Lycée Clemenceau. PCSI 1 - Physique. PCSI 1 (O.Granier) Lycée. Clemenceau. Les lois de Newton. (mécanique du point matériel) Olivier GRANIER

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1 Lycée Clemenceau PCSI 1 (O.Gane) Les los de Newton (mécanque du pont matéel) Olve GRANIER

2 Objet de la dynamque : détemne les causes des mouvements. Gallée (physcen talen, ) Keple (astonome allemand, ) Newton (physcen anglas, ) Ensten (physcen amécan, ) Schödnge (physcen autchen, ) Mécanque newtonenne 3 gands pncpes Le pncpe fondamental de la dynamque Le pncpe d nete Le pncpe de l acton et de la éacton Olve GRANIER

3 I - NOTION DE REFERENTIELS GALILEENS 1 - Pncpe d nete : Enoncé pa Gallée : «Le cente d nete d un système solé ou pseudo-solé pesévèe dans l état de epos ou de mouvement unfome dans lequel l se touve.» G. Mouvement ectlgne unfome de G Dans quels éféentels est valable le pncpe d nete? Dans les éféentels galléens! Olve GRANIER

4 - Réféentels galléens : «On appelle éféentel galléen un éféentel dans lequel le pncpe d nete est véfé, c est-à-de dans lequel un pont matéel soums à une foce constamment nulle est caactésé pa un mouvement ectlgne unfome ou pa le epos.» Exemples de éféentels galléens : Réféentel de Keple : (Hélocentque) *** Ogne : le cente d nete du Solel *** Tos axes dgés ves tos étoles lontanes «fxes» (Réféentel de Copenc : centé su le cente d nete du système solae) Utlsés pou : - Mouvements des planètes «Etoles fxes» - Mouvements des sondes nteplanétaes (R K ) (R G ) Olve GRANIER

5 Réféentel géocentque : *** Ogne : le cente d nete de la Tee *** Tos axes dgés ves tos étoles lontanes «fxes» (R G ) a un mouvement de tanslaton quas-cculae pa appot à (R K ). Utlsé pou l étude des mouvements des satelltes autou de la Tee Réféentel teeste (ou du laboatoe) : «Etoles fxes» (R K ) (R G ) En 1 èe appoxmaton, ces éféentels sont galléens. Olve GRANIER

6 II - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE 1 - Noton de foce 4 nteactons fondamentales : Inteacton gavtatonnelle Inteacton électomagnétque Inteacton fable Inteacton fote Document : Défnton d une foce : «On appelle foce la gandeu vectoelle décvant une nteacton capable de podue un mouvement ou encoe de cée une défomaton.» Exemples : Foces de contact Foces à dstance Olve GRANIER

7 Foces de contact Réacton du suppot : La foce que subt un objet posé su un sol en povenance du suppot s appelle la éacton du suppot. Cette foce est épate su toute la suface de contact suppot-objet. On peut epésente cette acton pa une foce, ésultante de toutes les actons execées su la suface. Cas d une suface hozontale : R G mg L objet étant à l équlbe : R = mg Remaque : d apès le pncpe de l acton et de la éacton, l acton de l objet su le suppot est égale au pods de l objet. Olve GRANIER

8 Foces de fottements : Losqu un solde se déplace dans un flude (gaz ou lqude), l subt de la pat du flude des foces de fottements, que l on peut modélse pa : * Foces de fottements «vsqueux» (à fable vtesse) : f f = kmv Où m est la masse du solde, v sa vtesse et k une constante postve. * Foces de fottements de type «quadatque» (à plus gande vtesse) : Tenson d un essot : u x l T = kmv R mg T = k( l l 0) u x l : longueu à vde du essot 0 Olve GRANIER

9 Foces à dstance Foce électque : Une patcule M(m) et de chage électque q est placée dans un champ E électque noté. La foce qu s exece su la patcule est : Foce magnétque : f = qe Une patcule M(m) de vtesse v et de chage électque q est placée dans un champ magnétque noté est : f B = q. La foce qu s exece su la patcule v B Olve GRANIER

10 q 1 q Foce gavtatonnelle : f 1 f 1 M 1 (m 1 ) =M 1 M u 1 Foce coulombenne : < 0 M 1 (q 1 ) f 1 =M 1 M u 1 f 1 M (m ) M (q ) f m m 1 1 = G u 1 f f = f 1 1 G : constante de gavtaton unveselle 1 q1q = u 4πε f 0 = f 1 1 ε 0 : pemttvté du vde (1/4πε 0 = USI) 1 Olve GRANIER

