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1 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.. Définitions de base.. Rappels théoriques Définition. Equation différentielle d ordre n : F (x, y, y,..., y n ) = 0 Equation qui contient une ou plusieurs dérivées d une fonction inconnue y. n est la plus haute dérivée de l équation. Définition 2. Equation différentielle d ordre n sous forme résolue : y n = G(x, y,..., y n ) La plus haute dérivée est exprimée en fonction de x et des dérivées précédentes. G est une fonction continue. Bonnes propriétés théoriques (théorème d existence et d unicité de solutions)

2 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 2.2. Exemples. y (t) 4y(t) = 0 y (t) 3y (t) + 2y(t) = 0 y (t) = 3y (t) 4y (t) 2y(t) + sin(2t)

3 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3.3. Equation différentielle ordinaire (EDO) linéaire. Définition 3. Equation différentielle ordinaire linéaire : a 0 (t) dn y dt n + a (t) dn y dt n a n (t) dy dt + a n(t)y = g(t) A coefficients constants si tous les a i sont constants. Homogène si g(t) = 0. Théorème 4. (Existence et unicité) Si les fonctions a i (t) et g(t) sont continues sur un intervalle 0 t T alors il existe une unique solution à l équation différentielle a 0 (t) dn y dt n + a (t) dn y dt n a n (t) dy dt + a n(t)y = g(t) satisfaisant les conditions initiales y(0) = b 0 dy(0) dt. d n y(0) dt n = b = b n

4 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 4 Théorème 5. (Combinaison de solutions) Soient z () (t),..., z (n) (t) un ensemble linéairement indépendant de solutions à l équation homogène d n y dt + a (t) dn y n dt a n (t) dy n dt + a n(t)y = 0 alors toute solution z(t) peut être exprimée sous la forme d une combinaison linéaire z(t) = c z () (t) c n z (n) (t) pour des constantes c,..., c n.

5 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 5 Théorème 6. (Equations non-homogènes) Soit ȳ(t) une solution particulière de l équation non-homogène d n y dt + a (t) dn y n dt a n (t) dy n dt + a n(t)y = g(t) L ensemble des solutions de cette équation est l ensemble des fonctions de la forme y(t) = ȳ(t) + z(t), où z(t) est la solution générale de l équation homogène associée.

6 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 6.4. Systèmes linéaires à coefficients constants. Soit le système linéaire d équations différentielles suivant : ẋ (t) = a x (t) + a 2 x 2 (t) + + a n x n (t) ẋ 2 (t) = a 2 x (t) + a 22 x 2 (t) + + a 2n x n (t). ẋ n (t) = a n x (t) + a n2 x 2 (t) + + a nn x n (t) Ou en forme matricielle : i.e. ẋ (t) a a 2... a n x (t) ẋ 2 (t) a 2 a a 2n x 2 (t) = } ẋ n (t) {{ } } a n a n2... a nn {{ }} x n (t) {{ } ẋ(t) A x(t) ẋ(t) = Ax(t)

7 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 7.5. Expression d une EDO linéaire sous forme d un système. Soit l EDO linéaire homogène à coefficients constants d n y dt + a d n y n dt a dy n n dt + a ny = 0 Cette EDO peut être mise sous la forme du système d équations différentielles suivant : où ẋ = x 2 ẋ 2 = x 3. ẋ n = ( a n x a n x 2 a x n ) x = y, x 2 = dy dt,. x n = dn y dt n

8 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 8 Ceci induit la matrice A suivante : A = a n a n a n 2... a

9 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 9.6. Système d équations différentielles: combinaison de solutions. Lemme 7. Soient x (j) (t), j =,..., K, K solutions du système ẋ = Ax. Si {c,..., c K } est un ensemble de K constants (réels ou complexes) alors le vecteur K c j x (j) (t) est aussi une solution. j=

10 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 0.7. Calcul des solutions : Exponentielle de matrices. Pour n =, la solution du système ẋ(t) = ax(t) a la forme x(t) = x(0)e at, où x(0) est la condition initiale. Définition 8. Soit A une matrice carrée. L exponentielle de A est définie par e A = n=0 A n n! = I + A + A2 2! + + An n! +... Pour n général, nous définissons e At = I + A + t2 2! A2 + + tn n! An +... Une solution du système est donnée par x(t) = x(0)e At car on peut montrer que d dt eat = Ae At. Le calcul de e At n est toutefois possible que dans quelques cas particuliers.

