Table des matières Introduction Compléments sur l intégration

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1 Table des matières 1 Introduction De l intégrale de Riemann à l intégrale stochastique Processus stochastique, intégrales de Lebesgue et de Riemann Intégrales de Riemann-Stieltjes, d Ito-Stieltjes et de Lebesgue-Stieltjes Mouvement brownien et intégrale stochastique d Ito Forme générale de l intégrale stochastique Contexte de l intégrale stochastique Tribu et filtration sur l ensemble Ω des aléas Temps d arrêt sur l ensemble Ω des aléas Processus prévisible localement borné Définition : martingale et martingale locale Définition : semi-martingale Décomposition de l intégrale stochastique Les grandes étapes : plan du livre Dépendance des résultats Le théorème de décomposition des martingales locales La construction de l intégrale Le théorème de Doléans Le théorème de section prévisible Ensembles analytiques, capacités et théorème dechoquet Covariation et formule d Ito Compléments sur l intégration Espace de probabilité filtré Définition : tribu et espace mesurable, filtration et espace filtré Définition : mesure et probabilité, espace de probabilités filtré Définition : espace de probabilité filtré et conditions usuelles Définition : tribu engendrée Applications mesurables Définition : applications mesurables Proposition : critère de mesurabilité

2 6 TABLE DES MATIÈRES Proposition : mesurabilité des limites Proposition : approximation par les fonctions étagées Définition : tribu engendrée par une famille d applications Proposition : factorisation des applications mesurables Espérance d une variable aléatoire réelle (VAR) Définition : variable aléatoire Définition : espérance mathématique Définition : indépendance Uniforme intégrabilité Définition : famille de VAR uniformément intégrable Définition : famille de VAR équi-intégrable Proposition : critère d uniforme intégrabilité Théorème : convergence en probabilité et convergence dans L Classes monotones Définition : π-système Définition : classe monotone ou δ-système Lemme des classes monotones Premier théorème des classes monotones (TCM1) Deuxième théorème des classes monotones (TCM2) Variation des fonctions Definition : subdivision d un segment Définition : variation d une fonction sur un segment Définition : fonctions à variations finies Proposition : continuité de la variation d une fonction continue Proposition : différence de deux applications croissantes Intégrale de Lebesgue-Stieltjes des fonctions Proposition et définition : intégrale de Lebesgue-Stieltjes par rapport a une fonction croissante Proposition : continuité et variation de l intégrale par rapport à une fonction croisante Définition : intégrale de Lebesgue-Stieltjes par rapport à une fonction à variation finie Proposition : continuité et variation de l intégrale par rapport à une fonction à variation finie Ensemble et processus progressivement mesurables Proposition et définition : tribu des ensembles progressifs Proposition : un processus càd ou càg est progressif Proposition : adaptabilité de l intégrale d un processus progressivement mesurable par rapport à un processus croissant Variation d un processus Proposition : adaptabilité et continuité de la variation d un processus Proposition : adaptabilité de l intégrale d un processus progressivement mesurable par rapport à un processus à variation finie 61

3 TABLE DES MATIÈRES 7 3 Martingales Espérance conditionnelle Proposition et définition : espérance conditionnelle Proposition : condition d orthogonalité Définition : espérance conditionnée par une VAR Définition : factorisation de l espérance conditionnée Proposition : propriétés de l espérance conditionnelle Temps d arrêt Définition : filtration et temps d arrêt Proposition et définition : tribu d un temps d arrêt Arrêt et échantillonnage des martingales discrètes Définition : martingales et S-martingales discrètes Définition : processus arrêté et variable d arrêt Théorème : une S-martingale arrêtée est une S-martingale Théorème : échantillonnage des S-martingales par des temps d arrêt bornés Convergence presque sûre des S-martingales discrètes Définition : nombre de traversées montantes Lemme des traversées Théorème : convergence PS des S-martingales discrètes Convergence dans L 1 des S-martingales discrètes Définition : S-martingale fermée à droite Théorème : convergence dans L 1 des S-martingales discrètes uniformément intégrables (UI) Corollaire : convergence dans L 1 des martingales UI Inégalité de Doob dans L p Proposition : inégalité de Doob dans L p Théorème : convergence des martingales dans L p Martingales en temps continu Théorème : convergence PS des S-martingales càdlàg bornées dans L Théorème : convergence dans L 1 des S-martingales càdlàg UI Corollaire : cas particulier des martingales Proposition : martingale définie par projections Proposition : inégalité de Doob dans L p Proposition : convergence des martingales dans L p Théorème : une S-martingale arrêtée est une S-martingale Théorème : échantillonnage des S-martingales càdlàg UI Théorème : échantillonnage des S-martingales càdlàg par des temps d arrêt bornés Proposition : absorption en zéro d une sur-martingale positive Martingale de carré intégrable Proposition : martingale continue à variation bornée Exercices sur les martingales de carré intégrable... 93

