 1 + (1/6) + (1/6) 3 + (1/6) 4 + (1/6) 5 + (1/6) 6 Moyee observée O trouve : x = f 1 x 1 + f x + f 3 x 3 + f 4 x 4 + f 5 x 5 + f 6 x 6 sur les 100 valeurs : x 100 = sur les 1000 valeurs : x 1000 = µ = 3.5 x 100 = 3.75 x 1000 = 3.55 La proximité etre la moyee théorique (3.5) et les moyees observées (3.75 et 3.55) est due à la covergece des proportios observées f i vers les probabilités p i. Plus les effectifs sot importats, plus ces proportios sot proches des probabilités, et plus la moyee observée est proche de la moyee théorique (au ses de la covergece e probabilité). Le calcul détaillé pour la variace doe : Variace théorique : σ = p 1 x 1 + p x p 3 x 3 + p 4 x 4 + p 5 x 5 + p 6 x 6 µ Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

24 18 Vera Agelova Variace observée : s = f 1 x 1 + f x + f 3 x 3 + f 4 x 4 + f 5 x 5 + f 6 x 6 x O trouve, e otat s 100 et s 1000 les variaces des échatillos de taille 100 et 1000 : σ =.917 s 100 = s 1000 = Les covergeces des proportios f i vers les probabilités p i et de la moyee empirique x vers la moyee théorique µ assuret celle de la variace empirique vers la variace théorique. Mais cette covergece e probabilité est soumise au hasard, et c est pour cela que la variace empirique s 100 précédete est plus proche de la variace théorique σ que s Estimatio poctuelle.1.1 Qualités d u estimateur estimateur sas biais : Comme u estimateur est ue variable aléatoire (il y a autat d estimateurs que d échatillos de taille ), o dit que T est u estimateur sas biais d u paramètre θ de la populatio si E(T ) = θ. estimateur coverget : T est u estimateur coverget pour θ si à mesure que la taille de l échatillo augmete, T ted à predre ue valeur de plus e plus rapprochée de θ. estimateur efficace : T est l estimateur le plus efficace de θ s il est o biaisé et si sa variace est au mois aussi petite que celle de tout autre estimateur T o biaisé : E(T ) = θ et V (T ) V (T ). estimateur exhaustif : T est u estimateur exhaustif de θ si T résume toute l iformatio, coteue das l échatillo, qui est pertiete à θ. Plus u estimateur possédera de ces qualités, meilleur il sera..1. Les estimateurs les plus utilisés Estimatio poctuelle de la moyee de la populatio : µ = x Soit (X 1 ; X ;... ; X ) idépedates et idetiquemet distribuées (i.i.d.) observatios de X N(µ; σ) ou grad échatillo ( 30). i = 1; E(X i ) = µ ; V (X i ) = σ. Pour estimer la moyee µ de la populatio, o utilise le plus souvet la distributio d échatilloage de la moyee dot l estimateur est : X = 1 X i. i=1 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

25 Statistique iféretielle Estimateur sas biais : E( X) = E ( 1 ) X i = 1 i=1 E(X i ) = 1 i=1 µ = µ = µ. i=1. Estimateur coverget e probabilité : Cas : populatio ifiie ou tirage o exhaustif : ( ) V ( X) = s X 1 = V X i = 1 V (X i ) = 1 i=1 i=1 V ( X) = s X 0 quad +. i=1 σ = σ = σ 0 Cas : populatio fiie et tirage exhaustif (sas remise) : Si la populatio échatilloée a u ombre fii d idividus de taille N, o coçoit que la loi de la populatio chage après chaque tirage et que les tirages e soiet pas idépedats. O doit apporter le facteur de correctio : N 1 à la variace de l estimateur, si le taux de N 1 N sodage t = > 5%. N V ( X) = s X = σ ( ) N, comme N 1 N N 1 1 V ( X) = s X 0 quad +. Toutefois ce facteur de correctio peut être igoré ( 1) si le taux de sodage est iférieur à 5%. La distributio d échatilloage de la moyee : X = 1 X i. i=1 est u excellet estimateur de µ. La moyee x observée sur l échatillo est ue estimatio poctuelle de la moyee µ de la populatio : µ = x. Estimatio poctuelle de la proportio de la populatio : p = f Soiet A 1 ;... ; A i ;... ; A évéemets idépedats de probabilité p. Pour estimer la proportio p de la populatio, o utilise la proportio F de réalisatio des évéemets A i das l échatillo : F = 1 i=1 Ai L estimateur aisi défiit est : 1. Estimateur sas biais : Démostratio : Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

26 0 Vera Agelova O est rameé au cas estimatio de la moyee d ue loi de Beroulli. E effet, (X 1 ;... ; X i ;... ; X ) i.i.d. X i B(p) Beroulli i E(X i ) = p et V (X i ) = pq Y = i X i B(, p) Biomiale E(Y ) = p V (Y ) = pq avec q = 1 p F = Y = 1 i X i E(F ) = 1 E(Y ) = p V (F ) = 1 V (Y ) = pq ( grad : N 30) F N(p, pq ) E(F ) = p et V (F ) = pq si > 0.05N pq N F N(p, ) N 1 E(F ) = p.. Estimateur coverget e probabilité : Cas : populatio ifiie ou tirage o exhaustif : V ar(f ) = pq 0 quad + Cas : populatio fiie /de taille N/ et tirage exhaustif /taux de sodage t = > N 5%/ : V ar(f ) = pq N 0 quad +. N 1 La proportio f observée sur l échatillo est ue estimatio poctuelle de la proportio p de la populatio p = f. Détermier s F, lorsque la proportio p de la populatio mère est pas coue. s F = pq s F = pq. Si o e coaît pas p et q, o les remplace par f et (1 f) e teat compte de la correctio : s F = s F = f(1 f) = 1 f(1 f) N 1 N 1 f(1 f) 1 s F = tirage sas remise f(1 f) 1 > 0.05N. tirage avec remise. Exemple.1.1 /Feuille / Supposos qu ue etreprise compte 00 employés et que l échatillo de 50 employés a été prélevé au hasard parmi les deux cets. Cat. salariale/mois Nombre de salariés Mois de M.Euros 18 [ 4[ 0 4 M.Euros et plus 1 Total 50 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

27 Statistique iféretielle 1 1. Doer ue estimatio de la proportio de l esemble des employés dot le salaire mesuel est de M.Euros et plus.. Quel est le taux de sodage? 3. Détermier la probabilité qu au mois 30 employés de cet échatillo possèdet u salaire mesuel de M.Euros et plus lorsque la populatio échatilloée e cotiet 64%. Solutio : 1.) ˆp = f = 0+1 = 3 = 0.64 = 64% ) t = = 50 = 0.5 > N 00 3.) Soit F la v.a. proportio d échatillo das le cas de taux ( de sodage supérieur à 0.05 et proportio de la populatio p = 64% coue. O a F N p, ) pq N. N 1 P O cherche la probabilité P ( F 30 50) =? ( F 30 ) 50 ( = 1 P F 30 ) = 1 π 30/50 p 50 pq N N 1 30/ = 1 π = 0.5 = 5% = 1 π( ) = π( ) Estimatio poctuelle de la variace et de l écart-type de la populatio Cas : µ coue Soiet X 1 ; X ;... ; X observatios idépedates de même loi de moyee µ et de variace σ. Pour estimer σ, si la moyee µ est coue, o peut costruire l estimateur : S = 1 (X i µ) i=1 1. Estimateur sas biais : ( E(S 1 ) = E ) (X i µ) = 1 i=1 E ( (X i µ) ) = 1 i=1 V (X i ) = σ i=1 /V (X) = E ((X µ) ) ; V (X i ) = σ /. Estimateur coverget : ( ) V (S 1 ) = V (X i µ) = 1 V ( (X i µ) ) = 1 (E ( (X µ) 4) ( E ( (X µ) )) ) i=1 i=1 = 1 (µ 4 σ 4 ) 0, lorsque +, avec µ k = E ( (X µ) k). Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

28 Vera Agelova La variace s = 1 i=1 (x i µ) observée sur l échatillo est ue estimatio poctuelle de la variace σ de la populatio échatilloée lorsque la moyee µ de la populatio est coue. Cas : µ icoue Lorsque la moyee µ est icoue (cas le plus fréquet), pour estimer σ, o pourrait utiliser aturellemet l estimateur : S = 1 (X i X) i=1 après avoir estimé µ. Cepedat, l estimateur S est biaisé : E(S ) = 1 σ, o préfère alors d utiliser l estimateur : S = 1 S appelé : carré de la déviatio stadard empirique. 1. Estimateur sas biais : E(S ) = E ( ) 1 S = 1 E ( S ) = 1 1 σ = σ. Estimateur coverget : ( ) V ar(s 1 ) = V 1 S = V ( (X ( 1) i X) ) i=1 1 = (E ( (X 1 X) 4) ( E ( (X X) )) ) 1 ( = µ4 s 4) 1 0, avec µ 4 = E ( (X X) 4). La variace empirique s = 1 1 i=1 (x i x) = 1 s, basée sur la variace observée s sur l échatillo est ue estimatio poctuelle de la variace σ de la populatio échatilloée lorsque la moyee µ de la populatio est icoue. S = S est u estimateur sas biais de σ. 1 s = s est ue estimatio poctuelle de l écart-type σ de la populatio. 1 Das l estimatio poctuelle de la moyee µ, lorsqu o e coaît pas l écart-type de la populatio mère, o détermie s X : Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

29 Statistique iféretielle 3 s X = σ. Si o e coaît pas σ o le remplace par s et o a : s X = s où s = s 1 et s = (x i x), doc s X = i=1 s 1 Exemple.1. /Feuille / [8] Les prix d u article e 5 différets marchés d ue régio doée sot : i x i Calculer les estimatios poctuelles de la moyee et de l écart-type. Solutio L effectif = 5 de l échatillo est iférieur à 30 et la moyee µ et la variace σ de la populatio sot icous. O utilise les expressios d estimatio poctuelle les suivates : Moyee : ˆµ = x = 5 i=1 x i = 398 = Ecart-type : ˆσ = s = i=1 x i x 1 O ajoute ecore ue lige à la table : 5 i=1 = x i 5 x 1 4 i Total x i x i ˆσ = 1 s = 5 i=1 x i 5 x 4 = = Exemple.1.3 /Feuille / [8] La table de distributios des salaires e e de 100 employés d ue etreprise est doée ci-dessous : Classe Cetre de la classe Effectif x i i 400, , , , , Calculer les estimatios poctuelles de la moyee et de l écart-type. Solutio Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

30 4 Vera Agelova Comme les doées sot groupées e classes, o utilise les expressios pour D.G.1. O ajoute ecore deux coloes et ue lige à la table : Classe Cetre de la classe Effectif x i i i x i i x i 400, , , , , Totale Moyee : ˆµ = x = 1 k i=1 ix i = Ecart-type : ˆσ = s k = i=1 ix i 1 5 i=1 ix i = 6000 = 60 e. 100 x = = Estimatio par itervalle de cofiace Défiitio d ue régio de cofiace Le staticie fix à l avace u petit ombre α (0, 1) - u u iveau de risque, le seuil des probabilités sigificatives ou simplemet le seuil. Les valeurs usuelles de α sot 1%, 5% ou 10%. O cherche statistiques Λ 1 = f(x 1,..., X ) et Λ = f(x 1,..., X ) telles que l o ait P (Λ 1 θ Λ ) 1 α = Il y a ue probabilité forte (supérieure ou égale à 1 α) pour que l itervalle aléatoire [Λ 1, Λ ] cotiet le ombre icou θ. A la suite de prélèvemet de l échatillo Λ 1 pred la valeur θ 1 et Λ la valeur θ. L itervalle I.C. 1 α = [ θ 1, θ ] est u itervalle (uilatère ou bilatère) de cofiace pour θ de seuil α ou de iveau de cofiace 1 α U itervalle de cofiace de iveau de cofiace 95% a ue probabilité au mois égale à 0.95 de coteir la vraie valeur icoue θ. Par passage au complémetaire, le iveau de risque α correspodat à ue majoratio de la probabilité que la vraie valeur du paramètre θ e soit pas das I.C. 1 α. A iveau de cofiace fixé, ue régio de cofiace est d autat meilleure qu elle est de taille petite. Obtetio d u itervalle de cofiace Soiet Y = f(x 1,..., X ) et Z = g(x 1,..., X ) deux statistiques, telles que la v.a. T = Y θ Z obéisse à la loi ormale cetrée réduite ou à la loi de Studet. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

31 Statistique iféretielle 5 O cherche das les tables u ombre t α tel que : P ( T > t α ) α, c est-à-dire ecore P ( T t α ) 1 α O aura doc ce qui est équivalet à ( ) Y θ P Z t α 1 α P (Y t α Z θ Y + t α Z) 1 α. L itervalle I.C. 1 α = [Y t α Z, Y + t α Z] est, pour θ u itervalle de cofiace de seuil α. Choix du fractile t α O choisie das la table le fractile t α qui vérifie l égalité : pour u itervalle bilatéral P ( ) T > t α = α, qui est équivalet aux P (T > t α ) = α, et P (T < t α ) = α ; pour u itervalle uilatéral à droite P (T > t α ) = α; pour u itervalle uilatéral à gauche P (T < t α ) = α. Si o dimiue α, c est-à-dire augmete la cofiace, o augmete t α et, par suite augmete l itervalle de cofiace (plus u itervalle est grad, plus o peut avoir cofiace e lui) Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

32 6 Vera Agelova..1 Itervalle de cofiace de la moyee d ue populatio : µ µ est pas cou mais o sait que la moyee de l échatillo, X, est u excellet estimateur de µ. Cas : σ coue et 30 ou X N(µ, σ) Lorsque la variace de la populatio σ est coue, la distributio d échatilloage de X est approximativemet ormale de moyee E( X) = µ et de variace coue s X = σ. La statistique de test : O peut alors écrire : P X µ σ/ O détermie les fractiles t α N(0, 1) ( ) t α X µ σ/ t α ( de la loi N(0, 1) : P = 1 α. t α ) σ/ t α = 1 α [1] X µ Valeurs des fractiles t α de la loi N(0, 1) pour certais iveaux de risque α : α 1 α t α 0,1 0,9 1,645 0,5 0,95 1,960 0,01 0,99,576 O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de µ : x t α σ < µ < x + t α Marge d erreur das l estimatio de µ : E = t α L itervalle [ x t α cetré e x. σ ; x + t α σ. σ σ ] est bilatéral symétrique de iveau 1 α de la moyee µ Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

33 Statistique iféretielle 7 L itervalle de cofiace est l itervalle de valeurs tel que l o a ue probabilité de (1 α) (fixée à l avace) d avoir la moyee µ comprise etre les bores x t α s x et x + t α s x : P ( x t α s x < µ < x + t α s x) = (1 α) Ceci est strictemet valable que si la populatio est distribuée ormalemet ou si 30. Cas : σ icoue Lorsque la populatio est distribuée ormalemet, que σ est pas cou et que l échatillo est de faible taille ( < 30), o se réfère à la loi de Studet Fisher, similaire à la loi ormale mais qui doe des valeurs de t différetes pour teir compte de l aléa plus grad egedré par u échatillo réduit. La lecture de la table de Studet (voir aexes) doe directemet la valeur de t e foctio du ombre de degrés de liberté ( 1) et du risque accepté α. Par exemple, si = 16 et l itervalle de cofiace est à 1 α = 95 : le ombre de d.l. = 16 1 = 15 le t de Studet le risque accepté α = = 0.05 =,131 Lorsque la variace σ est icoue o doit d abord estimer la moyee µ pour estimer σ : Estimateur sas biais : S = 1 ( Xi 1 X ) i=1 Estimatio : s = 1 (x i x) 1 Das ce cas, la distributio d échatilloage de X a pour moyee E( X) = µ et de variace estimée V ar( X) = s. X µ La statistique de test : S / T 1 d.d.l. ( ) O peut alors écrire : P t St α X µ s / t St α = 1 α Les fractiles t St α de la loi de Studet à d.d.l. (cf. table) : P ( t St α T ) ( ) t St α = P T t St α = 1 α O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de µ : x t St α Marge d erreur das l estimatio de µ : E = t St α i=1 s µ x + t St α s s Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

34 8 Vera Agelova Lorsque la populatio est distribuée ormalemet, que σ est pas cou et que l échatillo est de faible taille ( < 30), o se réfère à la loi de Studet Fisher. Approximatio : si la taille de l échatillo est grade ( 30) alors o peut remplacer la valeur du fractile t St α de Studet à ( 1) d.d.l. par celle du fractile t α de la loi ormale cetrée-réduite N(0, 1). Exemple..1 [] /Feuille / 1. Soit X la v.a. durée de vie du tube cathodique d ue marque de T.V.. O e coaît pas la moyee des durées de vie des tubes bie que l o sache qu elles sot distribuées ormalemet. L écart-type de la distributio des durées de vie σ = 450. Das u échatillo de 55 tubes o a calculé que la durée de vie moyee était de heures. Détermier l itervalle de cofiace à 90 % de la durée de vie moyee de la populatio des tubes. Solutio : Comme la populatio est distribuée ormalemet, que σ est cou et que = 55 > 30, o peut utiliser la loi ormale. Pour 1 α = 90% o a P ( t < T < t) = 0.90 π(t) π( t) = 0.90 π(t) 1 = 0.90 π(t) = 1.90 = 0.95 t = Doc P ( X s X < µ < X s X) = 0.90 s X = σ = = L itervalle de cofiace à 90 % = [ ; ] = [ ; ] Remarque : Das ce cas, même si la populatio était pas distribuée ormalemet, o aurait trouvé le même itervalle de cofiace à 90 % e vertu du théorème cetral limite qui ous assure que, pour 30 (ici = 55), la distributio d échatilloage de la moyee peut être supposée ormale même si la populatio e l est pas.. Repreos le même exemple, mais cette fois l échatillo est de taille = 5. Détermios l itervalle de cofiace à 99 % de la durée de vie moyee des tubes, sachat que x = 9500 heures. Solutio : X N(µ, 450); = 5, X = 9500, 1 α = 99% O peut utiliser la loi ormale car la populatio est ormale et que σ est cou. Pour 1 α = 99% P ( t < T < t) = 0.99 π(t) π( t) = π(t) 1 = 0.99 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

35 Statistique iféretielle 9 π(t) = 1.99 = t =.575. s X = σ = = 90 Doc P ( < µ < ) = 0.99 L itervalle de cofiace à 99% = [ ; ]. 3. Supposos que la populatio soit distribuée ormalemet, mais que σ e soit pas cou. A partir d u échatillo de taille = 60, ous avos x = 9450 et s = Estimos à l aide d u itervalle de cofiace à 95 % la moyee de la populatio. Solutio : Comme = 60 > 30, o peut utiliser la loi ormale. De plus, comme la populatio est distribuée ormalemet, ce est pas la peie de faire appel au théorème cetral limite. Pour 1 α = 95% P ( t < T < t) = 0.95 π(t) 1 = 0.95 π(t) = 1.95 = t = s X = σ. Nous e coaissos pas σ, il faut l estimer. s = s = = s X = s = = Doc P ( < µ < ) = 0, 95 L itervalle de cofiace à 95 % = [ ; ] Remarque : Das ce cas, même si la populatio était pas distribuée ormalemet, o aurait trouvé le même itervalle de cofiace à 95 %, e vertu du théorème cetral limite (car = 60 > 30). 4. Supposos que la distributio soit ormale, que σ e soit pas cou, et que l écart type s d u échatillo de taille = 5 soit égal à 440,908, x état égal à Détermios l itervalle de cofiace à 99 % et comparos le à celui de l exemple. Solutio : Comme o suppose que la populatio est distribuée ormalemet, que σ est icou, que = 5 < 30, o peut utiliser ici la loi de Studet pour calculer les t St α. ombre de d.l. = 1 = 5 1 = 4 le risque accepté = α = = 0.01 t St α =.797 σ est pas cou s = s = = s X = s = = 90 Doc P ( < µ < ) = 0.99 L itervalle de cofiace = [ ; ]. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

