cours 1 - Mécanique de l ADN

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1 cours 1 - Mécanique de l ADN les protéines qui se lient à l ADN exercent des forces et déforment l hélice TATA binding protein ADN comment l ADN répond-il à une traction/torsion? 1

2 Manipuler une molécule d ADN 2

3 manipuler une molécule d ADN plusieurs techniques : microfibre optique pinces optiques pinces magnétiques (1) 3

4 pinces magnétiques aimants torsion 1 à 3 µm objectif 4

5 pinces magnétiques mesure de la position de la bille : figures de diffraction position xy position z images de calibration bille à force nulle image à l instant t précision 1 nm comparaison 5

6 pinces magnétiques mesure de la force : par les fluctuations transverses le système bille-adn fluctue par rapport à la verticale force aimants géométriquement : δf F = δx < z > d où la force le long de x, δf = F : < z > δx tension ADN δf -F <z> ADN = ressort de raideur K = F /<z> δx 6

7 pinces magnétiques mesure de la force : par les fluctuations transverses exemple : ADN 6 µm bille 1 µm Les fluctuations sont dues au mouvement thermique : Théorème d équipartition de l énergie : E = 1 2 K δx 2 = 1 2 k BT en remplaçant K = F /<z>, on obtient la force F = k BT z δx 2 7

8 Résultat : réponse force-extension données exp. ordre de grandeur de force : pn «ressort» : F=kx Bustamante et al. Science 1994 comment modéliser la réponse élastique de l ADN? 8

9 L ADN comme polymère molécules d ADN observées en microscopie" à force atomique (AFM) 1µm*1µm 9

10 modèle 1 : La chaîne librement jointe (FJC) - suite de segments de longueur b - orientation aléatoire - tous même énergie equivalent à une marche aléatoire : si on définit la distance bout-à-bout R 2 = b 2 N, valeur typique : R typ = b N R = r N r 0 = N i=1 b ˆ n i on obtient en parfaite analogie avec la marche aléatoire (<r 2 >=6Dt ) pour un polymère libre de longueur totale L = Nb 10

11 chaîne librement jointe (FJC) + force ext. Rem : dans le modèle précédent, E = 0 e -ßE = 1 " distribution statistique uniforme réponse élastique à une force : b θ i b cos(θ) z f en présence d une force ƒ, les configurations «allongées» " sont favorisées : E - ƒ z distribution de Boltzmann : e +߃z où z = b cos θ i est l allongement en direction de ƒ 11

12 chaîne librement jointe (FJC) + force ext. calcul simple pour le cas 1D = notre TD b z f z = b i (±1) : (analogie : paramagnétisme de spin, spins ±1) p + = e +߃b / Z, p - = e -߃b / Z, Z = e +߃b + e -߃b < z > = N [ b p + + (-b) p - ] = N b [ p + - p - ] = N b tanh(ßfb)" 12

13 chaîne librement jointe (FJC) + force ext. cas 3D : z = d ˆ n 1 d ˆ n 1 d ˆ n 2 d ˆ n 2 dn ˆ N z exp( βfz) dn ˆ N exp( βfz) 1/ßb = k B T/b = unité de force = = Nb coth(βfb) 1 βfb fonction de Langevin à haute force (ƒ > 1/ßb) : z force divergente L 1 1 βbf à faible force (ƒ < 1/ßb) : linéaire :" z L 1 3 βbf comportement élastique, f = 3k B T Nb 2 z constante el. K 13

14 chaîne librement jointe (FJC) + force ext. Comportement élastique : f k z, constante el. k = 3k B T Nb 2 Travail à effectuer pour allonger de 0 à Z (basse force) :" Z 0 W = f (z)dz 1 2 kz 2 Interprétation : élasticité entropique W = F = U-T S = -T S L énergie fournie sert à réduire l entropie di système : " on passe du «macro-état» le plus probable (R typ ) à un «macro-état» correspondant à un nombre de configurations moindre (R plus grand). 14

15 Choix des paramètres Prendre en compte la rigidité de la chaîne : les monomères ne s orientent pas librement : corrélation entre les" orientations" i φ ij j en particulier pour l ADN, l appariement entre bases et la charge " donnent une rigidité à une échelle >> de la paire de bases! comment modéliser la rigidité de l ADN? 15 quelle longueur caractéristique pour chaque segment?