4 8 TABLE DES MATIÈRES 4 Topologie Espaces topologiques Définition : topologie et espace topologique Définition : fermés Définition : voisinages Définitions : adhérence, fermeture, points d accumulation et points isolés Proposition : adhérence et fermeture Proposition : fermeture et points d accumulation Définition : intérieur Continuité, topologie initiale Définition : application continue Lemme : composition des images et images réciproques Définition : topologie initiale Proposition : continuité et topologie initiale Définition : topologie produit Proposition : séparation d un espace produit Proposition : produit dénombrable d espaces métriques Espace compact Définition : espace compact Proposition : forme équivalente de la définition d un compact Définition : sous-espaces topologiques Définition : sous-espaces compacts Proposition : caractérisation des compacts de E Proposition : un compact est fermé Proposition : un fermé d un compact est compact Proposition : base de voisinages fermés dans un compact Proposition : propriété de la classe des compacts Théorème de Bolzano-Wierstrass Filtres et ultrafiltres Définition : filtres Proposition et définition : base de filtre Proposition et définition : filtre image Proposition et définition : ultrafiltre Proposition : caractérisation d un ultrafiltre Proposition : image d un ultrafiltre Convergence des filtres et limites des applications Définitions : convergence des filtres et limites des applications Proposition : formes équivalentes de la définition d une limite Proposition : unicité de la limite Proposition : limite et continuité Adhérence des filtres Définition : adhérence des filtres Proposition : caractérisation de l adhérence d un filtre Définition : valeur d adhérence d une application Proposition : limites et valeurs d adhérence

5 TABLE DES MATIÈRES Proposition : adhérence et continuité Définition : limite supérieure et inférieure d une application Proposition : caractérisation des limites supérieure et inférieure Filtres et topologie initiale Proposition : convergence dans la topologie initiale Lemme technique : convergence de l image d un filtre Théorème de Tychonov Proposition : compacité et ultrafiltre Théorème de Tychonov Définition : topologie faible Théorème de Banach-Alaoglu Compactification Définition : espace localement compact Proposition : base de voisinages compacts Proposition : sous-espaces localement compacts Théorème d Alexandrov Espaces métrisables localement compacts Définitions : topologie à base dénombrable, espace métrisable, espace séparable Proposition : espace topologique à base dénombrable Définition : espace dénombrable à l infini Définition : espace relativement compact Proposition : espace topologique métrisable localement compact Proposition : espace topologique localement compact à base dénombrable Proposition et définition : somme d espaces topologiques Ensembles analytiques et capacités Pavage et pavages compacts Définitions : pavage, pavage produit et pavage somme Définition : pavage compact Proposition : stabilité des pavages compacts par union finie et intersection quelconque Proposition : le produit de pavages compacts est compact Proposition : la somme de pavages compacts est compacte Ensembles analytiques Définition : ensembles analytiques Lemme : deux propriétés immédiates des ensembles analytiques Proposition : stabilité des ensembles analytiques par union et intersection dénombrable Proposition : produit d ensembles analytiques Proposition : projection d ensembles analytiques Proposition : maximalité de la classe des ensembles analytiques Proposition : critère d inclusion de σ(f ) dans A(F ) Proposition : les ensembles mesurables sont analytiques

