donc le point B est associé au réel x. )) soit B( 4. b) Le triangle BJH est rectangle en H. On applique le théorème de Pythagore

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1 CLASSE : nde DS N : Trigonométrie EXERCICE 1 : / points Difficulté : On considère les points B, J, D, E de la droite des réels d'abscisses : B( π ) ; J ( π ) ; D ( 7π ) ; E ( π ). 1. Soit (O,I,J) un repère orthonormé et (C) le cercle trigonométrique. Placer ces points sur le cercle trigonométrique (C), obtenus par enroulement de la droite des réels.. Quelle est la nature du quadrilatère BJDE? Le justifier. 3. On considère les réels x= 13π ; y= 11π ; z= 17π. Placer sur le cercle trigonométrique (C) les points obtenus par enroulement de la droite des réels.. Soit (d) la droite perpendiculaire à (OJ) passant par B, soit H le point d'intersection de (d) et de (OJ). a) Quelles sont les coordonnées des points B et H? b) Calculer la valeur exacte de BJ c) En déduire la valeur exacte de BE. corrigé 1. figure. Les ponts J et E sont diamétralement opposés sur le cercle (C). 7π D'autre part =π+π donc B et D sont diamétralement opposés sur le cercle (C). Le quadrilatère BJDE a ses diagonales de même longueur et se coupant en leur milieu donc le quadrilatère BJDE est un rectangle. 3. On peut écrire 13 π =π+ π donc le point B est associé au réel x. 11π = π+ π donc le point J est associé au réel y. 19 π π = π+7 donc le point D est associé au réel z.. a) Les coordonnées de B sont B(cos( π );sin ( π 3 )) soit B( ; 1 ) Les coordonnées de H sont H (0 ;sin( π )) soit H (0 ; 1 ).. b) Le triangle BJH est rectangle en H. On applique le théorème de Pythagore

2 BJ =JH +HB soit BJ =( 1 ) +( 3 ) ; BJ = =1 Donc BJ = 1.c) Le triangle BJE est rectangle en B. On applique le théorème de Pythagore : EJ =BJ +BE soit BE =EJ BJ ; BE = 1 Donc BE =3. BE= 3 EXERCICE : / points Difficulté : 1. Sachant que cos ( π = sin ( π = 10+ montrer que la valeur exacte de sin ( π est : On donne la figure suivante où les points R et S sont symétriques par rapport à (OJ), les points R et T sont symétriques par rapport à O.. Sachant que la longueur de l 'arc I R est égale à π déterminer : a) la valeur exacte de la longueur de l'arc I S (en tournant dans le sens positif). b) la valeur exacte de la longueur de l'arc I T (en tournant dans le sens positif). 3. Déterminer les coordonnées des points S et T. On donnera les valeurs exactes. 1. On sait que cos ( π = (cos x ) +(sin x ) =1 soit : ( ) +(sin x ) =1, pour calculer sin ( π, on applique la formule fondamentale : On obtient ainsi (sin x ) =1 ( ) ce qui donne (sin x ) = Or 0< π < π donc sin ( π > 0. Finalement sin ( π = 10+. a) Les points R et S sont symétriques par rapport à (OJ), les points I et K sont symétriques par rapport à (OJ), donc les arcs IR et KS sont symétriques par rapport à (OJ) ; On en déduit que la longueur de l'arc IS est égale à π π =3π b) Les points R et T sont symétriques par rapport à O, les points I et K sont symétriques par rapport à O, donc les arcs IR et KT sont symétriques par rapport à O On en déduit que la longueur de l'arc IT est égale à π+ π =7π 3. S est le point associé au réel 3π, par la symétrie par rapport à (OJ), les abscisses de S et de R sont opposées, les ordonnées de S et de R sont égales. On peut alors écrire : cos ( 3 π = cos ( π sin ( 3 π =sin ( π