36 30 Vera Agelova Cet itervalle de cofiace est plus étedu que celui de l exemple (à coditios à peu près idetiques, à l utilisatio de la loi de Studet près), Ceci s explique par l aléa plus importat dû à l estimatio de l écart type de la populatio sur u échatillo de petite taille... Itervalle de cofiace de la proportio d ue populatio : p p est pas coue et o cherche à l estimer à partir de l échatillo. L itervalle de cofiace est l itervalle de valeurs tel que l o a ue probabilité 1 α % (fixée à l avace) d avoir la proportio p comprise etre les bores f ts F et f + ts F Das le cas de grade taille de l échatillo prélevé ( 30), l estimatio par itervalle de cofiace de p (icoue) de la populatio se déduit de la distributio d échatilloage de la proportio : F = 1 X i (X 1 ;... ; X i ;... ; X ) i.i.d. X i B(p) i La distributio d échatilloage de F est approximativemet ormale de moyee E(F ) = p et de variace e foctio de p (icoue) V ar(f ) = pq f(1 f) estimée par so estimateur ou 1 e covergece par f(1 f). La statistique de test : O peut alors écrire : P F p f(1 f) N(0; 1) ( t α F p f(1 f) t α ) = 1 α O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de p : f(1 f) f(1 f) f t α p f + t α L itervalle asymptotique de cofiace de iveau (1 α) de p est : f(1 f) f(1 f) f t α p f + t α Marge d erreur das l estimatio de p : E = t α f(1 f). Itervalle bilatéral symétrique de iveau 1 α de la proportio p cetré e f. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

37 Statistique iféretielle 31 P (f t α s F < p < f + t α s F ) = 1 α% Cette approximatio de la loi Biomiale par la loi Normale est valable que lorsque > 30, p > 5, q > 5. s F = pq. Comme o e coaît pas p o estime s F par l estimatio e covergece f(1 f). Au seuil de probabilité de (1 α)%, l itervalle asymptotique de cofiace pour p sera : [ ] f(1 f) f(1 f) f t α ; f + t α Exemple.. [] /Feuille / Les resposables d ue étude de marché ot choisi au hasard 500 femmes das ue grade ville et ot costaté que 35 % des femmes reteues das l échatillo préfèret utiliser ue marque de lessive A plutôt que les autres. Ils veulet détermier l itervalle de cofiace à 95 % de la proportio des femmes de cette ville qui préfèret la marque de lessive A. Solutio : f = 0.35 s = = P ( < p < ) = 0.95 L itervalle de cofiace est doc [0.308 ; ]. Il y a doc etre 30.8 % et % des femmes de cette ville qui préfèret la marque de lessive A (avec u risque de 5 % de se tromper)...3 Précisio - Taille d échatillo - Risque d erreur 1. La marge d erreur ou iveau de précisio recherché das l estimatio par itervalle de cofiace, lorsqu o utilise l estimatio θ de l échatillo pour estimer la vraie valeur θ de la populatio, est l écart (e valeur absolue), oté E = θ θ. E pratique, o peut fixer la marge d erreur qu o e veut pas excéder et détermier la taille miimale de l échatillo requise. 3 O peut déduire le risque d erreur ou le iveau de cofiace attribué à ue estimatio par itervalle. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

38 3 Vera Agelova Paramètre Marge d erreur Taille d échatillo Risque d erreur Moyee µ (σ coue) E = t α σ = ( ) σ t α t α = E E σ Moyee µ (σ icoue) E = t St α s = ( ) s t St α t E St α = E s ( Proportio p E = t α pq t α ) = E f(1 f) t α = E f(1 f) Exemple..3 /Feuille / Les resposables d ue étude de marché ot choisi au hasard 500 femmes das ue grade ville et ot costaté que 35 % des femmes reteues das l échatillo préfèret utiliser ue marque de lessive A plutôt que les autres. Supposos qu avat de tirer l échatillo, les resposables de l étude aiet décidé d estimer la proportio p à ±% près. Quelle devrait être das ce cas la taille miimale de l échatillo à tirer, e désirat toujours avoir u itervalle de cofiace à 95 % et e cosidérat que f = Solutio : Pour avoir la proportio à % près, il faut que : = (1.96) = (0.0) = (1.96) = = 185. (0.0)..4 Itervalle de cofiace de la variace de la populatio : σ Cas : µ coue σ est pas cou mais o sait que la variace s de l échatillo, est u excellet estimateur de σ, lorsque la moyee µ de la populatio est coue. Lorsque la moyee µ est coue, o peut motrer que : i=1 (X i µ) σ = ( ) Xi µ = σ i=1 Ui χ d.d.l. avec U i N(0; 1). i=1 (cf. défiitio d ue variable aléatoire du khi-deux comme somme de carrés de variables aléatoires ormales cetrées réduites idépedates). La statistique de test : ) i=1 = S χ d.d.l. ( Xi µ σ σ Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

39 Statistique iféretielle 33 O peut alors écrire : P (k 1 S k σ ) = 1 α. où, k 1 = χ α et k = χ 1 sot les fractiles α de la loi khi-deux à degrés de liberté (cf. table du khi-deux). c est-à-dire : P (χ k 1 ) = α et P (χ k ) = 1 α. O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de σ : s k σ s k 1 L itervalle de cofiace de la variace σ est l itervalle de valeurs tel que l o a ue probabilité de (1 α) (fixée à l avace) d avoir la variace σ comprise etre les bores et s k 1 : s k P ) ( s σ s = (1 α) k k 1 Ceci est strictemet valable que si la moyee µ de la populatio est coue. Cas : µ icoue Lorsque la moyee µ est icoue, o estime σ par l estimateur S = 1 S = ( 1 1 ) (X i X) i=1 = 1 1 SCE O peut égalemet motrer que : La statistique de test : ( ) i=1 = ( 1) S X i X σ σ χ ( 1) d.d.l. O peut alors écrire : P (k 1 ( 1) S k σ ) = 1 α. où, k 1 = χ α et k = χ 1 sot α les fractiles de la loi khi-deux à 1 degrés de liberté (cf. table du khi-deux). c est-à-dire : P (χ ( 1) k 1) = α et P (χ ( 1) k ) = 1 α. O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de σ : Ou ecore pour l écart-type σ : ( 1) s k σ ( 1) s k 1 ( 1) s k σ ( 1) s k 1 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

40 34 Vera Agelova L itervalle de cofiace de la variace σ, lorsque la moyee µ de la populatio est icoue, est l itervalle de valeurs tel que l o a ue probabilité de (1 α) (fixée à l avace) d avoir la variace σ comprise etre les bores ( 1) s k et ( 1) s k 1 : ) P (( 1) s σ ( 1) s = (1 α) k k 1 Exemple..4 /Feuille / O suppose que le chiffre d affaires mesuel d ue etreprise suit ue loi ormale de moyee icoue µ mais dot l écart-type s a été estimé à 5 K.Euros. Sur les 16 deriers mois, la moyee des chiffres d affaires mesuels a été de 50 K.Euros. 1 Doer ue estimatio poctuelle de l écart-type σ du chiffre d affaires mesuel de cette etreprise. Établir u itervalle de cofiace de iveau 95% de σ..3 Comparaisos Il existe de ombreuses applicatios qui cosistet, par exemple, à comparer deux groupes d idividus e regard d u caractère particulier (poids, taille, redemet,...), ou comparer deux procédés de fabricatio selo ue caractéristique (résistace, diamètre, logueur,...), ou ecore comparer les proportios d apparitio d u caractère de deux populatios (proportio de défectueux, proportio de ges favorisat u parti politique,...). Les distributios d échatilloage qui sot alors utilisées pour effectuer ces comparaisos Tests d hypothèses ou calcul d itervalles de cofiace sot celles correspodat aux fluctuatios d échatilloage de la différece de moyees, de proportios ou ecore le rapport de variaces observées..3.1 Estimatio poctuelle de la différece de moyees O prélève des échatillos x 1 ; x ;... x et y 1 ; y ;... ; y p das deux populatios distictes. O cosidère que ces échatillos sot des réalisatios de v.a.r. idépedates X 1 ; X ;... ; X et Y 1 ; Y ;... ; Y p les premières de loi de probabilité L x, les secodes de loi de probabilité L y telles que : Populatios, échatillos idépedats { x1 ; x ;... ; x X = 1 i=1 X i y 1 ; y ;... ; y p Ȳ = 1 p p j=1 Y j O suppose ormales les populatios, avec respectivemet des moyees µ x et µ y, et des variaces σx et σy. { { i = 1; j = 1; p E(X i ) = µ x et V (X i ) = σx E(Y j ) = µ y et V ( Y j) = σy Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

41 Statistique iféretielle 35 L estimatio de la différece (µ x µ y ) s effectue par la différece des distributios d échatilloages des moyees : X Ȳ Estimateur sas biais : E( X Ȳ ) = E( X) E(Ȳ ) = µ x µ y. Estimateur coverget : V ( X Ȳ ) = V ( X) + V (Ȳ ) = σ x + σ y p. La différece des moyees ( x ȳ) observée sur les échatillos est ue estimatio poctuelle de la différece (µ x µ y ) des moyees des populatios. Pour l estimatio poctuelle de la différece de proportios, la différece (f x f y ) observée sur les échatillos est ue estimatio poctuelle de la différece des proportios (p x p y ) des populatios..3. Itervalle de cofiace de la différece de moyees Cas : les variaces σ x et σ y sot coues O sait que : Moyees : E( X) = µ x et E(Ȳ ) = µ y) E( X Ȳ ) = µ x µ y. Variaces : V ( X) = σ x et V (Ȳ ) = σ y p V ( X Ȳ ) = σ x + σ y p La distributio d échatilloage de la différece ( X Ȳ ) : ( X Ȳ ) N σx µ x µ y ; + σ y p La statistique de test : ( X Ȳ ) (µx µy) σ x + σ y p N(0; 1) Ce qui fourit aisémet u itervalle de cofiace de iveau (1 α) pour la différece (µ x µ y ) : σx ( x ȳ) t α + σ y p µ σx x µ y ( x ȳ) + t α + σ y p Marge d erreur das l estimatio de (µ x µ y ) : E = t α σx + σ y p Si l itervalle de cofiace à (1 α)% pour ue différece de deux moyees ou de deux proportios (différece de risque) cotiet zéro, les deux moyees ou les deux proportios e sot pas différetes. Si l itervalle de cofiace à (1 α)% e cotiet pas zéro les différeces sot sigificativemet différetes. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

42 36 Vera Agelova Exemple.3.1 /Feuille / Le temps mis par ue machie pour fabriquer ue pièce est supposé suivre ue loi ormale de paramètres µ et σ. Das u atelier, deux machies A et B fabriquet la même pièce. Pour u échatillo de 9 pièces fabriquées, o a obteu les résultats suivats : Machie A Machie B Nombre de pièces fabriquées 9 9 Temps moye observé (m) Variaces des populatios Détermier u itervalle de cofiace, de iveau (1 α) = 95%, de la différece des temps moyes des deux machies µ a µ b.. Questio : La machie A est-elle aussi performate que la machie B? Solutio : Remarques : Petits échatillos A = B = 9 pièces mais le temps de fabricatio est supposé ormalemet distribué. Les variaces σa = 5 et σ B = 36 sot coues. Statistique de test : ( X A X B) (µ A µ B ) N(0, 1). σ A + σ B A B Les doées : A = B = = 9. Niveau de cofiace : 1 α = 95% risque d erreur : α = 5%. t α = t.5% = ±1.96 cf. Table de la loi ormale N(0, 1) σ A +σ B Marge d erreur das l estimatio de (µ A µ B ) : E = t α = 1.96 Estimatio poctuelle de la différece (µ A µ B ) : x A x B = = 5m. Itervalle de cofiace de iveau 95% de (µ A µ B ) : = 0.10 (µ A µ B ) = (µ A µ B ) [ 0.10m, 10.10m] = 5.10m Coclusio : 0 I.C. 95%, doc la différece de 5 m observée sur les échatillos est pas sigificative (avec u risque d erreur de 5%), o peut doc cosidérer que ces deux machies ot des performaces idetiques. Questio : oui, la machie B est aussi performate que la machie A, l écart observé de 5 m est pas sigificatif, il est dû aux fluctuatios d échatilloage. Cas : les variaces σ x et σ y sot icoues - Grads échatillos : 30 et p 30 Le cas précédat est évidemmet peu courat e pratique ; voyos à préset, das les mêmes coditios que ci-dessus, les cas les plus fréquets. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

43 Statistique iféretielle 37 Si les échatillos prélevés das chaque populatio (quelcoque, par forcémet ormale) sot de grades tailles alors o peut remplacer les variaces icoues σx et σy par leur estimatio respective s x et s y. Das ce cas : La distributio d échatilloage de la différece ( X Ȳ ) est approximativemet ormale. La statistique de test : ( X Ȳ ) (µx µy) s x + s y p N(0; 1) Ce qui fourit aisémet u itervalle de cofiace de iveau (1 α) pour la différece (µ x µ y ) : s ( x ȳ) t x α + s y p µ s x µ y ( x ȳ) + t x α + s y p Marge d erreur das l estimatio de (µ x µ y ) : E = t α s x + s y p Exemple.3. /Feuille / O fait subir à des cadres itermédiaires de deux grades etreprises (ue œuvrat das la fabricatio d équipemet de trasport et l autre das la fabricatio de produits électriques) u test d appréciatio et d évaluatio. La compilatio des résultats pour chaque groupe à l issue de cette évaluatio s établit comme suit : 1 Équipemet Produits Électriques Nombre de cadres 34 3 Appréciatio globale moyee Somme des Carrés des Écarts /SCE/ Détermier u itervalle de cofiace qui a 95 chaces sur 100 de coteir la valeur vraie de la différece des moyees (µ 1 µ ) des deux groupes de cadres.. Questio : Selo cet itervalle, que peut-o coclure quat à la performace des cadres de ces deux secteurs au test d évaluatio? Est-ce qu e moyee, la performace est vraisemblablemet idetique ou semble-t-il ue différece sigificative etre ces deux groupes? Solutio : Remarques : Grads échatillos 1 = 34 et = 3 idépedats. Les variaces σ 1 et σ sot icoues. Statistique de test : ( X 1 X ) (µ 1 µ ) Les doées : 1 = 34 et = 3. s 1 + s 1 N(0, 1). Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

44 38 Vera Agelova Niveau de cofiace : 1 α = 95% risque d erreur : α = 5%. t α = t.5% = ±1.96 cf. Table de la loi ormale N(0, 1) Estimatio des variaces : s 1 = SCE 1 = = 478 et s 1 33 Marge d erreur das l estimatio de (µ 1 µ ) : E = t α 15.6 = SCE = s s = = 1.96 Estimatio poctuelle de la différece (µ 1 µ ) : x 1 x = = 6. Itervalle de cofiace de iveau 95% de (µ 1 µ ) : = 3.6 (µ 1 µ ) = 15.6 (µ 1 µ ) [ 3.60, 15.60] = Coclusio : 0 I.C. 95%, doc la différece de 6 poits observée sur les appréciatios moyees est pas sigificative (avec u risque d erreur de 5%), o peut doc cosidérer que deux groupes de cadres ot des appréciatios globales idetiques. Questio : oui, e moyee, la performace est idetique etre ces deux groupes de cadres. L écart observé de 6 poits est attribuable aux fluctuatios d échatilloage. Cas : les variaces sot icoues mais supposées égales σ x = σ y = σ. Petits échatillos (et/ou) p < 30. Populatios ormales Das le cas de petits échatillos issus de populatios ormales, o e peut pas remplacer les variaces icoues σx et σy par leur estimatio s x et s y calculées sur chacu des échatillos (elles serot peu précises). Puisqu o les suppose égales à ue valeur icoue σ, o se servira de l iformatio des deux échatillos pour obteir ue estimatio uique s, de la variace σ = σ x = σ y : O motre que : S = S x +ps y +p est u bo estimateur de σ. La statistique de test : Moyees : E( X Ȳ ) = µ x µ y. Variaces : V ( X Ȳ ) = s + s p = s ( X Ȳ ) (µx µy) s p T (+p ) d.d.l. ( ) p D où l itervalle de cofiace de iveau (1 α) pour la différece (µ x µ y ) : Cas particulier ( x ȳ) t St α s p µ x µ y ( x ȳ) + t St α s p Si = p (échatillos idépedats de même taille), o a plus simplemet : S = (S x +S y ) ( 1) = Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

45 Statistique iféretielle 39 SCE x+sce y ( 1) ( X Ȳ ) (µx µy) La statistique de test : S T ( 1) d.d.l. Les limites de l itervalle de cofiace de (µ x µ y ) : ( x ȳ) ± t St α s Exemple.3.3 /Feuille / U laboratoire idépedat a effectué, pour le compte d ue revue sur la protectio du cosommateur, u essai de durée de vie sur u type d ampoules électriques d usage courat (60 Watts, 10 Volts) fabriquées par deux etreprises cocurretielles, das le secteur de produits d éclairage. Les essais effectués das les mêmes coditios, sur u échatillo de 1 lampes proveat de chaque fabricat, doet les résultats suivats : La durée de vie d ue ampoule est supposée ormalemet distribuée.(les variaces des populatios sot supposées égales). Fabricat 1 Fabricat Nombre d essais 1 1 Durée de vie moyee observée (h) Somme des Carrés des Écarts Détermier u itervalle de cofiace de iveau 95% de la différece des durées de vie moyees des ampoules de ces deux fabricats.. Questio : Est-ce que la revue peut affirmer, qu e moyee, les durées de vie des ampoules des deux fabricats sot idetiques (ou différetes)? E d autres termes, est-ce que la différece observée lors des essais est sigificative? Solutio : Remarques : petits échatillos 1 = = = 1 idépedats. Les variaces σ 1 et σ sot icoues mais supposées égales σ 1 = σ = σ. Statistique de test : ( X 1 X ) (µ 1 µ ) Les doées : s T ( 1)=40 d.d.l.. 1 = = = 1. Niveau de cofiace : 1 α = 95% risque d erreur : α = 5%. t St α = t.5% = ±.01 cf. Table de la loi de Studet à 40 d.d.l. Estimatio de la variace commue : S = SCE, s = SCE 1+SCE ( 1) = = Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

46 40 Vera Agelova Marge d erreur das l estimatio de (µ 1 µ ) : E = t St α 7.11 h s = Estimatio poctuelle de la différece (µ 1 µ ) : x 1 x = = 45 h. Itervalle de cofiace de iveau 95% de (µ 1 µ ) : = 5.11 (µ 1 µ ) = (µ 1 µ ) [ 5.11, h] = 1 Coclusio : 0 appartiet pas à I.C. 95%, l écart de - 45 h observé sur les durées de vie moyees est sigificatif (avec u risque d erreur de 5%). Cet écart est doc pas attribuable aux fluctuatios d échatilloage. Questio : oui, la revue doit coclure, avec u risque d erreur de 5%, que les durées de vie des ampoules de ces deux fabricats e sot pas idetiques. Cas : Échatillos appariés Échatillos dépedats (Doées associées par paires) Exemple 1 : O compare méthodes de mesures e soumettat à ces méthodes les mêmes idividus. Les échatillos sot issus de deux lois différetes, mais e sot pas idépedats (e gééral!). Exemple : Lorsque ous avos, pour chaque élémet de l échatillo, deux valeurs obteues à des périodes différetes (avat / après ) ou selo des traitemets différets. Doc, das ce cas, les deux séries de mesures e sot pas idépedates l ue de l autre. Il serait alors (échatillos idépedats) icorrect de procéder à u test de comparaiso de moyees tel que décrit précédemmet. O doit alors procéder comme suit avec la coditio suivate : Z 1 = (X 1 Y 1 ); Z = (X Y );... ; Z = (X Y ) sot idépedates de loi N(µ z = µ x µ y ; σ z = σ x y) : les différeces de chaque paire d observatios suivet des lois ormales. O reviet aisi à u seul échatillo différece (z 1 ; z ;... ; z ). σz état gééralemet icoue, o l estime à partir : S 1 ( = Zi ( 1) Z ) SCE = 1 i=1 O obtiet, comme au paragraphe sur l estimatio par itervalle de cofiace d ue moyee µ z lorsque la variace σ z est icoue : La statistique de test : Z µ z S / T 1 d.d.l. O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de µ z = (µ x µ y ) : z t St α s µ z z + t St α s Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