6 10 TABLE DES MATIÈRES Corollaire Lemme topologique Théorème : projection de B F Capacités, théorème de Choquet Définition : capacités et ensembles capacitables Théorème de Choquet Lemme : A F σδ est capacitable Lemme : propriété du pavage H =(E F) f Fonction d ensembles et capacité extérieure Définition : fonction d ensembles Définition : capacité extérieure Théorème : propriétés des capacités extérieures Fonctions d ensembles additives Définition : fonction d ensembles additive Proposition : fonction d ensembles additive Proposition : fonction d ensembles finie additive sur une algèbre Corollaire : théorème de Carathéodory Probabilité extérieure Définition : probabilité extérieure Proposition : la tribu engendrée par une algèbre est analytique Théorème : mesurabilité des ensembles analytiques Mesurabilité des débuts et théorème de section Théorème : Mesurabilité des débuts (Meyer) Définition : section mesurable et transverse Théorème de section mesurable (Meyer) Temps d arrêt, tribus de temps d arrêt Généralités sur les temps d arrêt Proposition : temps d arrêt relatif à une filtration augmentée Théorème : le début d une partie progressive est un temps d arrêt (Meyer) Corollaire : les temps d entrée sont des temps d arrêt Propriétés des tribus de temps d arrêt Définition : tribus d un temps d arrêt Proposition : inclusions des tribus de temps d arrêt Définition : variable d arrêt Proposition : mesurabilité de la variable d arrêt Exercices : propriétés des tribus de temps d arrêt Proposition : sup et inf de temps d arrêt Tribu optionnelle Définition : intervalles stochastiques Définition : tribu optionnelle, processus optionnel Proposition : propriétés de la tribu optionnelle Tribu prévisible

7 TABLE DES MATIÈRES Définition : tribu prévisible, processus prévisible Proposition : propriétés de la tribu prévisible Un exemple d espace filtré Temps d arrêt prévisibles Temps d arrêt prévisible Définition : temps d arrêt prévisible Proposition : sup et inf de temps d arrêt prévisibles Proposition : D A est un temps d arrêt prévisible Proposition : sauts d un processus prévisible càdlàg Proposition : T A estuntap Temps d arrêt équitables et annonçables Définition : temps d arrêt équitable et annonçable Proposition : tribu d un temps d arrêt annonçable Proposition : arrêt annonçable d une martingale Théorème PEA Applications du théorème PEA Propostion : P = σ{[s, T [, S TTAP} Propostion : arrêt prévisible d une martingale Proposition : continuité des martingales prévisibles Temps d arrêt accessible et inaccessible Définition : temps d arrêt accessible et inaccessible Proposition : décomposition d un temps d arrêt Théorèmes de sections et de projections Section optionnelle Théorème de section optionnelle (Dellacherie-Meyer) Proposition : premier critère d indistinguabilité des processus optionnels Définition : processus fortement intégrable Proposition : second critère d indistinguabilité des processus optionnels Projection optionnelle Proposition et définition : projection optionnelle Proposition : caractérisation de la projection optionnelle Proposition : propriétés de la projection optionnelle Section prévisible Théorème de section prévisible (Dellacherie-Meyer) Proposition : premier critère d indistinguabilité des processus prévisibles Proposition : second critère d indistinguabilité des processus prévisibles Corollaire : variante du second critère d indistinguabilité Projection prévisible Proposition et définition : projection prévisible Proposition : caractérisation de la projection prévisible

