FONCTIONS : NOTION. Une fonction est un outil mathématique faisant correspondre à un nombre un autre nombre.

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1 FONCTIONS : NOTION Une fonction est un outil mathématique faisant correspondre à un nombre un autre nombre. On donne un nombre à la fonction, elle lui fait subir une série d opérations plus ou moins complexes, et répond par un nouveau nombre. Exemples : La fonction qui double tous les nombres. Si on lui donne 2 elle répond 4. La fonction qui ajoute 2 à tous les nombres : Si on lui donne 2 elle répond 4 aussi. Attention! Ce n est toutefois pas la même que celle qui double! La fonction qui divise par 10 : si on lui donne 200 elle répond 20. La fonction qui double les nombres et rajoute 3 en plus : Si on lui donne 2 elle répond 7. La fonction qui élève au carré : si on lui donne 3 elle répond 9. Cette fonction permet par exemple de calculer l aire d un carré. On comprend vite qu il existe une infinité de fonctions. Pour les étudier, on les regroupe par famille. Dans ce cours nous étudierons la famille des fonctions linéaires (ce sont des fonctions qui multiplient) et celle des fonctions affines (elles multiplient et ajoutent). Le nombre donné à la fonction est appelé antécédent. La réponse de la fonction est appelée image. On peut effectuer une représentation graphique d une fonction dans un repère en se servant de points dont les coordonnées sont justement les antécédents et images. Plus la fonction est compliquée, plus le nombre de points nécessaires pour pouvoir la tracer correctement sera grand. Rappels sur deux opérations bien connues La division peut se voir comme une multiplication : diviser par 2 revient à multiplier par 0,5 c està-dire par l inverse de 2. Diviser par a 0 c est multiplier par 1 a La soustraction peut se voir comme une addition : soustraire 3 revient à ajouter -3 Soustraire a c est ajouter a YDV Fonctions, 3 ème Page 1/8

2 FONCTIONS LINEAIRES 1. Définition et propriétés 1.1. Vocabulaire D : On appelle fonction linéaire de coefficient a la fonction qui associe à tout nombre réel x le nombre réel ax. Le coefficient a est également un nombre réel. On note : f x ax Rappels et remarques : Le nombre réel x est l antécédent et f(x) est son image par la fonction f On trouve parfois la notation y pour désigner l image : f(x) = y Dans le cas des fonction linéaires, l image f(x) vaut ax : f(x) = ax Exemples : f(x) = 3x f(x) = 1 x 2 f(x) = 4x Contre-exemples : f(x) = 2x² f(x) = 5x Lien avec la proportionnalité Reprenons l exemple f(x) = 3x et choisissons quelques valeurs pour x et établir un tableau de valeurs : x x X3 On reconnait un tableau de proportionnalité P : A toute situation de proportionnalité correspond une fonction linéaire (et inversement). P : Le coefficient de la fonction linéaire est le coefficient de proportionnalité et donc avec les pourcentages Rappels : Un pourcentage peut s exprimer indifféremment sous forme fractionnaire ou décimale : 20% = = 0,2 Calculer un pourcentage, c est multiplier par ce pourcentage : " 20% de 50 " = 20% 50 = = 0,2 50 = P : Par conséquent, appliquer un pourcentage (donc multiplier par un nombre) se modélise par une fonction linéaire de coefficient égal à ce pourcentage (sous forme fractionnaire ou décimale). YDV Fonctions, 3 ème Page 2/8