47 Statistique iféretielle 41 Exemple.3.4 /Feuille / O mesure 1 pièces avec des méthodes différetes. O a obteu les résultats suivats : x = 1; ȳ =, 08; SCE x /somme des carrés des écarts/ = s x = 106, 16; SCE y = s y = 118, 19 et SCE x y = s x y = 14, 58. Détermier u itervalle de cofiace de iveau 95% de la différece des deux méthodes de mesures. Solutio : Remarques : Échatillos appariés (dépedats). Coditios d applicatio : la mesure différece Z = X Y est supposée ormalemet distribuée. Statistique de test : ( Z µ z) S / T 1=11 d.d.l.. Les doées : = 1 ν = 1 = 11 d.d.l. z 1 = x 1 ȳ 1 = 1.08 = 1.08 : moyee calculée sur l échatillo différece de taille = 1 (estimatio poctuelle de µ z ) s 1 = SCE z=x y 1 = = = Seuil de sigificatio : α = 5%. t St α = t.5% = ±.01 cf. Table de la loi de Studet à ν = 1 = 11 d.d.l. s Marge d erreur das l estimatio de µ : E = t St α 1 = = Itervalle de cofiace de iveau 95% de µ (variace σ z icoue) : = (µ z = µ x µ y ) = µ z = (µ x µ y ) [ 1.811, ] Coclusio : 0 appartiet pas à I.C. 95%, l écart de observé est sigificatif (avec u risque d erreur de 5%). O peut doc coclure que µ z = (µ x µ y ) 0 µ)x µ y ; les deux méthodes de mesures sot différetes.. Remarque importate : Si o fait l erreur de cosidérer ces deux échatillos de mesures comme des échatillos idépedats, o trouve u itervalle de cofiace de iveau 95% de (µ x µ y ) [ 9.7; 7.56]. Das ce cas, 0 I.C. 95% c est-à-dire que µ x µ y ; les deux méthodes de mesures sot idetiques. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

48 4 Vera Agelova.3.3 Différece de proportios Cas : Grads échatillos : 1 30 et 30 Il y a de ombreuses applicatios où ous devos décider si l écart observé etre deux proportios échatilloales est sigificatif ou s il est plutôt attribuable au hasard de l échatilloage. Comme das le cas de la comparaiso de deux moyees, o doit coaître la distributio d échatilloage de la différece (P 1 P ) des deux proportios pour estimer, par itervalle de cofiace, cette différece. O traite uiquemet le cas où ous sommes e présece de grads échatillos prélevés au hasard et idépedammet de deux populatios. Das ce cas : La statistique de test : (F 1 F ) (p p ) f 1 (1 f 1 ) 1 + f (1 f ) N(0; 1) D où l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de (p 1 p ) : (f 1 f ) t α f 1 (1 f 1 ) 1 + f (1 f ) p 1 p (f 1 f ) + t α f 1 (1 f 1 ) 1 + f (1 f ) O peut égalemet supposer l hypothèse d égalité des proportios icoues p 1 et p à ue valeur commue p (p 1 = p = p) que l o estime par f e combiat les proportios observées das chaque échatillo comme suit : f = 1f 1 + f 1 + O peut doc aussi utiliser la statistique de test : (F 1 F ) (p 1 p ) ( ) 1 f(1 f) N(0; 1) D où l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de (p 1 p ) : ( 1 (f 1 f ) t α f(1 f) + 1 ) ( 1 p 1 p (f 1 f ) + t α f(1 f) + 1 ) 1 1 Exemple.3.5 /Feuille / Das deux muicipalités avoisiates, o a effectué u sodage pour coaître l opiio des cotribuables sur u projet d améagemet d u site. Les résultats de l equête se résumet comme suit : Muicipalité 1 Muicipalité Nombre de persoes iterrogées E faveur du projet Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

49 Statistique iféretielle Quelle est l estimatio poctuelle de la différece de proportios des cotribuables de chaque muicipalité favorisat l améagemet du site?. Détermier l itervalle de cofiace de iveau (1 α) = 95% de coteir la valeur vraie de la différece des proportios, (p 1 p )? 3. Questio : Avec l itervalle calculé e ), est-ce que l o rejetterait, au seuil de sigificatio α = 5%, l hypothèse selo laquelle les cotribuables des deux muicipalités favoriset das la même proportio l améagemet du site sur leur territoire?.3.4 Rapport de variaces ( comparaiso de variaces ) La comparaiso de populatios ormales peut porter o seulemet sur leur valeur cetrale ( moyee ), mais égalemet sur leur dispersio. La caractéristique de dispersio la plus utilisée est la variace. Rappelos qu ue des coditios d applicatio de la loi de Studet das le cas de comparaiso de moyees est que les échatillos provieet de populatios ormales de variaces idetiques : σ 1 = σ. Cette hypothèse peut être maiteat vérifiée à l aide de l itervalle de cofiace du rapport des variaces : Test d égalité de variaces. O suppose que l o a prélevé deux échatillos idépedats de tailles 1 et de deux populatios ormales N(µ 1 ; σ 1 ) et N(µ ; σ ) de paramètres icous. O sait déjà que : 1 i=1 (X i X 1 ) σ 1 (X i X ) i=1 O peut alors motrer que la statistique de test : σ σ σ1 S 1 S = ( 1 1) S 1 σ1 = ( 1) S σ F (1 1),( 1) d.d.l. χ ( 1 1) d.d.l. χ ( 1) d.d.l. O e déduit, au iveau (1 α), u itervalle de cofiace pour le rapport σ σ 1 S f sup S 1 où, f if = f 1 α = P (F ( 1 1, 1) > f 1 ) = 1 α S : f if S 1 et f sup = f α = P (F ( 1 1, 1) > f ) = α sot les fractiles de la loi de Fisher-Sédécor à ( 1 1) et ( 1) degrés de liberté (cf. table). O recherche des limites F sup et F if das les tableau du F à α/ ( ie risque global de α %) : F sup pour u échatilloe de 1 et de est F F if = 1. 1 F 1 1 σ σ 1 Exemple.3.6 /Feuille / Repreos l exemple de la durée de vie moyee de types d ampoules électriques d usage courat (60 Watts, 10 Volts) fabriquées par deux etreprises cocurretielles, das le secteur de produits d éclairage. Les essais effectués das les mêmes coditios, Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

50 44 Vera Agelova sur u échatillo de 1 lampes proveat de chaque fabricat, doet les résultats suivats : La durée de vie d ue ampoule est supposée ormalemet distribuée. O e dispose d aucue iformatio sur les variaces des deux populatios. Fabricat 1 Fabricat Nombre d essais 1 1 Durée de vie moyee observée (h) Somme des Carrés des Écarts Détermier u itervalle de cofiace de iveau 95% du rapport des variaces des populatios d ampoules de ces deux fabricats.. Questio : Peut-o cosidérer l égalité des variaces σ = σ 1? Solutio : Remarques : petits échatillos 1 = = = 1 idépedats. Statistique de test : σ σ 1 S 1 S F (1 1=0; 1=0) d.d.l.. Les doées : 1 = = = 1. Niveau de cofiace : 1 α = 95% risque d erreur : α = 5%. f = f α = t.5% =.464 et f 1 = f 97.5% = 1 f = 1 Fisher F (0;0)..464 = cf. Table de la loi de Estimatio des variaces : s 1 = SCE 1 ( 1) = = 10 et s = SCE ( 1) = = 140. Itervalle de cofiace de iveau 95% de σ σ : = = f 10 1 σ σ 1 s s 1 σ σ 1 s f s 1 [0.474,.875] = =.875 Coclusio : 1 I.C. 95%, il y a pas de différece sigificative (avec u risque d erreur de 5%) etre les deux variaces. O peut doc les supposer égales : σ 1 σ. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

51 Statistique iféretielle Sythèse sur l estimatio Estimatio poctuelle Table 3 Paramètres du caractère observé Populatio mère taille moyee proportio variace P N µ p σ Caractéristiques du caractère observé Echatillo taille moyee fréquece variace E Estimatios poctuelles x = 1 i=1 x i Série stat. x = 1 i=1 ix i D.O.1 x = 1 i=1 ix i D.G.1 f = A observée : s = 1 i=1 (s i x) empirique : s = 1 s µ = x p = f µ coue - σ = s µ icoue - σ = s Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

52 46 Vera Agelova Estimatio par itervalle de cofiace Itervalle de cofiace Table 4 Paramètre Coditios estimé σ coue, Moyee µ p. 38, 39 σ icoue < 30 p. 40, 41 σ icoue > 30 p. 4 Proportio p 30 p. 53, 54 Variace σ écart-type σ µ coue p. 61 Statistique de test X µ σ/ N(0, 1) t α X µ S / T 1 d.d.l. X µ S / N(0, 1) t F p f(1 f) S σ N(0; 1) χ d.d.l. Marge d erreur E t α σ t St α s α s f(1 f) d.d.l. k 1 = χ α k = χ 1 α s k s k I.C. (1 α) x ± t α x ± t St α x ± t α f ± t α σ s σ σ s s f(1 f) k 1 s k 1 µ icoue X N(µ, σ) p. 6 ( 1) S σ χ ( 1) d.d.l. 1 d.d.l. k 1 = χ α k = χ 1 α ( 1) s k σ ( 1) s k 1 ( 1) s k σ ( 1) s k 1 µ icoue > 100 p. 63 S σ N(, ) s t α t α s s s ± t α s ± t α s Itervalle de cofiace du rapport de variaces Table 5 Coditios Statistique de test Marge d erreur E I.C. (1 α) f if = f 1 α = P (F ( 1 1, 1) > f if ) F (1 1),( 1) d.d.l. = 1 α X 1 N(µ, σ ) X N(µ, σ ) p σ S σ1 1 S f sup = f α = P (F ( 1 1, 1) > f sup ) = α S f if S 1 σ σ 1 S f sup S 1 Coclusio : Si 1 I.C. (1 α)%, il y a pas de différece sigificative (avec u risque d erreur de α%) etre les deux variaces. O peut doc les supposer égales : σ 1 σ. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

53 Statistique iféretielle 47 Itervalle de cofiace de la différece de moyees Table 6 Coditios Statistique de test Marge d erreur E I.C. (1 α) σx, σ Y coues p. 68, 69 ( X Ȳ ) (µx µy) σx + σ y p N(0; 1) t α σx + σ y p ( X Ȳ ) ± E σx, σ Y icoues, p 30 p. 73, 74 ( X Ȳ ) (µx µy) S x + S y p N(0; 1) t α S x + S y p ( X Ȳ ) ± E σ X = σ Y = σ icoues, p 30 p. 78, 79 ( X Ȳ ) (µx µy) s p S = S x +ps y +p T (+p ) d.d.l. t St α s p ( X Ȳ ) ± E σ X = σ Y = σ icoues = p 30, p. 80 ( X Ȳ ) (µx µy) S S = (S x+s y) ( 1) T ( 1) d.d.l. t St α s ( X Ȳ ) ± E Echatillos appariés p. 84, 85 Z = X Y Z N(µ Z, σ Z ) Z µ z S / T 1 d.d.l. S = 1 ( 1) i=1 ( Zi Z ) t St α s Z ± E Coclusio : Si 0 I.C (1 α) = les deux moyees e sot pas différetes ; Si 0 I.C (1 α) = les moyees sot sigificativemet différetes. Itervalle de cofiace de la différece de proportios Table 7 Coditios Statistique de test Marge d erreur E I.C. (1 α), p 30 p (F 1 F ) (p p ) N(0; 1) t α f 1 (1 f 1 ) + f (1 f ) 1 f 1 (1 f 1 ) 1 + f (1 f ) (f 1 f ) ± E 1, 30 p 1 = p = p p (F 1 F ) (p 1 p ) ( f(1 f) f = 1f 1 + f 1 + ) N(0; 1) t α ( ) 1 f(1 f) (f 1 f ) ± E Coclusio : Si 0 I.C (1 α) = les deux proportios e sot pas différetes ; Si 0 I.C (1 α) = les proportios sot sigificativemet différetes. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

54 48 Vera Agelova Chapitre 3 Les tests d hypothèse 3.1 Gééralités Pricipe d u test d hypothèses Les tests d hypothèse costituet u autre aspect importat de l iférece statistique. Le pricipe gééral d u test d hypothèse peut s éocer comme suit : O étudie ue populatio dot les élémets possèdet u caractère (mesurable ou qualitatif) et dot la valeur du paramètre relative au caractère étudié est icoue. Ue hypothèse est formulée sur la valeur du paramètre : cette formulatio résulte de cosidératios théoriques, pratiques ou ecore elle est simplemet basée sur u pressetimet. O veut porter u jugemet sur la base des résultats d u échatillo prélevé de cette populatio. O appelle tests d hypothèses, tests de sigificatio, ou règles de décisio, les procédés qui permettet de décider si des hypothèses sot vraies ou fausses, ou de détermier si des échatillos observés diffèret sigificativemet des résultats supposés. Il est bie évidet que la statistique (c est-à-dire la variable d échatilloage) servat d estimateur au paramètre de la populatio e predra pas ue valeur rigoureusemet égale à la valeur théorique proposée das l hypothèse. Cette variable aléatoire comporte des fluctuatios d échatilloage qui sot régies par des distributios coues. Pour décider si l hypothèse formulée est supportée ou o par les observatios, il faut ue méthode qui permettra de coclure si l écart observé etre la valeur de la statistique obteue das l échatillo et celle du paramètre spécifiée das l hypothèse est trop importat pour être uiquemet imputable au hasard de l échatilloage. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

55 Statistique iféretielle 49 La costructio d u test d hypothèse cosiste e fait à détermier etre quelles valeurs peut varier la variable aléatoire, e supposat l hypothèse vraie, sur la seule cosidératio du hasard de l échatilloage. Les distributios d échatilloage d ue moyee, d ue variace et d ue proportio que ous avos traitées das u chapitre précédet vot être particulièremet utiles das l élaboratio des tests statistiques Défiitio des cocepts utiles à l élaboratio des tests d hypothèse Hypothèse statistique. Ue hypothèse statistique est u éocé (ue affirmatio) cocerat les caractéristiques (valeurs des paramètres, forme de la distributio des observatios) d ue populatio. Test d hypothèse. U test d hypothèse (ou test statistique) est ue démarche qui a pour but de fourir ue règle de décisio permettat, sur la base de résultats d échatillo, de faire u choix etre deux hypothèses statistiques. Hypothèse ulle (H 0 ) et hypothèse alterative (H 1 ). L hypothèse selo laquelle o fixe à priori u paramètre de la populatio à ue valeur particulière s appelle l hypothèse ulle et est otée H 0. N importe quelle autre hypothèse qui diffère de l hypothèse H 0 s appelle l hypothèse alterative (ou cotre-hypothèse) et est otée H 1. C est l hypothèse ulle qui est soumise au test et toute la démarche du test s effectue e cosidérat cette hypothèse comme vraie. Das otre démarche, ous allos établir des règles de décisio qui vot ous coduire à l acceptatio ou au rejet de l hypothèse ulle H 0. Toutefois cette décisio est fodée sur ue iformatio partielle, les résultats d u échatillo. Il est doc statistiquemet impossible de predre la boe décisio à coup sûr. E pratique, o met e œuvre ue démarche qui ous permettrait, à log terme de rejeter à tort ue hypothèse ulle vraie das ue faible proportio de cas. La coclusio qui sera déduite des résultats de l échatillo aura u caractère probabiliste : o e pourra predre ue décisio qu e ayat cosciece qu il y a u certai Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

56 50 Vera Agelova risque qu elle soit erroée. Ce risque ous est doé par le seuil de sigificatio du test. Seuil de sigificatio du test Le risque, coseti à l avace et que ous otos α, de rejeter à tort l hypothèse ulle H 0 alors qu elle est vraie (favoriser alors l hypothèse H 1 ), s appelle le seuil de sigificatio du test et s éoce e probabilité aisi, α = P (rejeter H 0 H 0 vraie) = P (choisir H 1 H 0 vraie). A ce seuil de sigificatio, o fait correspodre sur la distributio d échatilloage de la statistique ue régio de rejet de l hypothèse ulle (appelée égalemet régio critique). L aire de cette régio correspod à la probabilité α. Si par exemple o choisit α = 0.05, cela sigifie que l o admet d avace que la variable d échatilloage peut predre, das 5% des cas, ue valeur se situat das la zoe de rejet de H 0, bie que H 0 soit vraie et ceci uiquemet d après le hasard de l échatilloage. Sur la distributio d échatilloage correspodra aussi ue régio complémetaire, dite régio d acceptatio de H 0 (ou régio de o-rejet) de probabilité 1 α. Remarque 1. Les seuils de sigificatio les plus utilisés sot α = 0.05 et α = 0.01, dépedat des coséqueces de rejeter à tort l hypothèse H 0.. La valeur observée de la statistique sous l hypothèse H 0 déduite des résultats de l échatillo appartiet, soit à la régio de rejet de l hypothèse ulle H 0 (o favorisera alors l hypothèse H 1 ), soit à la régio de o-rejet de H 0 (o favorisera alors l hypothèse H 0 ). Exemple Supposos que ous affirmios que la valeur d u paramètre θ d ue populatio est égale à la valeur θ 0. O s itéresse au chagemet possible du paramètre θ das l ue ou l autre directio (soit θ > θ 0, soit θ < θ 0 ). O effectue u test bilatéral. { } H0 θ = θ Les hypothèses H 0 et H 1 sot alors 0 H 1 θ θ 0. O peut schématiser les régios de rejet et de o-rejet de H 0 comme suit : Rejet de H No!rejet de H Rejet de H !!!! / / " c1 " 0 " c Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

57 Statistique iféretielle 51 Si, suite aux résultats de l échatillo, la valeur de la statistique utilisée se situe das l itervalle [θ c1, θ c ], o acceptera H 0 au seuil de sigificatio choisi. Si, au cotraire, la valeur obteue est supérieure à θ c ou iférieure à θ c1, o rejette H 0 et o accepte H 1. Remarque 3 Si o s itéresse au chagemet du paramètre das ue seule directio, o opte pour u test uilatéral, e choisissat comme hypothèse H 1 soit θ > θ 0, soit θ < θ 0. La régio critique est alors localisée uiquemet à droite ou uiquemet à gauche de la régio d acceptatio. Remarques importates 1. Pour u test bilatéral, les valeurs critiques (tables statistiques) sot des limites de la statistique qui coduiset au rejet de H 0, selo le seuil de sigificatio α choisi.. U test uilatéral risque à droite ou risque à gauche e comporte qu ue seule valeur critique. 3. Quelle que soit le type de test, l hypothèse ulle H 0 comporte toujours le sige égal (=; ; ) et spécifie la valeur du paramètre. 4. L hypothèse alterative H 1 est formulée e choisissat l ue ou l autre des trois formes ( ; <; >). O choisira la plus pertiete à la situatio pratique aalysée. 5. Das la plupart des tests d hypothèses, l iégalité das l hypothèse H 1 déote das quelle directio est localisée la régio de rejet (critique) de l hypothèse H 0. Démarche d u test statistique Les pricipales étapes à suivre das l élaboratio d u test statistique sot : 1. Hypothèses statistiques,. Seuil de sigificatio, 3. Coditio d applicatio du test, 4. La statistique qui coviet pour le test, 5. Règle de décisio, 6. Calcul de la statistique sous H Décisio et coclusio. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

58 5 Vera Agelova 3. Tests permettat de détermier si u échatillo appartiet à ue populatio doée 3..1 Test sur ue moyee : comparaiso d ue moyee expérimetale à ue moyee théorique das le cas d u caractère quatitatif Nous voulos détermier si l échatillo de taille dot ous disposos appartiet à ue populatio de moyee µ 0 au seuil de sigificatio α. Nous allos das tous les tests travailler de la même faço, e procédat e quatre étapes. 1ère étape : Formulatio des hypothèses. L échatillo dot ous disposos proviet d ue populatio de moyee { µ. Nous voulos H0 µ = µ savoir si µ = µ 0. O va doc tester l hypothèse H 0 cotre l hypothèse H 1 : 0 H 1 µ µ 0.. ème étape : Détermiatio de la foctio discrimiate du test et de sa distributio de probabilité. O détermie la statistique qui coviet pour ce test. Ici, l estimateur de la moyee µ, c est-à-dire X, semble tout idiqué. O détermie la loi de probabilité de X e se plaçat sous l hypothèse H 0. Deux cas peuvet se produire. Premier cas : L échatillo est de grade taille (ou bie la populatio est ormale de variace σ coue). X suit alors ue loi ormale de moyee µ 0 (puisqu o se place sous H 0 ) et d écart-type σ, X σ N(µ0, ). O pose T = X µ 0 σ. T mesure u écart réduit. T est aussi appelée foctio discrimiate du test. T N(0, 1). Deuxième cas : L échatillo est de petite taille (prélevé au hasard d ue populatio ormale de variace σ icoue). Das ce cas la foctio discrimiate du test sera T = X µ 0. S 1 Ici T T 1 (loi de Studet à 1 degrés de liberté). Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