11 - Noton de quantté de mouvement v M (m) : pont matéel M de masse m, de vtesse dans un éféentel galléen (R). La quantté de mouvement de M (m) est : Impotance de cette gandeu : elle pend en compte la vtesse mas auss «l nete» du cops (sa masse). 3 - Pncpe fondamental de la dynamque v M (m) : pont matéel M de masse m, de vtesse dans un éféentel galléen (R). Sot la quantté de mouvement de M dans (R). Sot l accéléaton de M dans (R). F p = a mv p = mv : somme vectoelle des foces qu s execent su M (m). Olve GRANIER

12 Enoncé du «PFD» «La dévée tempoelle de la quantté de mouvement d un pont matéel est égale à la somme vectoelle des foces qu lu sont applquées.» M (m) F F = dp m dv = = ma O = OM (R) galléen p Tajectoe = mv (s m est une constante) Remaque : le PFD englobe le pncpe d nete. Olve GRANIER

13 Remaque : ne touvez-vous pas maculeusement smple le PFD pusqu'l ne fat nteven que la dévée seconde de la poston, pondéée pa une constante m? Pouquo ne pas songe à fae nteven la poston et ses dévées successves jusqu'à l'nfn, chacune pondéée pa une constante de dmenson appopée, comme dans la fomule suvante? F = α + d β + m d 3 d + γ Olve GRANIER

14 4 - Pncpe de l acton et de la éacton «Le pncpe de l acton et de la éacton que les foces qu execent l un su l'aute deux ponts matéels sont coaxales, de même ntensté et de sens opposés : F B A A B F A B Système solé de deux ponts matéels A et B F A B = F et coaxales B A Une llustaton amusante des tos los de Newton : Olve GRANIER

15 5 - Un peme exemple d applcaton ; la chute lbe Le pods d un cops : P = mg g M (m) :, est appelé vecteu accéléaton de la pesanteu. A Nantes : g = 9,81 m.s - S on néglge la otaton pope de la Tee : G : constante de gavtaton unveselle (G = 6, SI) M T = kg (masse de la Tee) R T = 6370 km (ayon de la Tee) GM g = R T T u R T T g O u Olve GRANIER

16 6 - Mouvement d un pojectle dans le vde Vo l execce n 1 et le fche Maple su la paabole de sûeté Pse en compte de la ésstance de l a Foce de fottement vsqueux (f = - kmv) Foce de fottement quadatque (f = - kmv ) Notons de «vtesse lmte» v lm Chute lbe su la Lune Execces d applcaton : Mouvements hozontal pus vetcal d une blle dans un mleu vsqueux. Mouvement d un ballon de bauduche Olve GRANIER

17 z Mouvement d un ballon de bauduche (Chute lbe avec fottement vsqueux) (m = 1 kg ; k = 0,8 SI ; alpha = P/6 ; g= 9,81 m.s - ) 1 vlm = k g 1 y lm = v 0 cosα k y 1 g 1 g y = v0 cosα 0 α 1 k k k k ( kt ) ( kt 1 e ; z = t + v e ) sn + Smulaton Java : Smulaton Cab : Olve GRANIER

18 Résoluton avec MAPLE Equatons dfféentelles du mouvement : dv y dv z = k = kv v z y g m = 1 kg ; k = 10 USI ; v 0 = 1 m.s -1 ; g = 9,8 m.s - Fche MAPLE : (chute lbe 1) Olve GRANIER

19 Chute lbe avec fottement quadatque : ésoluton numéque avec MAPLE Equatons dfféentelles du mouvement : m dv = km v v v + m g D où dv dv y z = k = k v v y z g m = 1 kg ; k = 0,8 USI ; g = 9,8 m.s - Fche MAPLE : (chute lbe ) Olve GRANIER

20 7 - Théoème du Cente d nete : Cente d nete d un système de ponts matéels : D où «Le cente d nete G d un système de ponts matéels M de masse m est le baycente des ponts M affectés des coeffcents m, sot : m GM = 0 S O est l ogne du éféentel d étude, alos : GM = GO + OM = OG + OM OG = m OM m = m OM m T (R) O M 1 = OM M G (S) M (m ) M j M n Olve GRANIER

21 Quantté de mouvement totale du système : La quantté de mouvement totale du système de ponts matéels est (dans le éféentel d étude (R)) : p = m v avec d( OM Elle est elée à la vtesse du cente d nete G dans (R) : v = ) p d( OM ) d( m OM ) = m = = m Sot : p = m T v G d( OG) = m T d( OG) «La quantté de mouvement d un système de ponts matéels est égale à la quantté de mouvement d un pont fctf stué au cente d nete du système et possédant toute la masse de celu-c.» Olve GRANIER