11 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.8. Calcul des solutions : Equation caractéristique. x(t) = ve λt est solution de ẋ = Ax ssi : vλe λt = Ave λt Av = λv (A λi)v = 0 λ est donc une valeur propre et v est son vecteur propre. Les valeurs propres {λ,..., λ n } sont les racines de l équation caractéristique det(a λi) = 0 et le vecteur v j correspondant satisfait (A λ j I)v j = 0 Si les n valeurs propres de A sont réelles et distinctes alors les n solutions correspondantes sont indépendantes et la solution générale est c e λ t v + c 2 e λ 2t v c n e λ nt v n Les autres cas ne seront traités que dans le cas n = 2.

12 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 2.9. Système du second ordre. Pour le système linéaire du second ordre l équation caractéristique est x = a b x x 2 c d x 2 det a λ c b = 0 d λ (a λ)(d λ) bc = 0 λ 2 (a + d)λ + (ad bc) = 0 λ 2 τλ + = 0 où τ = a + d = tr(a) est la trace de la matrice A et = ad bc = det(a) est le déterminant. Dans la suite nous analysons trois cas Valeurs propres réelles et distinctes. Valeurs propres complexes et conjuguées. Valeurs propres multiples.

13 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3.0. Valeurs propres réelles et distinctes. Solution générale: x(t) = c e λ t v + c 2 e λ 2t v 2 où λ et λ 2 sont les valeurs propres associées aux vecteurs propres v et v 2 respectivement... Valeurs propres complexes conjuguées. Théorème 9. Considérons le système ẋ = Ax où A est une matrice à coefficients constants et réels. Si λ,2 = α±iβ sont deux valeurs propres complexes conjuguées et les vecteurs propres correspondants sont v,2 = u ± iw, alors x () (t) =e αt (cos(βt)u sin(βt)w), et x (2) (t) =e αt (sin(βt)u + cos(βt)w) sont deux solution réelles et linéairement indépendantes du système.

14 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 4.2. Racines multiples. Si λ = λ 2 = λ, les solutions suivantes sont linéairement indépendantes: x () (t) = v e λt x (2) (t) = e λt (v 2 + tv ) où v et v 2 sont tels que (A λi)v = 0 (A λi)v 2 = v

15 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 5.3. Exemple à racines réelles et distinctes. ẋ = 3 x 3 Solution générale: c e λ t v + c 2 e λ 2t v 2 Les λ i sont les solutions de l équation caractéristique : det λi = 0 3 λ 2 2λ 8 = 0 Valeurs propres : λ = 2, λ 2 = 4

16 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 6 Calcul de v : (A λ I)v = 0 (A + 2I)v = x = y 0 x = k k y = v =

17 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 7 Calcul de v 2 : (A λ 2 I)v 2 = 0 (A 4I)v 2 = x = y 0 x = k k y = v 2 = Vecteurs propres : v =, v 2 = Solution générale : x(t) = c e 2t + c 2 e 4t Une fois fixée la condition initiale x(0), c et c 2 doivent satisfaire :

18 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 8 c + c 2 = x(0)

19 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 9.4. Exemple complexe d ordre 2. ẋ = 0 4 x 0 Equation caractéristique : λ = 0 Valeurs propres : λ,2 = ±2i Vecteurs propres : v,2 = [2, ±i] T = [2, 0] ± i[0, ] Les deux solutions : x () (t) = cos(2t) 2 sin(2t) 0 0 x (2) (t) = sin(2t) 2 + cos(2t) 0 0 Calcul des valeurs et vecteurs propres en MATLAB: [v,l] = eig(a).

20 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Exemple à racines multiples. ẋ = 3 4 x Equation caractéristique : λ 2 2λ + = 0 Racines : Vecteur propre v : λ = λ 2 = (A λ I)v = x = 0 2 y 0 x = k 2 y k = v = 2

21 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 2 Vecteur v 2 : (A λ I)v 2 = v 2 4 x = 2 2 y x = k 3 y k = v 2 = 3 Les deux solutions sont donc : x () (t) = 2 e t x (2) (t) = e t 3 + t 2

22 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Exercice Aller à l étape (4) directement Pour le système ẋ = 3 x 3 Il vous est demandé de: () Calculer les valeurs propres. (2) Calculer les vecteurs propres (3) En déduire la forme générale de x (t) et x 2 (t) (4) Fixer les paramètres constants c et c 2 de manière à satisfaire les conditions initiales x(0) = [0.5, 0], et donner l expression analytique de x (t) et x 2 (t). (5) Dessiner la trajectoire à partir de x(0), en calculant les points pour t = {0, 0., 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}.