3 Application : utilisation des pourcentages : Soit un prix de départ de 50 et un pourcentage de 20% Calculons d abord la valeur du pourcentage : 50 0,2 = 10 a) Augmentation : on rajoute ces 10 au prix de départ : = 60 On passe donc de 50 (prix de départ = antécédent) à 60 (prix d arrivée = image) Le coefficient qui permet de passer de 50 à 60 est : = 1,2 C est-à-dire b) Réduction : on soustrait les 10 : = 40 On passe donc de 50 (prix de départ = antécédent) à 40 (prix d arrivée = image) Le coefficient qui permet de passer de 50 à 40 est : = 0,8 C est-à-dire D une manière générale, si le pourcentage est p (dans l exemple précédent p = 20), le coefficient de la fonction linéaire qui permet de calculer puis d utiliser ce pourcentage est : 1 + p 100 dans le cas d une augmentation 1 p 100 dans le cas d une réduction 2. Images et antécédents Soit f une fonction linéaire de coefficient a : par définition, on peut écrire f(x) = ax. Notamment, dans 2 cas particuliers : Si x = 0, alors f(0) = a 0 = 0 Si x = 1, alors f(1) = a 1 = a P : Pour toute fonction linéaire f de coefficient a : f(0) = 0 et f(1) = a Etudions le cas de la fonction linéaire définie par f(x) = 2x : «L image d un nombre est son double». Intuitivement, «l antécédent devrait donc être la moitié de l image». Vérifions-le sur un exemple : le cas où l antécédent x = 5. Son image par f sera le double : f(5) = 2 5 = 10 Cherchons maintenant l antécédent de 10 : quel est le nombre (l antécédent) qui, multiplié par 2 (le coefficient), vaut 10 (l image)? Cela s écrit sous forme d une équation : 2x = 10. Pour le résoudre, on isole x en divisant par 2 les deux côtés : 2x = 10 soit encore x = YDV Fonctions, 3 ème Page 3/8

4 P : Pour toute fonction linéaire f de coefficient a non nul : x = f(x) Remarque : f(x) = ax peut aussi s écrire a = f(x) si x 0 Finalement, ces trois expressions sont équivalentes : x a f(x) = ax x = f(x) a Permet de trouver l image Permet de trouver l antécédent (si a 0) a est le coefficient x est l antécédent f(x) est l image a = f(x) x Permet de trouver le coefficient (si x 0) 3. Représentation graphique Reprenons l exemple du 1.2. : f(x) = 3x et son tableau de valeurs : x f(x) = 3x = y Plaçons ces points sur un repère (on se rappelle que l image est parfois notée y et on comprend maintenant pourquoi). Par commodité on prendra un repère orthonormé : l axe des abscisses «x» est perpendiculaire à l axe des ordonnées «y» et les graduations sont les mêmes sur ces deux axes. Axe des ordonnées y (images) 6 Ce point a pour coordonnées (2 ; 6) (x = antécédent = 2 ; y = son image = 6) conformément au tableau de valeurs 2 Axe des abscisses x (antécédents) P : La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite passant par l origine du repère. P : Cette droite à pour coefficient directeur le coefficient de la fonction : o Si la droite «monte» (quand «les x augmentent, les y aussi») alors ce coefficient est positif. Réciproquement, si le coefficient est positif, la droite «monte». o Inversement si la droite «descend» (quand «les x augmentent, les y descendent») alors ce coefficient est négatif. Réciproquement, si le coefficient est négatif, la droite «descend». YDV Fonctions, 3 ème Page 4/8

5 FONCTIONS AFFINES 1. Exemple Voici les tarifs d entrée pour un stade de football : Tarif 1 : 8 l entrée Tarif 2 : 4 l entrée avec la carte demi-tarif qui coûte 40 Tarif 3 : L abonnement pour la saison qui coûte 92 1) Calculer pour chaque tarif, la dépense pour 6 entrées, 11 entrées puis 15 entrées. Dans chaque cas, quel est le tarif le plus intéressant? x entrées x = 6 x = 11 x = 15 Tarif Tarif Tarif ) Soit x le nombre d entrées. Exprimer en fonction de x la dépense pour la saison pour chaque tarif (on appellera les fonctions respectivement f, g et h). Tarif 1 : 8 x A chaque nombre x, on associe le nombre 8 x, On reconnait une fonction linéaire qu on appellera f et on note : f x 8x ou encore f(x) = 8x Tarif 2 : 4 x + 40 On définit une fonction affine qu on appellera g et on note : g x 4x + 40 ou encore g(x) = 4x + 40 Tarif 3 : 92 A chaque nombre x, on associe le nombre 92, On définit une fonction constante qu on appellera h et on note : h x 92 ou encore h(x) = 92 3) a) Avec le tarif 2, calculer le prix dépensé pour 18 entrées. Si x = 18 alors g(18) = 4 x = 112 (l image de 18 par g est 112) b) Calculer de même : f(2), h(2), g(4), g(7) et f(10). f(2) = 16 ; h(2) = 92 ; g(4) = 56 ; g(7) = 68 ; f(10) = 80 c) Trouver x tel que g( x ) = 84. Si g(x) = 84 alors 4x + 40 = 84 donc 4x = 44 et finalement x = 11 YDV Fonctions, 3 ème Page 5/8