59 Statistique iféretielle 53 3ème étape : Détermiatio des valeurs critiques de T délimitat les zoes d acceptatio et de rejet. O impose toujours à la zoe d acceptatio de H 0 cocerat l écart réduit d être cetrée autour de 0. Rejet de H No!rejet de H Rejet de H !!!! / /!t! 0 t /!/ Il ous faut doc détermier das la table la valeur maximale t α/ de l écart réduit imputable aux variatios d échatilloage au seuil de sigificatio α, c est-à-dire vérifiat P ( t α/ T t α/ ) = 1 α. 4ème étape : Calcul de la valeur de T prise das l échatillo et coclusio du test. O calcule la valeur t 0 prise par T das l échatillo. Si la valeur t 0 se trouve das la zoe de rejet, o dira que l écart-réduit observé est statistiquemet sigificatif au seuil α. Cet écart est aormalemet élevé et e permet pas d accepter H 0. O rejette H 0. Si la valeur t 0 se trouve das la zoe d acceptatio, o dira que l écart-réduit observé est pas sigificatif au seuil α. Cet écart est imputable aux fluctuatios d échatilloage. O accepte H Tests sur ue proportio Nous ous proposos de tester si la proportio p d élémets das la populatio présetat u certai caractère qualitatif peut être ou o cosidérée comme égale à ue valeur hypothétique p 0. Nous disposos pour ce faire de la proportio d élémets possédat ce caractère das u échatillo de taille. Nous allos procéder comme au paragraphe précédet, e quatre étapes. 1ère étape : Formulatio des hypothèses. L échatillo dot ous disposos proviet d ue populatio dot la proportio d élémets présetat le caractère qualitatif est p. { Nous voulos savoir si p = p 0. O va doc tester H0 p = p l hypothèse H 0 cotre l hypothèse H 1 : 0 H 1 p p 0. ème étape : Détermiatio de la foctio discrimiate du test et de sa distributio de probabilité. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

60 54 Vera Agelova O détermie la statistique qui coviet pour ce test. Ici, l estimateur de la proportio p, c est-à-dire F, semble tout idiquée. O détermie la loi de probabilité de F e se plaçat sous l hypothèse H 0. O suppose que l o dispose d u grad échatillo (et que p est pas trop petit (de maière que l o ait p 15 et (1 p) 15). F suit alors ue loi ormale de moyee p 0 (puisqu o se place sous H 0 ) et d écart-type O pose p 0 (1 p 0 ), F N ( p 0, p 0 (1 p 0 ) ). T = F p 0 p 0 (1 p 0 ) T mesure u écart réduit. T est aussi appelée foctio discrimiate du test. T N(0, 1). 3ème étape : Détermiatio des valeurs critiques de T délimitat les zoes d acceptatio et de rejet. O impose toujours à la zoe d acceptatio de H 0 cocerat l écart réduit d être cetrée autour de 0.. Rejet de H No!rejet de H Rejet de H !!!! / /!t! 0 t /!/ Il ous faut doc détermier das la table la valeur maximale t α/ de l écart réduit imputable aux variatios d échatilloage au seuil de sigificatio α, c est-à-dire vérifiat P ( t α/ T t α/ ) = 1 α. 4ème étape : Calcul de la valeur de T prise das l échatillo et coclusio du test. O calcule la valeur t 0 prise par T das l échatillo. Si la valeur t 0 se trouve das la zoe de rejet, o dira que l écart-réduit observé est statistiquemet sigificatif au seuil α. Cet écart est aormalemet élevé et e permet pas d accepter H 0. O rejette H 0. Si la valeur t 0 se trouve das la zoe d acceptatio, o dira que l écart-réduit observé est pas sigificatif au seuil α. Cet écart est imputable aux fluctuatios d échatilloage. O accepte H 0. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

61 Statistique iféretielle Risques de première et de deuxième espèce Défiitios Tous les règles de décisio que ous avos détermiées acceptaiet u risque α qui était le risque de rejeter à tort l hypothèse H 0, c est-à-dire le risque de rejeter l hypothèse H 0, alors que H 0 est vraie. Ce risque s appelle aussi le risque de première espèce. La règle de décisio du test comporte égalemet u deuxième risque, à savoir de celui de e pas rejeter l hypothèse ulle H 0 alors que c est l hypothèse H 1 qui est vraie. C est le risque de deuxième espèce. Les deux risques peuvet se défiir aisi : α = P (rejeter H 0 H 0 vraie) = probabilité de commettre ue erreur de première espèce. β = P (e pas rejeter H 0 H 1 vraie) = probabilité de commettre ue erreur de deuxième espèce. Risque de première espèce α : c est le seuil de sigificatio α ; risque de rejeter à tort l hypothèse ulle H 0 lorsque celle-ci est vraie : α = P (rejet H 0 H 0 vraie) Risque de deuxième espèce β : c est le risque de e pas rejeter l hypothèse ulle H 0 alors que l hypothèse H 1 vraie : β = P (o rejet H 0 H 1 vraie). Le risque de première espèce α est choisi à priori. Toutefois le risque de deuxième espèce β déped de l hypothèse alterative H 1 et o e peut le calculer que si o spécifie des valeurs particulières du paramètre das l hypothèse H 1 que l o suppose vraie. Le graphique de β e foctio des diverses valeurs du paramètre posées e H 1 s appelle la courbe d efficacité du test. Les risques liés aux tests d hypothèses peuvet se résumer aisi : Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

62 56 Vera Agelova Coclusio du test Accepter H 0 Rejeter H 0 H 0 est vraie La décisio est Boe Fausse probabilité de predre cette décisio avat l expériece 1 α α H 0 est vraie La décisio est Fausse Boe probabilité de predre cette décisio avat l expériece β 1 β Remarque 4 La probabilité complémetaire (1 β) du risque de deuxième espèce β défiit la puissace du test à l égard de la valeur du paramètre das l hypothèse alterative H 1. La puissace du test représete la probabilité de rejeter l hypothèse ulle H 0 lorsque l hypothèse vraie est H 1. Plus β est petit, plus le test est puissat. 1 β = P (rejet H 0 H 1 vraie) Le graphique de (1 β) e foctio des diverses valeurs du paramètre posées e H 1 s appelle la courbe de puissace du test. Exemple : E cotrôle idustriel, le risque de 1ère espèce α correspod au risque pris par le producteur (ou fourisseur) alors que le risque de ème espèce β correspod au risque pris par le cosommateur (ou cliet). Les risques liés aux tests d hypothèses peuvet se résumer comme suit : Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

63 Statistique iféretielle 57 Coclusio du test Réalité : H 0 vraie Réalité : H 1 vraie Décisio : No-rejet H 0 boe : 1 α mauvaise : β Décisio : Rejet de H 0 mauvaise : α boe : 1 β 3.3. Schématisatio des deux risques d erreur sur la distributio d échatilloage A titre d exemple, regardos ce qu il se passe à propos d u test sur la moyee. O peut visualiser sur la distributio d échatilloage de la moyee commet sot reliés les deux risques d erreur associés aux tests d hypothèses. Les zoes d acceptatio de H 0 (µ = µ 0 ) et de rejet de H 0 se visualiset aisi : Doos diverses valeurs à µ (autres que µ 0 ) que l o suppose vraie et schématisos le risque de deuxième espèce β. Hypothèse vraie : µ = µ 1 (µ 1 < µ 0 ) La distributio d échatilloage de X e supposat vraie µ = µ 1 est illustrée e poitillé et l aire hachurée sur cette figure correspod à la régio de o-rejet de H 0. Cette aire représete β par rapport à la valeur µ 1. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

64 58 Vera Agelova Hypothèse vraie : µ = µ (µ = µ 0 ) Hypothèse vraie : µ = µ 3 (µ 3 > µ 0 ) Cette schématisatio permet d éocer quelques propriétés importates cocerat les deux risques d erreur. 1. Pour u même risque α et ue même taille d échatillo, o costate que, si l écart etre la valeur du paramètre posée e H 0 et celle supposée das l hypothèse vraie H 1 augmete, le risque β dimiue.. Ue réductio du risque de première espèce (de α = 0.05 à α = 0.01 par exemple) élargit la zoe d acceptatio de H 0. Toutefois, le test est accompagé d ue augmetatio du risque de deuxième espèce β. O e peut doc dimiuer l u des risques qu e cosetat à augmeter l autre. 3. Pour ue valeur fixe de α et u σ détermié, l augmetatio de la taille d échatillo aura pour effet de doer ue meilleure précisio puisque σ( X) = σ dimiue. La zoe d acceptatio de H 0 sera alors plus restreite, coduisat à ue dimiutio du risque β. Le test est alors plus puissat. Exemple U procédé de remplissage est ajusté de telle sorte que les coteats pèset e moyee 400g. Le poids des coteats est supposé ormalemet distribué avec u écarttype de 8g. Pour vérifier si le procédé de remplissage se maitiet à 400g, e moyee, o opte Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

65 Statistique iféretielle 59 pour la règle décisio suivate sur u échatillo prélevé de 16 coteats : Le processus opère correctemet si : g X g Sio arrêter le processus de remplissage. a) Quelles sot les hypothèses statistiques que l o veut tester avec cette méthode de cotrôle? b) Détermier la probabilité de commettre ue erreur de première espèce. c) Lors d u récet cotrôle, o a obteu, pour u échatillo de 16 coteats, u poids moye de 395g. Doit-o poursuivre ou arrêter la productio? d) Quelle est la probabilité de commettre ue erreur de deuxième espèce selo l hypothèse alterative H 1 : µ = 394g? e) Avec ce pla de cotrôle, quelle est la probabilité de rejeter l hypothèse selo laquelle le procédé opère à 400g, alors qu e réalité il opère à 394g? f) Faire de même pour les valeurs suivates sous H 1 : µ = 395g, 396g, 397g, 398g, 399g et 400g. Tracer la courbe d efficacité du test. Solutio : a) Quelles sot les hypothèses statistiques que l o veut tester avec cette méthode de cotrôle? Hypothèses statistiques : Seuil de sigificatio : α = 5%. { H0 : x = µ = 400 le processus est ajusté H 1 : x µ = 400 le processus est pas ajusté Coditios d applicatio du test : petit échatillo = 16 proveat d ue populatio ormale de moyee µ = 400 et écart-type σ = 8 cou. Test bilatéral du poids moye à ue moyee coue µ = 400 et u écart-type cou σ = 8. X µ Statistique du test : σ N(0, 1) b) Détermier la probabilité de commettre ue erreur de première espèce. Probabilité de commettre ue erreur de première espèce α = 5%. c) Lors d u récet cotrôle, o a obteu, pour u échatillo de 16 coteats, u poids moye de 395g. Doit-o poursuivre ou arrêter la productio? = 16, x = 395 Comme 395 < o doit arrêter la productio. d) Quelle est la probabilité de commettre ue erreur de deuxième espèce selo l hypothèse alterative H 1 : µ = 394g? Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

66 60 Vera Agelova µ 1 = 394 < µ 0 = 400 β = P ( x c1 X x c µ = µ 1 = 394 ) = P ( ) ( ) X xc P X xc1 ( = P Z x ) ( c µ 1 P Z x ) c 1 µ ( ) ( ) = P Z P Z 8 8 ( = P Z 9.9 ) ( P Z.08 ) 8 8 = P (Z 1.4) P (Z 0.6) = = = 8.99% β = 8.99% e) Avec ce pla de cotrôle, quelle est la probabilité de rejeter l hypothèse selo laquelle le procédé opère à 400g, alors qu e réalité il opère à 394g? P (rejet H 0 H 1 vraie) = 1 β = = = 71% La puissace du test est 71% f) Faire de même pour les valeurs suivates sous H 1 : µ = 395g, 396g, 397g, 398g, 399g et 400g. Tracer la courbe d efficacité du test. La courbe d efficacité du texte = la courbe de puissace du test : (1 β)/µ 1 e H 1 µ 1 ( x c1 µ 1 )/σ ( x c µ 1 )/σ β = P ( x c1 x x c µ = µ 1 ) 395 0,135 1,115 0, ,010 0,990 0, ,115 0,865 0, ,40 0,740 0, ,365 0,615 0, ,490 0,490 0, Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

67 Statistique iféretielle Exemples d applicatio 1. Test bilatéral Figure 3.1 : Courbe d efficacité du test Lorsqu o s itéresse à l égalité ou la différece spécifiée sous H 1 par le sige, o opte pour u test bilatéral. Règle de décisio pour accepter H 0 : t α < t 0 < t α Exemple 3.3. Ue etreprise fourit à u cliet des tiges d acier. Le cliet exige que les tiges aiet e moyee, ue logueur de 9 mm. O admet que la logueur des tiges est ormalemet distribuée. O veut vérifier si le procédé de fabricatio opère bie à 9 mm. U échatillo aléatoire de 1 tiges proveat de la fabricatio doe ue logueur moyee de 7.5 mm et u écart-type empirique de.97 mm. Doit-o coclure, au seuil α = 5%, que la machie est déréglée? 1. Hypothèses statistiques :. Seuil de sigificatio : 3. Statistique de test : 4. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : 5. Règle de décisio : Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

68 6 Vera Agelova Solutio 1. Hypothèses statistiques { H0 : µ = µ 0 = 9 (la machie est pas déréglée) H 1 : µ µ 0 = 9 (la machie est déréglée). Seuil de sigificatio : α = 5% 3. Coditios d applicatio du test : petit échatillo = 1 proveat d ue populatio ormale. Test bilatéral de la logueur moyee des tiges (variace icoue) à ue moyee doée µ 0 = Statistique de test : X µ S / T 1=11 d.d.l. 5. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : µ = µ 0 = 9 t 0 = x 1 µ s 1/ = 3.10/ 1 = avec s 1 = 11 s 1 =.97 = Règle de décisio : fractiles de la loi de Sudet T 11 (cf. table) : t α =.5% = ± Décisio et coclusio : t 0 appartiet à la zoe de o-rejet de H 0 (.01 < t 0 = <.01), o peut doc coclure, avec risque d erreur α = 5% qu il y a pas de différece sigificative. La machie semble bie réglée, il y a pas lieu d iterveir.. Test uilatéral à droite Lorsqu o s itéresse au chagemet d u paramètre das ue directio spécifiée sous H 1 par le sige >, o opte pour u test uilatéral risque à droite. Pour accepter l hypothèse H 0 il faut que t α > t 0. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

69 Statistique iféretielle 63 Exemple Aux derières électios, u parti politique a obteu 4% des suffrages. U récet sodage a révélé que, sur 1041 persoes iterrogées e âge de voter, 458 accorderaiet so appui à ce parti. Le secrétaire gééral du parti a déclaré que la popularité de so parti est e hausse. Que peser de cette affirmatio au seuil de sigificatio α = 5%? 1. Hypothèses statistiques :. Seuil de sigificatio : 3. Coditios d applicatio du test : 4. Statistique de test : 5. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : 6. Règle de décisio : 7. Décisio et coclusio : Solutio 1. Hypothèses statistiques { H0 : p = p 0 = 0.4 (p p 0 ) H 1 : p > p 0 = 0.4 (popularité e hausse). Seuil de sigificatio : α = 5% 3. Coditios d applicatio du test : grad échatillo ( = 1041) Test uilatéral risque à droite sur ue proportio doée p 0 = 4% au premier sodage. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

70 64 Vera Agelova Sachat que pour le secod sodage, la proportio estimée est : f = ˆp = = 44% 4. Statistique de test : f p pq N(0, 1) 5. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : p = p 0 = 0.4 t 0 = f p 0 p 0 q 0 = = Règle de décisio : fractile de la loi N(0, 1) (cf. table) : t 5% = Décisio et coclusio : t 0 appartiet à la zoe de o-rejet de H 0 (t 5% = < t 0 = 1.307), o peut doc coclure, avec risque d erreur α = 5% que la proportio du secod sodage est pas sigificativemet supérieure à celle du premier sodage. L écart observé de % etre les deux sodages est dû aux fluctuatios d échatilloage. L affirmatio du chef est pas justifiée statistiquemet. 3. Test uilatéral à gauche Lorsqu o s itéresse au chagemet d u paramètre das ue directio spécifiée sous H 1 par le sige <, o opte pour u test uilatéral risque à gauche. Pour accepter l hypothèse H 0 il faut que t α < t 0. Exemple Le resposable de la productio suggère au cliet des tiges d acier avec u ouvel alliage. Il semble que ceci permettrait d obteir ue résistace à la rupture plus élevée. Les résultats d u test de résistace à la rupture de 50 tiges avec et sas le ouvel alliage se résumet comme suit. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

71 Statistique iféretielle 65 Sas le ouvel alliage Avec le ouvel alliage Nombre de tiges Résistace moyee Variace empirique Au seuil de sigificatio α = 5%, est-ce que l hypothèse selo laquelle la résistace moyee à la rupture sas l alliage est mois élevée que celle avec l alliage est cofirmée? 1. Hypothèses statistiques :. Seuil de sigificatio : 3. Coditios d applicatio du test : 4. Statistique de test : 5. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : 6. Règle de décisio : 7. Décisio et coclusio : Solutio { H0 : µ 1. Hypothèses statistiques s = µ a (µ s µ a ) H 1 : µ s < µ a. Seuil de sigificatio : α = 5% 3. Coditios d applicatio du test : grads échatillos ( s > 30 et a > 30) (variaces icoues). Test uilatéral risque à gauche. 4. Statistique de test : ( X Ȳp) (µs µa) s s s + s a a N(0, 1) 5. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : µ s µ a = 0 t 0 = ( ) = sachat que s = s 1 6. Règle de décisio : fractile de la loi N(0, 1) (cf. table) : t 5% = Décisio et coclusio : t 0 appartiet à la zoe de rejet de H 0 (t 0 = < t 5% = 1.645), o peut doc coclure, avec risque d erreur α = 5% qu il y a ue différece sigificative. La résistace moyee à la rupture sas alliage est sigificativemet plus petite que celle avec alliage. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

72 66 Vera Agelova 3.4 Comparaisos. Tests permettat de détermier si deux échatillos appartieet à la même populatio Itroductio Il existe de ombreuses applicatios qui cosistet, par exemple, à comparer deux groupes d idividus e regard d u caractère quatitatif particulier (poids, taille, redemet scolaire, quotiet itellectuel,...) ou à comparer deux procédés de fabricatio selo ue caractéristique quatitative particulière (résistace à la rupture, poids, diamètre, logueur,...) ou ecore de comparer les proportios d apparitio d u caractère qualitatif de deux populatios (proportio de défectueux, proportio de ges favorisat u parti politique,...). Les variables aléatoires qui sot alors utilisées pour effectuer des tests d hypothèses (ou aussi calculer des itervalles de cofiace) sot la différece des moyees d échatillo, le quotiet des variaces d échatillo ou la différece des proportios d échatillo Comparaiso de deux moyees d échatillo : test T Nous ous proposos de tester si la moyee de la première populatio (µ 1 ) peut être ou o cosidérée comme égale à la moyee de la deuxième populatio (µ ). Nous allos alors comparer les deux moyees d échatillo x 1 et x. Il est évidet que si x 1 et x diffèret beaucoup, les deux échatillos appartieet pas la même populatio. Mais si x 1 et x diffèret peu, il se pose la questio de savoir si l écart d = x 1 x peut être attribué aux hasards de l échatilloage. Afi de doer ue répose rigoureuse à cette questio, ous procéderos ecore e quatre étapes. 1ère étape : Formulatio des hypothèses. Le premier échatillo dot ous disposos proviet d ue populatio dot la moyee est µ 1. Le deuxième échatillo dot ous disposos proviet d ue populatio dot la moyee est µ. Nous voulos savoir si il s agit de la même populatio e ce qui cocere les { moyees, c està-dire si µ 1 = µ. O va doc tester l hypothèse H 0 cotre l hypothèse H 1 : 1 = µ H0 µ H 1 µ 1 µ. ème étape : Détermiatio de la foctio discrimiate du test et de sa distributio de probabilité. O détermie la statistique qui coviet pour ce test. Ici, la différece D = X 1 X des deux moyees d échatillo, semble tout idiquée. O détermie la loi de probabilité de D e se plaçat sous l hypothèse H 0. O suppose que l o dispose de grads échatillos ( 1 30 et 30). X1 suit alors ue loi ormale de moyee µ 1 et d écart-type σ 1 s 1 que l o peut sas problème estimer par 11 (car ). Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