22 (R) E Foces ntéeues et foces extéeues : O M 1 = OM M q E G f (S) M (m,q ) j f j M j M n q E Globalement : f j : foce extéeue qu s exece su le pont M f : foce ntéeue execée pa le pont (j) su le pont () j = f j j f j = 0 Olve GRANIER

23 m T Théoème du cente d nete : Le PFD applqué à un pont matéel donne : d( v m = F, ext + f j j Où F, ext désgne la ésultante des foces extéeues qu s execent su le pont (). En sommant su tous les ponts du système : dv ) G = m = + T F, ext f j = G d( m v ) dv F j = F ext, ext «Le mouvement du cente d nete d un système de ponts matéels est celu d un pont qu auat la masse totale du système et auquel seat applquée la somme des foces extéeues au système.» Olve GRANIER

24 8 - Applcatons du PFD : pont moble su une sphèe Enoncé du poblème : un pont matéel M de masse m est placé au sommet A d une sphèe de ayon R. On déplace légèement le pont matéel pou qu l qutte la poston A avec une vtesse quasment nulle et glsse sans fottement le long de la sphèe. Détemne la poston où le moble qutte la sphèe. Quelle est alos sa vtesse? R A y θ mg M u u θ N x Dans les applcatons qu suvent, le éféentel d étude est le éféentel (R) du laboatoe (éféentel «teeste»), supposé galléen. Olve GRANIER

25 mg A R v R & θ uθ a R & = ; = θ u+ = mg cosθ u + snθ u ) ; y θ mg M u x R&& θ u N = ( θ N u u θ N ma θ = mg + N mr θ = mg cosθ + N ( su u ) mr & θ = mg snθ ( su u θ ) N & = mg( 3cosθ N = 0 pou cosθ =, sot θ = 48 et alos v = 3 Une smulaton de loopngs (l execce au fomat pdf) ) gr 3 Olve GRANIER

26 9 - Applcatons du PFD : oscllatons d un pendule smple O u z z θ l T mg PFD : u θ ma M (m) = mg + T v =l & θ u θ u mlθ & = mg cosθ T ml && θ = mg snθ & θ = g l snθ Pou de fables oscllatons (snθ = θ) : & g g π θ = θ ; ω0 = ; T0 = = π l l ω0 θ = θ cos( 0 t) m ω (ω 0 : pulsaton du mouvement) l g Olve GRANIER

27 Résoluton pa le logcel Maple : O u z θ l T mg u θ v =l & θ u θ M (m) u Equatons dfféentelles mlθ & Fche Maple : (pendule smple) = mg cosθ T ml && θ = mg snθ z Olve GRANIER

28 10 - Applcatons du PFD : oscllatons d un pendule dans un champ électque O u z z θ l T mg E u θ M (m) u qe PFD : ma = mg + T En pojecton selon u θ : Sot : m l && θ = mg snθ + qe cosθ && g qe θ = snθ + cosθ l ml L angle θ 0 d équlbe véfe : & θ = 0 sot tanθ 0 = qe mg Olve GRANIER

29 Cas des pettes oscllatons : on pose. Alos : O u z z θ l T mg E u θ M (m) u qe snθ = cosθ = θ = θ + ε ( ε << 0 ) sn( θ 0 cos( θ 0 0 θ + ε ) + ε ) sn( θ ) + ε cos( θ ) 0 cos( θ ) ε sn( θ ) snε ε et (On a utlsé ) Sot, apès smplfcatons : 0 cosε 1 g qe && ε + cosθ + snθ0 ε l ml = ω ( T = 0 = π 0 0 ω0 ) Olve GRANIER

30 T A T A 11 - Applcatons du PFD : tensons de fls T B / T A B / C A T B / A B TA = TB / A = T1 ; TC = TB / C = T T B / C T T C C α C T T 1 1 = ( + snα) mg 3 1 = (1 + snα) mg 3 Olve GRANIER

31 1 - Applcatons du PFD : oscllateus soums à une foce constante (ésoluton avec le logcel Maple) Equatons dfféentelles m && x m 1 1 && x = k( x = k( x x 1 ) x 1 ) + F Longueu l = l 0 + x x 1 > l 0 T T M,0 M 1,0 M 1 1 M F Fche Maple : (oscllateus couplés - F) x 1 x > x 1 x Olve GRANIER

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