16 Longueur de persistance Elasticité d une tige élastique L L P = B k B T longueur " de persistance z t (s) t (s') exp[ (s' s) L P ] : B = π 4 Yr 4 = module de courbure Y = module de Young (élasticité) l orientation décorrèle sur des longueurs ~ L P " et R 2 2L P L à cette échelle :/ 16

17 3. Chaîne librement jointe corrigée R 2 2L P L R 2 Nb 2 = Lb corde élastique L >> L P b chaine librement jointe" (marche aléatoire) le modèle chaine librement jointe fonctionne bien (pour L grand), si on prend des segments appropriés, de taille b = 2L P = longueur de Khun avec N = L/b = L/2L P 17

18 Comparaison avec les données fit - ADN : données exp. L P 50 nm " (~150 bp) ajusté à faible force," d où la valeur de B~ J m moins bien plus loin peut-on " faire mieux? «ressort» : F=kx Bustamante et al. Science

19 le modèle du ver ou Worm Like Chain (WLC) L modèle continu (corde élastique) : E WLC = k BT A 2 L 0 t (s) s 2 ds L f cosθ (s) ds 0 z énergie de " courbure énergie " d étirement formule d interpolation de la solution exacte : f = k BT 1 A 4( 1 z /L) 2 + z L

20 le modèle du ver ou Worm Like Chain (WLC) modèle du " ver (WLC) et " interpolation Bustamante et al. Science

21 Simuler l élasticité entropique distribution des rayons typiques calculée pour une chaine" librement jointe avec 100 sphères. 21

22 Rappelons-nous le principe ƒ=0 ƒ>0 E=0 E=-ƒz S décroissant E décroissant S décroissant 22

23 Rappelons-nous le principe z ƒ z ƒ plus de configurations (S>), " énergie (E=-ƒz) plus élevée moins de configurations (S<), " énergie (E=-ƒz) plus basse «poids» d une configuration " d énergie ƒz = facteur de Boltzmann : e +߃z A ƒ donnée un équilibre entre ces deux tendances s établit 23

24 Simulations Monte Carlo Problème : retrouver le comportement moyen de la chaine " à l équilibre : <z> à ƒ donnée. On cherche à calculer où i = configurations et < z > = P i z i P i = exp( βu i ) Z i = exp(βfz i ) Z Idée : générer des configurations z j avec les fréquences P i : la moyenne devient alors arithmétique, < z > = 1 N j N z j voir cours Pascal Viot! 24

25 Simulations Monte Carlo Image : calcul direct Monte Carlo U U exp(-ßu) comment générer ces configurations? 25

26 Algorithme de Metropolis : Simulations Monte Carlo 1. A partir d une configuration i on génère une nouvelle configuration j (en «déplaçant» le point : marche aléatoire) 2. la nouvelle configuration est acceptée avec une probabilité i j = min { exp[-ß( U j U i )], 1} exp[-ß( U j U i )].1 j 1 i j 2 exp[-ß( U j U i )] >1 On montre alors que la distribution obtenue est f exp(-ßu) 26

27 Application aux polymères Difficulté en 3D : générer une nouvelle configuration sans" «casser» la chaîne 2 méthodes :" rotation d un segment rotation autour de deux nœuds En 3D, il faut définir et utiliser des matrices de rotation Notre exercice sera 1D : des +b et des b. 27

28 Le TD numérique +b +b +b b +b b +b +b b +b b configuration initiale, z 0 = (±b)" énergie = -ƒz 0 +b +b +b +b b b +b +b +b +b b nouvelle configuration, z N = (±b)" énergie = -ƒz N" la nouvelle configuration est acceptée avec i j = min { exp[-ß( U j U i )], 1} : " " Rem : 0 < i j < 1 ;" - on tire un nombre aléatoire test (un nouveau test à chaque fois!)" - on compare test à i j : si test i j on accepte," si test > i j on recommence avec une nouvelle config, jusqu à accepter (boucle while) xx xx x xxx xxx xx x xxxx

29 Le TD numérique Pour chaque valeur de la force : transitoire pour équilibrer puis calcul de <z> f 1 f 2 f 3 z 3 z 2 z 1 f 3,z 3 f 2,z 2 f 1,z 1 29

30 x = sign(2*rand(1,n)-1); selec = ceil(rand(10,1)*(n-2))+1; (ou round, floor, int) X(selec) = -X(selec); ici selec est une série de 10 entiers entre 1 et N X(selec) prend les valeurs de X aux positions correspondantes, = -X(selec) les remplace avec leurs valeur changée de signe 30