23 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 23 (6) Mêmes questions que (4,5) pour les conditions initiales x(0) = [0, 0.5], x(0) = [0, 0], x(0) = [, ] et x(0) = [, ].

24 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Solution Pour le système ẋ = 3 x 3 Il vous est demandé de: () Calculer les valeurs propres. Solution: nous utilisons la formule simplifiée det(a λi) = λ 2 τλ + où τ = a + d et = det(a). Ce qui donne τ = 2 et = 8. Il faut donc résoudre λ 2 2λ 8 = 0 4, ce qui donne λ = 2± 36 2 = 2. (2) Calculer les vecteurs propres Solution: Pour λ = 4 nous cherchons v = (i, j).

25 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 25 Nous avons A v = λ v et donc i + 3j = 4i 3j = 3i 3i + j = 4j 3i = 3j et donc v =. Le même calcul pour λ 2 donne v 2 =. (3) En déduire la forme générale de x (t) et x 2 (t) Solution : x(t) = c e 2t + c 2 e 4t = c e 2t + c 2 e 4t c e 2t + c 2 e 4t donc x (t) = x 2 (t) = c e 2t + c 2 e 4t c e 2t + c 2 e 4t

26 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 26 (4) Fixer les paramètres constants c et c 2 de manière à satisfaire les conditions initiales x(0) = [0.5, 0], et donner l expression analytique de x (t) et x 2 (t). c + c 2 = 0.5 c = c 2 = 0.25 c + c 2 = 0 x (t) = 0.25e 2t e 4t x 2 (t) = 0.25e 2t e 4t x (t) x 2 (t) 0.25*exp(-2*x) *exp(4*x) *exp(-2*x) *exp(4*x)

27 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 27 (5) Dessiner la trajectoire à partir de x(0), en calculant les points pour t = {0, 0., 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}. Solution :Les valeurs sont données dans la table cidessous, et la trajectoire est illustrée par la figure 3. x (t) x 2 (t)

28 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 28 Les 5 trajectoires (avec points initiaux en noir) x x Figure 3.. Les deux trajectoires (6) Mêmes questions que (4,5) pour les conditions initiales x(0) = [0, 0.5]. Solution : c + c 2 = 0 c + c 2 = 0.5 x (t) = x 2 (t) = c = 0.25, c 2 = e 2t 0.25e 4t 0.25e 2t 0.25e 4t

29 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 29 x (t) x 2 (t) 0.25*exp(-2*x) *exp(4*x) *exp(-2*x) *exp(4*x) Les valeurs sont données dans la table ci-dessous, et la trajectoire est illustrée par la figure 3. x (t) x 2 (t)

30 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 30 (7) Mêmes questions que (4,5) pour les conditions initiales x(0) = [0, 0]. c + c 2 = 0 c = 0, c 2 = 0 c + c 2 = 0 x (t) = 0 x 2 (t) = 0 Les valeurs sont données dans la table ci-dessous, et la trajectoire est illustrée par la figure 3. x (t) x 2 (t)

31 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3 (8) Mêmes questions que (4,5) pour les conditions initiales x(0) = [, ]. c + c 2 = c = 0, c 2 = c + c 2 = x (t) = e 4t x 2 (t) = e 4t x (t) x 2 (t) 0*exp(-2*x) + *exp(4*x) *exp(-2*x) + *exp(4*x) Les valeurs sont données dans la table ci-dessous, et la trajectoire est illustrée par la figure 3.

32 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 32 x (t) x 2 (t) (9) Mêmes questions que (4,5) pour les conditions initiales x(0) = [, ]. c + c 2 = c =, c 2 = 0 c + c 2 = x (t) = e 2t x 2 (t) = e 2t

33 MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 33 x (t) x 2 (t) 0 0 *exp(-2*x) + 0*exp(4*x) *exp(-2*x) + 0*exp(4*x) Les valeurs sont données dans la table ci-dessous, et la trajectoire est illustrée par la figure 3. x (t) x 2 (t)

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