73 Statistique iféretielle 67 I.e. X1 N(µ 1, s ). De même X suit alors ue loi ormale de moyee µ et d écart-type σ s sas problème estimer par (car s 1 30). I.e. X N(µ, ). 1 que l o peut O e déduit, puisque X 1 et X sot idépedates que D suit égalemet ue loi ormale. E(D) = E( X 1 ) E( X ) = µ 1 µ = 0 puisqu o se place sous H 0. E(D) = V ( X 1 ) + V ( X ) = s s 1 O pose puisque les variables sot idépedates. T = X 1 X s s 1 T mesure u écart réduit. T est la foctio discrimiate du test T N(0, 1). 3ème étape : Détermiatio des valeurs critiques de T délimitat les zoes d acceptatio et de rejet. O impose toujours à la zoe d acceptatio de H 0 cocerat l écart réduit d être cetrée autour de 0. Rejet de H No!rejet de H Rejet de H !!!! / /!t! 0 t /!/ Il ous faut doc détermier das la table la valeur maximale t α/ de l écart réduit imputable aux variatios d échatilloage au seuil de sigificatio α, c est-à-dire vérifiat P ( t α/ T t α/ ) = 1 α. 4ème étape : Calcul de la valeur de T prise das l échatillo et coclusio du test. O calcule la valeur t 0 prise par T das l échatillo. Si la valeur t 0 se trouve das la zoe de rejet, o dira que l écart-réduit observé est statistiquemet sigificatif au seuil α. Cet écart est aormalemet élevé et e permet pas d accepter H 0. O rejette H 0. Si la valeur t 0 se trouve das la zoe d acceptatio, o dira que l écart-réduit observé est pas sigificatif au seuil α. Cet écart est imputable aux fluctuatios d échatilloage. O accepte H 0. Remarque 5 Si o travaille sur de petits échatillos, si la loi suivie par la gradeur est ue loi ormale et si o igore les écarts-type des populatios, o doit utiliser la loi de Studet. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

74 68 Vera Agelova 3.4. Comparaiso de deux variaces d échatillo : test F 1ère étape : Formulatio des hypothèses. Le premier échatillo dot ous disposos proviet d ue populatio dot l écart-type est σ 1. Le deuxième échatillo dot ous disposos proviet d ue populatio dot l écarttype est σ. Nous voulos savoir si il s agit de la même populatio e ce qui cocere les écarts-type, c est-à-dire si σ 1 = σ. O va doc tester l hypothèse H 0 cotre l hypothèse H 1 : { H0 σ 1 = σ H 1 σ 1 σ. ème étape : Détermiatio de la foctio discrimiate du test et de sa distributio de probabilité. O détermie la statistique qui coviet pour ce test. Ici, la variable aléatoire dot o coaît la loi est le rapport F = S 1 d échatillo. S où S 1 et S sot les variables aléatoires variaces O détermie la loi de probabilité de F e se plaçat sous l hypothèse H 0. O suppose ici que les deux populatios dot ous avos tiré les échatillos sot ormales. Il e découle que ( 1 1)S 1 σ 1 suit la loi du khi-deux à 1 1 degrés de liberté. De même, ( 1)S σ suit la loi du khi-deux à 1 degrés de liberté. O cosidère alors le quotiet F 0 = S 1 σ 1 S σ qui est distribué suivat la loi de Fisher avec ν 1 = 1 1 et ν = 1 degrés de liberté. Lorsqu o se place sous l hypothèse H 0, c est le rapport F 0 = S 1 S qui suit la loi de Fisher avec ν 1 et ν degrés de liberté puisque σ 1 = σ. Ici la foctio discrimiate du test est F 0. 3ème étape : Détermiatio des valeurs critiques de F 0 délimitat les zoes d acceptatio et de rejet. O impose maiteat à la zoe d acceptatio de H 0 cocerat le quotiet des deux variaces d échatillo d être cetrée autour de 1. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

75 Statistique iféretielle 69 P(F < F "/,!,! )= 0 "/ 1 P(F > F " /,!,! )= 0 1! "/ 1 F" /,! 1,! F 1! " /,!,! 1 O détermie das les tables les deux valeurs F α/,ν1,ν et F 1 α/,ν1,ν telles que P (F α/,ν1,ν < F 0 < F 1 α/,ν1,ν = 1 α. O rejettera H 0 si la valeur f 0 prise par F 0 das l échatillo se trouve à l extérieur de l itervalle [F α/,ν1,ν, F 1 α/,ν1,ν ]. Remarque 6 O otera que pour obteir la valeur critique iférieure de F 0, o doit utiliser la relatio F 1 α/,ν1,ν = 1 F α/,ν,ν 1. 4ème étape : Calcul de la valeur de F 0 prise das l échatillo et coclusio du test. O calcule la valeur f 0 prise par F 0 das l échatillo. Si la valeur F 0 se trouve das la zoe de rejet, o dira que la valeur observée pour F est statistiquemet sigificative au seuil α. Ce quotiet est éloigé de 1 et e permet pas d accepter H 0. O rejette H 0. Si la valeur F 0 se trouve das la zoe d acceptatio, o dira que la valeur observée pour F est pas sigificative au seuil α. L écart costaté par rapport à la valeur 1 attedue est imputable aux fluctuatios d échatilloage. O accepte H Comparaiso de deux proportios d échatillo Il y a de ombreuses applicatios (échéaces électorales, expérimetatios médicales...) où ous devos décider si l écart observé etre deux proportios échatilloales est sigificatif où s il est attribuable au hasard de l échatilloage. Pour répodre à cette questio, ous procéderos comme d habitude e quatre étapes. 1ère étape : Formulatio des hypothèses. Le premier échatillo dot ous disposos proviet d ue populatio 1 dot les élémets possèdet u caractère qualitatif das ue proportio icoue p 1. Le deuxième échatillo dot ous disposos proviet d ue populatio dot les élémets possèdet le même caractère qualitatif das ue proportio icoue p. Nous voulos savoir si il s agit de la même populatio e ce qui cocere{ les proportios, H0 p c est-à-dire si p 1 = p. O va doc tester l hypothèse H 0 cotre l hypothèse H 1 : 1 = p H 1 p 1 p. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

76 70 Vera Agelova ème étape : Détermiatio de la foctio discrimiate du test et de sa distributio de probabilité. Nous traiteros uiquemet le cas où ous sommes e présece de grads échatillos. O détermie la statistique qui coviet pour ce test. Ici, la différece D = F 1 F des deux proportios d échatillo, semble tout idiquée, puisque F 1 est u estimateur sas biais de p 1 et F u estimateur sas biais de p. O détermie la loi de probabilité de D e se plaçat sous l hypothèse H 0. F 1 suit alors p ue loi ormale de moyee p 1 et d écart-type 1 (1 p 1 ) 1. p De même, F suit alors ue loi ormale de moyee p et d écart-type (1 p ). O e déduit, puisque F 1 et F sot idépedates que D suit égalemet ue loi ormale. E(D) = E(F 1 ) E(F ) = p 1 p = 0 puisqu o se place sous H 0. V (D) = V (F 1 ) + V (F ) = p(1 p) 1 + p(1 p) puisque les variables sot idépedates. Ici, o a posé p 1 = p = p puisque l o se place sous H 0. Mais commet trouver p puisque c est justemet sur p que porte le test? Puisque ous raisoos e supposat l hypothèse H 0 vraie, o peut cosidérer que les valeurs de F 1 et F obteues sur os échatillos sot des approximatios de p. De plus, plus la taille de l échatillo est grade, meilleure est l approximatio (revoir le chapitre sur les itervalles de cofiace). Nous allos doc podérer les valeurs observées das os échatillos par la taille respective de ces échatillos. O approchera p das otre calcul par ˆp = 1f 1 + f 1 +. O pose T = D. ˆp(1 ˆp)( ) T mesure u écart réduit. T est la foctio discrimiate du test. T N(0, 1). 3ème étape : Détermiatio des valeurs critiques de T délimitat les zoes d acceptatio et de rejet O impose toujours à la zoe d acceptatio de H 0 cocerat l écart réduit d être cetrée autour de 0. Rejet de H No!rejet de H Rejet de H !!!! / /!t! 0 t /!/ Il ous faut doc détermier das la table la valeur maximale t α/ de l écart réduit imputable aux variatios d échatilloage au seuil de sigificatio α, c est-à-dire vérifiat P ( t α/ T t α/ ) = 1 α. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

77 Statistique iféretielle 71 4ème étape : Calcul de la valeur de T prise das l échatillo et coclusio du test O calcule la valeur t 0 prise par T das l échatillo. Si la valeur t 0 se trouve das la zoe de rejet, o dira que l écart-réduit observé est statistiquemet sigificatif au seuil α. Cet écart est aormalemet élevé et e permet pas d accepter H 0. O rejette H 0. Si la valeur t 0 se trouve das la zoe d acceptatio t α < t 0 < t α, o dira que l écart-réduit observé est pas sigificatif au seuil α. Cet écart est imputable aux fluctuatios d échatilloage. O accepte H 0. Exemple Pour sa fabricatio, u idustriel utilise des pièces de deux costructeurs différets. Après six mois d utilisatio, il costate que sur les 80 pièces du costructeur 1, 50 e sot jamais tombées e pae, alors que pour le costructeur la proportio est de 40 sur 60. Au seuil de sigificatio α = 5%, peut-o cosidérer que les proportios de pièces de ces deux costructeurs sot équivaletes? 1. Hypothèses statistiques :. Seuil de sigificatio : 3. Coditios d applicatio du test : 4. Statistique de test : 5. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : 6. Règle de décisio : 7. Décisio et coclusio : Solutio 1. Hypothèses statistiques. Seuil de sigificatio : α = 5% { H0 : p 1 = p (équivaletes) H 1 : p 1 p (différetes) 3. Coditios d applicatio du test : grads échatillos ( 1 > 30 et > 30). Test bilatéral symétrique. 4. Statistique de test : (F 1 F ) (p 1 p ) ( f(1 f) ) N(0, 1) avec f 1 = 6.50% ; f = 66.67% ; f = 1 f 1 + f 1 + = 64.8% et (1 f) = 35.71%. 5. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : p 1 p = 0 t 0 = ( ) ( 1 + ) = Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

78 7 Vera Agelova 6. Règle de décisio : fractile de la loi N(0, 1) (cf. table) : t.5% = ± Décisio et coclusio : t 0 appartiet à la zoe de o-rejet de H 0 ( 1.96 < t 0 = < 1.96), o peut coclure, avec risque d erreur α = 5%, qu il y a pas de différece sigificative etre ces deux proportios. O peut doc les cosidérer comme équivaletes. 3.5 Tests o-paramétriques O qualifie de o-paramétriques distributio free les tests statistiques qui sot costruits à partir d ue foctio des observatios sur u échatillo aléatoire, foctio dot la loi de probabilité e déped pas de la coaissace de la distributio de la populatio-mère. La validité des tests o-paramétriques déped seulemet d u ombre très restreit de coditios d applicatio (échatillos cosidérés doivet être aléatoires et simples) beaucoup mois cotraigates que celles requises pour la mise e œuvre des tests paramétriques (distributio ormale de la populatio-mère ou échatillo de grade taille). U test o-paramétrique présete quelques avatages : 1. so applicatio est relativemet facile et rapide,. s applique à des échatillos de petites tailles, 3. s applique à des caractères qualitatifs, à des gradeurs de mesure, à des ratios, à des rags de classemet, etc. O distiguera pricipalemet les deux familles suivates : 1. Test du Khi-deux de Pearso : (a) Test d ajustemet ou d adéquatio etre deux distributios. (b) Test d idépedace das u tableau de cotigece. (c) Test d homogééité de plusieurs populatios.. Tests appliqués aux rags et aux siges (a) Test de la somme des rags (Wilcoxo et Ma-Withey) (b) Test de siges (c) Test de la somme des rags des différeces positives (Wilcoxo) (d) Test d idépedace de rags de Spearma Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

79 Statistique iféretielle 73 Ue caractéristique essetielle des méthodes o-paramétriques est leur relative simplicité et rapidité des calculs. Remplacer les valeurs observées par des idicateurs ou des rags provoque évidemmet ue certaie perte d iformatio. De ce fait, les tests o-paramétriques sot gééralemet mois puissats que les tests paramétriques, beaucoup plus robustes Test d ajustemet de deux distributios : test du khi-deux Itroductio Le test de Pearso, appelé aussi le test du khi-deux est u outil statistique qui permet de vérifier la cocordace etre ue distributio expérimetale et ue distributio théorique. O cherche doc à détermier si u modèle théorique est susceptible de représeter adéquatemet le comportemet probabiliste de la variable observée, comportemet fodé sur les fréqueces des résultats obteus sur l échatillo. Commet procéder? Répartitios expérimetales O répartit les observatios suivat k classes (si le caractère est cotiu) ou k valeurs (si le caractère est discret). O dispose alors des effectifs des k classes : 1,,..., k. O a bie sûr la relatio k i = N, i=1 où N est le ombre total d observatios effectuées. Répartitios théoriques E admettat comme plausible ue distributio théorique particulière, o peut costruire ue répartitio idéale des observatios de l échatillo de taille N e ayat recours aux probabilités tablées (ou calculées) du modèle théorique : p 1, p,..., p k. O obtiet alors les effectifs k théoriques t,i e écrivat t,i = Np i. O dispose automatiquemet de la relatio t,i = N. Remarque 7 Das la pratique, o se placera das le cas où N 50 et où chaque t,i est supérieur ou égal à 5. Si cette coditio est pas satisfaite, il y a lieu de regrouper deux ou plusieurs classes adjacetes. Il arrive fréquemmet que ce regroupemet s effectue sur les classes aux extrémités de la distributio. k représete doc le ombre de classes après regroupemet. i=1 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

80 74 Vera Agelova Défiitio de l écart etre les deux distributios Pour évaluer l écart etre les effectifs observés i et les effectifs théoriques t,i, o utilise la somme des écarts ormalisés etre les deux distributios, à savoir χ = ( 1 t,1 ) t,1 + ( t, ) t, + + ( k t,k ) t,k. Plus le ombre χ aisi calculé est grad, plus la distributio étudiée différer de la distributio théorique. Quelques cosidératios théoriques à propos de cet écart Le ombre d observatios i parmi l échatillo de taille N susceptible d apparteir à la classe i est la réalisatio d ue variable biomiale N i de paramètres N et p i (chacue des N observatios appartiet ou appartiet pas à la classe i avec ue probabilité p i ). Si N est suffisammet grad (o se place das le cas d échatillos de taille 50 miimum) et p i pas trop petit (o a effectué des regroupemets de classes pour qu il e soit aisi), o peut approcher la loi biomiale par la loi ormale, c est-à-dire B(N, p i ) par N(Np i, Np i (1 p i )). Pour simplifier, o approxime Np i (1 p i ) par Np i. Doc N i Np i Np i suit la loi N(0, 1). Lorsqu o élève au carré toutes ces quatités et qu o e fait la somme, o obtiet ue somme de k lois ormales cetrées réduites (presque) idépedates. Nous avos vu au chapitre 3 que cette somme suivait ue loi du khi-deux. Mais quel est le ombre de degrés de liberté de cette variable du khi-deux? Il y a k carrés, doc à priori k degrés de liberté. Mais o perd toujours u degré de liberté car o a fixé l effectif total de l échatillo, k N i = N. i=1 O peut perdre d autres degrés de liberté si certais paramètres de la loi théorique doivet être estimés à partir de l échatillo. 1. Si la distributio théorique est etièremet spécifiée, c est-à-dire si o cherche à détermier si la distributio observée suit ue loi dot les paramètres sot cous avat même de choisir l échatillo, o a k 1 degrés de liberté (k carrés idépedats mois ue relatio etre les variables).. S il faut d abord estimer r paramètres de la loi à partir des observatios de l échatillo (par exemple o cherche si la distributio est ormale mais o e coaît d avace i sa moyee i so écart-type), il y a plus que k 1 r degrés de liberté. Das le cas gééral, o dira que la loi du khi-deux suivie par l écart etre les deux distributios a k 1 r degrés de liberté lorsqu o a estimé r paramètres de la loi théorique à partir des observatios de l échatillo (avec la possibilité pour r de valoir 0). Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

81 Statistique iféretielle 75 EXCEL : Si p > α o accepte l hypothèse H 0. CHIT EST (y observés ; y estimés ) = p Le test d ajustemet de Pearso Il ous faut maiteat décider, à l aide de cet idicateur qu est le χ, si les écarts etre les effectifs théoriques et ceux qui résultet des observatios sot sigificatifs d ue différece de distributio ou si ils sot dus aux fluctuatios d échatilloage. Nous procéderos comme d habitude e quatre étapes. 1ère étape : Formulatio des hypothèses. O va doc tester l hypothèse H 0 cotre l hypothèse H 1 : { H0 Les observatios suivet la distributio théorique spécifiée, H 1 Les observatios e suivet pas la distributio théorique spécifiée. ème étape : Détermiatio de la foctio discrimiate du test et de sa distributio de probabilité. O utilise la variable aléatoire χ = ( 1 t,1 ) t,1 + ( t, ) t, + + ( k t,k ) t,k. 3ème étape : Détermiatio des valeurs critiques de χ délimitat les zoes d acceptatio et de rejet. O impose à la zoe d acceptatio de H 0 cocerat la valeur du χ d être u itervalle dot 0 est la bore iférieure (car u χ est toujours positif). 1!! #!," P( > # )=! #!," Il ous faut doc détermier das la table la valeur maximale χ α,ν de l écart etre les deux distributios imputable aux variatios d échatilloage au seuil de sigificatio α, c est-àdire vérifiat P (χ > χ α,ν) = α. χ α,ν représete doc la valeur critique pour u test sur la cocordace etre deux distributios et le test sera toujours uilatéral à droite. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

82 76 Vera Agelova 4ème étape : Calcul de la valeur de χ prise das l échatillo et coclusio du test. O calcule la valeur χ 0 prise par χ das l échatillo. Si la valeur χ 0 se trouve das la zoe de rejet, o dira que l écart observé etre les deux distributios est statistiquemet sigificatif au seuil α. Cet écart est aormalemet élevé et e permet pas d accepter H 0. O rejette H 0. Si la valeur χ 0 se trouve das la zoe d acceptatio, o dira que l écart-réduit observé est pas sigificatif au seuil α. Cet écart est imputable aux fluctuatios d échatilloage. O accepte H 0. EXCEL : Si p > α o accepte l hypothèse H 0. CHIT EST (y observés ; y estimés ) = p 3.5. Test d idépedace du khi-deux Le test de khi-deux est fréquemmet utilisé pour tester si deux caractères, qualitatifs ou quatitatifs (répartis e classes), observés das ue populatio sot idépedats ou si, au cotraire, ils sot dépedats : présetet u certai degré d associatio (liaiso). Pricipe gééral du test : 1. U échatillo aléatoire de taille est prélevé d ue populatio et est observé selo deux caractères X à p modalités et Y à q modalités.. La répartitio des observatios suivat les modalités croisées des deux caractères se présete sous la forme d u tableau à double etrée appelé tableau de cotigece. 3. Il s agit par la suite de tester, à l aide du khi-deux de Pearso, si les deux caractères sot idépedats ou o. Tableau de cotigece. Tableau des effectifs observés : y 1... y j... y l Total lige x j... 1l 1. = j 1j x i i1... ij... il i x k k1... kj... kl k. Total coloe.1 = i ij....j....l =.. = i j ij Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

83 Statistique iféretielle 77 Les hypothèses statistiques peuvet s éocer aisi : { H0 : les caractères X et Y sot idépedats H 1 : les caractères X et Y sot dépedats Sous l hypothèse ulle H 0 : idépedace des deux caractères, o a, p ij = p i. p.j (i = 1, k et j = 1, l) (probabilités cojoites p ij = ij ). l estimatio des effectifs théoriques s obtiet e répartissat la taille de l échatillo das les proportios obteues selo les estimatios des probabilités cojoites (idépedace e probabilité) : f ij = i..j = ˆ ij d où, ˆ ij = i..j Pour comparer les répartitios théorique et observée, o calcule, sous l hypothèse ulle H 0 la quatité : k l χ calculé = ( ij ˆ ij ) i j laquelle sous H 0 est distribuée selo la loi du khi-deux χ (k 1)(l 1) d.d.l. : oté χ table pour le risque d erreur α choisi. Décisio et coclusio du test statistique : L hypothèse ulle H 0 d idépedace est rejetée, au iveau α, si χ calculé χ table (le test statistique est toujours uilatéral). EXCEL : CHIT EST (y observés ; y estimés ) = p Si p > α = o accepte l hypothèse H 0. ˆ ij Exemple Test d idépedace : taux de guériso et coût du médicamet. Pour comparer l efficacité de médicamets comparables, mais de prix très différets, la Sécurité sociale a effectué ue equête sur les guérisos obteues avec ces deux traitemets. Les résultats sot présetés das le tableau suivat : Origial Géérique Total Guérisos No-guérisos Total Tableau aux effectifs observés ij Au seuil de sigificatio α = 5%, peut-o coclure que ces deux médicamets ot la même efficacité? 1. Hypothèses statistiques :. Seuil de sigificatio : Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