8 12 TABLE DES MATIÈRES Proposition : propriétés de la projection prévisible Théorème : projection prévisible d une martingale Mesure de Doléans associée à un processus Définition : classes de processus à variation finie Définition : mesure de Doléans associée à un processus de CI 0 brut Proposition : caractérisation des mesures de Doléans Théorème de Doléans Théorème de Doléans : première partie Théorème de Doléans : deuxième partie Projection duale prévisible Proposition : projection duale prévisible Proposition : caractérisation du compensateur prévisible Proposition : compensateur prévisible d un processus arrêté Proposition : sauts d un compensateur prévisible Décomposition des martingales Classes de processus Classes de processus à variation finie (rappel) Classes de martingales (rappel) Classes de mesurabilité (rappel) Composition des notations Localisation Définition : classe localisée Définition : classe stable par arrêt Définition : extension standard à la classe localisée H loc d une application définie sur une classe H Proposition : démonstration par localisation Martingale locale Définition : martingale locale Proposition : localisation en martingales UI Proposition : martingale locale continue à variation finie Proposition : continuité des martingales locales prévisibles Proposition : projection prévisible d une martingale locale Décomposition de Doob-Meyer Définition : classe D Théorème de Doob-Meyer (TDM) Proposition : crochet de Meyer de M M Extension du crochet de Meyer Proposition : crochet de Meyer d un processus arrêté Définition : crochet de Meyer de M bm 0,loc Proposition : caractérisation du crochet de Meyer de M bm 0,loc Extension du compensateur prévisible Définition : compensateur prévisible de A VI 0,loc

9 TABLE DES MATIÈRES Proposition : caractérisation du compensateur prévisible de A VI 0,loc Proposition : sauts d un compensateur prévisible Décomposition des martingales Théorème de décomposition des martingales locales Proposition : M bm 0,loc Intégrale stochastique : cas général Processus localement bornés Définition : processus borné et localement borné Proposition : processus adaptés càdlàg ou càglàd localement bornés Rappel : tribu et processus prévisibles Semi-martingales Rappel : martingale locale Rappel : décomposition des martingale locales Corollaire : décomposition des martingale locales - suite Définition : semi-martingale Proposition : décomposition d une semi-martingale Processus prévisibles simples Processus prévisibles simples Définition : processus prévisible en escalier Définition : intégrale stochastique des processus prévisibles simples et des processus prévisibles en escalier Proposition : conservation du caractère martingale Lemme : condition de martingale Définition générale de l intégrale stochastique Théorème : définition générale de l intégrale stochastique (IS) Proposition : six propriétés générales de l IS Sommes d Ito Lemme : approximation en probabilité de l IS (cas H 0 =0) Proposition : approximation en probabilité de l IS Intégrale de H bp loc par rapport à A V Théorème de convergence dominée pour les intégrales de Lebesgues-Stieltjes Propriétés générales de l IS dans le cas H bp loc et A V Intégrale stochastique : cas martingale Notations et objectifs Intégrale stochastique de H be par M M Rappel : définition de H.M pour H be Théorème : définition de H.M pour H bp et M M Espace M Définition : mesure μ associée à M M

10 14 TABLE DES MATIÈRES Proposition : masse totale de μ Espace L 2 (M) Définition : espace L 2 (M) Théorème fondamental : isométrie de E dans M Prolongement de l IS de be à bp Proposition : densité de be dans bp Proposition : prolongement de l IS de be à bp Proposition : linéarité de H H.M Théorème : convergence dominée dans M Proposition : isométrie de L 2 (M) dans M Propriétés générales de l IS dans le cas H bp et M M Intégrale de H bp loc par M bm 0,loc Définition : IS de H bp loc par M bm 0,loc Théorème de convergence dominée dans bm 0,loc Variation quadratique Covariation et variation quadratique Définition : covariation et variation quadratique Proposition : formule de polarisation Proposition : sauts de la covariation Proposition : convergence des sommes d Ito (rappel) Proposition : approximation de la covariation Proposition : la covariation est à variation finie Proposition : formule d arrêt Proposition : caractérisation de la covariation de martingales locales Corollaire : crochet de Meyer et variation quadratique Partie continue d une covariation Notation : partie continue d une covariation Proposition : covariation nulle Proposition : expression de la partie continue d une covariation Corollaire : covariation nulle (suite) Proposition : covariation d intégrales stochastiques Approximation polynomiale Formule d Ito Proposition : formule d Ito, cas d un processus à variation finie Proposition : formule d Ito, cas d une semi-martingale continue Proposition : formule d Ito, cas d une semi-martingale Proposition : formule d Ito, cas d un vecteur de semi-martingales (cas général) Bibliographie 327 Index 329