6 4) a) Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la dépense en fonction du nombre d entrées. On utilise le tableau de valeurs de la question 1 h(x) = 92 g(x) = 4x + 40 f(x) = 8x x = 10 x = 13 b) Répondre en utilisant le graphique : Dans quels cas vaut-il mieux choisir un tarif plutôt qu un autre? Entre 0 et 10 entrées : le tarif 1 (fonction f) Entre 10 et 13 entrées : le tarif 2 (fonction g) Plus de 13 entrées : le tarif 3 (fonction h) 2. Définitions et propriétés Définitions : a et b étant deux nombres réels fixés, x ax + b est appelée fonction affine x ax est appelée fonction linéaire x b est appelée fonction constante Propriétés : Une fonction linéaire est une fonction affine où b = 0. Une fonction constante est une fonction affine où a = 0 La représentation graphique d une fonction constante est une droite parallèle à l axe des abscisses. La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite passant par l origine. La représentation graphique d une fonction affine est une droite. YDV Fonctions, 3 ème Page 6/8

7 3. Droite associée 3.1. Coordonnées y 2 A 1 B (d) x Soit (d) la représentation graphique de la fonction affine f(x) = x 1 Les points A(3 ; 2), B(2 ; 1) et C( 2 9 ; 1) appartiennent-ils à la droite (d)? 2 = 3 1 donc A (d) 1 = 2 1 donc B (d) donc C (d) P : Soit une fonction affine f: x ax + b représentée dans un repère par une droite d. Les coordonnées (x ; y) d un point M appartenant à d vérifient y = ax + b Coefficient directeur et ordonnée à l origine Coefficient directeur : on avance de 1 et on monte de 2 Ordonnée à l origine : on lit l intersection sur l axe des ordonnées Définition : la droite (d) représentative de la fonction f : x ax + b à pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l origine b La droite (d) à pour équation : y = 2x 2 La droite (d ) à pour équation : y = 0,5x 1 YDV Fonctions, 3 ème Page 7/8

8 P : Comme pour les fonctions linéaires, si le coefficient directeur est positif Positif, la droite «monte» : la fonction est dite croissante. Négatif, la droite «descend» : la fonction est dite décroissante Coefficient directeur : méthode des accroissements P : Pour tous points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) de la droite représentative de la fonction affine définie par x ax + b, on a : a = y B y A c Variation des y està dire x B x A Variation des x On retrouve le calcul du coefficient directeur vu pour les fonctions linéaires (chap. 2 p. 4 : a = y x ). C est par exemple la méthode utilisée pour le calcul d une pente : si lorsque vous avancez de 50m vous vous élevez de 10m, la pente est de 10 = 20 = 20% m 3.3. Application : déterminer une fonction affine à partir de 2 images Déterminer la fonction affine f vérifiant : f(2) = 4 et f(5) = 1 Puisque f est une fonction affine, elle est de la forme f( x ) = a x + b Déterminer f revient à trouver a et b. On applique la propriété des accroissements pour trouver le coefficient directeur : f(2) f(5) a = = = 1 Remarque: on aurait parfaitement pu inverser l ordre des points: 1 4 = On sait maintenant que f( x ) = x + b Or, par exemple, f(5) = 1 On remplace x par 5 et f(x) par 1 dans l équation trouvée : f( x ) = x + b On en déduit 1 = 5 + b C est à dire b = = 6 Finalement, f( x ) = x m YDV Fonctions, 3 ème Page 8/8