84 78 Vera Agelova 3. Coditios d applicatio du test : 4. Degré de liberté : 5. Statistique de test : 6. Calcul de la statistique du χ calculé sous l hypothèse ulle H 0 : 7. Règle de décisio et coclusio : Solutio { H0 : idépedace du taux de guériso et du coût du médicamet 1. Hypothèses statistiques H 1 : dépedace. Seuil de sigificatio : α = 5% 3. Coditios d applicatio du test : U échatillo aléatoire de taille = 50 observé selo deux caractères qualitatifs à k = et l = modalités. 4. Degré de liberté : (k 1)(l 1) = 1 d.d.l. 5. Statistique de test : k= l= ( ij ˆ ij ) i=1 j=1 ˆ ij χ 1 d.d.l. 6. Calcul de la statistique du χ calculé sous l hypothèse ulle H 0 : Idépedace Origial Géérique Total Guérisos = = No-guérisos = = Total Tableau aux effectifs théoriques ˆ ij = i..j k= χ calculé = l= i=1 j=1 ( ij ˆ ij ) ˆ ij =.5 7. Décisio et coclusio : fractile de la loi du χ 1 (cf. table) : χ 1;α=5% = La valeur du χ calculé appartiet à la zoe de o-rejet de H 0. E effet, χ calculé =.5 < χ 1;5% = Il y a pas de dépedace sigificative etre les deux caractères : le taux de guériso et le coût du médicamet sot idépedats. Au seuil de sigificatio α = 5%, o peut coclure que ces deux médicamets ot la même efficacité Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

85 3.5.3 Test d homogééité de plusieurs populatios Itroductio Statistique iféretielle 79 O prélève au hasard k échatillos de tailles 1,,..., k de k populatios. Les résultats du caractère observé das chaque populatio sot esuite classés selo r modalités. Das ce cas, les totaux margiaux (les i ) associés aux k échatillos sot fixés et e dépedet pas du sodage. Il s agit de savoir comparer les k populatios etre elles et de savoir si elles ot u comportemet semblable e regard du caractère étudié (qualitatif ou quatitatif). O rassemble les doées das u tableau à double etrée appelé tableau de cotigece. Populatios échatilloées j = 1 j =... j... j = k i = j 1k Caractère i = 1 j k observé... selo r i i1 i ij ik modalités... i = r r1 r rj rk r 1 = i1 r = i r j = ij r k = i=1 i=1 i=1 i=1 ik Test d homogééité Il s agit de comparer les effectifs observés pour chaque modalité du caractère avec les effectifs théoriques sous l hypothèse d ue répartitio équivalete etre les k populatios et ceci pour chaque modalité du caractère. Si ous otos p ij la probabilité théorique pour qu ue uité statistique choisie au hasard das la populatio j présete la modalité i du caractère étudié, o peut alors préciser les hypothèses de la faço suivate : 1ère étape : Formulatio des hypothèses. H 0 : p i1 = p i = = p ik pour i = 1,,..., r. Soit ecore : les proportios d idividus présetat chaque modalité du caractère sot les mêmes das les k populatios. H 1 : Les proportios des populatios e sot pas toutes égales. ème étape : Détermiatio de la foctio discrimiate du test et de sa distributio de probabilité. Sous l hypothèse d homogééité des populatios, o doit comparer les effectifs observés aux effectifs théoriques. Pour calculer les effectifs théoriques, il ous faut détermier p i, la proportio d idividus associée à la modalité i et que l o suppose idetique das les k populatios. O obtiedra ue estimatio de cette proportio e utilisat l esemble des doées collectées. O Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

86 80 Vera Agelova choisit doc p i = k j=1 ij k j=1. j O e déduit les effectifs théoriques de chaque classe grâce à la relatio t,ij = p i j. Pour comparer les écarts etre ce qu o observe et ce qui se passe sous l hypothèse H 0, o cosidère la somme des écarts réduits de chaque classe, à savoir la quatité χ = r i=1 k j=1 (N ij t,ij ) t,ij. Cette variable aléatoire suit ue loi du khi-deux (voir paragraphe précédet), mais quel est doc so ombre de degrés de liberté? Calcul du ombre de degrés de liberté du khi-deux. A priori, o a kr cases das otre tableau doc kr degrés de liberté. Mais il faut retirer à cette valeur, le ombre de paramètres estimés aisi que le ombre de relatios etre les différets élémets des cases. O a estimé r probabilités théoriques à l aide des valeurs du tableau(p 1, p,..., p r ), mais seulemet r 1 sot idépedates, puisqu o impose la restrictio r i=1 p i = 1. Par ces estimatios, o a doc supprimé r 1 degrés de liberté. Les effectifs de chaque coloe sot toujours liés par les relatios r i=1 N ij = j (puisque les j sot imposés par l expériece) et ces relatios sot au ombre de k. Fialemet, le ombre de degrés de liberté du khi-deux est kr (r 1) k = (k 1)(r 1). 3ème étape : Détermiatio des valeurs critiques de délimitat les zoes d acceptatio et de rejet. O impose à la zoe d acceptatio de H 0 cocerat la valeur du χ d être u itervalle dot 0 est la bore iférieure (car u χ est toujours positif). 1!! #!," P( > # )=! #!," Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

87 Statistique iféretielle 81 Il ous faut doc détermier das la table la valeur maximale χ α,ν de l écart etre les deux distributios imputable aux variatios d échatilloage au seuil de sigificatio α, c est-à-dire vérifiat P (χ > χ α,ν) = α. 4ème étape : Calcul de la valeur de χ prise das l échatillo et coclusio du test. O calcule la valeur χ 0 prise par χ das l échatillo. Si la valeur χ 0 se trouve das la zoe de rejet, o dira que l écart observé etre les deux distributios est statistiquemet sigificatif au seuil α. Cet écart est aormalemet élevé et e permet pas d accepter H 0. O rejette H 0. Si la valeur χ 0 se trouve das la zoe d acceptatio, o dira que l écart-réduit observé est pas sigificatif au seuil α. Cet écart est imputable aux fluctuatios d échatilloage. O accepte H 0. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

88 8 Vera Agelova Bibliographie [1] Belletate, B., B. Romier. Mathématiques et Gestio. Les outils fodametaux. Eseigemet Supérieur Tertiaire, Ellipses, 1991 [] Dumouli, D. Mathématiques de gestio. Cours et applicatios Collectio D.E.C.S. dirigée par Th. Lamolette, Ecoomica, Paris, 1987 [3] Jaffard, P. Iitiatio aux méthodes de la statistique et du calcul des probabilités Masso, Paris, 1990 [4] Rakotomalala, R. Ouvrages ricco/cours/ouvrages.html [5] Ramousse, R., Le Berre, M., Le Guelte, L. Itroductio aux statistiques, chapitres 1 à 5, [6] Ramousse, R., Le Berre, M., Le Guelte, L. Ue approche pragmatique de l Aalyse des doées [7] Spiegel, M. Théorie et applicatio de la statistique Serie Schaum, Edisciece, Paris, Frace, 197 [8] Damgaliev, D., Tellalya,. Statistiques sur les etreprises, NBU, Sofia, 006 (e bulgare) Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

89 Statistique iféretielle 83 Aexe Schémas Sythèse sur les distributios d échatilloage Table 1 Table Estimatio poctuelle. Sythèse Table 3 Itervalle de cofiace. Sythèse Table 4 Table 5 Table 6 Table 7 Tables statistiques Table de Loi Normale Fractiles de la Loi Normale Fractiles de la loi du χ ν Table de la loi de Studet Table de la loi de Fisher-Sedecor p = 0.05 Table de la loi de Fisher-Sedecor p = 0.05 Table de la loi de Fisher-Sedecor p = 0.01 Feuilles Feuille 1 : Échatilloage Feuille : Estimatio Feuille 3 : Les tests d hypothèse Feuille 4 : Préparatio pour les cotrôles Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

90 84 Vera Agelova Schémas Sythèse sur les distributios d échatilloage Table 1 Table Estimatio poctuelle. Sythèse Table 3 Itervalle de cofiace. Sythèse Table 4 Table 5 Table 6 Table 7 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

91 Statistique iféretielle 85 Variable aléatoire Sythèse sur les distributios d échatilloage Table 1 Défiitio Paramètres descriptifs Loi X Moyee d échatillo X = 1 (X X) E( X) = µ 30 < 30, X N(µ, σ) = 1 i=1 X i V ar( X) = σ σ cou σ icou σ cou σ icou estimatio fiable ˆσ = 1 s estimatio fiable ˆσ = 1 s X1 : 1, µ1, σ1 X :, µ, σ X1 X E( X1 X) = µ1 µ ; V ar( X1 X) = σ 1 + σ 1 tirage avec remise ; tirage sas remise et < 0, 05N X N(µ, σ ) tirage sas remise ) et > 0, 05N X N σ (µ, N N 1 1, 30 ; i < 0, 05N X1 X N ( T = X µ s = 1 X µ s T T 1 1, < 30 et X1 N(µ1, σ1), X N(µ, σ) σ µ1 µ, 1 + σ 1 ) i > 0, 05Ni facteur d exhaustivité S X Variace d échatillo - estimatio de σ S X = 1 i=1 (X i X) E(S X) = 1 σ, 30 < 30 S X = 1 S i=1 (X i X) E(S X) = σ S X N = 1 1 ( σ, σ ( 1) ) ( 1)S X χ σ 1 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

92 86 Vera Agelova Table Variable aléatoire Défiitio Paramètres descriptifs Loi 30, p > 15, q > 15 B(, p ) N ( p, ) pq F Proportio d échatillo F = X/, X B(, p) E(X) = p V ar(x) = pq E(F ) = p V ar(f ) = pq tirage avec remise ; sas remise et < 0, 05N F N ( p, ) pq tirage sas remise et > 0, 05N ( F N p, ) pq N N 1 F 1 F F 1 N ( p 1, p1 q 1 1 ) ( ) F N p, p q F 1 F E(F 1 F ) = p 1 p V ar(f 1 F ) = p1 q p q 1 30 ; 30 F 1 ( F N p 1 p, p1 q p q ) Estimatio poctuelle. Sythèse Table 3 Paramètres du caractère observé Populatio mère taille moyee proportio variace P N µ p σ Caractéristiques du caractère observé Echatillo taille moyee fréquece variace E Estimatios poctuelles x = 1 i=1 x i Série stat. x = 1 i=1 ix i D.O.1 x = 1 i=1 ix i D.G.1 f = A observée : s = 1 i=1 (s i x) empirique : s = 1 s µ = x p = f µ coue - σ = s µ icoue - σ = s Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

93 Statistique iféretielle 87 Itervalle de cofiace. Sythèse Populatio P : taille N; moyee µ = 1 N Échatillo E : taille ; moyee x = 1 N i=1 x i i=1 x i; variace σ = 1 N variace s = 1 N x i µ i=1 x i x Table 4 variace empirique s = 1 s Paramètre Coditios estimé σ coue, Moyee µ p. 38, 39 σ icoue < 30 p. 40, 41 σ icoue 30 p. 4 Proportio p 30 p. 53, 54 Variace σ écart-type σ µ coue p. 61 Statistique de test X µ σ/ N(0, 1) t α X µ S / T 1 d.d.l. X µ S / N(0, 1) t F p f(1 f) S σ N(0; 1) χ d.d.l. Marge d erreur E t α σ t St α s α s f(1 f) d.d.l. k 1 = χ α k = χ 1 α s k i=1 s k I.C. (1 α) x ± t α x ± t St α x ± t α f ± t α σ s σ σ s s f(1 f) k 1 s k 1 µ icoue X N(µ, σ) p. 6 ( 1) S σ χ ( 1) d.d.l. 1 d.d.l. k 1 = χ α k = χ 1 α ( 1) s k σ ( 1) s k 1 ( 1) s k σ ( 1) s k 1 µ icoue > 100 p. 63 S σ N(, ) s t α t α s s s ± t α s ± t α s Itervalle de cofiace du rapport de variaces Table 5 Coditios Statistique de test Marge d erreur E I.C. (1 α) X 1 N(µ 1, σ 1 ) X N(µ, σ ) p σ S σ1 1 S F (1 1),( 1) d.d.l. f 1 = f 1 α = F 1 α 1/F α, 1, 1 1 = P (F ( 1 1, 1) > f 1 ) = 1 α, 1 1, 1 = f = f α = F α, 1 1, 1 P (F ( 1 1, 1) > f ) = α ; S f 1 S 1 Coclusio : Si 1 I.C. (1 α)%, il y a pas de différece sigificative (avec u risque d erreur de α%) etre les deux variaces. O peut doc les supposer égales : σ 1 σ. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016 σ σ 1 S f S 1

94 88 Vera Agelova Itervalle de cofiace de la différece de moyees Table 6 Coditios Statistique de test Marge d erreur E I.C. (1 α) σx, σ Y coues p. 68, 69 σx, σ Y icoues, p 30 p. 73, 74 σ X = σ Y = σ icoues, p 30 p. 78, 79 ( X Ȳ ) (µx µy) N(0; 1) σx + σ y p ( X Ȳ ) (µx µy) S x + S y p ( X Ȳ ) (µx µy) s p S = S x +ps y +p N(0; 1) T (+p ) d.d.l. t α t α σx + σ y p S x + S y p ( X Ȳ ) ± E ( X Ȳ ) ± E t St α s p ( X Ȳ ) ± E σ X = σ Y = σ icoues = p 30, p. 80 ( X Ȳ ) (µx µy) S S = (S x+s y) ( 1) T ( 1) d.d.l. t St α s ( X Ȳ ) ± E Echatillos appariés p. 84, 85 Z = X Y Z N(µ Z, σ Z ) Z µ z S / T 1 d.d.l. S = 1 ( 1) i=1 ( Zi Z ) t St α s Z ± E Coclusio : Si 0 I.C (1 α) = les deux moyees e sot pas différetes ; Si 0 I.C (1 α) = les moyees sot sigificativemet différetes. Itervalle de cofiace de la différece de proportios Table 7 Coditios Statistique de test Marge d erreur E I.C. (1 α), p 30 p (F 1 F ) (p p ) N(0; 1) t α f 1 (1 f 1 ) + f (1 f ) 1 f1 (1 f 1 ) 1 + f (1 f ) (f 1 f ) ± E 1, 30 p 1 = p = p p (F 1 F ) (p 1 p ) ( f(1 f) f = 1f 1 + f 1 + ) N(0; 1) t α ( ) f(1 f) (f 1 f ) ± E Coclusio : Si 0 I.C (1 α) = les deux proportios e sot pas différetes ; Si 0 I.C (1 α) = les proportios sot sigificativemet différetes. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

95 Statistique iféretielle 89 Tables statistiques Table de Loi Normale Fractiles de la Loi Normale Fractiles de la loi du χ ν Table de la loi de Studet Table de la loi de Fisher-Sedecor p = 0.05 Table de la loi de Fisher-Sedecor p = 0.05 Table de la loi de Fisher-Sedecor p = 0.01 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

96 90 Vera Agelova Table de la loi Normale Foctio de répartitio Π de la loi ormale cetrée réduite : U N(0, 1) Probabilité de trouver ue valeur iférieure à u Π(u) = P (U u); Π( u) = P (U u) = 1 Π(u) Exemple : Π(1.6) = P (U 1.6) = = 89.6% Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

97 Statistique iféretielle 91 Fractiles de la loi ormale U N(0, 1) Pour P < 0.5 (coloe de gauche et lige supérieure). Les fractiles sot égatifs. Pour P > 0.5 (coloe de droite et lige iférieure). Les fractiles sot positifs. Exemple : Π(u) = P (U u) = P = u = ; Π(u) = P (U u) = P = u = 0.48 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

98 9 Vera Agelova Fractiles de la loi du χ ν Pour S χ ν à ν degrés de liberté le fractile χ p d ordre P est tel que : P (X χ p) = p La table doe les fractiles χ p, e foctio de ν, pour certaies valeurs de P. Pour les valeurs de ν e figurat pas das la table, o pourra procéder par iterpolatio. Par exemple, pour ν = 10 et P = 0, 975, o lit χ p = 0, 5 et pour P = 0, 05, o lit χ p = 3, 5. Pour ν = 75 et P = 0, 975, o lit χ p = 1 (95, , 6) = 100, 8. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

99 Statistique iféretielle 93 Fractiles de la loi de χ Cette table doe les fractiles F P de la loi de khi-deux à ν degrés de liberté : P = P (χ ν F P ) Exemple : ν = 10d.d.l. P = P (χ 10 F P ) = 0.95 F P = Approximatio : Pour ν > 100d.l.l. χ (ν) N(ν; ν) ou χ ν 1 N(0, 1) Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

100 94 Vera Agelova Table de la loi de Studet Soit ue v.a. T ayat ue desité de Studet à ν degrés de liberté. Le fractile t p d ordre P est tel que : P (T t p ) = Pour les valeurs de P 0, 40 o a t p = t 1 p. tp f(t)f(t)dt = P Pour les valeurs de ν e figurat pas das la table, o pourra : - procéder par iterpolatio - utiliser l approximatio par la loi ormale réduite (ν > 100). Par exemple, pour ν = 9 et P = 0, 975, o lit t p =, 6 et pour P = 0, 05, o déduit t p =, 6. Pour ν = 75 et P = 0, 975, o lit t p = 1 (1, , 990) = 1, 99. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

101 Statistique iféretielle 95 Table de la loi de Studet Cette table doe les fractiles de la loi de Studet à ν degrés de liberté : valeur t ayat la probabilité α d être dépassée e valeur absolue : P ( T ν t) = P ( t T ν t) = 1 α P ( T ν > t) = 1 P ( T ν t) = α Exemple : ν = 10d.d.l. P = P ( T 10 t) = 0.95 t = ±.81 P = P (T 10 t) = 0.95 t = Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

102 96 Vera Agelova Table de la loi de Fisher-Sedecor Valeur f de la variable de Fisher-Sedecor F (ν 1 ; ν ) ayat la probabilité 0.05 d être dépassée ν 1 : degrés de liberté du umérateur ν : degrés de liberté du déomiateur Exemple : ν 1 = 5 d.d.l. et ν = 10 d.d.l. P = P (F 5.10 f) = 0.95 f = 3.33 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

103 Statistique iféretielle 97 Table de la loi de Fisher-Sedecor Valeur f de la variable de Fisher-Sedecor F (ν 1 ; ν ) ayat la probabilité 0.05 d être dépassée ν 1 : degrés de liberté du umérateur ν : degrés de liberté du déomiateur Exemples : ν 1 = 5 d.d.l. et ν = 10 d.d.l. P = P (F 97,5%;5.10 f ) = 0.05 P (F 97.5%;10.5 f) = f = 6.6 f = 1/f = 1/6.6 = Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

104 98 Vera Agelova Table de la loi de Fisher-Sedecor Valeur f de la variable de Fisher-Sedecor F (ν 1 ; ν ) ayat la probabilité 0.01 d être dépassée ν 1 : degrés de liberté du umérateur ν : degrés de liberté du déomiateur Exemple : ν 1 = 5 d.d.l. et ν = 10 d.d.l. P = P (F 5.10 f) = 0.95 f =.64 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

105 Statistique iféretielle 99 Feuilles Feuille 1 : Échatilloage Feuille : Estimatio Feuille 3 : Les tests d hypothèse Feuille 4 : Préparatio pour les cotrôles Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