3 Donc cos ( 3π = ( les coordonnées de S sont S ( ( ); ) et sin ( 3 π = ) T est le point associé au réel 7π. Par la symétrie de centre O, les abscisses de R et de T sont opposées, les ordonnées de S et de T sont opposées. On peut alors écrire : cos ( 7 π = cos ( π et sin ( 7 π = sin ( π Donc cos ( 7π = ( ) et sin ( 7 π = ( les coordonnées de T sont S ( ( ); 10+ ) 10+ ) 3. figure

4 EXERCICE 3 : / points Difficulté : Dans la figure suivante (C) est le cercle trigonométrique, (O,I,J) un repère orthonormé. Le triangle IEK est équilatéral, la droite (IE) coupe le cercle (C) en A ; la droite (KE) coupe le cercle (C) en B. Déterminer les coordonnées des points I, K, E, A et B dans le repère (O,I,J). corrigé Coordonnées de I : I( 1 ; 0) Coordonnées de K : K( -1 ; 0) Coordonnées de E : Par hypothèse le triangle IEK est équilatéral donc KI = IE = EK= Rappel : la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a vaut : EO est la hauteur du triangle EKI; Finalement E(0; 3). EO= 3 soit EO= 3. h= a 3 Coordonnées de A : Par hypothèse le triangle IEK est équilatéral donc ÊIK =0. De plus le triangle AOI est isocèle en O il est donc aussi équlatéral Donc ÎOA=0 On en déduit donc A(cos0 ;sin 0 ) ; A ( 1 ; 3 ) Coordonnées de B : Le point B est symétrique de A par rapport à (OE), médiatrice de [KI]. On en déduit donc : B ( 1 ; 3 ) EXERCICE : / points Difficulté : Soit (C) le cercle trigonométrique, de centre O, (O,I,J) un repère orthonormé; I le point de coordonnées (1;0) et J( 0;1) Un point mobile M parcourt (C) d un mouvement uniforme dans le sens direct. Dire que le mouvement est uniforme signifie que pendant des intervalles de temps égaux le point mobile parcourt des trajets de longueurs égales. L origine des temps t est prise en I, c est-à-dire que pour t=0, le point mobile est en I. Au temps t=1 (seconde), le mobile est en un point A image du réel π 9, obtenu par enroulement de la droite des réels

5 sur le cercle (C). 1. Au bout de combien de temps le mobile repassera-t-il en A, une première fois? une deuxième fois?. Sur un dessin, indiquer quelle sera la position du mobile : a) au bout de 30 secondes? b) au bout de min 1 s? 3. a) Indiquer au bout de combien de temps le mobile passera en J pour la première fois. b) En quels autres instants le mobile passera-t-il en J? 1.* Le mobile repassera en A une première fois après avoir fait un tour complet Le mobile met 1 seconde, pour parcourir un arc de longueur π 9. Or π=18 π donc le mobile met 18 secondes 9 pour faire un tour complet. Il repassera en A au bout de 19 secondes ( = 19). * Le mobile repassera en A une deuxième fois après avoir fait deux tours complets Il repassera en A au bout de 37 secondes ( 18 +1=37 ). 1. a) On a : 30= ; en 1 secondes le mobile aura parcouru un arc de longueur 1 π 9 = π 3. Au bout de 30 secondes le mobile sera en B, après avoir fait un tour complet b) On a : min 1 s = 13 s ; 13= ; en 9 secondes le mobile aura parcouru un demi tour Au bout de min 1 s le mobile sera en E, après avoir fait sept tours complets et un demi tour. 3. Le point J est l'image du réel π par enroulement de la droite des réels sur le cercle (C). π a) =, π donc le mobile passera la première fois par J au bout de, s. 9 b) On rajoute le temps pour faire un ou plusieurs tours, soit :,+18=,, +18 =0,,+18 3=8,... le mobile repassera par J au bout de, s ; 0, s ; 8, s... figure :

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