106 100 Vera Agelova Feuille 1 : Échatilloage Exercices 1. [7] O suppose que les poids de 3000 étudiats d ue uiversité suivet ue loi ormale de moyee 68,0 kilogrammes et d écart-type 3,0 kilogrammes. Si l o extrait u échatillo de 5 étudiats, quelle est la moyee et l écart-type théoriques de la distributio d échatilloage des moyees pour a) u échatilloage o exhaustif, b) u échatilloage exhaustif, c) u échatilloage exhaustif, dot la taille de l échatillo est = 300?. Le magazie Barro s a rapporté que le ombre moye de semaies passées au chômage par u idividu est égale à 17,5. Supposez que pour la populatio de tous les chômeurs, la durée moyee de chômage de la populatio soit de 17,5 semaies et que l écart-type de la populatio soit de 4 semaies. Supposez que vous vouliez sélectioer u échatillo aléatoire de 50 chômeurs pour effectuer ue étude. a) Représeter la distributio d échatilloage de x, la moyee d échatillo pour u échatillo de 50 chômeurs. b) Quelle est la probabilité qu u échatillo aléatoire simple de 50 chômeurs fourisse ue moyee d échatillo qui s écarte au plus de ±1 semaie de la moyee de la populatio? c) Quelle est la probabilité qu u échatillo aléatoire simple de 50 chômeurs fourisse ue moyee d échatillo qui s écarte de ±1/ semaie de la moyee de la populatio? 3. Pour estimer l age moye d ue populatio de 4000 employés, u échatillo aléatoire simple de 40 employés est sélectioé. a) Utilisez-vous le facteur de correctio pour populatio fiie pour calculer l écart-type de la moyee de l échatillo? Expliquer. b) Si l écart-type de la populatio est σ = 8, as, calculer l écart-type de la moyee de l échatillo avec et sas le facteur de correctio pour populatio fiie. Quel est le raisoemet pour expliquer l abado du facteur de correctio pour populatio fiie lorsque /N 0, 05? c) Quelle est la probabilité que l age moye des employés de l échatillo s écarte au plus de ± as de l age moye de la populatio? 4. Les producteurs de bies d épicerie américais ot idiqué que 76% des cosommateurs liset les étiquettes idiquat la compositio des produits. Supposez que la proportio de la populatio soit p = 0, 76 est qu u échatillo de 400 cosommateurs soit issu de cette populatio. a) Détermier la distributio d échatilloage de la proportio d échatillo f correspodat à la proportio des cosommateurs de l échatillo qui liset l étiquette de compositio des produits. b) Quelle est la probabilité que la proportio d échatillo s écarte d au plus ±0, 03 de proportio de la populatio? c) Répodre à la questio (b) pour u échatillo de 750 cliets. 5. [7] Ciq cets pigos ot u poids moye de 50 grammes et u écart-type de 0,3 grammes. Trouver la probabilité pour qu u échatillo de 100 pigos choisis au hasard ait u poids total a) compris etre 469 et 500 grammes b) plus grad que 510 grammes. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

107 Statistique iféretielle [7] A et B jouet tous deux à pile ou face e jetat chacu 50 pièces de moaie. A gage au jeu s il réussit à avoir 5 faces ou davatage de plus que B, sio c est B qui gage. Détermier la probabilité pour que A e gage pas lors d u jeu particulier. 7. [7] Les ampoules électriques d u fabricat A ot ue durée de vie moyee de 1400 heures avec u écart-type de 00 heures, et celle d u fabricat B ot ue durée de vie moyee de 100 heures avec u écart-type de 100 heures. Si l o teste des échatillos de 15 ampoules pour chaque marque, quelle est la probabilité pour que la marque d ampoules A ait ue durée de vie moyee qui soit au mois supérieure de a) 16 heures b) 50 heures à celle de la marque d ampoules B? Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

108 10 Vera Agelova Feuille : Estimatio Exemple.1.1 Supposos qu ue etreprise compte 00 employés et que l échatillo de 50 employés a été prélevé au hasard parmi les deux cets. Cat. salariale/mois Nombre de salariés Mois de M.Euros 18 [ 4[ 0 4 M.Euros et plus 1 Total Doer ue estimatio de la proportio de l esemble des employés dot le salaire mesuel est de M.Euros et plus.. Quel est le taux de sodage? 3. Détermier la probabilité qu au mois 30 employés de cet échatillo possèdet u salaire mesuel de M.Euros et plus lorsque la populatio échatilloée e cotiet 64%. Exemple.1. [8] Les prix d u article e 5 différets marchés d ue régio doée sot : i x i Calculer les estimatios poctuelles de la moyee et de l écart-type. Exemple.1.3 La table de distributios des salaires e e de 100 employés d ue etreprise est doée ci-dessous : Classe Cetre de la classe Effectif x i i 400, , , , , Calculer les estimatios poctuelles de la moyee et de l écart-type. Exemple..1 [] 1. Soit X la v.a. durée de vie du tube cathodique d ue marque de T.V.. O e coaît pas la moyee des durées de vie des tubes bie que l o sache qu elles sot distribuées ormalemet. L écart-type de la distributio des durées de vie σ = 450. Das u échatillo de 55 tubes o a calculé que la durée de vie moyee était de heures. Détermier l itervalle de cofiace à 90 % de la durée de vie moyee de la populatio des tubes.. Repreos le même exemple, mais cette fois l échatillo est de taille = 5. Détermios l itervalle de cofiace à 99 % de la durée de vie moyee des tubes, sachat que x = 9500 heures. 3. Supposos que la populatio soit distribuée ormalemet, mais que σ e soit pas cou. A partir d u échatillo de taille = 60, ous avos x = 9450 et s = Estimos à l aide d u itervalle de cofiace à 95 % la moyee de la populatio. 4. Supposos que la distributio soit ormale, que σ e soit pas cou, et que l écart type s d u échatillo de taille = 5 soit égal à 440,908, x état égal à Détermios l itervalle de cofiace à 99 % et comparos le à celui de l exemple. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

109 Statistique iféretielle 103 Exemple.. [] Les resposables d ue étude de marché ot choisi au hasard 500 femmes das ue grade ville et ot costaté que 35 % des femmes reteues das l échatillo préfèret utiliser ue marque de lessive A plutôt que les autres. Ils veulet détermier l itervalle de cofiace à 95 % de la proportio des femmes de cette ville qui préfèret la marque de lessive A. Exemple..3 Les resposables d ue étude de marché ot choisi au hasard 500 femmes das ue grade ville et ot costaté que 35 % des femmes reteues das l échatillo préfèret utiliser ue marque de lessive A plutôt que les autres. Supposos qu avat de tirer l échatillo, les resposables de l étude aiet décidé d estimer la proportio p à ±% près. Quelle devrait être das ce cas la taille miimale de l échatillo à tirer, e désirat toujours avoir u itervalle de cofiace à 95 % et e cosidérat que f = Exemple..4 O suppose que le chiffre d affaires mesuel d ue etreprise suit ue loi ormale de moyee icoue µ mais dot l écart-type s a été estimé à 5 K.Euros. Sur les 16 deriers mois, la moyee des chiffres d affaires mesuels a été de 50 K.Euros. 1 Doer ue estimatio poctuelle de l écart-type σ du chiffre d affaires mesuel cette etreprise. Établir u itervalle de cofiace de iveau 95% de σ. Exemple.3.1 Le temps mis par ue machie pour fabriquer ue pièce est supposé suivre ue loi ormale de paramètres µ et σ. Das u atelier, deux machies A et B fabriquet la même pièce. Pour u échatillo de 9 pièces fabriquées, o a obteu les résultats suivats : Machie A Machie B Nombre de pièces fabriquées 9 9 Temps moye observé (m) Variaces des populatios Détermier u itervalle de cofiace, de iveau (1 α) = 95%, de la différece des temps moyes des deux machies µ a µ b.. Questio : La machie A est-elle aussi performate que la machie B? Exemple.3. O fait subir à des cadres itermédiaires de deux grades etreprises (ue œuvrat das la fabricatio d équipemet de trasport et l autre das la fabricatio de produits électriques) u test d appréciatio et d évaluatio. La compilatio des résultats pour chaque groupe à l issue de cette évaluatio s établit comme suit : 1 Équipemet Produits Électriques Nombre de cadres 34 3 Appréciatio globale moyee Somme des Carrés des Écarts /SCDE/ Détermier u itervalle de cofiace qui a 95 chaces sur 100 de coteir la valeur vraie de la différece des moyees (µ 1 µ ) des deux groupes de cadres.. Questio : Selo cet itervalle, que peut-o coclure quat à la performace des cadres de ces deux secteurs au test d évaluatio? Est-ce qu e moyee, la performace est vraisemblablemet idetique ou semble-t-il ue différece sigificative etre ces deux groupes? Exemple.3.3 U laboratoire idépedat a effectué, pour le compte d ue revue sur la protectio du cosommateur, u essai de durée de vie sur u type d ampoules électriques d usage courat (60 Watts, 10 Volts) fabriquées par deux etreprises cocurretielles, das le secteur Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

110 104 Vera Agelova de produits d éclairage. Les essais effectués das les mêmes coditios, sur u échatillo de 1 lampes proveat de chaque fabricat, doet les résultats suivats : La durée de vie d ue ampoule est supposée ormalemet distribuée.(les variaces des populatios sot supposées égales). Fabricat 1 Fabricat Nombre d essais 1 1 Durée de vie moyee observée (h) Somme des Carrés des Écarts Détermier u itervalle de cofiace de iveau 95% de la différece des durées de vie moyees des ampoules de ces deux fabricats.. Questio : Est-ce que la revue peut affirmer, qu e moyee, les durées de vie des ampoules des deux fabricats sot idetiques (ou différetes)? E d autres termes, est-ce que la différece observée lors des essais est sigificative? Exemple.3.4 suivats : O mesure 1 pièces avec des méthodes différetes. O a obteu les résultats x = 1; ȳ = : 08; SCE x = ; SCE y = et SCE x y = Détermier u itervalle de cofiace de iveau 95% de la différece des deux méthodes de mesures. Exemple.3.5 Das deux muicipalités avoisiates, o a effectué u sodage pour coaître l opiio des cotribuables sur u projet d améagemet d u site. Les résultats de l equête se résumet comme suit : Muicipalité 1 Muicipalité Nombre de persoes iterrogées E faveur du projet Quelle est l estimatio poctuelle de la différece de proportios des cotribuables de chaque muicipalité favorisat l améagemet du site?. Détermier l itervalle de cofiace de iveau (1 α) = 95% de coteir la valeur vraie de la différece des proportios, (p 1 p )? 3. Questio : Avec l itervalle calculé e ), est-ce que l o rejetterait, au seuil de sigificatio α = 5%, l hypothèse selo laquelle les cotribuables des deux muicipalités favoriset das la même proportio l améagemet du site sur leur territoire? Exemple.3.6 Repreos l exemple de la durée de vie moyee de types d ampoules électriques d usage courat (60 Watts, 10 Volts) fabriquées par deux etreprises cocurretielles, das le secteur de produits d éclairage. Les essais effectués das les mêmes coditios, sur u échatillo de 1 lampes proveat de chaque fabricat, doet les résultats suivats : La durée de vie d ue ampoule est supposée ormalemet distribuée. O e dispose d aucue iformatio sur les variaces des deux populatios. Fabricat 1 Fabricat Nombre d essais 1 1 Durée de vie moyee observée (h) Somme des Carrés des Écarts Détermier u itervalle de cofiace de iveau 95% du rapport des variaces des populatios d ampoules de ces deux fabricats. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

111 Statistique iféretielle 105. Questio : Peut-o cosidérer l égalité des variaces σ = σ 1? Estimatio poctuelle Exercices 8. [1] Das ue ville comportat salariés, u istitut fait u sodage portat sur 100 salariés et trouve comme moyee des salaires mesuels e avec u écart-type de 700 e. Cet istitut désire estimer la moyee et l écart-type de l esemble des salariés. 9. [1] Pour coaitre le ombre de garages qu il fallait costruire das u immeuble e 1968 afi que les locataires puisset y garer leurs voitures, ue equête avait été faite : sur 100 méages cosultés, 40 avaiet ue voiture (o suppose, pour simplifier, ue seule voiture par méage). a) Estimer la proportio p de maages qui avaiet ue voiture. O doera ue estimatio poctuelle puis ue estimatio par itervalle de cofiace (à 95 %). b) O prévoyait que 10 as plus tard, le ombre de voitures par méage serait de 0,6. U esemble de 600 appartemets devrait être édifié. Quel ombre miimum de garages fallait-il costruire pour être assuré avec ue probabilité de 0,95 que tous les locataires puisset y rager leurs voitures. 10. [7] O a effectué ciq mesures du diamètre d ue sphère qui ot respectivemet doé 6,33 ; 6,37 ; 6,36 ; 6,3 et 6,37 cm. Détermier des estimateurs sas biais et efficaces a) de la moyee vraie, b) de la variace vraie. Rep. ˆµ = 6.35 cm ; ˆσ = cm 11. [7] Supposos que les poids de 100 étudiats de l uiversité X représetet u échatillo aléatoire des poids des étudiats de cette uiversité de moyee x = kg et variace s = Détermier des estimateurs o biaisés et efficaces a) de la moyee vraie, b) de la variace vraie. Rep. ˆµ = kg ; ˆσ = [7] Doer u estimateur sas biais et iefficace de la moyee du diamètre de la sphère de l exercice 10. Rep. ˆµ = m e = 6.36 Itervalle de cofiace de la moyee d ue populatio 13. [7] Détermier u itervalle de cofiace a) à 95 %, b) à 99 % pour estimer le poids moye des étudiats de l uiversité X de l exercice 11. Rep. I.C = [66.88, 68.0], I.C = [66, 69, 68, 1] 14. [3] Ue firme a 34 employés. Pour faire ue évaluatio rapide du ombre total a des efats de tous ces employés, o fait u sodage au cours duquel o iterroge 150 employés et o obtiet les résultats suivats, e otat i le ombre des employés iterrogés ayat x i = i, i = 0, 1,,... efats : x i i a) Doer u estimatio de a. b) Doer pour a u itervalle de cofiace de seuil 0,05. Rep. a 1577 ; I.C. 95% (a) = [167 : 1884] Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

112 106 Vera Agelova 15. [3] Ue ville a logemets. U sodage effectué sur 40 logemets choisis au hasard a doé les ombres suivats d habitats par logemet : Estimer le ombre total des habitat de la ville et doer u itervalle de cofiace de seuil 0,05. Rep habitats ; I.C. 95% (mbr habitats) = [47603 : 60690] 16. [7] Les mesures des diamètres de 00 roues detées issues d u échatillo aléatoire, fabriquées pedat ue jourée par ue certaie machie, ot motré que la moyee du diamètre était 0,854 cm et l écart-type 0,04 cm. Détermier les limites de cofiace a) à 95 % b) à 99 % du diamètre moye de toutes les roues detées. 17. [7] E mesurat u temps de réactio, u psychologue estime que l écart-type est de 0,05 secode. Quelle doit être la taille de so échatillo de mesures pour que l erreur de so estimatio excède pas 0,01 secode a) à 95 % b) à 99 %? Itervalle de cofiace de la fréquece d ue populatio 18. [7] U échatillo de 100 votats choisis au hasard parmi tous les votats d ue circoscriptio doée a motré que 55 % d etre eux étaiet favorables à u certai cadidat. Détermier les limites de cofiace a) à 95% b) à 99% c)à % de la proportio de tous les votats favorables à ce cadidat. 19. [7] De quelle taille doit être l échatillo de votats de l exercice 18 si l o veut être sur a) à 95% b) à % que le cadidat sera élu? 0. [7] E jetat 40 fois ue pièce, o obtiet 4 fois face. Détermier les limites de cofiace a) à 95% b) à 99,73 % de la fréquece des faces que l o aurait obteue pour u ombre de jets illimité. 1. [] Le directeur fiacier d ue société sait par expériece que 1 % des factures émises e sot pas réglées das les 10 jours ouvrables suivat l échéace. Le chiffre d affaires s état accru sesiblemet, il veut vérifier si la situatio a évolué. Il fait prélever u échatillo aléatoire de 500 factures à partir duquel il costate que 14 % des factures e sot pas réglées das les délais. Détermier l itervalle de cofiace à 95 % et commeter ce résultat sachat que l esemble des factures pouvat être étudiées est de plusieurs dizaies de milliers. Itervalle de cofiace d u écart-type. [7] O a calculé que l écart-type des durées de vie d u échatillo de 00 ampoules électriques valait 100 heures. a) Détermier les limites de cofiace à 95 % de l écart-type de l esemble des ampoules de ce type. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

113 Statistique iféretielle 107 b) Détermier les limites de cofiace à 95 % de l écart-type de l esemble des ampoules de ce type à la base d u échatillo de 5 ampoules dot l écart-type vaut 110 heures. 3. [7] L écart-type de la résistace de rupture de 100 câbles testés par ue usie est de 180 kg. Calculer les limites de cofiace à 99 % de l écart-type de tous les câbles fabriqués par l usie. Itervalle de cofiace de différece 4. [7] U échatillo de 150 lampes de qualité A a doé ue durée de vie moyee de 1400 heures et u écart-type de 10 heures. U échatillo de 00 lampes de qualité B a doé ue durée de vie moyee de 100 heures et u écart-type de 80 heures. Détermier les limites de cofiace a) à 95 % b) à 99 % de la différece des durées de vie moyee des variétés A et B. c) Est-ce-que les deux variétés possèdet les mêmes performaces? 5. [7] Sur u échatillo de 400 adultes et de 600 adolescets ayat regardé u certai programme de télévisio, 100 adultes et 300 adolescets l ot apprécié. Calculer les limites de cofiace à 95 % de la différece des fréqueces des adultes et des adolescets qui ot regardé et apprécié le programme. 6. [7] U échatillo de 00 pièces fabriquées par ue machie a doé 15 pièces défectueuses tadis qu u échatillo de 100 autres pièces prélevé das la productio d ue autre machie a doé 1 pièces défectueuses. a) Calculer les limites de cofiace à 95 % de la différece des fréqueces des pièces défectueuses sur les deux machies. b) Les deux machies sot-elles de performaces égales? 7. [7] O admiistre des somifères sous forme de piles à deux groupes de malades, A et B, compreat respectivemet 50 et 100 idividus. O a doé au groupe A des piles d u type ouveau et au groupe B des piles classiques. Les patiets du groupe A ot dormi 7,8 heures e moyee, ceux du groupe B 6,75 heures. a) L écart-type état pour le groupe A 0,4 heures, pour le groupe B 0,30 heures, calculer les limites de cofiace à 95 % pour la différece des moyees d heures de sommeil provoquées par les deux types de somifères. b) L écart-type état estimé pour le groupe A 0,0 heures, pour le groupe B 0,8 heures, calculer les limites de cofiace à 99 % pour la différece des moyees d heures de sommeil provoquées par les deux types de somifères. c) Soit le groupe A composé de 10 idividus et le groupe B de 15 idividus, dot le sommeil moye des idividus du groupe A fut 7,55 heures, celui du groupe B fut 6,65 heures avec u écart-type observé de 0, heures et 0,8 heures respectivemet. Calculer l itervalle de cofiace de la différece à 90 % des moyees d heures de sommeil. d) O dispose seulemet d u groupe de 51 idividus pour le test de l efficacité des deux types de somifères. O a doé ue semaie des piles du type ouveau et les patiets ot dormi x = 7.55 heures e moyee. Après deux semaies de repos, o a admiistré les piles du type classique et cette fois-ci les patiets ot dormi ȳ = 6, 8 heures e moyee. La somme des carrés des écarts est SCE x y = 1.5 heurs. Détermier u itervalle de cofiace à 99 % de la différece des moyees de sommeil e résultats des deux somifères. Idicatios et résultats : Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

114 108 Vera Agelova a) A : A = 50; x A = 7,, 8 h. ; σ A = 0, 4 h. B : B = 100; x B = 6, 75 h. ; σ B = 0, 30 h. σ A, σ B coues I.C. 95%(µ A µ B ) =? Table 6 Statistique de test : Marge d erreur : ( X A X B ) (µ A µ B ) E = t α N(0, 1) σa A + σ B B σa + σ B ; α = 0, 05; 1 α = 0, 95; t α A B = 1, 96 E = 0, 4 0, 3 1, 96 + = 0, ˆµ A ˆµ B = x A x B = 7, 8 6, 75 = 1, 07 h. I.C (µ A µ B ) = ( x A x B ) ± E = 1, 07 ± 0, 09 I.C (µ A µ B ) = [0, 98 1, 16] Comme 0 I.C (µ A µ B ) = [0, 98 1, 16] = les heures moyees de sommeil sot sigificativemet différetes. Les deux types de somifères ifluecet de faços différetes les patiets. b) A : A = 50; x A = 7, 8; s A = 0, 0 h. B : B = 100; x B = 6, 75; s B = 0, 8 h. σ A, σ B icous ; I.C. 0,99 (µ A µ B ) =?, A, B > 30 Table 6 Statistique de test : ( X A X B ) (µ A µ B ) N(0, 1) s A A + s B B Fractile t α : α = 0, 01; α = 0, 005; 1 α/ = 0, 995; t α Marge d erreur : E = t α s A + s B = t α A B s A A 1 + s B B 1 =, 576 E = 0, 0 0, 8, = 0, ˆµ A ˆµ B = x A x B = 7, 8 6, 75 = 1, 07 h. I.C. 0,99 (µ A µ B ) = ( x A x B ) ± E = 1, 07 ± 0, 103 I.C. 0,99 (µ A µ B ) = [0, 967 1, 173] Comme 0 I.C. 0,99 (µ A µ B ) = [0, 967 1, 173] = les heures moyees de sommeil sot sigificativemet différetes. Les deux types de somifères ifluecet de faços différetes les patiets. c) A : A = 10; x A = 7, 55 h. ; s A = 0, h. B : B = 15; x B = 6, 65 h. ; s B = 0, 8 h. σ A, σ B icoues A < 30, B < 30 I.C. 95% (µ A µ B ) =? Table 6 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

115 Statistique iféretielle 109 σ A = σ B = σ? Table 5 Statistique de test : Fractiles : σb s A F σa s (A 1),( B 1) d.d.l. B f Sup = F A 1 B 1 = F 9 14 =, 65 Table de la loi de Fisher-Sedecor p = 0.05 (risque global de 0,1) f If = 1 = 1 = 0, 33 F , 03 Marges d erreur : f Sup s B s A =, 65 0, , ( ) σ Comme 1 I.C. A 0.90 σb =, 65 1, 56 = 4, 14 s f B If = 0, 33 0, = 0, 33 1, 56 = 0, 515 s A 0, ( ) σ I.C. A 0.90 = [ , 14] σ B = [ , 14] = σ A σ B σ A, σ B icoues et supposée égales σ A = σ B A < 30, B < 30 I.C. 95% (µ 1 µ ) =? (Table 6, p. 76) Statistique de test : ( X A X B ) (µ A µ B ) T (A + B )d.d.l. s 1 A + 1 B s = A s A + B s B a + B = 10 0, , Fractile t St α : t 0,1;(10+15 ) = t 0,1; (3) = 1, 7139 Marge d erreur : 1 E = t St α + 1 = 1, , 07 a B I.C. 0,90 (µ A µ B ) = ( x A x B ) ± E = 0, 9 ± 1, 74 I.C. 0,90 (µ A µ B ) = [ 0, 84, 64] Comme 0 I.C. 0,90 (µ A µ B ) = [ 0, 84 d) échatillos appariés, 64] = µ A µ B = 0, 07 = 1, 74 = 51 ; x A = 7, 55 ; x B = 6, 8 ; SCE XA X B = 1, 5 I.C. 99% (µ A µ B ) =? Table 6 Z = X A X B ; Z = XA X B = 7, 55 6, 8 = 1, 7h. SCE 1, 5 S = = = 0, 4 = 0, 49h. 51 ( Statistique de test : Z µ Z ) s T ( 1)d.d.l. Feractile t St α : t St α = t [0,01;50] =, 6778 s SCE Marge d erreur : E = t St α =, , 5 =, 6778 =, , 49 = 1, Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

116 110 Vera Agelova I.C. 0,99 (µ A µ B ) = z ± E = 0, 9 ± 1, 74 I.C. 0,99 (µ A µ B ) = [1, 7 1, 31 1, 7 + 1, 31] = [ 0, 04, 58] Comme 0 I.C. 0,99 (µ A µ B ) = [ 0, 04, 58] = µ A µ B. La différece des deux moyees est pas sigificative. Elle est due aux fluctuatios d échatilloage. Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

117 Feuille 3 : Les tests d hypothèse Statistique iféretielle 111 Exemple U procédé de remplissage est ajusté de telle sorte que les coteats pèset e moyee 400g. Le poids des coteats est supposé ormalemet distribué avec u écarttype de 8g. Pour vérifier si le procédé de remplissage se maitiet à 400g, e moyee, o opte pour la règle décisio suivate sur u échatillo prélevé de 16 coteats : Le processus opère correctemet si : g X g Sio arrêter le processus de remplissage. a) Quelles sot les hypothèses statistiques que l o veut tester avec cette méthode de cotrôle? b) Détermier la probabilité de commettre ue erreur de première espèce. c) Lors d u récet cotrôle, o a obteu, pour u échatillo de 16 coteats, u poids moye de 395g. Doit-o poursuivre ou arrêter la productio? d) Quelle est la probabilité de commettre ue erreur de deuxième espèce selo l hypothèse alterative H 1 : µ = 394g? e) Avec ce pla de cotrôle, quelle est la probabilité de rejeter l hypothèse selo laquelle le procédé opère à 400g, alors qu e réalité il opère à 394g? f) Faire de même pour les valeurs suivates sous H 1 : µ = 395g, 396g, 397g, 398g, 399g et 400g. Tracer la courbe d efficacité du test. Exemple 3.3. Ue etreprise fourit à u cliet des tiges d acier. Le cliet exige que les tiges aiet e moyee, ue logueur de 9 mm. O admet que la logueur des tiges est ormalemet distribuée. O veut vérifier si le procédé de fabricatio opère bie à 9 mm. U échatillo aléatoire de 1 tiges proveat de la fabricatio doe ue logueur moyee de 7.5 mm et u écart-type empirique de.97 mm. Doit-o coclure, au seuil α = 5%, que la machie est déréglée? 1. Hypothèses statistiques :. Seuil de sigificatio : 3. Statistique de test : 4. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : 5. Règle de décisio : Exemple Aux derières électios, u parti politique a obteu 4% des suffrages. U récet sodage a révélé que, sur 1041 persoes iterrogées e âge de voter, 458 accorderaiet so appui à ce parti. Le secrétaire gééral du parti a déclaré que la popularité de so parti est e hausse. Que peser de cette affirmatio au seuil de sigificatio α = 5%? 1. Hypothèses statistiques :. Seuil de sigificatio : 3. Coditios d applicatio du test : 4. Statistique de test : 5. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : 6. Règle de décisio : 7. Décisio et coclusio : Exemple Le resposable de la productio suggère au cliet des tiges d acier avec u ouvel alliage. Il semble que ceci permettrait d obteir ue résistace à la rupture plus élevée. Les résultats d u test de résistace à la rupture de 50 tiges avec et sas le ouvel alliage se résumet comme suit. Sas le ouvel alliage Avec le ouvel alliage Nombre de tiges Résistace moyee Variace empirique Au seuil de sigificatio α = 5%, est-ce que l hypothèse selo laquelle la résistace moyee à Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

118 11 Vera Agelova la rupture sas l alliage est mois élevée que celle avec l alliage est cofirmée? 1. Hypothèses statistiques :. Seuil de sigificatio : 3. Coditios d applicatio du test : 4. Statistique de test : 5. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : 6. Règle de décisio : 7. Décisio et coclusio : Exemple Pour sa fabricatio, u idustriel utilise des pièces de deux costructeurs différets. Après six mois d utilisatio, il costate que sur les 80 pièces du costructeur 1, 50 e sot jamais tombées e pae, alors que pour le costructeur la proportio est de 40 sur 60. Au seuil de sigificatio α = 5%, peut-o cosidérer que les proportios de pièces de ces deux costructeurs sot équivaletes? 1. Hypothèses statistiques :. Seuil de sigificatio : 3. Coditios d applicatio du test : 4. Statistique de test : 5. Calcul de la statistique de test sous l hypothèse ulle H 0 : 6. Règle de décisio : 7. Décisio et coclusio : Exemple Test d idépedace : taux de guériso et coût du médicamet. Pour comparer l efficacité de médicamets comparables, mais de prix très différets, la Sécurité sociale a effectué ue equête sur les guérisos obteues avec ces deux traitemets. Les résultats sot présetés das le tableau suivat : Origial Géérique Total Guérisos No-guérisos Total Tableau aux effectifs observés ij Au seuil de sigificatio α = 5%, peut-o coclure que ces deux médicamets ot la même efficacité? 1. Hypothèses statistiques :. Seuil de sigificatio : 3. Coditios d applicatio du test : 4. Degré de liberté : 5. Statistique de test : 6. Calcul de la statistique du χ calculé sous l hypothèse ulle H 0 : 7. Règle de décisio et coclusio : Tests paramétriques Exercices 8. [7] Le fabricat d u médicamet breveté affirmait qu il était efficace à 90 % pour guérir ue allergie e 8 heures. Das u échatillo de 00 persoes atteites par cette allergie, o e a gueri 160 par le médicamet. Détermier si l affirmatio du fabricat est légitime. 9. [7] La durée de vie moyee d u échatillo de 100 ampoules fluorescetes fabriquées par ue usie est estimee à 1750 heures avec u écart-type de 10 heures. Si µ est la durée Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

119 Statistique iféretielle 113 de vie moyee de toutes les ampoules produites par l usie, a) tester l hypothèse µ = 1600 heures avec l hypothèse µ 1600 heures e choisissat u iveau de sigificatio de b) tester l hypothèse µ = 1600 heures avec l hypothèse µ 1600 heures e choisissat u iveau de sigificatio de 0.01 si l échatillo est composé de 0 ampoules c) tester l hypothèse H 0 : µ = 1600 heures cotre l hypothèse H 1 : µ < 1600 heures, e choisissat u seuil de sigificatio de 0.05 et si l échatillo est composé de 100 ampoules d) tester l hypothèse H 0 : µ = 1600 heures cotre l hypothèse H 1 : µ > 1600 heures, e choisissat u seuil de sigificatio de 0.01 et si l échatillo est composé de 0 ampoules 30. [7] Ue machie a produit das le passé des rodelles ayat ue épaisseur de 0.05 cm. Pour détermier si la machie est ecore e état de marche, o choisit u échatillo de 10 rodelles dot les épaisseurs ot ue moyee de cm et u écart-type de cm. Tester l hypothèse qui affirme que la machie est e état de marche au seuil de sigificatio de a) 0.05 b) [7] L écart-type de la charge d ue balace correspodat à des colis de 40.0 kilogrammes a été das le passé de 0.5 kg. U échatillo de 0 colis tiré au hasard idique u écarttype de 0.3 kg. L accroissemet apparet de la variabilité est-il sigificatif aux seuils de sigificatio a) de 0.05 b) de 0.01? Test uilatéral à gauche 3. U cimet est fabriqué pour préseter ue résistace de 30 MPa (valeur de desig). O suppose que la distributio de la résistace du cimet est X N(30, 0). U échatillo de 5 éprouvettes a fouri les valeurs suivates : 30.1, 9.5, 9.6, 8.4, 8.9. a) Peu-t-o rejeter l hypothèse avec α = 0, 05 que le cimet das so esemble a ue résistace de 30 MPa sur la seule foi de ces 5 échatillos? b) La même questio si l échatillo coteait 0 observatios au lieu de 5, toujours présetat la même moyee. b) Peu-t-o rejeter l hypothèse que le cimet das so esemble a ue résistace de 30 MPa sur le 5-échatillo avec α = 0.05 e supposat que la variace de la résistace du cimet est icoue : X N(30, σ)? Test uilatéral à droite 33. Nous étudios le tableau doat la répartitio de 00 étudiats suivat le sexe et la couleur des cheveux, e supposat qu ils ot été tirés au hasard das l esemble des étudiats de l uiversité. Le tableau est le suivat : Cheveux blods Cheveux brus Autre couleur Effectifs (j = 1) (j = ) (j = 3) margiaux Masculi ( i = 1) = 93 Fémii ( i = ) = 107 Effectifs margiaux.1 = 87. =8.3 = Peut-o cosidérer comme vraisemblable, avec u risque d erreur de 5%, l hypothèse selo laquelle le sexe et la couleur des cheveux sot idépedats? Tests o-paramétriques Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

120 114 Vera Agelova Test de khi-deux d ajustemet ou d adéquatio 34. A u age doé, o a pu détermier que : 50 % des bébés ormaux marchet, 1 % ot ue ébauche de marche, 38 % e marchet pas. Populatio étudiée : Les bébés prématurés. Observatios : O a observe 80 prématurés à l age doé : 35 de ces bébés marchet, 4 ot ue ébauche de marche, 41 e marchet pas Les bébés prématurés développet-ils la marche de la même maière que les bébés ormaux? Test de khi-deux d ajustemet de coformité 35. Équiprobabilité des sexes à la aissace L étude de 30 familles ayat 5 efats s est traduite par la distributio suivate : Classe A B C D E F Total Nombre de garços Nombre de filles Nombre de familles O veut comparer cette distributio à la distributio théorique qui correspod à l équiprobabilité de la aissace d u garço et de la aissace d ue fille. a) Quelle est la loi de probabilité du ombre de garços das ue famille de ciq efats, das l hypothèse d équiprobabilité des aissaces des garços et des filles. b) La comparaiso de la distributio observée à la distributio théorique s effectue par u test Khi deux. Que peut-o e coclure? 36. Ifluece de la place de départ das ue course Au départ d ue course de chevaux, il y a habituellemet huit positios de départ et la positio uméro 1 est la plus proche de la palissade. O soupçoe qu u cheval a plus de chaces de gager quad il porte u uméro faible, c est-à-dire qu il est plus proche de la palissade itérieure. Voici les doées de 144 courses : Total Numéro de départ Nombre de victoires d u cheval ayat ce uméro a) Poser les hypothèses à tester (hypothèse ulle et hypothèse alterative). b) Calculer le khi deux observé et la probabilité critique. Coclure. Test de khi-deux d idépedace 37. Pour l étude de la relatio etre le iveau d étude et le fait de subir ou o u chômage de logue durée, o a fait des observatios sur u échatillo de 100 idividus. Pour chaque idividu, o a relevé le iveau d étude : secodaire ou supérieur et s il a subi u chômage de logue durée : oui ou o. O observe que : 40 ot u iveau d étude secodaire et ot subi u chômage log ; 6 ot u iveau d étude secodaire et ot pas subi u chômage log ; 1 ot u iveau d étude supérieur et ot subi u chômage log ; ot u iveau d étude supérieur et ot pas subi u chômage log. a) Représeter la répartitio des 100 sujets selo le iveau d étude et le fait de subir ou o u chômage log par u tableau de cotigece. b) Peut-o e coclure qu il existe u lie etre le iveau d étude et le fait de subir ou o u chômage log? Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

121 Statistique iféretielle O désire tester l effet d ue atibiothérapie systématique sur l apparitio d ue ifectio post-opératoire. Ue expériece radomisée est coduite. U premier groupe de patiets reçoit ue atibiothérapie. U deuxième groupe reçoit u placebo. Les résultats sot les suivats : Sujets ayat reçu ue atibiothérapie Sujets ayat reçu u placebo Ifectio postopératoire 10 9 Pas d ifectio post-opératoire 75 7 L atibiothérapie est-elle efficace das la prévetio des complicatios ifectieuses? Tests de khi-deux d homogééité 39. Das u échatillo de 400 femmes et u échatillo de 300 hommes, o observe que 5 femmes et 5 hommes développet ue certaie forme de maladie metale. Peut-o dire que cette forme de maladie atteit pas les femmes et les hommes de la même faço? 40. Les observatios d ue variable qualitative sur k échatillos permettet-elles de coclure que les échatillos provieet de la même populatio Existe t-il u lie etre le ombre de grossesse et le décès des bébés? Fréqueces observées : Nombre de grossesses Nombre de grossesses Age du décès iférieur à 3 supérieur à 3 Iférieur à 3 mois 18 6 Supérieur à 3 mois Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

122 116 Vera Agelova Feuille 4 : Préparatio pour les cotrôles Exercices Cotrôle [] La SGM souhaite mieux coaitre la répartitio des impayés das so portefeuille de cliets. Sur l esemble des 0000 dossiers traités auellemet au service cotetieux, u échatillo aléatoire de 30 dossiers a été prélevé aux fis d étude, qui a permis d obteir u motats moye observé d impayés de 660,50 Ke et u écart-type observé des impayés de 79,66 Ke. a) Quelle serait la probabilité pour que, sur l esemble des dossiers, le motat moye d impayés soit iférieur à 300 Ke? b) Quel serait l itervalle de cofiace à 95% de cette moyee et quelle e serait l iterprétatio? c) Quel serait l itervalle de cofiace à 95% de l écart-type des impayés et quelle e serait l iterprétatio? d) Quel est le risque d erreur que l o attribue à l itervalle de cofiace, bilatéral symétrique du motat moye d impayés : [539,5-781,497] obteu à pratir de cette série de 30 dossiers. e) Quel serait l itervalle de cofiace à 95% de la moyee de la populatio, obteu à la base des observatios d u échatillo de 5 dossiers, dot la moyee observée d impayés est de 600 Ke et l écart-type observé est de 77 Ke. f) Quel serait l itervalle de cofiace à 99% de l écart-type des dossiers impayés de la populatio, obteu à la base des observatios d u échatillo de 00 dossiers, dot la moyee observée d impayés est de 650 Ke et l écart-type observé est de 80 Ke. 4. [] 96% des méages fraçais possèdet u réfrigérateur. a) Quelle est la probabilité pour que, das u échatillo de 1 00 méages, la fréquece relative soit comprise etre 0,95 et 0,97. Que pourrait-o dire si la fréquece relative de l échatillo était de 0,99? b) Quelle doit être la taille de l échatillo pour que la probabilité de trouver ue fréquece relative de l échatillo comprise etre 0,95 et 0,97 soit de 99%. Cotrôle. 43. Ue société de gérace de projets a demadé à ue firme d expertises e cotrôle de matériaux, d évaluer la qualité d u mélage bitumieux proveat de deux usies. Il a été coveu d effectuer ue vérificatio e évaluat la résistace à la compressio, à l âge de 3 jours, sur des cylidres de béto. La résistace à la compressio est supposée ormalemet distribuée. Les résultats pour les deux usies se résumet comme suit : Usie 1 Usie Nombre de cylidres 1 = 16 = 1 Résistace moyee (kg/cm ) x 1 = 90, 6 x = 96, 1 Somme des Carrés des Écarts à la moyee SCE1 = 100 SCE = 1068 a) Peut-o cosidérer comme vraisemblable, avec u risque d erreur de 5%, l hypothèse selo laquelle les variaces des résistaces à la compressio des cylidres de ces deux usies sot idetiques? b) Est-ce que la firme d expertises peut affirmer, au risque de 5%, que le mélage bitumieux de l usie 1 est mois résistat à la compressio que celui de l usie? Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

123 Statistique iféretielle Euro-pratique : Avat le passage à l euro, u sodage a motré que 50% des achats sot effectués avec ue carte bacaire. Depuis le passage à l euro, u récet sodage effectué sur u échatillo de 500 persoes choisies au hasard a révélé que 70 persoes utiliset leur carte bacaire. a) Peut-o coclure, avec u risque d erreur α = 5%, que la proportio d utilisateurs de cartes bacaires est restée stable depuis le passage à l euro? 45. O a compté le ombre de fruits portés par des arbres choisis au hasard das deux parcelles. O suppose que le ombre de fruits par arbre est ue variable aléatoire approximativemet ormale. Les résultats pour les deux parcelles se résumet comme suit. Parcelle I Parcelle II Nombre d arbres 1 = 1 = 16 Récolte moyee par arbre observée x 1 = 109, 5 x = 77 Somme des Carrés des Écarts à la moyee SCE1 = 3571 SCE = 0979 a) Tester, avec u risque d erreur de 5%, l hypothèse selo laquelle les deux parcelles ot même variace? b) Tester, avec u risque d erreur de 5%, l hypothèse d égalité des récoltes moyees par arbre? c) Peut-o affirmer, avec u risque d erreur de 5%, que la récolte sera plus importate das la parcelle I que das la parcelle II? Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies No 5, 016

124 Le mauel "Statistique iféretielle" fait coaissace aux otios et les méthodes, lies a la quatrième phase de la méthode statistique l Iterprétatio. Le mauel offre le matériel théorique et pratique, écessaire à appredre d après le programme e Statistique appliquée» des spécialités Gestio et Ecoomie de la filière de gestio à l Uiversité de Sofia «Sv. Klimet Ohridski». O y cosidère les otios de base et les deux groupes de méthodes de l Iterprétatio - l'estimatio des paramètres de la populatio et des tests d'hypothèses. Après u court rappel du thème de la statistique descriptive - Echatilloage, Distributio de la moyee, de la dispersio et de la fréquece échatilloalles, o présete les thèmes d Estimatio estimatio poctuelles e t itervalles et de Tests d hypothèses test paramétriques et o-paramétriques. Le mauel a pour but de doer des coaissaces théoriques et de développer des compéteces pratiques pour le choix de modèles coveables pour tester d hypothèses et predre de décisios.